bA概率論與數(shù)理統(tǒng)計課件

1、概率論與數(shù)理統(tǒng)計目錄 第一章第一章 隨機事件及其概率隨機事件及其概率 1.1 隨機事件及其運算隨機事件及其運算 1.2 隨機事件的概率隨機事件的概率 1.3 條件概率與全概率公式條件概率與全概率公式 1.4 隨機事件的獨立性隨機事件的獨立性 第二章第二章 隨機變量及其分布隨機變量及其分布 2.1 離散型隨機變量及其分布律離散型隨機變量及其分布律 2.2 隨機變量的分布函數(shù)隨機變量的分布函數(shù) 2.3 連續(xù)型隨機變量及其密度連續(xù)型隨機變量及其密度 2.4 幾種常見的連續(xù)型隨機變量幾種常見的連續(xù)型隨機變量 2.5 隨機變量函數(shù)的分布隨機變量函數(shù)的分布 2.6 二維隨機變量及其聯(lián)合分布函數(shù)二維隨機變量

2、及其聯(lián)合分布函數(shù) 2.7 二維離散型隨機變量二維離散型隨機變量 2.8 二維連續(xù)型隨機變量二維連續(xù)型隨機變量概率論與數(shù)理統(tǒng)計目錄 2.9 隨機變量的相互獨立性隨機變量的相互獨立性 2.10 兩個隨機變量函數(shù)的分布兩個隨機變量函數(shù)的分布 第三章第三章 隨機變量的數(shù)字特征隨機變量的數(shù)字特征 3.1 數(shù)學期望數(shù)學期望 3.2 方差方差 3.3 協(xié)方差與相關系數(shù)協(xié)方差與相關系數(shù) 第四章第四章 大數(shù)定律與中心極限定理大數(shù)定律與中心極限定理概率論與數(shù)理統(tǒng)計目錄 4.1 大數(shù)定律大數(shù)定律 4.2 中心極限定理中心極限定理 第五章第五章 統(tǒng)計量及其分布統(tǒng)計量及其分布 5.1 總體和隨機樣本總體和隨機樣本 5.

3、2 統(tǒng)計量與抽樣分布統(tǒng)計量與抽樣分布 第六章第六章 參數(shù)估計參數(shù)估計 6.1 點估計點估計概率論與數(shù)理統(tǒng)計目錄 6.2 估計量的評價標準估計量的評價標準 6.3 區(qū)間估計區(qū)間估計 6.4 正態(tài)總體參數(shù)的區(qū)間估計正態(tài)總體參數(shù)的區(qū)間估計 第七章第七章 假設檢驗假設檢驗 復復 習習概率論與數(shù)理統(tǒng)計目錄 理學院李建峰 概率論與數(shù)理統(tǒng)計課件n李李o建建t峰峰e: 61.1 1.1 隨機事件及其運算隨機事件及其運算1 概率論中一般研究的是隨機試驗,以后簡稱簡稱試驗試驗,用字母e,e1,e2,表示。理解教材p3例子。2. 基本事件和樣本空間是集合，樣本點是元素。3. 樣本空間可能會隨著試驗目的的不同而不同(

4、如例2，考慮正面出現(xiàn)的次數(shù)).definition 1.1現(xiàn)象(確定性現(xiàn)象,隨機現(xiàn)象)統(tǒng)計規(guī)律性試驗隨機試驗：1. 可以在相同的條件下重復進行；2. 每次實驗的可能結果不止一個，并且能事先明確實驗的所有可能結果；3. 進行一次實驗之前不能確定哪一個結果會出現(xiàn)。一、基本概念一、基本概念definition 1.2將隨機試驗 e 的每一種結果稱為該試驗的基基本事件本事件,其所有可能結果組成的集合稱為 e 的樣本空間樣本空間,記為 或u .樣本空間的元素,即 e 的每個結果,稱為樣本點,記為 或e . 理學院李建峰 概率論與數(shù)理統(tǒng)計課件n李李o建建t峰峰e: 71 事件中的樣本點一般是滿足某種條件的

5、人們常關心的某些樣本點。2. 理解事件發(fā)生與否的意義：隨機事件發(fā)生當且僅當它所包含的一個樣本點在試驗中出現(xiàn)。3. 注意應用事件發(fā)生與否來理解事件間的關系和運算結果。4. a b c?5. 牢記差事件的幾種等價形式。definition 1.3 樣本空間的子集稱為隨機事件隨機事件(簡稱事件事件).常用大寫字母a,b,c,d表示。注意理解下述概念的區(qū)別：隨機事件 : 樣本空間的子集；基本事件 : 由一個樣本點組成的單點集；必然事件 : 樣本空間 本身；不可能事件 : 空集。1.包含：包含：ab(b發(fā)生則a發(fā)生) 2.相等：相等：a=b(b發(fā)生當且僅當a發(fā)生)3.和和(并并)事件：事件：ab(a、b

6、至少發(fā)生一個)4.積積(交交)事件：事件：ab(a、b都發(fā)生)5.差事件：差事件：a-b=a-ab=ab6.互斥事件：互斥事件：ab=7.對立事件：對立事件：ab=,ab=,此時a=b,b=a.8.完備事件組：完備事件組：樣本空間的一個劃分。二、隨機事件間的關系二、隨機事件間的關系 理學院李建峰 概率論與數(shù)理統(tǒng)計課件n李李o建建t峰峰e: 81 運算律的作用是化為需要的形式。2. 對偶律的作用是交并互轉。1.交換律：交換律：ab=ba,ab=ba2.結合律：結合律：a(bc)=(ab)c a(bc)=(ab)c3.分配律：分配律：a(bc)=(ab)(ac) a(bc)=(ab)(ac)三、隨

7、機事件間的運算三、隨機事件間的運算nnnnnnnnaaaababababa,4.對偶律：對偶律：example 1.1 有一個問題,甲先答,若甲答錯,由乙答,若記事件a=甲答對,事件b=乙答對,求此問題最終由乙答出的表示法.example 1.2 教材p10例6.example 1.3 教材p10例7. 理學院李建峰 概率論與數(shù)理統(tǒng)計課件n李李o建建t峰峰e: 91.2 1.2 隨機事件的概率隨機事件的概率1. 頻率性質：非負頻率性質：非負性、規(guī)范性、可性、規(guī)范性、可加性。加性。2. 頻率具有頻率具有“穩(wěn)定穩(wěn)定性性”，即第一節(jié)，即第一節(jié)所講的所講的 “統(tǒng)計規(guī)統(tǒng)計規(guī)律性律性”，見教材，見教材p1

8、5。3. 概率的統(tǒng)計定義概率的統(tǒng)計定義可以幫助理解概可以幫助理解概率，但利用這個率，但利用這個定義求解具體問定義求解具體問題的概率比較困題的概率比較困難。難。4. 概率也有相應概率也有相應的的3條性質。條性質。一、概率的統(tǒng)計定義一、概率的統(tǒng)計定義頻 率 穩(wěn) 定 值 概率 事件發(fā)生事件發(fā)生的頻繁程度的頻繁程度事件發(fā)生事件發(fā)生的可能性的大小的可能性的大小頻率的性質概率的性質definition 1.4 在相同的條件下,進行了n 次試驗, 在這 n 次試驗中,事件a發(fā)生的次數(shù) na稱為事件 a 發(fā)生的頻數(shù)頻數(shù).比值 na /n 稱為事件a 發(fā)生的頻率頻率,并記成 fn(a) .definition

9、1.5 設隨機事件e的重復次數(shù)n充分大時,事件a發(fā)生的頻率fn(a)總在區(qū)間0，1上的一個確定的常數(shù)p附近作微小擺動,并逐漸穩(wěn)定于p,則稱常數(shù)p是事件a 發(fā)生的概率,記為p(a). 理學院李建峰 概率論與數(shù)理統(tǒng)計課件n李李o建建t峰峰e: 101.計算時一定要認清計算時一定要認清試驗結果試驗結果(基本事件基本事件)是等可能性是等可能性的本質的本質.例例：擲二枚骰子擲二枚骰子,求求事件事件a為出現(xiàn)點數(shù)之為出現(xiàn)點數(shù)之和等于和等于3的概率。的概率。2. 一般來說求分母一般來說求分母相對簡單相對簡單,但分子在但分子在特定要求下較繁瑣特定要求下較繁瑣.3.為了以后計算的方為了以后計算的方便我們首先復習：

10、便我們首先復習：排列與組合的基本排列與組合的基本概念。概念。definition 1.6 若試驗具有下列兩個特征： 樣本空間的元素只有有限個；樣本空間的元素只有有限個； 每個樣本點發(fā)生的可能性相同每個樣本點發(fā)生的可能性相同.則稱此試驗為古典概型試驗古典概型試驗(等可能概型等可能概型) 。二、概率的古典定義二、概率的古典定義乘法原理乘法原理:設完成一件事需分兩步,第一步有n1種方法,第二步有n2種方法,則完成這件事共有n1n2種方法.definition 1.7 設古典概型試驗e的樣本空間中包含n個樣本點，隨機事件a中包含m個樣本點，則事件a發(fā)生的概率 p(a)=m/n.從從n個中抽取個中抽取k

11、個的排列組合公式個的排列組合公式:排列:pkn=akn(無重復) ,nk(有重復);組合:ckn 理學院李建峰 概率論與數(shù)理統(tǒng)計課件n李李o建建t峰峰e: 111.牽涉到排列組合牽涉到排列組合的概率問題一般的概率問題一般都是古典概型，都是古典概型，可按定義求解概可按定義求解概率。率。2. 抽簽原理：抽抽簽原理：抽到簽與抽簽的次到簽與抽簽的次序無關。序無關。3.此模型稱為此模型稱為超幾超幾何分布何分布。example 1.5 一口袋裝有 a 只白球,b 只紅球,求無放回取球中第k次取出的是白球的概率.模型一：隨機取球模型模型一：隨機取球模型example 1.4 一口袋有外型相同的10個球，4個

12、白球，6個紅球,現(xiàn)從中任取3個，試求：取出的3個球都是紅球的概率；取出的3個球中恰有一個是白球的概率。example 1.6 設有 n 件產品,其中有 m 件次品,今從中任取 n 件,問其中恰有 k ( k m ) 件次品的概率是多少(不放回抽樣)? 理學院李建峰 概率論與數(shù)理統(tǒng)計課件n李李o建建t峰峰e: 12example 1.7 將 n 只球隨機的放入 n (n n) 個盒子中去,求每個盒子至多有一球的概率(設盒子容量不限）(p22，例6).example 1.8 將 15 名新生隨機地平均分配到 3 個班中去,這15 名新生中有 3 名是優(yōu)秀生.問:(1) 每個班各分配到一 名優(yōu)秀生的

13、概率是多少?(2) 3 名優(yōu)秀生分配到同一個班級的概率是多少?模型二：分房問題模型二：分房問題1.生日問題：生日問題：n個個人的班級里沒有人的班級里沒有兩人生日相同的兩人生日相同的概率是多少？概率是多少？ 理學院李建峰 概率論與數(shù)理統(tǒng)計課件n李李o建建t峰峰e: 131. 測度可能是長測度可能是長度、面積、體積，度、面積、體積，甚至是質量。甚至是質量。definition 1.8 若試驗具有下列兩個特征： 樣本空間的元素有無限個；樣本空間的元素有無限個； 每個樣本點的發(fā)生具有某種等可能性每個樣本點的發(fā)生具有某種等可能性.則稱此試驗為幾何概型試驗幾何概型試驗。三、概率的幾何定義三、概率的幾何定義

14、definition 1.9 設試驗的每個樣本點是等可能落入?yún)^(qū)域上的隨機點m ，且d ( ) ，則m點落入子區(qū)域d(事件a)上的概率為:p(a)=m(d)/m().其中m()為自然測度. 理學院李建峰 概率論與數(shù)理統(tǒng)計課件n李李o建建t峰峰e: 14example 1.10 (會面問題會面問題)甲、乙二人約定在點到點之間在某地會面,先到者等30分鐘后即離去，設二人在這段時間內的各時刻到達是等可能的,且二人互不影響.求二人能會面的概率.example 1.9 (對表問題對表問題).小明的表停了，他打開收音機，想聽電臺定點報時，求等待時間不超過10分鐘的概率.1.一維情形：測度一維情形：測度是長度

15、。是長度。2.二維情形：測度二維情形：測度是面積。是面積。 理學院李建峰 概率論與數(shù)理統(tǒng)計課件n李李o建建t峰峰e: 151. 這這3條公理是基條公理是基礎，應用最多的礎，應用最多的是由此推出的性是由此推出的性質。質。四、概率的公理化定義四、概率的公理化定義definition 1.10 設 是給定試驗e的樣本空間,對于任一事件 a 賦予一個實數(shù)p(a),若p(a)滿足 非負性：0 p(a) 1； 規(guī)范性：p() =1； 可列可加性：當事件a1,a2, ,an兩兩互斥時 p(a1+a2+an+) = p(an)則稱p(a)為事件事件a的概率的概率。 理學院李建峰 概率論與數(shù)理統(tǒng)計課件n李李o建

16、建t峰峰e: 162. 還可以考慮還可以考慮n個個事件的情形，見事件的情形，見教材教材p30。概率的性質：概率的性質：1. p() =0;2. 若若a1, a2 , an兩兩互斥，則兩兩互斥，則 p(a1+a2+an) = p(an)3. p(a) = 1p( a)4. 若若a b,則則p(a b) = p(a) p(b)5. p(a b) = p(a)+p(b) p(ab) 推廣推廣: p(a b c)=p(a)+p(b)+p(c) p(ab) p(ab) p(ab)+p(abc) 理學院李建峰 概率論與數(shù)理統(tǒng)計課件n李李o建建t峰峰e: 17example 1.11 設在12件產品中有3件

17、次品，現(xiàn) 從中隨機抽取5件，試求：取出的5件產品中至少有一件次品的概率；取出的5件產品中至多有一件次品的概率。example 1.12 在 1099 的整數(shù)中隨機的取一個數(shù)，問取到的整數(shù)能被 2 或 3 整除的概率是多少？ 理學院李建峰 概率論與數(shù)理統(tǒng)計課件n李李o建建t峰峰e: 181.3 1.3 條件概率與全概率公式條件概率與全概率公式1. 條件概率等同條件概率等同于樣本空間縮小于樣本空間縮小后求解的概率。后求解的概率。一、條件概率一、條件概率example 1.12 設箱內有100件電子元件，其中有甲廠生產的正品30件，次品5件，乙廠生產的正品50件，次品15件。現(xiàn)從箱內任取一件產品，設

18、a=取到甲廠的產品，b=取到次品，試求：取到甲廠的產品且為次品的概率；已知取到甲廠的產品下，取到次品的概率。 理學院李建峰 概率論與數(shù)理統(tǒng)計課件n李李o建建t峰峰e: 192. 條件概率仍是條件概率仍是一種概率，具有一種概率，具有概率的一般結論概率的一般結論(3條公理條公理,5條性質條性質)。3. 求條件概率的求條件概率的典型語句形式：典型語句形式：將條件語句將條件語句(若若,且且,已知已知)刪去刪去,仍然是仍然是一個完整的概率一個完整的概率問題問題.一、條件概率一、條件概率definition 1.11 在e的樣本空間上有兩事件a,b,且p(a)0,則稱p(b|a)=p(ab)/p(a)為已

19、知事件a 發(fā)生條件下,事件b發(fā)生的條件概條件概率率.example 1.13 某燈泡按設計要求使用壽命超過10年的概率為0.8，超過15年的概率為0.5，試求該燈泡在使用10年之后，將在5年內損壞的概率是多少？ 理學院李建峰 概率論與數(shù)理統(tǒng)計課件n李李o建建t峰峰e: 20乘法公式不僅乘法公式不僅僅是條件概率定僅是條件概率定義的簡單變形義的簡單變形,它它還給出了求交集還給出了求交集概率的另一種求概率的另一種求法。法。2.注意注意example 1.14 將并集轉交將并集轉交集的方法：對偶集的方法：對偶公式。公式。 若p(a)0，則p(ab)=p(a)p(b|a) 若p(b)0，則p(ab)=

20、p(b)p(a|b) 稱上式為概率的乘法公式乘法公式。推廣到多個事件：當p(a1a2an-1)0時， p(a1a2 an)=p(a1)p(a2|a1)p(a3|a1a2)p(an|a1a2an-1)二、乘法公式二、乘法公式example 1.14 小明忘記電話號碼的最后一個數(shù)字，因而任意地按最后一個數(shù)，試求：不超過三次能打通電話的概率；若已知最后一個是偶數(shù)，則不超過三次能打通電話的概率。 理學院李建峰 概率論與數(shù)理統(tǒng)計課件n李李o建建t峰峰e: 21 運用運用全概公式全概公式的關鍵：找到樣的關鍵：找到樣本空間的一個恰本空間的一個恰當劃分。當劃分。2.當已知試驗結果當已知試驗結果并且要推測并且要

21、推測“原原因因”時，一般使時，一般使用用逆概公式逆概公式。三、全概率公式與貝葉斯公式三、全概率公式與貝葉斯公式theorem 1.1 設e的樣本空間為，事件a1a2 an為的一個劃分，且p(ai)0,(i=1,2,n)，則對任一事件b，有：全概率公式全概率公式:)|()()(1iiniabpapbp貝葉斯公式貝葉斯公式:（逆概公式）（逆概公式）)0)()|()()|()()|(1bpabpapabpapbapiinijjjexample 1.15 一商店銷售的某公司三個分廠生產的同型號空調，而這三個分廠的空調比例為3:1:2，它們的不合格率依次為0.01，0.12，0.05。某人從這批空調中任

22、選一臺，試求： 此人購得不合格空調的概率；若已知購到不合格空調，則這空調是哪個分廠生產的可能性較大？ 理學院李建峰 概率論與數(shù)理統(tǒng)計課件n李李o建建t峰峰e: 22example 1.16（肺結核確診率問題）假設患肺結核的人通過接受胸部透視，被診斷出的概率為0.95；而未患肺結核的人通過接受胸部透視，被診斷出的概率為0.002.又設某城市成年居民患肺結核的概率為0.1%，若從中任選一人，通過透視被診斷為肺結核，則此人確實患有肺結核的概率為多少？ 理學院李建峰 概率論與數(shù)理統(tǒng)計課件n李李o建建t峰峰e: 231.4 1.4 隨機事件的獨立性隨機事件的獨立性1. 獨立可直觀解獨立可直觀解釋為：釋為

23、：a發(fā)生對發(fā)生對b無影響無影響.類似類似, a不不發(fā)生對發(fā)生對b也無影響也無影響,即若即若p( a)0, p(b| a)=p(b)。2.注意注意獨立、互斥、獨立、互斥、對立對立概念的區(qū)別。概念的區(qū)別。一、事件的相互獨立性一、事件的相互獨立性definition 1.13 對于事件a,b,若p(ab)=p(a)p(b) 則稱事件a ,b相互獨立相互獨立.theorem 1.2 設p(a)0,則a、b相互獨立的充要充要條件條件是 p(b|a)=p(b). 兩個兩個事件相互獨立的定義事件相互獨立的定義問題：問題：設袋中有外型相同的6個紅球，4個白球，現(xiàn)有放回地抽取兩次，每次抽取一個。a=第一次取到白

24、球， b=第二次取到白球，求p(a)， p(b)， p(ab)， p(b|a)。 理學院李建峰 概率論與數(shù)理統(tǒng)計課件n李李o建建t峰峰e: 243. 用定義判斷獨用定義判斷獨立性常用在理論立性常用在理論推導和證明，而推導和證明，而在實際問題中，在實際問題中，往往根據(jù)問題的往往根據(jù)問題的實際意義來判斷實際意義來判斷獨立性。獨立性。theorem 1.3 下列命題等價(獨立性性質)(1)a與b相互獨立; (2)a與b相互獨立； (3)a與b相互獨立;(4)a與b相互獨立。example 1.17 設甲乙兩個射手，他們每次射擊命中目標的概率分別為0.8，0.7?，F(xiàn)兩人同時向一目標射擊一次，試求 ：(

25、1)目標被命中的概率；(2)若已知目標被命中，則它是甲命中的概率是多少？ 理學院李建峰 概率論與數(shù)理統(tǒng)計課件n李李o建建t峰峰e: 25definition 1.14 對于事件a,b,c，若下面四個式子都成立 p(ab)=p(a)p(b) , p(bc)=p(b)p(c), p(ac)=p(a) p(c), p(abc)=p(a)p(b)p(c)則稱事件事件a ,b,c相互獨立相互獨立. 三個三個事件相互獨立的定義事件相互獨立的定義 n個個事件相互獨立的定義事件相互獨立的定義definition 1.15 設有n個事件a1,a2,an, k為任意整數(shù),且1k n,若恒有 p(ai1ai2 ai

26、k)=p(ai1)p(ai2)p(aik)成立,則稱n個事件個事件a1,a2,an相互獨立相互獨立.1. 獨立條件下獨立條件下,能能把積事件的概把積事件的概率化為概率的率化為概率的積。積。2.一共有一共有2n-n-1個個表達式表達式,必須同必須同時成立時成立,思考思考p53.4 。3. n個事件個事件兩兩獨兩兩獨立立與與n個事件個事件相相互獨立的互獨立的區(qū)別。區(qū)別。 理學院李建峰 概率論與數(shù)理統(tǒng)計課件n李李o建建t峰峰e: 261. 對對 n個事件，個事件， th 1.3仍成立，只仍成立，只需將其中任意需將其中任意s個個事件換成它們的事件換成它們的對立事件即可。對立事件即可。 theorem

27、1.4 設n個事件a1,a2,an相互獨立， k, s為任意整數(shù),且10( )( )xf t dtf x上升的連續(xù)函數(shù)，( )( )( )f xf xf x在的連續(xù)點：,()0ap xa r不一定為,()=0ap xa r 理學院李建峰 概率論與數(shù)理統(tǒng)計課件n李李o建建t峰峰e: 402.4 2.4 幾種常見的連續(xù)型隨機變量幾種常見的連續(xù)型隨機變量1. 若若x服從服從 (a，b)區(qū)間上的均勻分區(qū)間上的均勻分布，則布，則x出現(xiàn)在出現(xiàn)在 (a，b)區(qū)間內的概率為區(qū)間內的概率為1。2.均勻分布隨機變均勻分布隨機變量量x落入落入(a，b)子子區(qū)間上的概率和區(qū)間上的概率和子區(qū)間的位置無子區(qū)間的位置無關，

28、僅與子區(qū)間關，僅與子區(qū)間長度成正比。長度成正比。3. 應用：數(shù)值計應用：數(shù)值計算中，研究四舍算中，研究四舍五入引起的誤差。五入引起的誤差。definition 2.6 若隨機變量 x 的密度函數(shù)為則稱隨機變量 x 服從區(qū)間(a，b)上的均勻分布均勻分布.記作 x u (a，b)。 1,0,axbf xba其它性質：性質：(1) p(xa)=p(xb)=0.(2) ( )c lclp cxclf x dxba 0,(3),1,xaxaf xaxbbaxb 理學院李建峰 概率論與數(shù)理統(tǒng)計課件n李李o建建t峰峰e: 411. 可利用簡捷的可利用簡捷的方式計算概率。方式計算概率。example 2.1

29、4 設公共汽車站從上午設公共汽車站從上午7時起每隔時起每隔15分鐘來一班車分鐘來一班車,如果某乘客到達此站的時間是如果某乘客到達此站的時間是 7:00 到到7:30之間的均勻隨機變量試求該乘客之間的均勻隨機變量試求該乘客候車時間不超過候車時間不超過5分鐘的概率。分鐘的概率。example 2.15 設隨機變量設隨機變量 服從區(qū)間服從區(qū)間(-3，6)上上的均勻分布的均勻分布,試求方程試求方程 4x2+4 x+ +2=0有實根的概率有實根的概率 理學院李建峰 概率論與數(shù)理統(tǒng)計課件n李李o建建t峰峰e: 421. 指數(shù)分布又稱指數(shù)分布又稱為為“永遠青年永遠青年”的分布。的分布。2.性質性質4稱為稱為

30、“無無記憶性記憶性”。3. 應用：描述衰應用：描述衰老作用不明顯的老作用不明顯的壽命分布；壽命分布； 1/ 為為壽命壽命x的的平均值。平均值。definition 2.7 若隨機變量若隨機變量 x 的密度函數(shù)為的密度函數(shù)為則稱隨機變量則稱隨機變量 x 服從參數(shù)為服從參數(shù)為 的的指數(shù)分布指數(shù)分布( 0).記作記作 x e ( ). ,00,0 xexf xx性質：性質：(2) ;tp xte 0,0(1)1,0 xxf xex1212(3) ;ttp txtee(4),0, t sp xst xsp xt 理學院李建峰 概率論與數(shù)理統(tǒng)計課件n李李o建建t峰峰e: 43example 2.15 某

31、電子元件的壽命某電子元件的壽命x(小時小時)滿足滿足 x e (1/100)。求。求5個同類型的元件在使用的前個同類型的元件在使用的前150小時內恰有小時內恰有2個需要更換的概率。個需要更換的概率。 理學院李建峰 概率論與數(shù)理統(tǒng)計課件n李李o建建t峰峰e: 441.密度函數(shù)的特征：密度函數(shù)的特征：關于關于x= 對稱對稱; 的大小反映峰的大小反映峰值的大小值的大小, 愈愈小峰值愈大小峰值愈大,隨隨機變量的取值就機變量的取值就愈集中愈集中.定義定義2.8 若隨機變量 x 的密度函數(shù)為 則稱 x 服從參數(shù)為( ， 2)的正態(tài)分布正態(tài)分布, 記作 x n ( , 2). 2221,02xxf xe ，

32、 221,2xxex 221,2txx xt dtedtx )( x 若 =0， 2=1,則稱n(0，1)為標準正態(tài)分布標準正態(tài)分布： 理學院李建峰 概率論與數(shù)理統(tǒng)計課件n李李o建建t峰峰e: 451. 應用標準正態(tài)應用標準正態(tài)分布密度函數(shù)的分布密度函數(shù)的圖形特征容易說圖形特征容易說明相關結論。明相關結論。2. 定理的證明思定理的證明思想和下一節(jié)內容想和下一節(jié)內容息息相關息息相關,要掌握。要掌握。正態(tài)分布的概率計算：正態(tài)分布的概率計算：(4)p(|x| a) =2(1 (a).x0( )xa-a定理定理 2.1 (一般正態(tài)分布的標準化一般正態(tài)分布的標準化)(2)p(x a) = ( a)=1

33、(a)；(3)p(|x| a) =2 (a) 1； 設設xn(0，1)，a0，則：，則：(1)p(x a) = (a)； 2*( ,),(0,1).xxnxn 設 則 理學院李建峰 概率論與數(shù)理統(tǒng)計課件n李李o建建t峰峰e: 461. 企業(yè)管理中，企業(yè)管理中，經常應用經常應用3 -規(guī)則規(guī)則進行質量檢查進行質量檢查。2. 這個定義將在這個定義將在第六章經常用到。第六章經常用到。 設設xn( ， 2)，則，則()p axb設xn( , 2), 則 p( -3 x +3 ) =()axbp()()ba3 -規(guī)則：規(guī)則：x0( )xz1z0.9973 (0,1)(,(01) ),p xzzxnz2.9

34、 設 若滿足則稱點為標上定義準正分態(tài)分布的位點. 理學院李建峰 概率論與數(shù)理統(tǒng)計課件n李李o建建t峰峰e: 47例例 2.17 公共汽車車門的高度是按男子與車門頂頭碰頭機會在0.01以下來設計的。設男子身高xn(170,62),問車門高度應如何確定? 1.正態(tài)分布的重要正態(tài)分布的重要性：性：大量的隨機現(xiàn)大量的隨機現(xiàn)象服從或近似服象服從或近似服從正態(tài)分布；從正態(tài)分布；當一個量可以當一個量可以看成由許多看成由許多微小微小的的獨立獨立的隨機因的隨機因素作用的總后果，素作用的總后果，這個量都服從這個量都服從或或近似服從正態(tài)分近似服從正態(tài)分布布。 理學院李建峰 概率論與數(shù)理統(tǒng)計課件n李李o建建t峰峰e:

35、 482.5 2.5 隨機變量函數(shù)的分布隨機變量函數(shù)的分布1. 離散型隨機變離散型隨機變量的函數(shù)仍然為量的函數(shù)仍然為離散型隨機變量，離散型隨機變量，其分布常表現(xiàn)為其分布常表現(xiàn)為分布律形式。分布律形式。一、離散型隨機變量函數(shù)的分布一、離散型隨機變量函數(shù)的分布例例 2.18 設隨機變量設隨機變量 x 具有以下的分布律，具有以下的分布律，(1)(2)(),xyg xy問題：已知的分布，求 的分布。pkx1 0 1 2 0.2 0.3 0.1 0.4試求試求:(1) y1=2x+1，(2)y2 = x2 的分布律的分布律.12ixxx12ipppxp12()()()ig xg xg x12ipppyp

36、若若x的分布律為：的分布律為：則則1(),()ig xg x若有相同值，則合2.并同值列。 理學院李建峰 概率論與數(shù)理統(tǒng)計課件n李李o建建t峰峰e: 491. 若若x連續(xù)，則一連續(xù)，則一般般y=g(x) 也連續(xù)也連續(xù).2.分布函數(shù)法：分布函數(shù)法： 先求先求y的分布函數(shù)的分布函數(shù),然后求導。然后求導。3. 掌握掌握變上下限變上下限積分求導公式積分求導公式。二、連續(xù)型隨機變量函數(shù)的分布二、連續(xù)型隨機變量函數(shù)的分布 yfyp yy(2) ( )( )xg xyfx dx yyfyfy(3) 分布函數(shù)法：分布函數(shù)法：( )( )( )( ),yyf yf x dx若( ) ( ) ( ) ( )( )

37、fyfyyfyy則特別：特別：p g xyxy(1)由確定，2.19 (0,1)xxnye例設，求的概率密度。 理學院李建峰 概率論與數(shù)理統(tǒng)計課件n李李o建建t峰峰e: 50公式法：公式法：2.19 (0,1)xxnye例設，求的概率密度。(1)( ),( )xhyg xy當是一處處可導的單調函數(shù)時，其反函數(shù)為則( )( ) ,( )0,yyyf h yh yyfyy 1122( )( )( )( ) ,( )0,yyyf h yh yf hyhyyfyy 1212( ),( )( )( )2xxxhxhygyyx當是分段單調函數(shù)時，且設其在上單調，反函數(shù)分別為和，則有：1. 要注意要注意公式

38、法公式法的條件。的條件。 理學院李建峰 概率論與數(shù)理統(tǒng)計課件n李李o建建t峰峰e: 51例例 2.21 p95 a.4定理定理 2.2 設設 xn( , 2)， y=ax+b (a 0)，則：，則：yn(a +b, a2 2 ) 。 2.20 (0, )sinxuyx例設,求的概率密度。 理學院李建峰 概率論與數(shù)理統(tǒng)計課件n李李o建建t峰峰e: 522.6 2.6 二維隨機變量及其聯(lián)合分布函數(shù)二維隨機變量及其聯(lián)合分布函數(shù)1. (x, y) 應看成一應看成一個整體個整體,它的二個它的二個分量是有內在聯(lián)分量是有內在聯(lián)系的。系的。2. 從幾何上可以從幾何上可以將將(x, y) 看成二維看成二維平面上

39、的一個隨平面上的一個隨機點。機點。一、一、二維隨機變量的概念二維隨機變量的概念定義定義 2.10 設設 = 是某一個隨機試驗是某一個隨機試驗e的樣本的樣本空間，空間，x=x()和和y=y()是定義在是定義在上的隨機變上的隨機變量。稱有序二元總體量。稱有序二元總體 (x, y) 為一個為一個二維隨機變二維隨機變量量(或或二維隨機向量二維隨機向量)，并稱，并稱x和和y是二維隨機變是二維隨機變量量 (x, y)的的兩個分量兩個分量。舉例舉例:(1)某地區(qū)學齡兒童的身體發(fā)育狀況：某地區(qū)學齡兒童的身體發(fā)育狀況：需采集身高需采集身高x和體重和體重y的分布組成二維隨機變量的分布組成二維隨機變量(x, y);

40、(2) 向一平面靶射箭：向一平面靶射箭： 擊中點需用二維隨機變量擊中點需用二維隨機變量(x, y)來刻畫。來刻畫。 理學院李建峰 概率論與數(shù)理統(tǒng)計課件n李李o建建t峰峰e: 531. f(x,y)在點在點(x,y)處的函數(shù)值就是處的函數(shù)值就是隨機點隨機點(x,y)落在落在以以(x,y)為頂點為頂點, 位位于該點左下方的于該點左下方的無窮矩形域內的無窮矩形域內的概率概率 。定義定義 2.11 設設(x, y)是一個二維隨機變量是一個二維隨機變量,對于任對于任意一對實數(shù)意一對實數(shù)(x, y), 稱稱f(x,y)=p(x x,y y)=p(x x) (y y)為為(x, y)的的聯(lián)合分布函數(shù)聯(lián)合分布

41、函數(shù), 簡稱為簡稱為分布函數(shù)分布函數(shù).一個重要的公式：一個重要的公式：二、聯(lián)合分布函數(shù)的定義與意義二、聯(lián)合分布函數(shù)的定義與意義yxox1x2y1y2(x, y )(x2 , y2)(x2 , y1)(x1 , y2)(x1 , y1)1212,p xxxyyyyo(x, y)(x, y )x22211211(,)(,)(,)(,)f xyf xyf x yf x y 理學院李建峰 概率論與數(shù)理統(tǒng)計課件n李李o建建t峰峰e: 541.若某二元函數(shù)具若某二元函數(shù)具有這四條性質有這四條性質,則則它必是某二維隨它必是某二維隨機變量的分布函機變量的分布函數(shù)，并且這四條數(shù)，并且這四條性質缺一不可性質缺一不

42、可.2.性質性質4還給出了還給出了由聯(lián)合分布求分由聯(lián)合分布求分量分布的表達式。量分布的表達式。3.聯(lián)合分布包含更聯(lián)合分布包含更多的信息多的信息,由聯(lián)合由聯(lián)合分布可以求出邊分布可以求出邊緣分布緣分布, 由邊緣分由邊緣分布一般無法求出布一般無法求出聯(lián)合分布聯(lián)合分布.三、聯(lián)合分布函數(shù)的性質三、聯(lián)合分布函數(shù)的性質(2) f (x,y )是變量 x或y 的單調不減右連續(xù)函數(shù)；(1) 0( , )1,(,)1f x yf ；22211211(3)(,)(,)(,)(,)0;f xyf xyf x yf x y（相容性）(,)( ,)(, )0;ff xfy (4) ( ,)()( )xf xp xxfx

43、-x的邊緣分布函數(shù)的邊緣分布函數(shù)(, )()( )yfyp yyfy-y的邊緣分布函數(shù)的邊緣分布函數(shù) 理學院李建峰 概率論與數(shù)理統(tǒng)計課件n李李o建建t峰峰e: 55例例 2.23 p99.1例例2.22 問二元函數(shù)是否可作為某二維隨機變量的聯(lián)合分布函數(shù)？1,0( , )0,0 xyf x yxy當當 理學院李建峰 概率論與數(shù)理統(tǒng)計課件n李李o建建t峰峰e: 562.7 2.7 二維離散型隨機變量二維離散型隨機變量一、二維離散型隨機變量及聯(lián)合分布律一、二維離散型隨機變量及聯(lián)合分布律定義定義 2.12 如果二維隨機變量(x, y)可能取的值只有有限個有限個或可列個可列個，則稱(x, y)為二維離散

44、型隨二維離散型隨機變量機變量。 定義定義 2.13 設二維離散型隨機變量(x, y)所有可能取的值為(xi, yj) ， (i=1,2, j=1,2,) 則稱 px =xi,y =yj=pij, (i, j=1,2,)為(x, y)的聯(lián)合分布律聯(lián)合分布律，或稱為(x, y)的分布律分布律。 理學院李建峰 概率論與數(shù)理統(tǒng)計課件n李李o建建t峰峰e: 57二維離散型隨機變量(x, y) 分布律也可表為： 聯(lián)合分布律的性質：聯(lián)合分布律的性質：(1)0( ,1,2,)ijpi j(2)1ijijp (3) ( , )ijxx yyijf x yp 理學院李建峰 概率論與數(shù)理統(tǒng)計課件n李李o建建t峰峰e

45、: 58例例 2.23 一個口袋中有外型相同的2紅、4白6個球,從袋中不放回地抽取兩次球，每次取一個.設x=第一次取得白球的個數(shù), y=第二次取得白球的個數(shù), 試求： (x, y)的分布律；f(0.5，1)；p(xy). 理學院李建峰 概率論與數(shù)理統(tǒng)計課件n李李o建建t峰峰e: 591. 試求試求例例2.23中中x,y 的邊緣分的邊緣分布律布律.二、邊緣分布律二、邊緣分布律定義定義 2.14 設 (x, y)是二維離散型隨機變量， x的分布律： (),iiijijjjpp xxp xx yyp (),jjijijiipp yyp xx yyp y的分布律：稱為(x, y)關于x的邊緣分布律邊緣

46、分布律； 稱為(x, y)關于y的邊緣分布律邊緣分布律。 1,2,i 1,2,j 理學院李建峰 概率論與數(shù)理統(tǒng)計課件n李李o建建t峰峰e: 601. 條件分布律仍條件分布律仍然是分布律然是分布律,和一和一般分布律相比般分布律相比,在在形式上多了一個形式上多了一個條件條件. 它滿足性質：它滿足性質：三、條件分布律三、條件分布律 定義定義 2.15 設 (x, y)是二維離散型隨機變量，對于固定的 j ，若py= yj0， 則y= yj已發(fā)生的條件下，x= xi發(fā)生的概率：px=xi|y=yj=pij/pj (i=1,2,),稱為在在y= yj下下x的的條件分布律條件分布律；類似，若px= xi0

47、，則稱 py=yj|x=xi=pij/pi (j=1,2,)為在在x= xi下下y的條的條件分布律件分布律。(1)/0.ijjpp例例2.24 p104,a.1(2)/1.ijjipp 理學院李建峰 概率論與數(shù)理統(tǒng)計課件n李李o建建t峰峰e: 612.8 2.8 二維連續(xù)型隨機變量二維連續(xù)型隨機變量1. 和一維情形一和一維情形一樣樣,要求：要求：明了明了密度的形式密度的形式會會求解積分。求解積分。2. 從定義可看出從定義可看出此時的分布函數(shù)此時的分布函數(shù)關于關于x或或y均是連續(xù)均是連續(xù)的。的。3. 幾何上幾何上 z = f (x,y)表示空間的一個表示空間的一個曲面曲面, p(x,y) g 表

48、示表示以以 g 為底為底,以以曲面曲面z = f (x,y)為頂為頂?shù)那斨w的體的曲頂柱體的體積。積。一、聯(lián)合概率密度一、聯(lián)合概率密度定義定義 2.16 設二維隨機變量(x,y) 的分布函數(shù)為f(x,y),如果存在非負實值函數(shù) f (x,y),使得對于任意實數(shù) x,yr,有則稱(x,y)為二維連續(xù)型隨機變量二維連續(xù)型隨機變量，f(x,y)為(x,y)的聯(lián)合概率密度聯(lián)合概率密度，簡稱為概率密度概率密度或密度密度。( , )(,), )(xyfdf x yp xxudvvyyu yo(x, y)(x, y )x 理學院李建峰 概率論與數(shù)理統(tǒng)計課件n李李o建建t峰峰e: 621.性質給出了二維性質

49、給出了二維連續(xù)型隨機變量連續(xù)型隨機變量問題一般和二重問題一般和二重積分有關積分有關,要熟練要熟練求解二重積分求解二重積分.2(4)( , )( , )( , )( , );f x yx yf x yf x yxy若在點連續(xù)，則有(5)()0.lp xyl對任一條平面曲線有，(1)( , )0;f x y (2)( , )1;f x y dxdy (3)(, )( , );gpx ygf x y dxdy二、密度函數(shù)的性質二、密度函數(shù)的性質(,)( , );p xxxx yyyyf x yx y 理學院李建峰 概率論與數(shù)理統(tǒng)計課件n李李o建建t峰峰e: 63例例 2.25 設二維隨機變量設二維隨

50、機變量 (x, y) 的密度為的密度為,()0,0( , )0,x ycexyf x y 其它x+y=1例例 2.26 設二維隨機變量設二維隨機變量 (x, y) 的密度為的密度為2101 023( , )0 xxyxyf x y ，其它求：1yxpx=1(1)(2) 1;cp xy求： 常數(shù) ； (3)(, )x y 的聯(lián)合分布函數(shù)1yxoyxo1x+y=12y=2 理學院李建峰 概率論與數(shù)理統(tǒng)計課件n李李o建建t峰峰e: 641.聯(lián)合分布包含更聯(lián)合分布包含更多的信息多的信息,由聯(lián)合由聯(lián)合分布可以求出邊分布可以求出邊緣分布緣分布,但由邊緣但由邊緣分布一般無法求分布一般無法求出聯(lián)合分布出聯(lián)合分

51、布.2. 注意求解積分注意求解積分,二維情形最好畫二維情形最好畫出草圖。出草圖。三、邊緣概率密度三、邊緣概率密度 ,xfxp xxf x ,yfyp yyfy ( ),xxfxfxfx y dy ( ),yyfyfyfx y dx,xf u y dy du ,yfx v dx dv例例 2.27 設二維隨機變量設二維隨機變量 (x, y) 的密度為的密度為2101 023( , )0 xxyxyf x y ，其它試求兩個邊緣概率密度。試求兩個邊緣概率密度。 理學院李建峰 概率論與數(shù)理統(tǒng)計課件n李李o建建t峰峰e: 651.條件密度仍然是條件密度仍然是密度密度,和一般密度和一般密度函數(shù)相比函數(shù)相

52、比,在形式在形式上多了一個條件。上多了一個條件。四、條件概率密度四、條件概率密度定義定義 2.17 設 (x, y)是二維連續(xù)型隨機變量,對于固定的 y , 若fy(y)0, 則稱f(x|y)= fx|y (x|y)= f(x,y)/fy(y)為在在y= y下下x的條件概率密度的條件概率密度；類似,對于固定的 x , 若fx(x)0, 則稱f(y|x)= fy|x (y|x)= f(x,y)/fx(x) 為在在x= x下下y的條件概率密度的條件概率密度.條件概率密度的性質條件概率密度的性質:(1) ( | )0;f x y (2)|1.f x y dx 理學院李建峰 概率論與數(shù)理統(tǒng)計課件n李李

53、o建建t峰峰e: 66定義定義 2.18 設 (x, y)是二維連續(xù)型隨機變量,對于固定的 y , 若fy(y)0, 則稱為在在y= y下下x的條件分布函數(shù)的條件分布函數(shù)；類似,對于固定的 x , 若fx(x)0, 則稱,)|()|()|(xduyufyyxxpyxf為在在x= x下下y的條件分布函數(shù)的條件分布函數(shù).,)|()|()|(ydvxvfxxyypxyf1. 利用條件密度利用條件密度可以求解形如可以求解形如px x|y=y的概率的概率,但要注意形如但要注意形如px x|y y的概率的概率求解方法的不同求解方法的不同. 理學院李建峰 概率論與數(shù)理統(tǒng)計課件n李李o建建t峰峰e: 67例例

54、 2.28 設二維隨機變量 (x, y) 的密度為46,0,0,(1)( , )0,.xyx yf x y 其它: 1( );yfy求 （）|(2)0( | );x yyfx y當時，(3) 01|1;pxy(4) 1/2|0p xy 理學院李建峰 概率論與數(shù)理統(tǒng)計課件n李李o建建t峰峰e: 681. 若若(x,y)服從區(qū)服從區(qū)域域d上的均勻分布上的均勻分布, (x,y)出現(xiàn)在出現(xiàn)在 d內內的概率為的概率為1.2.若若(x,y)服從區(qū)域服從區(qū)域d上的均勻分布上的均勻分布, 則(x,y)落入落入d內子內子區(qū)域區(qū)域d1上的概率上的概率與與d1的位置及形的位置及形狀無關狀無關,僅與僅與d1的的面積呈

55、正比面積呈正比,比例比例系數(shù)是系數(shù)是1/a。3. 雖然雖然(x, y)的聯(lián)的聯(lián)合分布是二維均合分布是二維均勻分布勻分布,但其邊緣但其邊緣分布卻不是一維分布卻不是一維均勻分布均勻分布.定義定義 2.19 設設d是平面上的有界區(qū)域是平面上的有界區(qū)域,面積為面積為a,若隨機變量若隨機變量 (x,y) 的密度函數(shù)為的密度函數(shù)為則稱隨機變量則稱隨機變量 (x,y) 服從區(qū)域服從區(qū)域d上的上的均勻分布均勻分布.五、兩種重要的二維連續(xù)型分布五、兩種重要的二維連續(xù)型分布., 0,),(,/1),(其它dyxayxf例例 2.29 設區(qū)域設區(qū)域d由由y=x2及及y=x所圍所圍, 隨機變量隨機變量 (x, y)

56、服從區(qū)域服從區(qū)域d上的均勻分布上的均勻分布,求求(x, y)的聯(lián)合概率的聯(lián)合概率密度和各自的邊緣概率密度密度和各自的邊緣概率密度.y=xy=x21yxo 理學院李建峰 概率論與數(shù)理統(tǒng)計課件n李李o建建t峰峰e: 691. 二維正態(tài)分布二維正態(tài)分布的密度不要求強的密度不要求強記記;但要理解但要理解5個參個參數(shù)范圍及其順序數(shù)范圍及其順序.2. 通過定理要掌通過定理要掌握：握：二維正態(tài)二維正態(tài)分布分布的邊緣分布是一的邊緣分布是一維正態(tài)分布維正態(tài)分布, ,并且并且參數(shù)有相應的對參數(shù)有相應的對應關系；應關系；兩個邊緣分布兩個邊緣分布和第和第5 5個參數(shù)個參數(shù) 沒沒有關系；有關系；聯(lián)合分布能唯聯(lián)合分布能唯

57、一確定邊緣分布一確定邊緣分布, ,反之不成立。反之不成立。定義定義 2.20 若隨機變量 (x,y) 的密度函數(shù)為則稱隨機變量 (x,y) 服從參數(shù)為(1,2,12,22,) 的正態(tài)分布正態(tài)分布.記作(x,y) n( 1, 2, 12, 22, ) .其中, 1+, 20,20,|1. 2212221122112211exp2(1)21()2() fxyxxyy ，定理定理 2.4 若(x,y) n( 1, 2, 12, 22, ) ， 則x n( 1, 12)， y n( 2, 22). 理學院李建峰 概率論與數(shù)理統(tǒng)計課件n李李o建建t峰峰e: 702.9 2.9 隨機變量的相互獨立性隨機變

58、量的相互獨立性1. 可以引申為：可以引申為：由由x和和y分布構成分布構成的的任意任意事件事件a與與b相互獨立。相互獨立。2. 由定義易見由定義易見:在在相互獨立條件下相互獨立條件下,聯(lián)合分布與邊緣聯(lián)合分布與邊緣分布相互決定。分布相互決定。3. 必須對所有的必須對所有的i，j都成立都成立.一、隨機變量相互獨立的定義一、隨機變量相互獨立的定義定義定義 2.21 設設 x ,y是兩個隨機變量是兩個隨機變量,若對任意實若對任意實數(shù)數(shù)x, y,都有都有 f(x,y)=p(x x,y y)=p(x x)p(y y)=fx(x)fy(y)則稱則稱 x與與y 相互獨立相互獨立，簡稱，簡稱x與與y 獨立獨立.二

59、、離散型隨機變量獨立的充要條件二、離散型隨機變量獨立的充要條件定理定理 2.5 若若(x , y ) 是離散型隨機變量，則是離散型隨機變量，則x與與y相互獨立的充分必要條件是：相互獨立的充分必要條件是：pij=pi p j ,(i,j=1,2,). 理學院李建峰 概率論與數(shù)理統(tǒng)計課件n李李o建建t峰峰e: 711. 對于實際問題對于實際問題也可以由實際意也可以由實際意義判斷獨立性。義判斷獨立性。例例 2.30 一個袋中有外型相同的一個袋中有外型相同的1紅、紅、4白白5個球個球,從袋中連抽取兩次球，每次取一個從袋中連抽取兩次球，每次取一個.令令1,1,0,0,xy第一次取到白球第二次取到白球；第

60、一次取到紅球第二次取到紅球現(xiàn)采?。含F(xiàn)采?。?1) 不放回抽??；不放回抽??； (2) 有放回抽取；有放回抽?。辉嚺袛嘣嚺袛鄕與與y的獨立性的獨立性。 理學院李建峰 概率論與數(shù)理統(tǒng)計課件n李李o建建t峰峰e: 721.一般當聯(lián)合分布一般當聯(lián)合分布函數(shù)或聯(lián)合密度函數(shù)或聯(lián)合密度函數(shù)能分解成函數(shù)能分解成變變量量x與與y各自無關的各自無關的函數(shù)的積函數(shù)的積,隨機變隨機變量量x與與y相互獨立。相互獨立。三、連續(xù)型隨機變量獨立的充要條件三、連續(xù)型隨機變量獨立的充要條件試判斷隨機變量試判斷隨機變量x、y是否相互獨立是否相互獨立定理定理 2.6 若若(x , y ) 是連續(xù)型隨機變量，則是連續(xù)型隨機變量，則x與與