四邊形中常見(jiàn)輔助線的作法

1、儒洋教育學(xué)科教師輔導(dǎo)講義課題教學(xué)目標(biāo)重點(diǎn)、難點(diǎn)考點(diǎn)及考試要求作輔助線的方法一：中點(diǎn)、中位線，延線，平行線。如遇條件中有中點(diǎn)，中線、中位線等，那么過(guò)中點(diǎn)，延長(zhǎng)中線或中位線作輔助線，使延長(zhǎng)的某一段等 于中線或中位線；另一種輔助線是過(guò)中點(diǎn)作已知邊或線段的平行線，以達(dá)到應(yīng)用某個(gè)定理或造成全等的目的。二：垂線、分角線，翻轉(zhuǎn)全等連。如遇條件中，有垂線或角的平分線，可以把圖形按軸對(duì)稱的方法，并借助其他條件，而旋轉(zhuǎn)180度,得到全等形，這時(shí)輔助線的做法就會(huì)應(yīng)運(yùn)而生。其對(duì)稱軸往往是垂線或角的平分線。三：邊邊若相等，旋轉(zhuǎn)做實(shí)驗(yàn)。如遇條件中有多邊形的兩邊相等或兩角相等，有時(shí)邊角互相配合，然后把圖形旋轉(zhuǎn)一定的角度，就

2、可以得到全等形，這時(shí)輔助線的做法仍會(huì)應(yīng)運(yùn)而生。其對(duì)稱中心，因題而異，有時(shí)沒(méi)有中心。故可分“有心”和“無(wú)心”旋轉(zhuǎn)兩種。四:造角、平、相似，和、差、積、商見(jiàn)。如遇條件中有多邊形的兩邊相等或兩角相等，欲證線段或角的和差積商，往往與相似形有關(guān)。在制造 兩個(gè)三角形相似時(shí)，一般地，有兩種方法：第一，造一個(gè)輔助角等于已知角；第二，是把三角形中的 某一線段進(jìn)行平移。故作歌訣：“造角、平、相似，和差積商見(jiàn)?！?托列米定理和梅葉勞定理的證明輔助線分別是造角和平移的代表）五：面積找底高，多邊變?nèi)?。如遇求面積，（在條件和結(jié)論中出現(xiàn)線段的平方、乘積，仍可視為求面積），往往作底或高為輔助線，而兩三角形的等底或等高是思考

3、的關(guān)鍵。如遇多邊形，想法割補(bǔ)成三角形；反之，亦成立。另外，我國(guó)明清數(shù)學(xué)家用面積證明勾股定理，其輔助線的做法，即“割補(bǔ)”有二百多種，大多數(shù)為“面積找底高，多邊變?nèi)叀薄Ｋ倪呅纹叫兴倪呅纬霈F(xiàn)，對(duì)稱中心等分點(diǎn)。梯形問(wèn)題巧轉(zhuǎn)換，變?yōu)楹涂凇?平移腰，移對(duì)角，兩腰延長(zhǎng)作出高。如果出現(xiàn)腰中點(diǎn)，細(xì)心連上中位線。 上述方法不奏效，過(guò)腰中點(diǎn)全等造。證相似，比線段，添線平行成習(xí)慣。 等積式子比例換，尋找線段很關(guān)鍵。直接證明有困難，等量代換少麻煩。 斜邊上面作高線，比例中項(xiàng)一大片。添加輔助線解特殊四邊形題特殊四邊形主要包括平行四邊形、矩形、菱形、正方形和梯形在解決一些和四邊形有關(guān)的問(wèn)題時(shí)往往需要添加輔助線下面介紹一些

4、輔助線的添加方法 .和平行四邊形有關(guān)的輔助線作法平行四邊形是最常見(jiàn)的特殊四邊形之一，它有許多可以利用性質(zhì)， 為了利用這些性質(zhì)往往需要添加輔助線構(gòu)造平行四邊形平行四邊形中常用輔助線的添法平行四邊形（包括矩形、正方形、菱形）的兩組對(duì)邊、對(duì)角和對(duì)角線都具有某些相同性質(zhì)，所以在添 輔助線方法上也有共同之處，目的都是造就線段的平行、垂直，構(gòu)成三角形的全等、相似，把平行四 邊形問(wèn)題轉(zhuǎn)化成常見(jiàn)的三角形、正方形等問(wèn)題處理，其常用方法有下列幾種，舉例簡(jiǎn)解如下：（1）連對(duì)角線或平移對(duì)角線：（2）過(guò)頂點(diǎn)作對(duì)邊的垂線構(gòu)造直角三角形（3）連接對(duì)角線交點(diǎn)與一邊中點(diǎn)，或過(guò)對(duì)角線交點(diǎn)作一邊的平行線，構(gòu)造線段平行或中位線（4）

5、連接頂點(diǎn)與對(duì)邊上一點(diǎn)的線段或延長(zhǎng)這條線段，構(gòu)造三角形相似或等積三角形。（5）過(guò)頂點(diǎn)作對(duì)角線的垂線，構(gòu)成線段平行或三角形全等1 利用一組對(duì)邊平行且相等構(gòu)造平行四邊形例1如圖1,已知點(diǎn)0是平行四邊形 ABCD的對(duì)角線AC的中點(diǎn)，四邊形 OCDE是平行四邊形. 求證:0E與AD互相平分.分析：因?yàn)樗倪呅蜲CDE是平行四邊形，所以O(shè)C/ED,OC=DE,又由0是AC的中點(diǎn)，得出AO/ED,AO=ED,則四邊形AODE是平行四邊形，問(wèn)題得證證明:連結(jié)AE、OD，因?yàn)槭撬倪呅?OCDE是平行四邊形，所以O(shè)C/DE , OC=DE，因?yàn)?是AC的中點(diǎn)，所以 A0/ED , AO=ED ,所以四邊形AODE是

6、平行四邊形，所以 AD與OE互相平分說(shuō)明：當(dāng)已知條件中涉及到平行，且要求證的結(jié)論中和平行四邊形的性質(zhì)有關(guān)，可試通過(guò)添加輔助線 構(gòu)造平行四邊形2 利用兩組對(duì)邊平行構(gòu)造平行四邊形例2如圖2,在厶ABC中，E、F為AB上兩點(diǎn)，AE=BF , ED/AC , FG/AC交BC分別為 D , G.求 證:ED+FG=AC.分析:要證明ED+FG=AC,因?yàn)镈E/AC,可以經(jīng)過(guò)點(diǎn)E作EH/CD交AC于H得平行四邊形，得ED=HC, 然后根據(jù)三角形全等，證明FG=AH.證明：過(guò)點(diǎn)E作EH/BC,交AC于H,因?yàn)镋D/AC,所以四邊形 CDEH是平行四邊形，所以ED=HC,又FG/AC,EH/BC,所以/ A

7、EH= / B, / A= / BFG,又 AE=BF,所以 AEH FBG, 所以 AH=FG,所以 FG+DE=AH+HC=AC.說(shuō)明：當(dāng)圖形中涉及到一組對(duì)邊平行時(shí)，可通過(guò)作平行線構(gòu)造另一組對(duì)邊平行，得到平行四邊形解決 問(wèn)題3 利用對(duì)角線互相平分構(gòu)造平行四邊形例3如圖3,已知 AD是厶ABC的中線，BE交AC于E,交 AD于F，且AE=EF.求證BF=AC.分析：要證明BF=AC，一種方法是將BF和AC變換到同一個(gè)三角形中，利用等邊對(duì)等角；另一種方 法是通過(guò)等量代換，尋找和BF、AC相等的相段代換尋找相等的線段的方法一般是構(gòu)造平行四邊形.證明：延長(zhǎng) AD到G，使DG=AD，連結(jié)BG，CG，

8、因?yàn)锽D=CD，所以四邊形 ABGC是平行四邊形，所以 AC=BG ,AC/BG，所以/ 1 = / 4，因?yàn)?AE=EF，所以/ 1 = / 2,又/ 2= / 3，所以/ 1= / 4,所以 BF=BG=AC.說(shuō)明：本題通過(guò)利用對(duì)角線互相平分構(gòu)造平行四邊形，實(shí)際上是采用了平移法構(gòu)造平行四邊形當(dāng)已知中點(diǎn)或中線應(yīng)思考這種方法 圖3圖4、和菱形有關(guān)的輔助線的作法和菱形有關(guān)的輔助線的作法主要是連接菱形的對(duì)角線，借助菱形的判定定理或性質(zhì)定定理解決問(wèn)題例4如圖5,在厶ABC中，/ ACB=90 ° , / BAC的平分線交 BC于點(diǎn)D ,E是AB上一點(diǎn)，且AE=AC ,EF/BC交AD于點(diǎn)F

9、,求證：四邊形 CDEF是菱形分析：要證明四邊形 CDEF是菱形，根據(jù)已知條件，本題有量種判定方法，一是證明四邊相等的四邊形是菱形，二是證明對(duì)角線互相垂直平分的四邊形是菱形根據(jù)AD是/ BAC的平分線，AE=AC，可通過(guò)連接CE，構(gòu)造等腰三角形，借助三線合一證明AD垂直CE.求AD平分CE.證明：連結(jié)CE交AD于點(diǎn)0,由AC=AE，得 ACE是等腰三角形，因?yàn)锳0平分/ CAE，所以A0丄CE,且0C=0E，因?yàn)镋F/CD，所以/ 1 = / 2,又因?yàn)? E0F= / C0D，所以 DOC可以看成由 FOE繞點(diǎn)0旋轉(zhuǎn)而成，所以 OF=OD，所以CE、 DF互相垂直平分所以四邊形 CDEF是菱

10、形例5如圖6,四邊形ABCD是菱形，E為邊AB上一個(gè)定點(diǎn)，F(xiàn)是AC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求證 EF+BF的 最小值等于DE長(zhǎng)分析：要證明EF+BF的最小值是DE的長(zhǎng)，可以通過(guò)連結(jié)菱形的對(duì)角線BD，借助菱形的對(duì)角線互相垂直平分得到DF=BF，然后結(jié)合三角形兩邊之和大于第三邊解決問(wèn)題證明：連結(jié)BD、DF.因?yàn)锳C、BD是菱形的對(duì)角線，所以 AC垂直BD且平分BD ,所以 BF=DF，所以 EF+BF=EF+DF > DE,當(dāng)且僅當(dāng)F運(yùn)動(dòng)到DE與AC的交點(diǎn)G處時(shí)，上式等號(hào)成立，所以 EF+BF的最小值恰好等于 DE的 長(zhǎng)A E B圖6說(shuō)明：菱形是一種特殊的平行四邊形，和菱形的有關(guān)證明題或計(jì)算題作輔助線的

11、不是很多，常見(jiàn)的幾種輔助線的方法有：（1）作菱形的高；（2）連結(jié)菱形的對(duì)角線與矩形有輔助線作法和矩形有關(guān)的題型一般有兩種：（1）計(jì)算型題，一般通過(guò)作輔助線構(gòu)造直角三角形借助勾股定理解決問(wèn)題；（2）證明或探索題，一般連結(jié)矩形的對(duì)角線借助對(duì)角線相等這一性質(zhì)解決問(wèn)題和矩形有關(guān)的試題的輔助線的作法較少例6 如圖7，已知矩形 ABCD內(nèi)一點(diǎn)，PA=3，PB=4，PC=5.求PD的長(zhǎng)分析：要利用已知條件，因?yàn)榫匦蜛BCD，可過(guò)P分別作兩組對(duì)邊的平行線，構(gòu)造直角三角形借助勾股定理解決問(wèn)題解：過(guò)點(diǎn)P分別作兩組對(duì)邊的平行線 EF、GH交AB于E，交CD于F，交BC于點(diǎn)H，交AD于G. 因?yàn)樗倪呅蜛BCD是矩形，

12、所以 PF2=CH2=PC2-PH2，DF2=AE2=AP2-EP2，PH2+PE2=BP2，所以 PD2=PC2-PH2+AP2-EP2=PC2+AP2-PB2=52+32-42=18，所以 PD=3 J2 G說(shuō)明：本題主要是借助矩形的四個(gè)角都是直角，通過(guò)作平行線構(gòu)造四個(gè)小矩形，然后根據(jù)對(duì)角線得到直角三角形，利用勾股定理找到PD與PA、PB、PC之間的關(guān)系，進(jìn)而求到 PD的長(zhǎng)四、與正方形有關(guān)輔助線的作法正方形是一種完美的幾何圖形，它既是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形，有關(guān)正方形的試題較多解決正方形的問(wèn)題有時(shí)需要作輔助線，作正方形對(duì)角線是解決正方形問(wèn)題的常用輔助線丄例7如圖8，過(guò)正方形 ABCD

13、的頂點(diǎn)B作BE/AC，且 AE=AC，又CF/AE.求證：/ BCF= 2 / AEB.分析：由BE/AC，CF/AE，AE=AC，可知四邊形 AEFC是菱形，作 AH丄BE于H，根據(jù)正方形的性質(zhì)可知四邊形 AHBO是正方形，從 AH=OB= 2 AC，可算出/ E= / ACF=30。，/ BCF=15 ° 證明：連接 BD交AC于O,作AH丄BE交BE于H.在正方形 ABCD中，AC丄BD , AO=BO ,又 BE/AC , AH 丄 BE，所以 BO 丄 AC ,1所以四邊形AOBH為正方形，所以 AH=AO= 2 AC ,因?yàn)?AE=AC，所以/ AEH=30 °

14、 ,因?yàn)?BE/AC，AE/CF ,所以ACFE是菱形，所以/ AEF= / ACF=30 ° ,因?yàn)锳C是正方形的對(duì)角線，所以/ ACB=45 ° ,1所以/ BCF=15 °，所以/ BCF= 2 / AEB.說(shuō)明：本題是一道綜合題，既涉及正方形的性質(zhì)，又涉及到菱形的性質(zhì).通過(guò)連接正方形的對(duì)角線構(gòu)造正方形AHBO，進(jìn)一步得到菱形，借助菱形的性質(zhì)解決問(wèn)題與梯形有關(guān)的輔助線的作法和梯形有關(guān)的輔助線的作法是較多的 主要涉及以下幾種類型：（1）作一腰的平行線構(gòu)造平行四邊 形和特殊三角形；（2）作梯形的高，構(gòu)造矩形和直角三角形；（ 3）作一對(duì)角線的平行線，構(gòu)造直角 三角

15、形和平行四邊形；（4）延長(zhǎng)兩腰構(gòu)成三角形；（5）作兩腰的平行線等.例 8 已知，如圖 9，在梯形 ABCD 中，AD/BC , AB=AC，/ BAC=90 ° , BD=BC , BD 交 AC 于點(diǎn) 0求證：CO=CD.分析：要證明CO=CD，可證明/ COD= / CDO，由于已知/ BAC=90 °，所以可通過(guò)作梯形高構(gòu)造矩 形，借助直角三角形的性質(zhì)解決問(wèn)題證明：過(guò)點(diǎn)A、D分別作AE丄BC,DF丄BC ,垂足分別是E、F,則四邊形AEFD為矩形，因?yàn)锳E=DF ,AB=AC , AE 丄 BC，/ BAC=90 ° ,1 1所以 AE=BE=CE= 2 B

16、C,/ ACB=45 °，所以 AE=DF= 2 ,又 DF 丄 BC,所以在 Rt DFB 中，/ DBC=30 ° ,180 - DBC75又 BD=BC，所以/ BDC= / BCD=2,所以/ DOC= / DBC+ / ACB=30 ° +45 ° =75 ° .所以/ BDC= / DOC，所以 C0=CD.說(shuō)明：在證明線段相等時(shí)，一般利用等角對(duì)等邊來(lái)證明，本題作梯形的高將梯形轉(zhuǎn)化為矩形和直角三 角形，進(jìn)而根據(jù)直角三角形知識(shí)解決例9如圖10,在等腰梯形 ABCD中，AD/BC , AC丄BD , AD+BC=10 , DE丄BC于E

17、.求DE的長(zhǎng). 分析：根據(jù)本題的已知條件，可通過(guò)平移一條對(duì)角線，把梯形轉(zhuǎn)化為平行四邊形和直角三角形，借助勾股定理解決解：過(guò)點(diǎn)D作DF/AC ,交BC的延長(zhǎng)線于F,則四邊形ACFD為平行四邊形，所以AC=DF , AD=CF , 因?yàn)樗倪呅?ABCD 為等腰梯形，所以 AC=DB , BD=FD ,因?yàn)?DE丄BC ,所以BE=EF= 2 BF= 2 (BC+CF)= 2 (BC+AD)=2 X 10=5.因?yàn)锳C/DF,BD丄AC,所以BD丄DF,因?yàn)锽E=FE,所以DE=BE=EF=5,即DE的長(zhǎng)為5.圖10說(shuō)明：當(dāng)有對(duì)角線或垂直成梯形時(shí)，常作梯形對(duì)角線的平行線，構(gòu)造平行四邊形，等腰三角形或

18、直角三角形來(lái)解決和中位線有關(guān)輔助線的作法例10如圖11,在四邊形 ABCD中，AC于BD交于點(diǎn)0, AC=BD , E、F分別是AB、CD中點(diǎn)，EF 分別交 AC、BD于點(diǎn)H、G.求證：OG=OH.分析：欲證0G=OH，而OG、OH為同一個(gè)三角形的兩邊，又E、F分別是AB、CD中點(diǎn)，所以可試想作輔助線，構(gòu)造三角形中位線解決問(wèn)題證明：取 AD中點(diǎn)P,連結(jié)PE, PF.因?yàn)镋是AB的中點(diǎn)，F(xiàn)是CD的中點(diǎn)，所以 PE/BD，且 PE= 2 BD , PF/AC，且 PF= 2 AC ,所以/ PEF=Z PFE，又/ PEF= / OGH，/ PFE= / OHG，所以/ OGH= / OHG ,所

19、以O(shè)G=OH.說(shuō)明：遇中點(diǎn)，常作中位線，借助中位線的性質(zhì)解題AF梯形的輔助線口訣：梯形問(wèn)題巧轉(zhuǎn)換，變?yōu)楹汀Ｆ揭蒲茖?duì)角，兩腰延長(zhǎng)作出高。如果出現(xiàn)腰中點(diǎn)，細(xì)心連上中位 線。上述方法不奏效，過(guò)腰中點(diǎn)全等造。通常情況下，通過(guò)做輔助線，把梯形轉(zhuǎn)化為三角形、平行四邊形，是解梯形問(wèn)題的基本思路。至于選 取哪種方法，要結(jié)合題目圖形和已知條件。常見(jiàn)的幾種輔助線的作法如下：作法圖形平移腰，轉(zhuǎn)化為三角 形、平行四邊形。B E C s G F H C平移對(duì)角線。轉(zhuǎn)化為 三角形、平行四邊形。BC延長(zhǎng)兩腰，轉(zhuǎn)化為三 角形。E八B C作咼，轉(zhuǎn)化為直角三 角形和矩形。B =中位線與腰中點(diǎn)連 線。昌B：梯形 中 常 用輔助

20、線的添法梯形是殊的四邊形。它是平行四邊形、三角形知識(shí)的綜合，通過(guò)添加適當(dāng)?shù)妮o助線將梯形問(wèn)題化歸為平行四 邊形問(wèn)題或三角形問(wèn)題來(lái)解決。輔助線的添加成為問(wèn)題解決的橋梁，梯形中常用到的輔助線有：（1）在梯形內(nèi)部平移一腰。（2）梯形外平移一腰,AB / DC , AD = 15, AB = 16 , BC = 17.求 CD(3) 梯形內(nèi)平移兩腰(4) 延長(zhǎng)兩腰(5) 過(guò)梯形上底的兩端點(diǎn)向下底作高(6) 平移對(duì)角線(7) 連接梯形一頂點(diǎn)及一腰的中點(diǎn)。(8) 過(guò)一腰的中點(diǎn)作另一腰的平行線。(9) 作中位線當(dāng)然在梯形的有關(guān)證明和計(jì)算中，添加的輔助線并不一定是固定不變的、單一的。通過(guò)輔助線這座橋 梁，將梯形

21、問(wèn)題化歸為平行四邊形問(wèn)題或三角形問(wèn)題來(lái)解決，這是解決問(wèn)題的關(guān)鍵。(一) 、平移1平移一腰：例1.如圖所示，在直角梯形 ABCD中，/ A = 90° 的長(zhǎng)解：過(guò)點(diǎn)D作DE / BC交AB于點(diǎn)E.又AB / CD，所以四邊形 BCDE是平行四邊形所以 DE = BC = 17, CD = BE.在Rt DAE中，由勾股定理，得AE2 = DE2 AD2，即 AE2 = 172 - 152 = 64.所以AE = 8.所以 BE = AB AE = 16 8 = 8.即 CD = 8.例2如圖，梯形ABCD的上底AB=3，下底CD=8，腰AD=4，求另一腰BC的取值范圍。在厶 BCM 中

22、，BM=AD=4 ,CM=CD DM=CD AB=8 3=5 ,所以BC的取值范圍是：5 4<BC<5 + 4, 即卩 1<BC<9。2、平移兩腰：例 3 如圖，在梯形 ABCD 中，AD/BC，/ B + Z C=90 °, AD=1 , BC=3 , E、F 分別是 AD、BC 的中 點(diǎn)，連接EF，求EF的長(zhǎng)。A E D解：過(guò)點(diǎn)E分別作AB、CD的平行線，交BC于點(diǎn)G、H，可得/ EGH +Z EHG= / B + Z C=90 °則厶EGH是直角三角形因?yàn)镋、F分別是AD、BC的中點(diǎn)，容易證得 F是GH的中點(diǎn)EF J GH J (BC 一 BG

23、 CH ) 所以2211(BC _AE - DE) BC _(AE DE) 2211(BC -AD) (3-1)=1223、平移對(duì)角線:例 4、已知：梯形 ABCD 中，AD/BC，AD=1，BC=4，BD=3，AC=4，求梯形 ABCD 的面積.解：如圖，作DE / AC ,交BC的延長(zhǎng)線于E點(diǎn)./ AD / BC 四邊形ACED是平行四邊形 BE=BC+CE=BC+AD=4+1=5 , DE=AC=4 在 DBE 中， BD=3 , DE=4 , BE=5 / BDE=90 ° .BDxED 12 DH =S梯形ABCD(AD BC)DHABCD 中，AD/BC , AD=3 ,

24、iBC=7 , BD= 5、. 2，求證:AC 丄 BD。例5如圖，在等腰梯形作DH丄BC于H，貝UBE 5解：過(guò)點(diǎn)C作BD的平行線交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,易得四邊形BCED是平行四邊形，貝U DE=BC , CE=BD= 5、2 ,所以 AE=AD + DE=AD + BC=3 + 7=10。在等腰梯形 ABCD中，AC=BD= 5 2 ,所以在 ACE 中，AC2 CE ®2)2 S/NOO-AE2 ,從而AC丄CE，于是 AC丄BD。例 6 如圖，在梯形 ABCD 中，AD/BC , AC=15cm , BD=20cm，高 DH=12cm，求梯形 ABCD 的面積。 解：過(guò)點(diǎn)D作

25、DE/AC，交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn) E, 則四邊形ACED是平行四邊形， 即 S ABD 二 S ACD =s.dce。所以S梯形ABCD = S DBE由勾股定理得EH22二.DE -DH 2»；AC2 - DH二.152 -122 =9（cm）BH 二 BD2 -DH 2 二,202 -122 = 16（ cm）1 1 2S DBE BE DH (9 16) 12 = 150(cm )所以22，即梯形ABCD的面積是150cm2。(二) 、延長(zhǎng)即延長(zhǎng)兩腰相交于一點(diǎn)，可使梯形轉(zhuǎn)化為三角形。例 7 如圖，在梯形 ABCD 中，AD/BC，/ B=50 °，/ C=80°

26、; , AD=2 , BC=5，求 CD 的長(zhǎng)。解：延長(zhǎng)BA、CD交于點(diǎn)E。在厶 BCE 中，/ B=50。，/ C=80 所以/ E=50 °，從而 BC=EC=5同理可得AD=ED=2所以 CD=EC ED=5 2=3例8.如圖所示，四邊形ABCD中，AD不平行于BC , AC = BD , AD = BC.判斷四邊形 ABCD的形狀，并證明你的結(jié)論.解：四邊形ABCD是等腰梯形證明：延長(zhǎng)AD、BC相交于點(diǎn)E,如圖所示./ AC = BD , AD = BC, AB = BA , DAB 也厶 CBA./ DAB =Z CBA. EA = EB.又 AD = BC, DE = C

27、E,Z EDC =Z ECD.而/ E+Z EAB +Z EBA =Z E +Z EDC + Z ECD = 180 / EDC = Z EAB , DC / AB.又AD不平行于BC,四邊形ABCD是等腰梯形.B(三) 、作對(duì)角線即通過(guò)作對(duì)角線，使梯形轉(zhuǎn)化為三角形。例9如圖6,在直角梯形 ABCD中，AD/BC , AB丄AD , BC=CD , BE丄CD于點(diǎn)E,求證：AD=DE。E解：連結(jié)BD ,由 AD/BC，得/ ADB= / DBE ;由 BC=CD，得/ DBC= / BDC。所以/ ADB= / BDE。又/ BAD= / DEB=90 ° , BD=BD ,所以 R

28、t BAD 也 Rt BED ,得 AD=DE 。(四) 、作梯形的高1作一條高例10如圖，在直角梯形 ABCD中，AB/DC，/ ABC=90,AB=2DC，對(duì)角線AC丄BD，垂足為F,過(guò)點(diǎn)F作EF/AB，交AD于點(diǎn)E,求證：四邊形 ABFE是等腰梯形。百 G B證：過(guò)點(diǎn)D作DG丄AB于點(diǎn)G , 則易知四邊形 DGBC是矩形，所以 DC=BG。因?yàn)?AB=2DC，所以 AG=GB。從而 DA=DB，于是/ DAB= / DBA。又EF/AB，所以四邊形 ABFE是等腰梯形。2、作兩條高例 11、在等腰梯形 ABCD 中，AD/BC , AB=CD，/ ABC=60 ° , AD=3

29、cm , BC=5cm , 求：（1）腰AB的長(zhǎng)；（2）梯形ABCD的面積.解：作 AE丄BC于E, DF丄BC于F,又t AD / BC,四邊形AEFD是矩形，EF=AD=3cm/ AB=DC1 BE 二 FC （BC - EF） = 1cm2在 Rt ABE 中，/ B=60 ° , BE=1cm AB=2BE=2cm , AE = 3BE 二、3cmS梯形ABCD(AD BC) AE2例12如圖，在梯形 ABCD中，AD為上底，AB>CD，求證：BD>AC。 證：作 AE丄BC于E,作DF丄BC于F,則易知 AE=DF 。在 Rt ABE 和 Rt DCF 中，因?yàn)?/p>

30、 AB>CD , AE=DF。所以由勾股定理得 BE>CF。即BF>CE。在 Rt BDF 和 Rt CAE 中由勾股定理得BD>AC（五）、作中位線1已知梯形一腰中點(diǎn)，作梯形的中位線。例13如圖，在梯形 ABCD中，AB/DC，O是BC的中點(diǎn)，/ AOD=90 °，求證：AB + CD=AD。DC1證：取AD的中點(diǎn)E,連接OE,則易知OE是梯形ABCD的中位線，從而 OE= 2 （AB + CD在厶 AOD 中，/ AOD=90 ° , AE=DE1OE AD所以2由、得AB + CD=AD。2、已知梯形兩條對(duì)角線的中點(diǎn)，連接梯形一頂點(diǎn)與一條對(duì)角線

31、中點(diǎn)，并延長(zhǎng)與底邊相交，使問(wèn)題轉(zhuǎn) 化為三角形中位線。例14如圖，在梯形 ABCD中，AD/BC , E、F分別是BD、AC的中點(diǎn)，求證：（1） EF/AD ; （ 2）證：連接 DF，并延長(zhǎng)交 BC于點(diǎn)G,易證 AFD CFG 貝U AD=CG , DF=GF由于DE=BE，所以EF是厶BDG的中位線EFBG從而EF/BG，且2因?yàn)?AD/BG , BG = BC -CG =BC -AD=丄(BC _AD)所以 EF/AD , EF 23、在梯形中出現(xiàn)一腰上的中點(diǎn)時(shí)，過(guò)這點(diǎn)構(gòu)造出兩個(gè)全等的三角形達(dá)到解題的目的。例15、在梯形 ABCD中，AD / BC ,/ BAD=900 , E是DC上的中點(diǎn)，連接 AE和BE,求/ AEB=2/ CBE。解：分別延長(zhǎng) AE與BC，并交于F點(diǎn)/ BAD=900 且 AD / BC/ FBA=1800 -Z BAD=900又 AD / BCZ DAE= Z F（兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等）Z AED= Z FEC（對(duì)頂角相等）DE=EC（ E點(diǎn)是CD的中點(diǎn)） ADE FCE （AAS ） AE=FE在厶 ABF 中 Z FBA=900 且 AE=FE BE=