計算機(jī)在材料科學(xué)與工程中的應(yīng)用全冊配套最完整精品課件2

1、計算機(jī)在材料科學(xué)與工程中的應(yīng)用計算機(jī)在材料科學(xué)與工程中的應(yīng)用全冊配套最完整精品課件全冊配套最完整精品課件2 2計算機(jī)在材料科學(xué)與工程中的應(yīng)用課程基本情況 教學(xué)目的 教學(xué)內(nèi)容及安排 教學(xué)參考資料 說明教學(xué)目的要求教學(xué)目的要求介紹計算機(jī)技術(shù)在材料科學(xué)與工程領(lǐng)域應(yīng)用基本概況；學(xué)習(xí)將計算機(jī)技術(shù)用于解決材料科學(xué)中實際問題的思路、方法與手段；重點(diǎn)學(xué)習(xí)計算機(jī)數(shù)值模擬技術(shù)在材料加工過程中的應(yīng)用，使同學(xué)們初步掌握計算機(jī)技術(shù)在專業(yè)領(lǐng)域應(yīng)用的基本知識、 相關(guān)數(shù)學(xué)方法以及有關(guān)軟件的基本使用方法；開 拓同學(xué)們的思路和視野，培養(yǎng)同學(xué)們的創(chuàng)新能力課程教學(xué)內(nèi)容及安排課程教學(xué)內(nèi)容及安排 (24+16=40) 1周 1章緒論（1

2、） 1周 2章材料科學(xué)與工程研究中的數(shù)據(jù)處理（3）建?；A(chǔ) 2周 3章材料科學(xué)與工程研究中的數(shù)學(xué)模型與數(shù)值計算（4）建模方法步驟 3周 4章材料科學(xué)與工程中典型物理場的數(shù)值模擬（4）典型模型的建立 4周 5章相圖計算（4） 5周 6章人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)與專家系統(tǒng)及在材料科學(xué)與工程中的應(yīng)用（4） 預(yù)測模型建立 6周 材料成形過程中的計算機(jī)模擬Deform軟件應(yīng)用上機(jī)實驗內(nèi)容及安排上機(jī)實驗內(nèi)容及安排 3周 實驗1 數(shù)據(jù)處理應(yīng)用實踐1Excel的應(yīng)用 3周 實驗2 數(shù)據(jù)處理應(yīng)用實踐2Origin的應(yīng)用 4周 實驗3 常用數(shù)學(xué)分析方法應(yīng)用實踐 4周 實驗4 溫度場的模擬計算實踐 5周 實驗5 濃度場的模擬計

3、算實踐 5周 實驗6 相圖計算軟件的應(yīng)用實踐 6周 實驗7 物相分析軟件應(yīng)用實踐 6周 實驗8 人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)應(yīng)用實踐教學(xué)參考資料教學(xué)參考資料 教材：教材：u計算機(jī)在材料工程中的應(yīng)用，湯愛濤等主編，重大出版社，2008 主要教學(xué)參考資料：主要教學(xué)參考資料：u計算機(jī)在材料熱加工領(lǐng)域中的應(yīng)用，李英民等主編， 機(jī)械工業(yè)出版社，2001u計算機(jī)在材料科學(xué)與工程中的應(yīng)用，曾令可等主編， 武漢理工大學(xué)出版社，2004有關(guān)事宜說明有關(guān)事宜說明一、任課教師信息一、任課教師信息主講教師：王柯；電話E-mail：study_ 輔導(dǎo)教師：吳明玉（研究生）；電話E-m

4、ail：二、教學(xué)相關(guān)安排：二、教學(xué)相關(guān)安排：實驗課時間：3-6周；周二、四：9-10節(jié)地點(diǎn)： A區(qū)綜合大樓324室答疑安排： 待定(協(xié)商)三、成績評定方法：三、成績評定方法：課程成績由平時成績30%和考試成績70%組成；平時成績(平時作業(yè)、實驗報告、學(xué)習(xí)態(tài)度、表現(xiàn)、能力) 。計算機(jī)在材料科學(xué)與工程中的應(yīng)用計算機(jī)在材料科學(xué)與工程中的應(yīng)用第一章第一章 緒論緒論材料材料是用是用以制造有以制造有用物件的用物件的物質(zhì)物質(zhì)材料材料是人類社會是人類社會發(fā)展的發(fā)展的里程碑里程碑，是人類生產(chǎn)和生是人類生產(chǎn)和生活水平提高的活水平提高的物物質(zhì)基礎(chǔ)質(zhì)基礎(chǔ)，是現(xiàn)代，是現(xiàn)代文明進(jìn)步的文明進(jìn)步的重要重要標(biāo)志標(biāo)志和發(fā)展高新和

5、發(fā)展高新技術(shù)的技術(shù)的基礎(chǔ)和先基礎(chǔ)和先導(dǎo)。導(dǎo)。石器時代石器時代銅器時代銅器時代鐵器時代鐵器時代u 當(dāng)代文明三大支柱（當(dāng)代文明三大支柱（20世紀(jì)世紀(jì)60年年代說法）：代說法）：材料材料、能源和信息、能源和信息u 新技術(shù)革命主要標(biāo)志（新技術(shù)革命主要標(biāo)志（ 20世紀(jì)世紀(jì)70年代說法年代說法）：）：新材料新材料、信息、信息技術(shù)和生物技術(shù)技術(shù)和生物技術(shù)1.1.1 材料的作用與分類1.1 材料科學(xué)與工程（MSE）第一章 緒論材材料料的的分分類類金屬材料金屬材料無機(jī)非金屬材料無機(jī)非金屬材料有機(jī)高分子材料有機(jī)高分子材料復(fù)合材料復(fù)合材料結(jié)構(gòu)材料結(jié)構(gòu)材料功能材料功能材料建筑材料建筑材料能源材料能源材料電子材料電子材

6、料耐火材料耐火材料醫(yī)用材料醫(yī)用材料耐火材料耐火材料英 馬克米奧多尼克 著；賴盈滿 譯1.1 材料科學(xué)與工程（MSE）材料的作用與分類研究材料組成、結(jié)構(gòu)、性能、制備工藝和使用性能以研究材料組成、結(jié)構(gòu)、性能、制備工藝和使用性能以及它們之間相互關(guān)系的科學(xué)。及它們之間相互關(guān)系的科學(xué)。1.1 材料科學(xué)與工程（MSE）MSE的研究內(nèi)容1.1.2 MSE的研究內(nèi)容Source: Materials Science and Engineering for the 1990s, NRC, 1989成分成分工藝工藝組織結(jié)構(gòu)組織結(jié)構(gòu)材料性能材料性能.使用性能使用性能四個要素四個要素 MSE特點(diǎn)：一門發(fā)展不成熟的學(xué)科

7、一門發(fā)展不成熟的學(xué)科，它的研究很大程，它的研究很大程度依賴于實驗和經(jīng)驗的積累，系統(tǒng)的研究材度依賴于實驗和經(jīng)驗的積累，系統(tǒng)的研究材料還有一個很長的過程。料還有一個很長的過程。多學(xué)科交叉的新興科學(xué)多學(xué)科交叉的新興科學(xué)。它與許多基礎(chǔ)學(xué)科有著。它與許多基礎(chǔ)學(xué)科有著不可分割的聯(lián)系，如固體物理學(xué)、電子學(xué)、光學(xué)、不可分割的聯(lián)系，如固體物理學(xué)、電子學(xué)、光學(xué)、聲學(xué)、量子化學(xué)、數(shù)學(xué)與聲學(xué)、量子化學(xué)、數(shù)學(xué)與計算機(jī)計算機(jī)等。等。1.1 材料科學(xué)與工程（MSE）MSE的研究內(nèi)容計算機(jī)硬件條件的飛速發(fā)展為計算機(jī)在材料科學(xué)中的廣泛應(yīng)用提供了計算機(jī)硬件條件的飛速發(fā)展為計算機(jī)在材料科學(xué)中的廣泛應(yīng)用提供了有力保證。有力保證。Mo

8、ores Law (1965)：計算機(jī)的CPU速度每1.5年增加一倍。圖中電腦處理器中晶體管數(shù)目的增長曲線符合摩爾定律1.2 計算機(jī)在MSE中的應(yīng)用第一章 緒論 計算機(jī)在MSE的應(yīng)用非常廣泛:材料科學(xué)是研究材料的組成與結(jié)構(gòu)、合成與制備、性能與應(yīng)用以及它們之間相互關(guān)系的一門科學(xué),在所有的這些方面,計算機(jī)都發(fā)揮了非常重要的作用。1.2.1 材料科學(xué)研究中的計算機(jī)模擬 計算機(jī)模擬計算機(jī)模擬是一種根據(jù)實際體系在計算機(jī)上進(jìn)行的模擬實驗?zāi)M實驗。計算機(jī)模擬技術(shù)的應(yīng)用：應(yīng)力應(yīng)變 微觀組織變化與描述（分子、原子、電子）溫度場 濃度場（組織場）應(yīng)力場 流場磁場等相圖計算1.2 計算機(jī)在MSE中的應(yīng)用數(shù)學(xué)模型建立

9、是一種具有創(chuàng)新性的科學(xué)方法,它將現(xiàn)實問題簡化, 抽象為一個數(shù)學(xué)問題或數(shù)學(xué)模型, 再采用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)方法求解, 進(jìn)而對現(xiàn)實問題進(jìn)行定量的分析和研究, 最終達(dá)到解決實際問題的目的。 網(wǎng)格劃分網(wǎng)格劃分有限元模擬人腳走路受力情況有限元模擬人腳走路受力情況有限元方法有限元方法1.2 計算機(jī)在MSE中的應(yīng)用計算機(jī)模擬圖中是一個大型鋼錠的充型過程模擬，其中用到專業(yè)模擬軟件圖中是一個大型鋼錠的充型過程模擬，其中用到專業(yè)模擬軟件view cast，從動畫中可以清楚的看到整個鑄件充型過程。從動畫中可以清楚的看到整個鑄件充型過程。 1.2 計算機(jī)在MSE中的應(yīng)用計算機(jī)模擬鑄造模擬鑄造模擬圖中顯示了計算機(jī)模擬的不同時刻

10、的凝固枝晶形貌圖，不同的顏色代表不同的濃度分布。這樣顯微組織形核、生長等過程也將實現(xiàn)“可視化”！ 1.2 計算機(jī)在MSE中的應(yīng)用計算機(jī)模擬鍛造模擬鍛造模擬 鍛造加工的悠久歷史鍛造加工的悠久歷史鍛造鍛造=打鐵？打鐵？如何加工大型巨輪中的大型曲軸曲拐呢？如何加工大型巨輪中的大型曲軸曲拐呢？1.2 計算機(jī)在MSE中的應(yīng)用計算機(jī)模擬曲拐加工的工廠試制和計算機(jī)模擬曲拐加工的工廠試制和計算機(jī)模擬 1.2 計算機(jī)在MSE中的應(yīng)用計算機(jī)模擬其它加工過程的模擬其它加工過程的模擬 鉆孔鉆孔橫楔軋橫楔軋晶粒演化晶粒演化 齒輪架齒輪架感應(yīng)加熱感應(yīng)加熱連桿連桿 1.2 計算機(jī)在MSE中的應(yīng)用計算機(jī)模擬1.2.2 材料與

11、工藝過程的優(yōu)化及自動控制 材料加工技術(shù)的發(fā)展主要體現(xiàn)在控制技術(shù)的飛速發(fā)展, 微機(jī)和可編程控制器在材料加工過程中的應(yīng)用正體現(xiàn)了這種發(fā)展和趨勢。在材料加工過程中利用計算機(jī)技術(shù)不僅能減輕勞動強(qiáng)度, 更能改善產(chǎn)品的質(zhì)量和精度, 提高產(chǎn)量。 在材料的制備中, 可以對過程進(jìn)行精確的控制,例如材料表面處理熱處理中的爐溫控制等。計算機(jī)技術(shù)和微電子技術(shù)、自動控制技術(shù)相結(jié)合, 使工藝設(shè)備、檢測手段的準(zhǔn)確性和精確度等大大提高。1.2 計算機(jī)在MSE中的應(yīng)用計算機(jī)控制技術(shù)日照鋼鐵軋制車間1.2 計算機(jī)在MSE中的應(yīng)用計算機(jī)控制技術(shù)1.2.3 計算機(jī)用于數(shù)據(jù)和圖像處理材料科學(xué)研究在實驗中可以獲得大量的實驗數(shù)據(jù), 借助計

12、算機(jī)的存儲設(shè)備, 可以大量保存數(shù)據(jù), 并對這些數(shù)據(jù)進(jìn)行處理計算、繪圖, 擬合分析和快速查詢等。利用計算機(jī)的圖像處理和分析功能就可以研究材料的結(jié)構(gòu), 從圖像中獲取有用的結(jié)構(gòu)信息, 如晶體的大小, 分布, 聚集方式等, 并將這些信息和材料性能建立相應(yīng)的聯(lián)系, 用來指導(dǎo)結(jié)構(gòu)的研究。1.2 計算機(jī)在MSE中的應(yīng)用數(shù)據(jù)和圖像處理1.2.4 相圖計算及其軟件相圖是描述相平衡系統(tǒng)的重要幾何圖形, 通過相圖可以獲得某些熱力學(xué)資料。反之, 由熱力學(xué)數(shù)據(jù)建立一定的模型也可計算和繪制相圖。用計算機(jī)來計算和繪制相圖有了廣泛的應(yīng)用。 Thermo-Calc包括物質(zhì)和溶液數(shù)據(jù)庫、熱力學(xué)計算系統(tǒng)和熱力學(xué)評估系統(tǒng)1.2 計算

13、機(jī)在MSE中的應(yīng)用相圖計算材料性能的測定大多使用專門的測試設(shè)備和儀表。如果使用計算機(jī)來控制整個系統(tǒng)，使其協(xié)調(diào)運(yùn)行，進(jìn)行數(shù)據(jù)采集和數(shù)據(jù)處理，通常使整個系統(tǒng)的功能得到飛躍性增強(qiáng)。計算機(jī)化得材料性能測試系統(tǒng)(CAT系統(tǒng))是提高材料研究水平的重要手段。由于計算機(jī)靈活的編程方式、強(qiáng)大的數(shù)據(jù)處理能力和很高的運(yùn)算速度，使得CAT系統(tǒng)可以實現(xiàn)手動方式不能完成的許多測試工作，提高了材料試驗研究的水平和測試精度。1.2.5 計算機(jī)技術(shù)用于材料性能表征與檢測1.2 計算機(jī)在MSE中的應(yīng)用材料表征電子顯微鏡電子顯微鏡1.2 計算機(jī)在MSE中的應(yīng)用材料表征金相顯微鏡金相顯微鏡1.2 計算機(jī)在MSE中的應(yīng)用材料表征X射線

14、衍射儀射線衍射儀1.2 計算機(jī)在MSE中的應(yīng)用材料表征1.3 主要使用的商業(yè)軟件第一章 緒論 通用類 專業(yè)類一、通用軟件一、通用軟件1 1、辦公類、辦公類 Office2 2、數(shù)據(jù)處理類、數(shù)據(jù)處理類 Origin3 3、計算模擬類、計算模擬類Matlab有限元分析軟件（ANSYS、MARC，國產(chǎn)有限元軟件 FEPG等135個有限元分析軟件）Flow3D4 4、輔助設(shè)計測試、輔助設(shè)計測試 AutoCAD1.3 主要使用的商業(yè)軟件二、專業(yè)類二、專業(yè)類1.1.計算模擬類計算模擬類 熱力學(xué)、相圖計算類軟件 第一原理計算類 組織模擬類 材料加工類Deform2. 2. 輔助設(shè)計測試分析類輔助設(shè)計測試分析

15、類 輔助設(shè)計 輔助測試相分析軟件Jade1.3 主要使用的商業(yè)軟件計算機(jī)在材料科學(xué)與工程中的應(yīng)用計算機(jī)在材料科學(xué)與工程中的應(yīng)用第二章第二章 材料科學(xué)與工過程中的材料科學(xué)與工過程中的數(shù)據(jù)處理數(shù)據(jù)處理GH4169高溫合金固溶處理后微觀組織的SEM照片: (a) 1233 K, 30 min; (b) 1253 K, 30 min; (c) 1273 K, 30 min; (d) 1293 K, 30 min; (e) 1233 K, 60 min; (f) 1273 K, 60 min.晶粒尺寸與固溶溫度和固溶晶粒尺寸與固溶溫度和固溶時間之間的數(shù)學(xué)關(guān)系？時間之間的數(shù)學(xué)關(guān)系？引言K. Wang, M

16、.Q. Li, C. Li, and austenite phases evolution and model in solution treatment of superalloy GH4169, Mater Sci Tech, 29(2013) 346-350.GH4169高溫合金固溶處理過程中高溫合金固溶處理過程中 和和 相的演變和模型研究相的演變和模型研究引言納米鋁片CNTs/Al復(fù)合粉末冷壓/燒結(jié)球形鋁粉仿生CNTs/Al熱擠壓 高強(qiáng)、高韌高效、宏量制備仿生仿生“疊層疊層”Al基復(fù)合材料制備新技術(shù)基復(fù)合材料制備新技術(shù)仿生疊層組織性能加工成形熱處理引言燒結(jié)態(tài)燒結(jié)態(tài)CNTs/Al-4Cu

17、熱變形行為熱變形行為流變應(yīng)力流變應(yīng)力-應(yīng)變曲線應(yīng)變曲線相同應(yīng)變速率不同變形溫度下的應(yīng)力相同應(yīng)變速率不同變形溫度下的應(yīng)力-應(yīng)變曲線應(yīng)變曲線流變應(yīng)力與變形工藝參數(shù)之間的數(shù)學(xué)關(guān)系？流變應(yīng)力與變形工藝參數(shù)之間的數(shù)學(xué)關(guān)系？引言數(shù)據(jù)特點(diǎn)量大主要內(nèi)容：2.1 數(shù)據(jù)處理基本理論 最小二乘法 回歸分析方法2.2 Excel和Origin軟件的應(yīng)用整理、歸納計算、繪圖、回歸分析規(guī)律性數(shù)學(xué)關(guān)系2.1 數(shù)據(jù)處理的基本理論2.1.1、回歸分析與最小二乘法回歸分析與最小二乘法分類：按照回歸模型中變量個數(shù)分（一元回歸，多元回歸）。按照回歸曲線的形態(tài)分（線性回歸，非線性回歸）。回歸分析回歸分析（regression anal

18、ysis)：是確定兩種或兩種以上變量間相互依賴的定量關(guān)系的一種統(tǒng)計分析方法。即即：對具有相關(guān)關(guān)系的現(xiàn)象，根據(jù)其關(guān)系形態(tài)，選擇一個合適的數(shù)學(xué)模型y=f(x)，用來近似地表示變量間的平均變化關(guān)系的一種統(tǒng)計方法。2.1 數(shù)據(jù)處理的基本理論2.1.1、回歸分析與最小二乘法回歸分析與最小二乘法最小二乘法原理圖,1,2,iix yinL2211()( )nniiiiiQyyyf x()yfx尋求規(guī)律：其中f(x)是多項式，計算多項式系數(shù)，使得殘差平方和Q最小試驗數(shù)據(jù)實測值與模型計算值之差為殘差最小二乘法殘差平方和：已知試驗數(shù)據(jù)對2.1 數(shù)據(jù)處理的基本理論2.1.1、回歸分析與最小二乘法回歸分析與最小二乘法

19、求解 系數(shù)的理論基礎(chǔ)()yfx一元線性回歸的一般步驟：一元線性回歸的一般步驟：將n個觀察單位的變量對(x，y)在直角坐標(biāo)系中繪 制散點(diǎn)圖，若呈直線趨勢，則可擬合直線回歸方 程。求回歸方程的回歸系數(shù)和截矩。（1）寫出回歸方程: ，其中a, b稱為回歸系數(shù)；（2）畫出回歸直線；（3）對回歸方程進(jìn)行假設(shè)檢驗（相關(guān)分析）。 yabx一元線性回歸盡管較為簡單，但非常重要，是回歸分析的基礎(chǔ)。2.1 數(shù)據(jù)處理的基本理論2.1.2、一元線性回歸 yabx2.1 數(shù)據(jù)處理的基本理論2.1.2、一元線性回歸0)(21niiibxayaQ0)(21niiiibxayxbQxxxyllbxbya,niiniiynyx

20、nx111,1)(1yyxxliniixyniixxxxl12_)(其中：其中：min)()(1221niiiniiibxayyyQ回歸系數(shù)的求解計算殘差平方和根據(jù)最小二乘原 理和極值原理有：2.1 數(shù)據(jù)處理的基本理論2.1.2、一元線性回歸(1)回歸平方和計算 最小二乘法的原則是使回歸值與測量值的殘差平方和最小，但它不能肯定所得到的回歸方程是否能夠反映實際情況，是否具有實用價值。為了解決這些問題，尚需進(jìn)行統(tǒng)計檢驗。2.1 數(shù)據(jù)處理的基本理論2.1.2、一元線性回歸回歸分析的顯著性檢驗 殘余平方和殘余平方和Q：表示回歸方程的擬合誤差由試驗誤差及其它因素引起自由度：fQ=n-m-1=n-2回歸平

21、方和回歸平方和U：表示自變量x1,x2,xn變化所引起的y的波動自由度fU=m(m為自變量個數(shù))=1離差平方和（總平方和）離差平方和（總平方和）S：表示實驗范圍內(nèi)，yi值總波動變化大小自由度f=fQ+fU=n-1當(dāng)全部實驗點(diǎn)落在回歸線之上時， 如y與x之間不存在線性關(guān)系，則由此可見， 的大小反映了自變量x與因變量y之間的相關(guān)程度。2.1 數(shù)據(jù)處理的基本理論2.1.2、一元線性回歸0,QUS0,UQSU2.1 數(shù)據(jù)處理的基本理論2.1.2、一元線性回歸回歸分析的顯著性檢驗 (2) F F檢驗檢驗這是兩個方差之比，它服從自有度為m及n-m-1的F分布， 即：/ (nm1)UmFQ/(m , n1)

22、/ (nm1)UmFFmQ要檢驗y與x是否存在線性關(guān)系，就是要檢驗假設(shè)0:0H當(dāng)假設(shè)成立時，則y與x無線性關(guān)系，否則認(rèn)為線性關(guān)系顯著。檢驗假設(shè)H0應(yīng)用統(tǒng)計量具體如下： 當(dāng) 時，回歸方程是高度顯著的； 當(dāng) 時，所建立的回歸方程是顯著的；)2,1()2,1(05.001.0nFFnF)2,1(05.0nFF2.1 數(shù)據(jù)處理的基本理論2.1.2、一元線性回歸用此統(tǒng)計量F可檢驗回歸的總體效果當(dāng)當(dāng) 時，則在顯著性水平時，則在顯著性水平 下，所建立的回下，所建立的回歸方程是顯著的。歸方程是顯著的。(1,2 )FFn回歸分析的顯著性檢驗 (2) F F檢驗檢驗 由于其他因素和實驗誤差的影響，回歸系數(shù)a與常數(shù)

23、b的波動，各實驗點(diǎn)不一定都落在回歸線上，圍繞回歸線有一定的離散，其離散性的大小可用殘差平方和Qe與殘余方差Se2或殘余標(biāo)準(zhǔn)偏差Se來表示，即: 在某個給定的x所對應(yīng)回歸值y的100（1）置信區(qū)間為： 22eQSn2.1 數(shù)據(jù)處理的基本理論2.1.2、一元線性回歸回歸方程的精度與置信區(qū)間 202211(2)ceniixxytnsnxx 置信區(qū)間估計(例題分析)【例例】求出工業(yè)總產(chǎn)值的點(diǎn)估計為求出工業(yè)總產(chǎn)值的點(diǎn)估計為100100億元時，工業(yè)總產(chǎn)值億元時，工業(yè)總產(chǎn)值95%95%置信水平下的置信區(qū)間置信水平下的置信區(qū)間. . 已知已知n n=16=16 , s, se e=2.457=2.457 解：

24、解：t t (16-2)=2.1448 (16-2)=2.1448 (查表獲得查表獲得) ) 置信區(qū)間為置信區(qū)間為當(dāng)工業(yè)總產(chǎn)值的點(diǎn)估計為100億元時，工業(yè)總產(chǎn)值的平均值在97.9167億元到102.0833億元之間。21(7357.25)1002.14482.457162645 097.9167()102.0833E y2.1 數(shù)據(jù)處理的基本理論2.1.2、一元線性回歸-6.6-6.4-6.2-6.0-5.8-5.6-5.40.40.60.81.01.21.41.61.82.02.2Schild plot for antagonist X/agonist Y Log(DR-1) Linear

25、Fit of SCHILD_B Upper 95% Confidence Limit Lower 95% Confidence LimitLog(DR-1)Log(Antagonist X,M)利用回歸直線進(jìn)行預(yù)報2.1 數(shù)據(jù)處理的基本理論2.1.2、一元線性回歸 例: 下表是軸承鋼經(jīng)過真空處理前后鋼液中錳的含量?，F(xiàn)在我們來研究真空處理后成品軸承鋼中錳含量(y)與真空處理前鋼液中錳含量(x)的相關(guān)關(guān)系。繪制實驗數(shù)據(jù)散點(diǎn)圖，初步判斷有關(guān)線性關(guān)系,可以初步判斷x與y之間存在著線性趨勢。2.1 數(shù)據(jù)處理的基本理論2.1.2、一元線性回歸由此得回歸方程：y=0.085934+0.70869x 2.1

26、數(shù)據(jù)處理的基本理論2.1.2、一元線性回歸應(yīng)用直線回歸的注意事項：作回歸分析要有實際意義，不能把毫無關(guān)聯(lián)的兩種現(xiàn)象，隨意進(jìn)行回歸分析，忽視事物現(xiàn)象間的內(nèi)在聯(lián)系和規(guī)律；如對兒童身高與小樹的生長數(shù)據(jù)進(jìn)行回歸分析既無道理也無用途。另外，即使兩個變量間存在回歸關(guān)系時，也不一定是因果關(guān)系，必須結(jié)合專業(yè)知識作出合理解釋和結(jié)論。直線回歸分析的資料，一般要求應(yīng)變量Y是來自正態(tài)總體的隨機(jī)變量，自變量X可以是正態(tài)隨機(jī)變量，也可以是精確測量和嚴(yán)密控制的值。若稍偏離要求時，一般對回歸方程中參數(shù)的估計影響不大，但可能影響到標(biāo)準(zhǔn)差的估計，也會影響假設(shè)檢驗時P值的真實性。進(jìn)行回歸分析時，應(yīng)先繪制散點(diǎn)圖(scatter pl

27、ot)。若提示有直線趨勢存在時，可作直線回歸分析；若提示無明顯線性趨勢，則應(yīng)根據(jù)散點(diǎn)分布類型，選擇合適的曲線模型(curvilinear modal)，經(jīng)數(shù)據(jù)變換后，化為線性回歸來解決。一般說，不滿足線性條件的情形下去計算回歸方程會毫無意義，最好采用非線性回歸方程的方法進(jìn)行分析。繪制散點(diǎn)圖后，若出現(xiàn)一些特大特小的離群值（異常點(diǎn)），則應(yīng)及時復(fù)核檢查，對由于測定、記錄或計算機(jī)錄入的錯誤數(shù)據(jù)，應(yīng)予以修正和剔除。否則，異常點(diǎn)的存在會對回歸方程中的系數(shù)a、b的估計產(chǎn)生較大影響?；貧w直線不要外延。直線回歸的適用范圍一般以自變量取值范圍為限，在此范圍內(nèi)求出的估計值稱為內(nèi)插（interpolation）；超過

28、自變量取值范圍所計算的稱為外延（extrapolation）。若無充足理由證明，超出自變量取值范圍后直線回歸關(guān)系仍成立時，應(yīng)該避免隨意外延。2.1 數(shù)據(jù)處理的基本理論2.1.2、一元線性回歸 冪函數(shù) 指數(shù)函數(shù)1 指數(shù)函數(shù)2 對數(shù)函數(shù) 雙曲線函數(shù) S形曲線函數(shù))0( ,aaxyb) 0( ,aaeybx) 0; 0( ,/axaeyxbxbaylg)0( ,11axbay) 0( ,1abeayx轉(zhuǎn)換為一元線性關(guān)系2.1 數(shù)據(jù)處理的基本理論2.1.2、一元線性回歸可轉(zhuǎn)化為一元線性回歸的其它一元非線性回歸eg.:指數(shù)函數(shù)(exponential function) bXYaek對式兩邊取對數(shù)，得l

29、ny=lna+bx b0時，y隨x增大而增大；br/v的條件下產(chǎn)生的水波才是有效的，因此有2rdEI trdrv（3.49）積分得2 3023vtrEI trdrIv tv（3.50）代入可得2 331Iv tce同樣的方法可用來處理三維晶球，三維晶球，這時把圓環(huán)確定的有效面積增量用球殼確定的有效體積增量 來代替，對于同時成核體系（N為單位體積的晶核數(shù)），則24 r dr23 30443vtENr drNv t（3.51）（3.52）3.2 材料科學(xué)與工程研究中數(shù)學(xué)模型類比分析法（2）晶核不斷形核的情況）晶核不斷形核的情況雨滴不斷落入雨滴不斷落入同時形核同時形核：同樣的方法可用來處理三維晶球，

30、三維晶球，這時把圓環(huán)確定的有效面積增量用球殼確定的有效體積增量 來代替，對于同時成核體系（N為單位體積的晶核數(shù)），則24 r dr23 30443vtENr drNv t（3.52）3.2 材料科學(xué)與工程研究中數(shù)學(xué)模型類比分析法三維形核三維形核不斷不斷成核成核體系體系：定義I為單位時間、單位體積中產(chǎn)生的晶核數(shù)，則23 4043vtrEI tr drIv tv將上述情況進(jìn)行歸納，可用一通式可用一通式：1nktce式中，k是同核密度及晶體一維生長速度有關(guān)的常數(shù)，稱為結(jié)晶速度倍數(shù)；n是與成核方式及核結(jié)晶生長方式有關(guān)的常數(shù)。該式稱為Avrami方程。（3.53）（3.54） 模型檢驗?zāi)Ｐ蜋z驗： 圖3.

31、4為尼龍1010等溫結(jié)晶體數(shù)據(jù)的Avrami處理結(jié)果，可見在結(jié)晶前期實驗同理論相符，在結(jié)晶的最后部分同理論發(fā)生了偏離。 解釋解釋：因為生長著的球晶面相互接觸后，接觸區(qū)的增長即停止。在前期球晶尺寸較小，非晶部分多，球晶之間不致發(fā)生接觸，隨時間延長，球晶增長到滿足相互接觸的體積時，總體的結(jié)晶速度就要降低，Avrami方程將出現(xiàn)偏差。3.2 材料科學(xué)與工程研究中數(shù)學(xué)模型類比分析法3.2 材料科學(xué)與工程研究中數(shù)學(xué)模型數(shù)據(jù)分析法4 數(shù)據(jù)分析法數(shù)據(jù)分析法當(dāng)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)性質(zhì)不大清楚，無法從理論分析中得到系統(tǒng)的規(guī)律，也不便于類比分析，但有若干能表征系統(tǒng)規(guī)律、描述系統(tǒng)狀態(tài)的數(shù)據(jù)可利用時，就可以通過描述系統(tǒng)功能的數(shù)

32、據(jù)分忻來連接系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)模型?；貧w分析是處理這類問題的有利工具。 求一條通過或接近一組數(shù)據(jù)點(diǎn)的曲線，這一過程叫曲線擬合，而表示曲線的數(shù)學(xué)式(稱為回歸方程。求系統(tǒng)回歸方程的一般方法如下： 設(shè)有一未知系統(tǒng)，已測得該系統(tǒng)有n個輸入、輸出數(shù)據(jù)點(diǎn)為3.2 材料科學(xué)與工程研究中數(shù)學(xué)模型數(shù)據(jù)分析法 5 利用利用計算機(jī)軟件計算機(jī)軟件(Origin軟件軟件)建立數(shù)學(xué)模型建立數(shù)學(xué)模型例，在日常生活中時我們常要用熱水，例如我們口渴了要喝開水，冬天洗澡要用熱水，等等。熱水的溫度比周圍環(huán)境的溫度要高，因此熱水和周圍的環(huán)境存在熱傳遞，其溫度會逐漸地下降，直至與環(huán)境的溫度一致。一杯熱水在自然的條件下與周圍的環(huán)境發(fā)生熱傳遞，其

33、溫度的下降有什么規(guī)律？能用數(shù)學(xué)公式表達(dá)嗎？（1）猜想與假設(shè)猜想與假設(shè)：由日常生活獲得的經(jīng)驗：熱水在冬天降溫快，在夏天降溫慢，因此降溫速度跟熱水與環(huán)境的溫差有關(guān)溫差有關(guān)；一杯水比一桶水降溫快，因此速度與熱水的體積有關(guān)體積有關(guān)，體積越小速度就越快。 （2）制定計劃制定計劃：如圖3-4所示,以不同體積的熱水作為探究的對象。將體積分別為50mL、100mL和200mL的水加熱至沸騰，然后利用實驗室的Multilog Pro數(shù)據(jù)采集器和溫度探頭（DT092）對其降溫過程進(jìn)行監(jiān)測，記錄其溫度變化數(shù)據(jù)，以便利用計算機(jī)作進(jìn)一步的分析處理。3.2 材料科學(xué)與工程研究中數(shù)學(xué)模型利用Origin DT029是用感溫

34、半導(dǎo)體電阻制成的溫度傳感器，其外殼是導(dǎo)熱性能極佳的金屬，具有很強(qiáng)的抗化學(xué)腐蝕性能。工作原理：(p57)（3）實驗步驟：1)用量筒量取50mL水并將其注入圓底燒瓶，將水加熱至沸騰。2)將一個溫度傳感器（DT029）連接到Multilog Pro的I/O1端口，用以采集熱水的降溫數(shù)據(jù)；另一個連接到I/O2端口，用以采集環(huán)境的溫度數(shù)據(jù)。開啟數(shù)據(jù)采集器，設(shè)置采樣頻率為1per sec，采樣總數(shù)為10 000。3)將一個探頭置于沸水中，另一個置于實驗裝置旁。約30sec后停止加熱，同時開啟按鈕開始采集數(shù)據(jù)。4)重復(fù)上述步驟依次采集體積為100mL和200mL的熱水的降溫過程溫度變化數(shù)據(jù)。圖3-4 實驗裝

35、置圖3.2 材料科學(xué)與工程研究中數(shù)學(xué)模型利用Origin5)利用Db-lab軟件將實驗數(shù)據(jù)從Multilog Pro下載到計算機(jī)并完成降溫曲線繪制，用科學(xué)計算繪圖軟件Origin對數(shù)據(jù)進(jìn)行數(shù)學(xué)建模。（4）數(shù)據(jù)處理,實驗結(jié)果如圖3-5所示.-100001000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000110002030405060708090100110Temperature/?Time/sec B 50 mL C 100 mL D 200 mL Room Temperature圖圖3-5 熱水降溫曲線熱水降溫曲線3.2 材料科學(xué)與工程研究中數(shù)學(xué)

36、模型利用Origin 從圖3-5可以看出，降溫的初期熱水的溫度高，與環(huán)境的溫差大，曲線很陡，這說明溫差越大降溫速度就越快，與第一個猜想吻合；體積為50mL的熱水的降溫曲線最陡，100mL的次之，200mL的最平，這說明熱水的體積越小降溫越快，體積越大降溫越慢。這與我們的第二個猜想吻合。表3.3是三個不同體積的水實驗的特征數(shù)據(jù)。表表 3.3 實驗特征數(shù)據(jù)實驗特征數(shù)據(jù)起始溫度起始溫度()()過程平均室溫過程平均室溫()() 溫差溫差()()50mL50mL100.08100.0830.9130.9169.1769.17100mL100mL100.31100.3130.6830.6869.6369.

37、63200mL200mL100.23100.2331.2631.2668.9768.973.2 材料科學(xué)與工程研究中數(shù)學(xué)模型利用Origin（5 5）數(shù)學(xué)建模）數(shù)學(xué)建模: :3.2 材料科學(xué)與工程研究中數(shù)學(xué)模型利用Origin 因此A就是熱水與環(huán)境的最大溫差?；谏厦娣治?，可以將數(shù)據(jù)輸入到科學(xué)計算繪圖軟件Origin（version 7.0）中進(jìn)行曲線擬合.如圖3-6所示,擬合的過程如下：在Origin 7.0中打開工作簿中的數(shù)據(jù)（擴(kuò)展名為.xls，其創(chuàng)建的方法是：先由Db-lab輸出一個.csv文件，此文件可以由Microsoft Excel 2000打開，再利用Excel將其保存為Micr

38、ocal Origin 7.0可以處理的.xls文件，或者直接將數(shù)據(jù)復(fù)制到Origin的工作簿中）；分別繪制三組數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖得到三個曲線圖Graph1、Graph2和Graph3，擊活Graph1為當(dāng)前工作窗口。在菜單中選擇Analysis-Non-linear Curve Fit，打開NLSF的Select Function對話框，選擇ExpDec1，單擊Start Fitting，此時分析系統(tǒng)會彈出對話框要求用戶選擇擬合的數(shù)據(jù)，用戶只須單擊active dataset，因為之前已將數(shù)據(jù)擊活；3.2 材料科學(xué)與工程研究中數(shù)學(xué)模型利用Origin1）設(shè)定參數(shù)：從表3.3中將當(dāng)前擬合的相應(yīng)參數(shù)（

39、y0為室溫、A為溫差）輸入到文字框中，將y0、A后的Vary選項的去掉，因為這兩個參數(shù)已經(jīng)經(jīng)過分析確定，無須擬合。2）開始迭代：單擊1 Iter進(jìn)行一次迭代，對應(yīng)于當(dāng)前參數(shù)的理論曲線將顯示在Graph1窗口，多次單擊10 Iter，以使擬合的曲線與數(shù)據(jù)曲線最大程度地吻合，單擊Done完成擬合。三組數(shù)據(jù)擬合的結(jié)果如圖3-7到3-9所示：圖圖3-6 3-6 參數(shù)設(shè)置界面參數(shù)設(shè)置界面3.2 材料科學(xué)與工程研究中數(shù)學(xué)模型利用Origin-100001000200030004000500060007000800030405060708090100110 50mL water ExpDec1 fit of

40、 Data1_BData: Data1_BModel: ExpDec1 Chi2= 2.37856R2= 0.98878 y030.910A169.170t11082.735051.46743Temperature/?Time/sec圖圖3-7 50mL3-7 50mL熱水降溫擬合曲線熱水降溫擬合曲線020004000600080001000030405060708090100110Data: Data1_CModel: ExpDec1 Chi2= 2.70509R2= 0.98793 y030.680A169.630t11582.38941.87956Temperature/Time/sec

41、 100mL waterExp Dec1 fit of data1_C圖圖3-8 100mL3-8 100mL熱水降溫擬合曲線熱水降溫擬合曲線020004000600080001000030405060708090100110Data: Data1_DModel: ExpDec1 Chi2= 4.69825R2= 0.98142 y031.260A168.970t12911.919473.44868Temperature/?Time/sec 200mLwater Exp Dec1 fit of data_1D圖圖3-9 200mL3-9 200mL熱水降溫擬合曲線熱水降溫擬合曲線 三條降溫曲線

42、經(jīng)過擬合，參數(shù)顯示在圖中，表3.4歸納了三條曲線的數(shù)學(xué)模型。如果忽略三組實驗中由于儀器（DT092）誤差而造成的細(xì)微差異，那么y0 和A1 這兩個參數(shù)在三組實驗中完全一致，可見在本實驗所處的條件下，t是與熱水的體積有關(guān)的一個參數(shù)，體積越大，t的值就越大。 表3.4 曲線的數(shù)學(xué)模型V / mLV / mLy y0 0A At t505030.9130.9169.1769.171082.741082.7410010030.6830.6869.6369.631582.391582.3920020031.2631.2668.9768.972911.922911.92假設(shè)t是體積v的函數(shù)，t = f(v

43、)，用Origin對表3.4中V、t進(jìn)行分析，發(fā)現(xiàn)t與v成線性關(guān)系，如圖3-10所示。通過數(shù)學(xué)建模得出其關(guān)系為：t =417.98+12.35V3.2 材料科學(xué)與工程研究中數(shù)學(xué)模型利用Origin417.98 12.350 xVyyAe417.98 12.350tVTTAe因此（因此（3.623.62）式可表示為）式可表示為，用，用T T、T T0 0、t t分別替換分別替換y y、y y0 0、x x有：有：。其中。其中T T為熱水的實時溫度，為熱水的實時溫度，T T0 0為環(huán)境的溫度，為環(huán)境的溫度，A A是熱水和環(huán)境的最大溫差（開始溫差），是熱水和環(huán)境的最大溫差（開始溫差），t t為時間，

44、為時間，V V為熱水的體積。為熱水的體積。40608010012014016018020022010001500200025003000Y =417.975+12.35179 XY Axis TitleX Axis Title t Linear fit of data2_t圖3-10 t與v的線性關(guān)系3.2 材料科學(xué)與工程研究中數(shù)學(xué)模型利用Origin熱水溫度下降的速度跟熱水與環(huán)境的溫差有關(guān)，溫差越大溫度下降就越快，反之則越慢；熱水溫度下降的速度與熱水的體積有關(guān)，體積越大溫度下降就越慢，反之則越快；在本實驗所處的條件下，熱水降溫過程可以用如下公式描述417.98 12.350tVTTAe3.2

45、 材料科學(xué)與工程研究中數(shù)學(xué)模型利用Origin3.3 常用的數(shù)值計算方法3.3 常用的數(shù)值計算方法 在材料科學(xué)與工程中的許多工程分析問題，如彈性力學(xué)中的位移場和應(yīng)力場分析、塑性力學(xué)中的位移速度場和應(yīng)變速率場分析、電磁學(xué)中的電磁場分析、傳熱學(xué)中的溫度場分析、流體力學(xué)中的速度場和壓力場分析等，都可歸結(jié)為在給定邊界條件下求解其控制方程的問題。控制方程的求解有解析和數(shù)值兩種方法。（1）解析方法。根據(jù)控制方程的類型，采用解析的方法求出問題的精確解。該方法只能求解方程性質(zhì)比較簡單，且邊界條件比較規(guī)則的問題。（2）數(shù)值方法。采用數(shù)值計算的方法，利用計算機(jī)求出問題的數(shù)值解。該方法適用于各種方程類型和各種復(fù)雜的

46、邊界條件及非線性特征。通俗來講：解析解：嚴(yán)格的公式，是一個求解公式，適用于所有這類方程的求解。數(shù)值解：是利用有限元法、數(shù)值逼近法、插值方法等的求解。數(shù)學(xué)模型的數(shù)值求解數(shù)學(xué)模型的數(shù)值求解3.3 常用的數(shù)值計算方法 許多的力學(xué)問題和物理問題人們已經(jīng)得到了它們應(yīng)遵循的基本規(guī)律（微分方程）和相應(yīng)的定解條件。但是只有少數(shù)性質(zhì)比較簡單、邊界比較規(guī)整的問題能夠通過精確的數(shù)學(xué)計算得出其解析解。大多數(shù)問題是很難得到解析解的。對于大多數(shù)工程技術(shù)問題，由于物體的幾何形狀比較復(fù)雜或者問題的某些特征是非線性的，解析解不易求出或根本求不出來，所以常常用數(shù)值方法求解。對工程問題要得到理想或滿足工程要求的數(shù)值解，必須具備高性

47、能的計算機(jī)（硬件條件）和合適的數(shù)值解法。3.3 常用的數(shù)值計算方法 數(shù)值模擬通常由前處理、數(shù)值計算、后處理三部分組成。（1）前處理。前處理主要完成下述功能：實體造型將研究問題的幾何形狀輸入到計算機(jī)中；物性賦值將研究問題的各種物理參數(shù)（力學(xué)參數(shù)、熱力學(xué)參數(shù)、流動參數(shù)、電磁參數(shù)等）輸入到計算機(jī)中；定義單元類型根據(jù)研究問題的特性將其定義為實體、梁、殼、板等單元類型；網(wǎng)格剖分將連續(xù)的實體進(jìn)行離散化，形成節(jié)點(diǎn)和單元。（2）數(shù)值計算。數(shù)值計算主要完成下述功能：施加載荷定義邊界條件、初始條件；設(shè)定時間步對于瞬態(tài)問題要設(shè)定時間步；確定計算控制條件對求解過程和計算方法進(jìn)行選擇；求解計算軟件按照選定的數(shù)值計算方法

48、進(jìn)行求解。（3）后處理。后處理主要完成下述功能：顯示和分析計算結(jié)果圖形顯示體系的應(yīng)力場、溫度場、速度場、位移場、應(yīng)變場等，列表顯示節(jié)點(diǎn)和單元的相關(guān)數(shù)據(jù)；分析計算誤差；打印和保存計算結(jié)果。3.3 常用的數(shù)值計算方法 解決這類問題通常有兩種途徑：（1）對方程和邊界條件進(jìn)行簡化，從而得到問題在簡化條件下的解答；（2）采用數(shù)值解法。第一種方法只在少數(shù)情況下有效，因為過多的簡化會引起較大的誤差，甚至得到錯誤的結(jié)論。目前，常用的數(shù)值解法大致可以分為兩類：有限差分法和有限元法。 應(yīng)用有限差分法和有限元法求解數(shù)學(xué)模型最終歸結(jié)到求解線性方程組。3.3 常用的數(shù)值計算方法nnnnnnnnnnbxaxaxabxax

49、axabxaxaxa22112222212111212111線性方程組計算機(jī)計算（迭代）線性方程組計算機(jī)計算（迭代）在自然科學(xué)和工程技術(shù)中很多問題的解決常常歸結(jié)為求解線性代數(shù)方程組在自然科學(xué)和工程技術(shù)中很多問題的解決常常歸結(jié)為求解線性代數(shù)方程組.若其系數(shù)矩陣為非奇異陣，且若其系數(shù)矩陣為非奇異陣，且aii0（i=1,2，），將方程組（），將方程組（3.62）改寫）改寫為為3.62111221331112221 12332221 122(1)110.10.1.0nnnnnnnnn nnnnxba xa xa xaxba xa xa xaxba xa xaxa3.3 常用的數(shù)值計算方法3.3.1線性

50、方程組計算機(jī)計算（迭代）1( )( )( )111221331111( )( )( )2221 12332221( )( )( )1 122(1)110.10.1.0kkkknnkkkknnkkkknnnnn nnnnxba xa xa xaxba xa xa xaxba xa xaxa通過簡單迭代可得式（通過簡單迭代可得式（3.63）（3.63）簡寫為簡寫為1( )1111,2,., ;0,1,2,.nkkiiiijiiijxba xin ka （3.64）對于式（對于式（3.63），式（），式（3.64），給定一組），給定一組初始值初始值 后，后，(0)(0)(0)(0)12,.,Tnxx

51、xx經(jīng)反復(fù)迭代得到一向量系列：經(jīng)反復(fù)迭代得到一向量系列：( )( )( )( )12,.,TkkkknXxxx如果如果 收斂于收斂于( )kx( )( )( )( )12,.,TnXxxx其中，其中， 是方程組（是方程組（3.62）的解，式（）的解，式（3.64）被稱為）被稱為雅可比迭代格式雅可比迭代格式。如果不收斂，則迭代失敗。如果不收斂，則迭代失敗。( )1,2,.,xin3.3 常用的數(shù)值計算方法3.3.1線性方程組計算機(jī)計算（迭代）賽德爾迭代法賽德爾迭代法：一般地，計算一般地，計算 時，使用時，使用 代替代替 能使收斂快些。能使收斂快些。1( )( )( )111221331111(

52、)( )( )2221 12332221( )( )( )1 122(1)110.10.1.0kkkknnkkkknnkkkknnnnn nnnnxba xa xa xaxba xa xa xaxba xa xaxa11(1)( )1111,2,., ;0,1,2,.nnkkkiiiijiijjj iiixba xa xin ka 為確定計算是否終止，設(shè)為允許的絕對誤差限，當(dāng)滿足為確定計算是否終止，設(shè)為允許的絕對誤差限，當(dāng)滿足 時，停止時，停止計算。計算。(1)(2)kixni (1)kpx( )(1)kpxnp(1)( )1maxkkiii nxx 3.3 常用的數(shù)值計算方法3.3.1線性方

53、程組計算機(jī)計算（迭代）3.3 常用的數(shù)值計算方法3.3.1線性方程組計算機(jī)計算（迭代）3.3 常用的數(shù)值計算方法3.3.1線性方程組計算機(jī)計算（迭代） 有限差分法是數(shù)值求解微分問題的一種重要工具，很早就有人在這方面作了一些基礎(chǔ)性的工作。到了1910年，L.F.Richardson在一篇論文中論述了Laplace方程、重調(diào)和方程等的迭代解法，為偏微分方程的數(shù)值分析奠定了基礎(chǔ)。但是在電子計算機(jī)問世前，研究重點(diǎn)在于確定有限差分解的存在性和收斂性。這些工作成了后來實際應(yīng)用有限差分法的指南。20世紀(jì) 40年代后半期出現(xiàn)了電子計算機(jī)，有限差分法得到迅速的發(fā)展，在很多領(lǐng)域（如傳熱分析、流動分析、擴(kuò)散分析等）

54、取得了顯著的成就，對國民經(jīng)濟(jì)及人類生活產(chǎn)生了重要影響，積極地推動了社會的進(jìn)步。有限差分法有限差分法初等模型初等模型-為采用簡單而且初等的方法建立問題的數(shù)學(xué)模型。為采用簡單而且初等的方法建立問題的數(shù)學(xué)模型。微分方程模型微分方程模型-指的是在所研究的現(xiàn)象或過程中取一局部或指的是在所研究的現(xiàn)象或過程中取一局部或一瞬間，然后找出一瞬間，然后找出有關(guān)變量有關(guān)變量和和未知變量的微分（或差分）之未知變量的微分（或差分）之間間的關(guān)系式，從而獲得系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。的關(guān)系式，從而獲得系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。3.3 常用的數(shù)值計算方法3.3.2 有限差分法求解在初等數(shù)學(xué)中就有各種各樣的方程，比如線性方程、二次方程、高次方程、

55、指數(shù)方程、對數(shù)方程、三角方程和方程組等等。這些方程都是要把研究的問題中的已知數(shù)和未知數(shù)之間的關(guān)系找出來，列出包含一個未知數(shù)或幾個未知數(shù)的一個或者多個方程式，然后取求方程的解。但是在實際工作中，常常出現(xiàn)一些特點(diǎn)和以上方程完全不同的問題。3.3 常用的數(shù)值計算方法3.3.2 有限差分法求解物質(zhì)運(yùn)動和它的變化規(guī)律在數(shù)學(xué)上是用函數(shù)關(guān)系來描述的，因此，這類問題就是要去尋求滿足某些條件的一個或者幾個未知函數(shù)。也就是說，凡是這類問題都不是簡單地去也就是說，凡是這類問題都不是簡單地去求一個或者幾個固定不變的數(shù)值，而是要求一個或者幾個求一個或者幾個固定不變的數(shù)值，而是要求一個或者幾個未知的函數(shù)未知的函數(shù)。解這類

56、問題的基本思想和初等數(shù)學(xué)解方程的基本思想很相似，也是要把研究的問題中已知函數(shù)和未知函數(shù)之間的關(guān)也是要把研究的問題中已知函數(shù)和未知函數(shù)之間的關(guān)系找出來系找出來，從列出的包含未知函數(shù)的一個或幾個方程中去求得未知函數(shù)的表達(dá)式。但是無論在方程的形式、求解的具體方法、求出解的性質(zhì)等方面，都和初等數(shù)學(xué)中的解方程有許多不同的地方。在數(shù)學(xué)上，解這類方程，要用到微分和導(dǎo)數(shù)的知識微分和導(dǎo)數(shù)的知識。因此，凡是表示未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)以及自變量之間的關(guān)系的方程，就叫做微分方程。3.3 常用的數(shù)值計算方法3.3.2 有限差分法求解 有限差分法有限差分法在材料成形領(lǐng)域的應(yīng)用較為普遍，與有限元法一起成為材料成形計算機(jī)模擬技術(shù)的主

57、要兩種數(shù)值分析方法。目前材料加工中的傳熱分析（如鑄造成形過程的傳熱凝固、塑性成形中的傳熱、焊接成形中的熱量傳遞等）、流動分析（如鑄件充型過程，焊接熔池的產(chǎn)生、移動，激光熔覆中的動量傳遞等）都可以用有限差分方式進(jìn)行模擬分析。特別是在流動場分析方面，與有限元相比，有限差分法有獨(dú)特的優(yōu)勢，因此目前進(jìn)行流體力學(xué)數(shù)值分析，絕大多數(shù)都是基于有限差分法。另外，一向被認(rèn)為是有限差分法的弱項應(yīng)力分析，目前也取得了長足進(jìn)步。一些基于差分法的材料加工領(lǐng)域的應(yīng)力分析軟件紛紛推出，從而使得流動、傳熱、應(yīng)力統(tǒng)一于差分方式下。3.3 常用的數(shù)值計算方法3.3.2 有限差分法求解 有限差分法是數(shù)值計算中應(yīng)用非常廣泛的一種方法

58、。有限差分法（Finite Differential Method）是基于差分原理差分原理的一種數(shù)值計算法。 其實質(zhì)是以有限差分代替無限微分有限差分代替無限微分、以差分代數(shù)方差分代數(shù)方程代替微分方程程代替微分方程、以數(shù)值計算代替數(shù)學(xué)推導(dǎo)數(shù)值計算代替數(shù)學(xué)推導(dǎo)的過程，從而將連續(xù)函數(shù)離散化連續(xù)函數(shù)離散化，以有限的有限的、離散的離散的數(shù)值代替連續(xù)的函數(shù)分布代替連續(xù)的函數(shù)分布。3.3 常用的數(shù)值計算方法3.3.2 有限差分法求解3.3 常用的數(shù)值計算方法3.3.2 有限差分法求解3.3 常用的數(shù)值計算方法3.3.2 有限差分法求解3.3 常用的數(shù)值計算方法3.3.2 有限差分法求解3.3 常用的數(shù)值計算

59、方法3.3.2 有限差分法求解3.3 常用的數(shù)值計算方法3.3.2 有限差分法求解3.3 常用的數(shù)值計算方法3.3.2 有限差分法求解3.3 常用的數(shù)值計算方法3.3.2 有限差分法求解間接法間接法111221331112221 12332221 1221 122././:./:./nnnniiiiinniinnnnnnnnnxba xa xa xaxba xa xa xaxba xa xa xaxba xa xa xa對于線性方程組Ax=b，構(gòu)造一個 值，將 代入， 得出新的值 ，再將結(jié)果代入得到更新的 ，依次迭代下去，即可使其迭代值收斂于該方程組的精確解 。根據(jù)選擇 的方法不同，又可以分為

60、簡單迭代法（同步迭代法）和Guass-Seidel迭代法。對線性方程組Ax=b，當(dāng) 時，可表示為( )kx( )kx(1)kx(2)kxX( )kx0iia （3.89）可改寫為,1/1,2,.,niiijjiiji jxba xa in（3.90）3.3 常用的數(shù)值計算方法3.3.2 有限差分法求解欲求解方程組，首先假設(shè)一個解 ，代入式（3.90）的右端，計算出解的一次迭代值，即(0)(1,2,., )ixin(1)(0),1/1,2,.,niiijjiiji jxba xa in再將 代入式子的右端，得到第二次迭代值，以此類推，得到第k次迭代值(1)ix( )(1),1/1,2,.,nkk