奧數(shù)輔導(dǎo)資料一元一次方程

1、奧數(shù)輔導(dǎo)資料一元一次方程【內(nèi)容綜述】一元一次方程是最簡單的方程，它是進(jìn)一步學(xué)習(xí)方程、不等式和函數(shù)的基礎(chǔ)，許多方程都是通過變形后轉(zhuǎn)化為一元一次方程來解的。本期主要介紹一些解一元一次方程的基本方法和技巧。只含有一個未知數(shù)（又稱為一元），且其次數(shù)是1的方程叫做一元一次方程，任何一個一元一次方程總可以化為的形式，這是一元一次方程的標(biāo)準(zhǔn)形式（最簡形式）。解一元一次方程的一般步驟：（1）去分母；（2）去括號；（3）移項(xiàng)；（4）合并同類項(xiàng)，化為最簡形式；（5）方程兩邊同除以未知數(shù)的系數(shù)，得出方程的解?！疽c(diǎn)講解】§1 含參量的一元一次方程含有參變量的方程在求解時往往需分類討論，關(guān)于的方程。因?yàn)槲醋?/p>

2、明，所以它的解有下面三種情況：（1）當(dāng)時，方程有唯一解；（2）當(dāng)時，方程的解為任意數(shù)；（3）當(dāng)，時，方程無解。例1 解關(guān)于的方程。思路 這是含參量的一元一次方程，需分類討論。解： 把原方程變形為即 當(dāng)，即且時，方程有唯一解；當(dāng)且，即且時，方程無解；當(dāng)且，即時，方程的解為任意數(shù)。例2 若a，b，c是正數(shù)，解方程。解法一：原方程兩邊乘以abc，得到方程,移項(xiàng)合并同類項(xiàng)得即由，知,即。解法2：對原方程左端的每一項(xiàng)減去1，得即由，知說明 通過細(xì)心觀察方程的自身特點(diǎn)，巧妙地分析為3個，為3個，使原方程易于求解。例3 k為何正數(shù)時，方程的解是正數(shù)？ 思路 當(dāng)方程有唯一解時，此解的正負(fù)可由a，b的取值確定：

3、（1）若b=0時，方程的解是零；反之，若方程的解是零，b=0成立。（2）若時，則方程的解是正數(shù)；反之，若方程的解是正數(shù)，則成立。（3）若時，則方程的解是負(fù)數(shù)；反之，若方程的解是負(fù)數(shù)，則成立。解：按未知數(shù)整理方程得要使方程的解為正數(shù)，需要不等式的左端因?yàn)?，所以只要或時上式大于零，所以當(dāng)或時，原方程的解是正數(shù)，因此或，即為所求。§2 含有絕對值符號的一次方程解含有絕對值符號的一次方程時，可利用絕對值的定義脫去絕對值符號，轉(zhuǎn)化為普通的一元一次方程。其關(guān)鍵是需分情況脫去絕對值符號。例4 若關(guān)于的方程無解，只有一個解，有兩個解，則m，n，k的大小關(guān)系是（ ）（a）；（b）；（c）；（d）；思路

4、 對于方程，當(dāng)時，此時方程無解；當(dāng)時，此時方程的解為；當(dāng)時，此時方程的解為或。解：無解，則有一個解，則有兩個解，則。所以，成立，選擇（a）。例5 解關(guān)于的方程（1）；（2）。思路 解含有絕對值符號的方程的關(guān)鍵是去絕對值符號，這可用“零點(diǎn)分段法”，即令，分別得到=-2，=3，用-2，3將數(shù)軸分成三段：3，-23，-2然后在每一段上去掉絕對值符號再求解。解：（1）當(dāng)-2時，原方程化為解得=-2；當(dāng)-23時，原方程化為即5=5，所以-23是原方程的解。當(dāng)3時，原方程化為解得=3。綜合以上得，原方程的解為-23。（2）當(dāng)2時，原方程化為即由知，若a>1時，解為；當(dāng)23時，原方程化為即若a=1時，

5、解為23；當(dāng)a>3時，原方程化為即由知，若a>1時，解為。 綜合以上得；當(dāng)a>1時，解為；當(dāng)a=1時，解為23；當(dāng)a<1時，無解。 說明 由絕對值符號內(nèi)代數(shù)式值為零解出分類“零點(diǎn)”；在每種情況下求得的解必須在分類條件內(nèi)；對含字母的方程需要進(jìn)行討論。例6 求關(guān)于的方程 的所有解的和。思路 此方程有兩層絕對值符號，先由，利用絕對值的定義，去掉外層的絕對值符號，使得方程轉(zhuǎn)化為只含有一個絕對值符號的方程，然后再去掉里層的絕對值符號求解。解：由原方程得即，故§3 含有高斯函數(shù)符號的一次方程高斯函數(shù)表示不超過的最大整數(shù)，如，解含高斯符號的方程的基本方法是，利用定義脫去方括

6、號符號，轉(zhuǎn)化為普通一元一次方程求解。例7 求方程的所有根的和。解：設(shè)（t為整數(shù)。）則,因?yàn)榧?t=-2, -3對應(yīng)的為,。從而原方程所有根的和例8   設(shè)n是自然數(shù)，表示不超過的最大整數(shù)，解方程思路 因，由是n自然數(shù)，知n與n+1中必為一奇一偶，所以是整數(shù)。因是整數(shù)，2，3，4，5，n都是整數(shù)，所以由=解：原方程變形為合并同類項(xiàng)得即思維訓(xùn)練題a級1若方程與方程是同解方程，則的值為（ ）（a）4；（b）-4；（c）8；（d）-8。2方程的解是（ ）（a）1996；（b）1997；（c）1998；（d）1999。3是關(guān)于的一元一次方程，且有惟一解，則=_。4如果表示不超過的最大整數(shù)，那么

7、方程的解=_。5已知方程，當(dāng)取何值時，方程無解？當(dāng)取何值時，方程有無窮多個解？當(dāng)取3時，方程的解是多少？若方程的解是-2，那么的值是多大？b級6已知方程有一個負(fù)根而且沒有正根，那么的a取值范圍是_。7如果關(guān)于的方程有無窮多個解，那么參數(shù)a的值滿足條件_。8若a>0, b<0，則方程的解是什么？9若abc=1，解方程。參考答案:a級1（d）；2（d），提示：利用拆項(xiàng)求和法將原方程化簡為。31.5，提示：由題意得3a+2b=0，且a0。4-2，提示：方程變形為，顯然只能是整數(shù)，且<0。5當(dāng)時，方程無解；當(dāng)時，方程有無窮多個解；當(dāng)=3時，=2；當(dāng)=-2時，=1。b級6a1，提示：由方程有負(fù)根，有，從而，故；若方程有正根，則=+1，即，解出<1，從而方程沒有正根應(yīng)1。7a=