第十三章 非正弦周期電流電路

1、第十二章非正弦周期電流電路和信號的頻譜121 求圖示波形的傅里葉級數(shù)的系數(shù)。解：f(t) 在第一個周期()內的表達式為 題12-1圖顯然,f(t)為奇函數(shù)f(t)展開為傅里葉級數(shù)為由于f(t)為奇函數(shù) , 所以 , 有。而 b= = = (k=1,2,3.)122 以知某信號半周期的波形如圖所示。試在下列各不同條件下畫出整個周期的波形：（1）a=0; (2) 對所有 k，b=0;（3）對所有 k，a=0;（4）a和b為零，當k 為偶數(shù)時。 解：（1）當 a=0 時，在后半個周期上，只要畫出 f(t) 的負波形與橫軸（ t軸）所圍面積與已給出的前半個周期波形所圍面積相等即可。以下題解122 圖中

2、的（b），（c）圖均滿足此條件。 題12-2圖 （a） （b） （c） 題解12-2圖（2）對所有k,b=0,f(t)應為偶函數(shù)，即有f(t)=f(-t),波形如題解122圖（a）所示，波形對稱于縱軸。（3）對所有 k,a=0,f(t) 應為奇函數(shù)，即f(t)= -f(-t), 波形如圖（b）所示，波形對稱于原點。（4）a和 b為零，當k 為偶數(shù)時，此時，f(t) 稱為奇諧波函數(shù)，既 a和 b只出現(xiàn)在k為奇數(shù)時，函數(shù)f(t) 滿足鏡對稱性質，即有f(t)= -f(t+) , 波形如圖（c）所示。 注：121和122題的分析說明，周期函數(shù)含有某種對稱時，其傅里葉級數(shù)中不含某些諧波。充分利用這些對

3、稱性，可使分解計算大為簡化。需要指出的是函數(shù)的奇偶性除與函數(shù)本身有關外，還與計時起點的選擇有關，因此，對某些周期函數(shù)可以適當選擇計時起點，使它成為奇函數(shù)或偶函數(shù)，以便簡化傅立葉級數(shù)的系數(shù)計算。123 一個RLC 串聯(lián)電路。其R=11,L=0.015H ,C=70F , 外加電壓為 u(t) = 11+141.4cos(1000t) 35.4sin(2000t)V試求電路中的電流i(t) 和電路消耗的功率。 解： RLC 串聯(lián)電路如題解123圖所示，電路中的非正弦周期電壓 u(t) 為已知，分別有直流分量，基波和二次諧波分量?？蓪懗鲭娏飨嗔康囊话惚磉_式其中 ,L =15,=14.286. 電壓分

4、量分別作用，產生的電流和功率分量為：（1）直流 =11V 作用時，電感L 為短路，電容 C 為開路，故，I=0 , =0 。（2） 基波 (k=1)作用時，令=100V Z= R+j(L ) =（11+j0.714）=11.023故 = =9.072A P= IR = 905.28 W（3）二次諧波 (k=2) 作用時，令=25.032V Z=R +j(2L ) =11 +j(30 14.286) =25.366故 = = 0.987A P=IR =(0.98)11 = 10.716 W所以，電路中的電流 i (t) 為 i (t) = 0 +9.072 cos (1000t 3.71) +0

5、.987 cos(2000t + 25.7) = 12.83 cos (1000t - 3.71) 1.396 sin (2000t 64.3) A電路消耗的功率P = += 905.28 +10.716 = 916 W124 電路如圖所示，電源電壓為 (t) = 50 + 100 sin ( 314t ) 40 cos (628t ) + 10 sin ( 942t + 20)V試求電流 i (t) 和電源發(fā)出的功率及電源電壓和電流的有效植。 解：設電流i (t) 第 k 次諧波的向量為(采用復振幅相量)。（1）當 k = 0 ，直流分量U= 50V 作用時，電路如題解 12-4 圖所示，有

6、Z=R +R= 60 ，故 I=A P= UI= 50= 41.667 W（2）當 k=1 ，即 =314, 基波向量 = 100V 作用時，有 Z= 10 + j3.14 += 71.267 故 = = = 1.403AP= =66.2 W （3）當 k=2 ，即 , 二次諧波向量V 作用時，有 Z故 （4）當k=3，即，三次諧波相量作用時，有 故 所以，電流i（t）為 電源發(fā)出的平均功率為電源電壓有效值電源電流有效值125有效值為100 V 的正弦電壓加在電感 L 兩端時，得電流 I=10A ，當電壓中有3次諧波分量，而有效值仍為100 V 時，得電流 I=8A 。試求這一電壓的基波和3次

7、諧波電壓的有效值。解：根據題意，可求得基波時的感抗為故，三次諧波時的感抗為所以，含有基波和三次諧波的電壓和電流有效值應滿足下列關系式 代入參數(shù)值并整理得解之，得126 以知 RLC 串聯(lián)電路的端口電壓和電流為試求：（1）R,L,C 的值；（2）的值；（3）電路消耗的功率。 解：RLC 串聯(lián)電路如圖126圖所示，電路中的電壓 和電流 均為已知，分別含有基波和三次諧波分量。(1)由于基波的電壓和電流同相位，所以，RLC 電路在基波頻率下發(fā)生串聯(lián)諧振。故有 且 即 而三次諧波的阻抗為 的模值為解得 為故（2）三次諧波時，的阻抗角為而 則 （3） 電路消耗的功率 P 為127圖示電路各電源的電壓為 （

8、1） 試求（2） 如將 換為電流源 ，試求電壓（等為對應電壓的有效值）。解：本題各電源電壓含有的各次諧波分量為：恒定分量和4個奇次（）諧波分量，各電壓的有效值計算如下：（1）(2)設電壓 參考方向如圖中所示，當將 換為電流源 （其方向設為從c點指向d點）時，有各電壓有效值分別為注：本題在求解各電壓有效值中，需要先將不同電源電壓的相同頻率的時域響應相加，再進行各次諧波有效值的計算，最后求出所要求解的非正弦電壓的有效值。128 圖示為濾波電路，需要負載中不含基波分量，但 的諧波分量能全部傳送至負載。如求 和 解：欲使負載中不含基波分量，既在此時負載中的電流需為零，則有和 C 在 處發(fā)生并聯(lián)諧振，由

9、諧振條件得故 若要求4次（）諧波分量能全部傳送至負載端，需要此電路在 處發(fā)生串聯(lián)諧振，因而 與 C 并聯(lián)的電抗為串聯(lián)諧振時，有即 129 圖示電路中 為非正弦周期電壓，其中含有 及 的諧波分量。如果要求在輸出電壓中不含這兩個諧波分量，問 L,C 應為多少？ 解：根據圖示結構知，欲使輸出電壓u(t) 中不含和 的諧波分量，就要求該電路在這兩個頻率時，輸出電壓u(t) 中的3次諧波分量和7次諧波分量分別為零。若在 處 1H 電感與電容 C 發(fā)生串聯(lián)諧振，輸出電壓的3次諧波 ，由諧振條件，得若在 處 1F 電容與電感 L 發(fā)生并聯(lián)諧振，則電路中7次諧波的電流 ，電壓 ，由諧振條件，得也可將上述兩個頻

10、率處發(fā)生諧振的次序調換一下，即在處，使 L 與 C發(fā)生并聯(lián)諧振，而在 處，使 與 C 發(fā)生串聯(lián)諧振，則得 1210圖示電路中 。求圖中交流電表的讀數(shù)和 。 解： 由圖示電路可知，電流表讀數(shù)為電流的有效值即而電壓 為電壓表讀數(shù)為電壓的有效值，有1211 圖示電路中 ，電流源 。求 及 發(fā)出的功率。解：電路各響應的求解，可以看作是電壓源的各頻率分量和電流源 單獨作用時，所得各響應分量的疊加，具體計算如下（1）直流 單獨作用時，電感短路，電容開路，電路如題解1211圖 (a) 所示，根據 KVL，有故（2）的電壓分量單獨作用時，電路如題解圖(b)所示，令 。根據 KVL ，有 且 解之，得（3）電流

11、源 單獨作用時，電路如題解圖（c） 所示。令 對獨立結點a，列出結點電壓方程代入參數(shù)值并消去，有所以，電壓 為電壓源 發(fā)出的功率為 *12-12對稱三相星形連接的發(fā)電機的A 相電壓為 ，在基波頻率下負載阻抗為，中線阻抗。試求各相電流，中線電流及負載消耗的功率。如不接中線，在求各相電流及負載消耗的功率；這時中點電壓 為多少？ 解：圖示電路中，對稱三相電壓源的基波構成正序對稱三相電壓，5次諧波構成負序對稱三相電壓，而3次諧波構成零序對稱組。由于此電路是對稱三相四線制連接，對正，負序電壓分量而言，可以歸結為一相（A相）電路的計算且此時中線電流為零。令,，而則可得正序和負序對稱組電流 A根據對稱性可以

12、寫出 對圖示電路中的零序對稱組電壓（既三次諧波），令 ，而，則中性點 與 N 之間的電壓 為 故，零序對稱組電流為中線電流為所以，各相電流為而中線電流為負載消耗的功率為若不接中線，正序和負序對稱組的各相電流均未改變而零序對稱組電流為零（因為），所以，最后各相電流中均無零序組電流。即上述各相電流表達式中不含3次諧波分量。 此時，負載消耗的功率為而中點電壓中只有零序組電壓即*12-13 如果將上題中三相電源連接成三角形并計及每相電源的阻抗。（1）試求測各相電壓的電壓表讀數(shù)，及題圖中的讀數(shù)，但三角形電源沒有插入電壓表 ；（2）打開三角形電源接入電壓表 ，如圖示，試求此時兩個電壓表的讀數(shù)。解：圖示電路，是將上題中的對稱三相電源連接成三角形電源，并考慮每相電源的阻抗，則（1） 當三角形電源中未插入電壓表時，三角形電源構成閉合回路，其端線電壓中將不含零序對稱組，而只含正序和負序對稱組，故電壓表的