工程數(shù)學(xué)作業(yè)1

1、第三章作業(yè)練習(xí)題1：設(shè)兩點(diǎn)邊值問題的精確解為現(xiàn)以h為步長劃分區(qū)間為100等份，用差分近似代替微分，將微分方程離散化為線性方程組，代入初始條件后，得到如下的方程組問題其中，。(1) 分別用j迭代法，g-s迭代法和sor迭代法求解，并與精確解進(jìn)行比較；(2) 如果，再求解該問題解：輸出結(jié)果為 精確值 j迭代值 gs迭代值 sor迭代值 0.0526 0.0501 0.0500 0.0504 0.1006 0.0961 0.0960 0.0966 0.1446 0.1384 0.1382 0.1391 0.1848 0.1774 0.1771 0.1782 0.2217 0.2132 0.2129

2、0.2142 0.2556 0.2462 0.2458 0.2474 0.2867 0.2767 0.2763 0.2780 0.3153 0.3049 0.3044 0.3063 0.3417 0.3309 0.3305 0.3325 0.3661 0.3551 0.3546 0.3568 0.3886 0.3775 0.3770 0.3793 0.4094 0.3984 0.3979 0.4002 0.4288 0.4178 0.4173 0.4197 0.4467 0.4359 0.4354 0.4379 0.4635 0.4528 0.4523 0.4548 0.4791 0.4687

3、 0.4682 0.4707 0.4937 0.4836 0.4830 0.4856 0.5074 0.4976 0.4970 0.4996 0.5202 0.5107 0.5102 0.5128 0.5324 0.5232 0.5227 0.5252 0.5438 0.5349 0.5344 0.5370 0.5546 0.5461 0.5456 0.5481 0.5649 0.5567 0.5562 0.5587 0.5747 0.5668 0.5663 0.5688 0.5840 0.5765 0.5760 0.5784 0.5929 0.5857 0.5853 0.5876 0.601

4、4 0.5946 0.5941 0.5965 0.6096 0.6031 0.6027 0.6049 0.6175 0.6113 0.6109 0.6131 0.6251 0.6192 0.6188 0.6210 0.6325 0.6269 0.6265 0.6286 0.6396 0.6343 0.6339 0.6360 0.6466 0.6415 0.6411 0.6432 0.6533 0.6485 0.6482 0.6501 0.6599 0.6554 0.6550 0.6569 0.6664 0.6620 0.6617 0.6636 0.6727 0.6686 0.6683 0.67

5、00 0.6788 0.6750 0.6747 0.6764 0.6849 0.6812 0.6810 0.6826 0.6909 0.6874 0.6871 0.6887 0.6967 0.6935 0.6932 0.6947 0.7025 0.6994 0.6992 0.7007 0.7082 0.7053 0.7051 0.7065 0.7139 0.7111 0.7109 0.7123 0.7195 0.7169 0.7167 0.7180 0.7250 0.7226 0.7224 0.7236 0.7305 0.7282 0.7280 0.7292 0.7359 0.7337 0.7

6、336 0.7347 0.7413 0.7393 0.7391 0.7402 0.7467 0.7447 0.7446 0.7456 0.7520 0.7502 0.7500 0.7510 0.7573 0.7556 0.7554 0.7564 0.7625 0.7609 0.7608 0.7617 0.7678 0.7663 0.7662 0.7670 0.7730 0.7716 0.7715 0.7723 0.7782 0.7769 0.7768 0.7775 0.7833 0.7821 0.7820 0.7828 0.7885 0.7874 0.7873 0.7880 0.7937 0.

7、7926 0.7925 0.7931 0.7988 0.7978 0.7977 0.7983 0.8039 0.8030 0.8029 0.8035 0.8090 0.8081 0.8081 0.8086 0.8141 0.8133 0.8132 0.8137 0.8192 0.8184 0.8184 0.8189 0.8243 0.8236 0.8235 0.8240 0.8293 0.8287 0.8286 0.8291 0.8344 0.8338 0.8337 0.8341 0.8395 0.8389 0.8389 0.8392 0.8445 0.8440 0.8440 0.8443 0

8、.8496 0.8491 0.8490 0.8494 0.8546 0.8542 0.8541 0.8544 0.8596 0.8592 0.8592 0.8595 0.8647 0.8643 0.8643 0.8645 0.8697 0.8694 0.8693 0.8696 0.8747 0.8744 0.8744 0.8746 0.8798 0.8795 0.8795 0.8797 0.8848 0.8845 0.8845 0.8847 0.8898 0.8896 0.8895 0.8897 0.8948 0.8946 0.8946 0.8947 0.8999 0.8996 0.8996

9、0.8998 0.9049 0.9047 0.9047 0.9048 0.9099 0.9097 0.9097 0.9098 0.9149 0.9147 0.9147 0.9148 0.9199 0.9198 0.9198 0.9199 0.9249 0.9248 0.9248 0.9249 0.9299 0.9298 0.9298 0.9299 0.9349 0.9348 0.9348 0.9349 0.9399 0.9399 0.9399 0.9399 0.9450 0.9449 0.9449 0.9449 0.9500 0.9499 0.9499 0.9499 0.9550 0.9549

10、 0.9549 0.9549 0.9600 0.9599 0.9599 0.9600 0.9650 0.9649 0.9649 0.9650 0.9700 0.9699 0.9699 0.9700 0.9750 0.9750 0.9750 0.9750 0.9800 0.9800 0.9800 0.9800 0.9850 0.9850 0.9850 0.9850 0.9900 0.9900 0.9900 0.9900 0.9950 0.9950 0.9950 0.9950達(dá)到相同精度j迭代的迭代次數(shù)為： 4024達(dá)到相同精度g-s迭代的迭代次數(shù)為：2000達(dá)到相同精度sor迭代的迭代次數(shù)為：

11、478sor迭代最佳松弛因子：1.7000由結(jié)果可見對于此題達(dá)到相同精度迭代次數(shù)sor迭代<g-s迭代<j迭代練習(xí)題2：設(shè)，對于線性方程組建立迭代法（1）求出的范圍使迭代法收斂，（2）求出最優(yōu)使迭代法的漸進(jìn)收斂速度最大。解：迭代矩陣 b=記 (=1,2,3,n)為a的特征值， 為a的最大和最小的特征值a對稱正定，其特征值為正，>0又b=所以b的特征值為所以1解得0 又為a的最大特征值所以使迭代法收斂的的范圍是0(2)因?yàn)榈仃嚨淖V半徑越小，迭代收斂越快.所以使迭代法的漸進(jìn)收斂速度最大,最優(yōu)松弛因子練習(xí)題3：對某電路的分析，可以歸結(jié)為下面的線性方程組，其中r(1,1)=31；

12、r(1,2)=-13；r(1,6)=-10；r(2,1)=-13；r(2,2)=35；r(2,3)=-9；r(2,5)=-11；r(3,2)=-9；r(3,3)=31；r(3,4)=-10；r(4,3)=-10；r(4,4)=79；r(4,5)=-30；r(4,9)=-9；r(5,4)=-30；r(5,5)=57；r(5,6)=-7；r(5,8)=-5；r(6,5)=-7；r(6,6)=47；r(6,7)=-30；r(7,6)=-30；r(7,7)=41；r(8,5)=-5；r(8,8)=27；r(8,9)=-2；r(9,4)=-9；r(9,8)=-2；r(9,9)=29；v=(-15, 27

13、, -23, 0, -20, 12, -7, 7, 10)t其余元素為零。要求：（1）用高斯列主元消去法求解該方程組；（2）用sor方法迭代求解該方程組，誤差，近似最佳松弛因子由試算法確定，設(shè)解：輸出結(jié)果為sor方法迭代法近似最佳松弛因子為w=1.18,迭代次數(shù)為n=12高斯列主元消去法與sor方法迭代比較: 高斯法值 sor法值 -0.2892 -0.2892 0.3454 0.3454 -0.7128 -0.7128 -0.2206 -0.2206 -0.4304 -0.4304 0.1543 0.1543 -0.0578 -0.0578 0.2011 0.2011 0.2902 0.29

14、02第四章作業(yè)練習(xí)題1：分別用不動點(diǎn)迭代法和牛頓迭代法求解方程其中初值，計算精度為。解：不動點(diǎn)迭代法使用進(jìn)行迭代f=inline('-0.9*x2+1.7*x+2.5','x');df=inline('-1.8*x+1.7','x');x0=5;e=1e-6;n1=0;x1=17/9+25/9/x0;n1=n1+1;while (norm(x1-x0)>=e)&(n1<=1000) x0=x1; disp(n1,x1); x1=17/9+25/9/x0; n1=n1+1;endx_b=x1x0=5;e=1e-6

15、;n=0;x1=x0-feval(f,x0)/feval(df,x0);n=n+1;while (norm(x1-x0)>=e)&(n<=1000) x0=x1;x1=x0-feval(f,x0)/feval(df,x0);n=n+1;end%輸出結(jié)果clc;fprintf('不動點(diǎn)迭代次數(shù)為n=%g',n1);fprintf('結(jié)果為x=%gn',x_b);fprintf('牛頓迭代迭代次數(shù)為n=%g，結(jié)果為',n);fprintf('x=%gn',x1);結(jié)果：不動點(diǎn)迭代次數(shù)為n=15結(jié)果為x=2.8601

16、牛頓迭代迭代次數(shù)為n=5，結(jié)果為x=2.8601練習(xí)題2：分別用不動點(diǎn)迭代法、牛頓迭代法和逆broyden秩1方法求解方程組并對結(jié)果進(jìn)行比較。其中逆broyden秩1方法的初始矩陣分別取i和，取初值，計算精度。解：迭代次數(shù) x1x2x3不動點(diǎn)迭代17.00000.90551.08520.6722牛頓迭代 4.0000 0.90551.08520.6722逆broyden秩1方法(h0=i) 16.0000 0.90551.08520.6722逆broyden秩1方法(h0=f(x0)9.0000 0.90551.08520.6722 練習(xí)題3：理想與非理想氣體定律考慮固定容器中一定量的氣體的壓

17、強(qiáng)、體積和溫度之間，有如下定律：理想氣體定律其中p為壓強(qiáng)，v為體積，n為摩爾數(shù)，r為普適氣體常數(shù)，t為絕對溫度；非理想氣體的van der waals方程其中稱為摩爾體積，a, b是與具體氣體有關(guān)的經(jīng)驗(yàn)常數(shù)。在某化工設(shè)計中，需要精確估計二氧化碳和氧氣在不同溫度和壓強(qiáng)下的摩爾體積，以選擇適當(dāng)?shù)娜萜鳎渲懈鲄?shù)分別為r=0.082054 l atm/(mol k)；二氧化碳：a=3.592，b=0.04267；氧 氣：a=1.360，b=0.03183；設(shè)計壓強(qiáng)分別為1，10，50，100 atm；溫度分別為400，600，800 k。(1) 用van der waals方程計算在不同條件下的摩爾

18、體積；(2) 將上述計算結(jié)果與理想氣體的計算結(jié)果進(jìn)行比較。解：根據(jù)題意，利用牛頓迭代法求解問題(1)，對于不同的氣體，分別輸出結(jié)果：clc;clear;disp('結(jié)果輸出4*3矩陣，1到4行壓力分別為1、10、50、100atm，1至3列溫度分別為400、600、800k')disp('用van der waals方程計算得到的摩爾體積v(單位為mol/l)結(jié)果為：')for m=1:2;if m=1 a=1.360;b=0.03183;else a=3.592;b=0.04267;endp=1,10,50,100;r=0.082054;t=400,600,8

19、00;x0=1;e=1e-8;v=zeros(4,3); for i=1:4 for j=1:3 f=inline('(p+a/x2)*(x-b)-r*t','x','a','b','p','r','t'); df=inline('p-a/x2+2*a*b/x3','x','a','b','p'); p=p(i);a=a;b=b;t=t(j);r=r; n=0;x1=x0-f(x0,a,b,p,r,t)/df(x0,a,b,p);n=n+1;while (norm(x1-x0)>=e)&(n<=1000) x0=x1; x1=x0-f(x0,a,b,p,r,t)/df(x0,a,b,p); n=n+1;end r=sqrt(n