工程統(tǒng)計學第七章方差與正交試驗設計初步

1、2021-10-271第七章 方差分析與正交試驗設計初步2021-10-272本章重點與難點n重點:n 是了解和掌握方差分析與正交試驗設計的思想和方法。n難點:n 方差分析與正交試驗設計的方法。2021-10-273學習目標n 通過本章的學習，正確理解方差分析與正交試驗設計的思想和有關概念，了解各種方法的應用條件和范圍，能夠應用軟件進行有關的計算，能說明計算結果的含義。2021-10-274案例：染整工藝對布的縮水率有影響嗎 ?n 某公司為考察染整工藝是否對布的縮水率有顯著影響進行了試驗。試驗中采用三種染整工藝，分別對四種布樣進行了處理，測得縮水率的百分比資料如7-1表所示:2021-10-2

2、75問題：n(1) 如何判斷染整工藝類型對縮水率是否有顯著影響？若影響顯著，應采用哪種工藝？n(2) 如果還有一個因素B（試驗配方，共三種）也對縮水率產生作用，應該如何選擇最優(yōu)方案？n(3) 如果還有兩個或者兩個以上的因素也對縮水率產生作用，應該如何選擇最優(yōu)方案？n 為了回答上述問題，本章將介紹單因素方差分析、雙因素方差分析和正交試驗設計法的有關概念、分析思想、數學模型、方差分析表和正交試驗設計的基本方法等。2021-10-276n第一節(jié) 方差分析的基本思想 n第二節(jié) 單因素方差分析 n第四節(jié) 雙因素方差分析 n第四節(jié) 正交試驗設計初步 第七章方差分析與正交試驗設計初步2021-10-277第

3、一節(jié) 方差分析的基本思想 n一、方差分析的有關概念和基本思想 n二、顯著性檢驗2021-10-278一、方差分析的有關概念和基本思想 n（一）簡單平均數n 方差分析（Analysis of Variance，ANOVA）是一種檢驗多個總體均值是否相等的統(tǒng)計方法。 n 一般將方差分析研究的對象稱為因素，而因素中的內容稱為水平。若方差分析同時針對兩個因素進行，則稱為雙因素方差分析。 2021-10-279一、方差分析的有關概念和基本思想n 在本章案例中，縮水率就是試驗指標，染整工藝是所要檢驗的因素（又稱因子），三種不同的工藝可看成是該因素的三種水平，故這是一個單因素三水平的試驗。n 從表7.1可知

4、，12個數據各不相同。一方面，同一種工藝對不同種布樣的縮水率是不同的，其差異可以看成是由于隨機因素造成的；另一方面，不同工藝對各布樣的縮水率也是不同的，這既可能是由于染整工藝類型不同造成的，也有可能是由于隨機因素造成的。 2021-10-2710一、方差分析的有關概念和基本思想n 要判斷隨機因素和工藝差別哪個是造成縮水率不同的主要原因，可假設三種不同的工藝為三個不同的可假設三種不同的工藝為三個不同的總體，將此問題歸結為判斷三個總體是否具有相同的總體，將此問題歸結為判斷三個總體是否具有相同的分布。分布。又由于經常假定遇到的是正態(tài)總體，且在進行試驗時，除了要檢驗的因素，其他條件是盡可能保持一致的，

5、于是可以認為每個總體的方差是相同的認為每個總體的方差是相同的。這樣一來，推斷幾個總體是否具有相同分布，就可以化推斷幾個總體是否具有相同分布，就可以化為檢驗幾個具有相同方差的正態(tài)總體均值是否相等的為檢驗幾個具有相同方差的正態(tài)總體均值是否相等的問題。問題。這里還要假定各水平觀察值為來自正態(tài)總體的隨機樣本，各總體相互獨立且方差相同。這些假定在實際中一般難以嚴格滿足，但應對數據進行處理，使其近似地滿足正態(tài)分布。 2021-10-2711二、顯著性檢驗二、顯著性檢驗n 設檢驗的因素有m個水平，分別記為n ，在每個水平下做k次試驗，觀察值 n 表示第i個水平下的第j個試驗值。又設 n 是m個相互獨立且方差

6、相等的正態(tài)總體， 的總體均值 ，則方差分析實際上就是要檢驗假設：2021-10-2712n令n=mkn通常稱 為組平均數，稱 為總平均數。2021-10-2713平方和分解公式： 2021-10-2714n 稱為總離差平方和，它是描述所有數值離散程度的數量指標。n 稱為組內平方和或誤差平方和，是觀察值與組內平均數之差的平方和，它反映了組內（即在同一水平之下）樣本的隨機波動。n 的自由度 ，其組內方差為 。n 稱為組間平方和，是組內平均數與總平均數之差的平方和，它反映了因素水平的不同及隨機因素引起的差異。 的自由度 ，其組內方差為n 。2021-10-2715第二節(jié) 單因素方差分析一、各水平試驗

7、次數相等的方差分析 試驗次數相等的單因素方差分析的具體步驟：1建立假設2021-10-2716n2計算有關均值 2021-10-2717在表7.1中增加若干計算欄，計算有關均值，如表7.3所示。2021-10-27183計算離差平方和2021-10-27194列方差分析表2021-10-2720對于本章案例，方差分析表如表7.5所示：2021-10-27215統(tǒng)計檢驗n 對于顯著性水平 ，檢驗統(tǒng)計量 ，說明不同工藝方法的差異顯著。又由于 ,故第一種工藝方法（即 ）對布料縮水率的影響顯著小于其他方法，應予采用。2021-10-2722二、試驗次數不等的方差分析二、試驗次數不等的方差分析n試驗中，

8、有時各水平下的試驗次數不相等，如表7.6所示：2021-10-2723試驗次數不等的單因素方差分析的計算步驟與試驗次數相等的完全一樣，只是將K改為 即可。n 例7.1 為了對幾個行業(yè)的服務質量進行評價，某市消費者協(xié)會對該地的旅游業(yè)、居民服務業(yè)、公路客運業(yè)和保險業(yè)分別抽取了不同數量的企業(yè)。每個行業(yè)中的這些企業(yè)在服務內容、服務對象、企業(yè)規(guī)模等方面基本相同。經統(tǒng)計，最近一年消費者對這23家企業(yè)投訴的次數資料如表7-7所示，消費者協(xié)會想知道:這幾個行業(yè)之間的服務質量是否有顯著差異？如果有，究竟是在哪些行業(yè)之間？如果能找出哪些行業(yè)的服務質量最差，就可以建議對消費者權益保護法中該行業(yè)的某些條款作出修正。2

9、021-10-2724n 對于給定的顯著性水平，由F分布表可查出相應自由度的臨界值 。如果， 則拒絕原假設 ，此時說明因素A對試驗指標起顯著影響；如果 ，則接受原假設 ，此時說明因素A的不同水平對試驗指標的影響不顯著。2021-10-27252021-10-2726n解(1) 建立假設 n 不全相等 n(2) 計算有關均值及平方和 2021-10-2727n(3) 列方差分析表(表7-8)2021-10-2728n(4) 統(tǒng)計決策n對于顯著性水平 n由于檢驗統(tǒng)計量 ，所以拒絕原假設 ，即有95%的把握認為不同的行業(yè)之間投訴的差異顯著。2021-10-2729Excel中方差分析的計算步驟n(1

10、) 點擊“工具”欄中的數據分析項；n(2) 在分析工具框中連擊“單因素方差分析”；n(3) 在對話框的“數據區(qū)域”框中鍵入A3：C6；n在框中保持0.05不變（也可根據需要變?yōu)?.01）；n在“輸出選項”中鍵入D3；n選擇“確定”，輸出結果如表7-9所示：2021-10-2730由于P=0.0207150.05，故拒絕原假設，即有95%的把握認為三種染整工藝縮水率的差異是顯著的。 2021-10-2731三、方差分析中的多重比較三、方差分析中的多重比較n最小顯著差異法 的基本步驟為：n第一步：提出原假設： n第二步：計算各檢驗統(tǒng)計量的 值；n第三步：計算LSD，其公式為：n第四步：根據顯著性水

11、平進行決策：如果n 的值，則拒絕 ；否則，則接受 2021-10-2732對于例7.1，對四個行業(yè)的均值進行多重比較（=0.05） n由題意及計算可知， n第一步：提出假設2021-10-27332021-10-27342021-10-2735第四步：進行決策2021-10-2736第三節(jié) 雙因素方差分析n一、無交互作用的雙因素方差分析n 若記一因素為因素若記一因素為因素A，另一因素為因素，另一因素為因素B，對對A與與B同時進行分析，就屬于雙因素方差分，同時進行分析，就屬于雙因素方差分，即判斷是否有某一個或兩個因素對試驗指標有即判斷是否有某一個或兩個因素對試驗指標有顯著影響，兩個因素結合后是否

12、有新效應。在顯著影響，兩個因素結合后是否有新效應。在統(tǒng)計學中將各個因素的不同水平的搭配所產生統(tǒng)計學中將各個因素的不同水平的搭配所產生的新的影響稱為交互作用。我們先討論無交互的新的影響稱為交互作用。我們先討論無交互作用的雙因素方差分析問題，對于有交互作用作用的雙因素方差分析問題，對于有交互作用的雙因素方差分析問題稍后再討論。的雙因素方差分析問題稍后再討論。2021-10-2737n 假定因素A有r個水平： ；因素B有s個水平： 。在A的r個水平與B的s個水平的每種組合下作一次試驗，可得無交互作用的雙因素方差分析的數據結構如表7-10所示：2021-10-2738表7-10 雙因素方差分析的數據結

13、構2021-10-2739n在表7-10中：2021-10-2740n判斷因素A的影響是否顯著等價于檢驗假設：n判斷因素B的影響是否顯著等價于檢驗假設：n其中， 表示A的第i個水平所構成的總體均值， 表示的B第j個水平所構成的總體均值。2021-10-2741n 對離差總平方和進行分解。與單因素情況類似，能夠證明下列公式成立：2021-10-2742n由數理統(tǒng)計可以證明：當 時 2021-10-27432021-10-27442021-10-2745表7-11 雙因素（無交互作用）方差分析表 2021-10-2746n 例7.2 為提高某種產品的合格率，考察原料用量和來源地對其是否有影響。原料

14、來源地有三個：甲、乙、丙；原料用量有三種：現有量、增加5%、增加8%。每個水平組合各作一次試驗，得到的數據如表7-12所示。試分析原料用量和來源地對產品合格率的影響是否顯著？2021-10-2747表7-12 產品合格率數據2021-10-2748n解:(1) 建立假設n(2) 計算相應的均值和平方和：2021-10-2749(3) 列方差分析表2021-10-2750(4) 統(tǒng)計決策n對于顯著性水平 =0.05，查表得臨界值n因為 n即根據現有數據，有95%的把握可以推斷原料來源地對產品合格率的影響不大，而原料用量對合格率有顯著影響。n由于 為最優(yōu)水平。既然原料來源地對產品合格率的影響不顯著

15、，在保證質量的前提下，可以選擇運費最省的地方作為原料來源地選擇時的首選。如果丙地的運費最省，則最優(yōu)方案為 。 2021-10-2751Excel應用n以例7.2為例，設數據輸入到Excel工作表的區(qū)域為A2:C4，再按以下步驟進行：n(1) 點擊“工具”欄中的數據分析項。n(2) 分析工具框中連擊“方差分析：無重復的雙因素方差分析”。n(3) 在對話框的“數據區(qū)域”框中鍵入B3：D5；n在框中保持0.05不變（也可根據需要變?yōu)?.01）；n在“輸出選項”中鍵入E2；n選擇“確定”，輸出結果如表7-14所示： 2021-10-2752表7-14 無重復雙因素分析方差分析結果2021-10-275

16、3二、有交互作用的雙因素方差分析二、有交互作用的雙因素方差分析2021-10-2754表7-15 有交互作用的雙因素方差分析數據結構2021-10-27552021-10-27562021-10-2757n對這一模型可設如下三個假設：2021-10-27583方差分析n與單因素方差分析的平方和分解類似，有 2021-10-27592021-10-27602021-10-2761表7.16 雙因素（有交互作用）方差分析表2021-10-2762n 例7.3 某公司想將橡膠、塑料和軟木的板材沖壓成密封墊片出售。市場上有兩種不同型號的沖壓機可供選擇。為了能對沖壓機每小時所生產的墊片數進行比較，并確定

17、哪種機器使用何種材料生產墊片的能力更強，該公司使用每臺機器對每一種材料分別運行三段時間，得到的試驗數據（每小時生產的墊片數）如表7-16所示，試運用方差分析確定最優(yōu)方案。2021-10-27632021-10-2764n解n(1) 建立假設： n(2) 計算相應的均值和平方和：2021-10-27652021-10-2766(3) 列方差分析表（7-19）2021-10-2767n(4) 統(tǒng)計決策n由于 ,說明不僅沖壓機的型號和墊片材料對墊片數量有顯著影響，而且其交互作用也是顯著的。由結構均值表可知，在沖壓機中,第一種的均值較大；墊片材料中,木的均值較大，故最優(yōu)方案是 。 2021-10-27

18、68有交互作用的雙因素方差分析中的Excel應用 n以例7.3為例，設數據輸入到Excel工作表的區(qū)域為A2:C7，再按以下步驟進行：n(1) 點擊“工具”欄中的數據分析項。n(2) 分析工具框中連擊“方差分析：可重復雙因素方差分析”。n(3) 在對話框的“數據區(qū)域”框中鍵入A1：D7;n在 框中保持0.05不變（也可根據需要變?yōu)?.01）;n在“輸出選項”中鍵入F2;n選擇“確定”，輸出結果如表7-20所示：2021-10-27692021-10-27702021-10-2771第四節(jié) 正交試驗設計初步一、試驗設計的概念和設計原則n試驗設計有三個基本原則：重復性、隨機化和區(qū)組化。n(1) 重

19、復性原則：重復性是指對一項試驗要在相同的條件下重復進行若干次。只有進行多次的試驗，才能掌握其規(guī)律性。n(2) 隨機化原則：隨機化是指試驗材料和試驗地點都要隨機地確定。這樣進行試驗得出的結論才具有客觀性和普遍性，且每次進行的試驗都可認為是相互獨立的。n(3) 區(qū)組化原則：一組試驗，試驗者總希望在相同或近似相同的條件下進行，以便在相互比較中得出正確的結論。 2021-10-2772在安排試驗時需要注意三點： n第一、盡量減少試驗誤差。在試驗時，要盡可能使對試驗產生影響的其他因素達到理論中要求的精確程度，這樣我們在對目的指標進行測算時才能達到較為客觀的結果。在一項試驗中誤差是必然存在的，我們的目的就

20、是要盡量減少該誤差。n第二、盡量減少試驗次數。試驗的次數越多，進行試驗所耗費的人力、物力也就會相應地增多，最佳的試驗就是用盡可能少的費用來獲得最有效的試驗結果。n第三、所設計的試驗要便于對指標值進行統(tǒng)計分析。影響一個事件的指標是多樣的，在進行設計時要選擇比較容易測算且對事件影響較大的指標進行計算。2021-10-2773n 在現實問題中，影響試驗指標的因素通常有很多個，要考察它們就涉及多因子的試驗設計問題。多因子試驗中一個很困難的問題就是因子數較多，而又需要進行多次的試驗。例如，有10個因子對某一指標有顯著影響，而每個因子取兩個水平進行比較，那么就有210=1024個不同的水平組合，即每個水平

21、組合作一次試驗，就需要進行1024次試驗，耗費的人力、財力可想而知，這在實際中是不可行的。因此，需要按照一定的方法從中選擇一部分進行試驗。常用的試驗設計方法有正交試驗設計法、參數設計法、回歸設計法、均勻設計法、混料設計法等。限于篇幅，這里僅介紹正交試驗設計的基礎知識，其他方法請讀者自行閱讀試驗設計的有關書籍。2021-10-2774二、多因子試驗問題n 在多因子試驗中，各因子又有不同的水平數，我們的目的是要從這些因子不同的水平組合中，找出一組或幾組組合使所要求的指標達到最優(yōu)。下面以一個二因子的例子來具體認識一下多因子試驗問題。n例7.4 為提高合金鋼的強度，同時考慮碳(C)含量(因子)及鈦(T

22、i)與鋁(AL)的含量(因子)對強度Y的影響，希望找出最佳的含量組合，使強度Y達到最大（表7-21）。2021-10-2775表7-21 合金鋼的試驗數據2021-10-27762021-10-2777三、交互作用n 一個因子的水平好壞或好壞的程度受另一個因子水平制約的情況，稱為因子A和B的交互作用，記作 或AB。n 因子A和B的交互作用可以用圖形較為直觀地表示。n 2021-10-27782021-10-2779n 因子間的交互作用會隨著因子個數的增加而增加。如四個因子A，B，C，D間的交互作用有以下幾類：n(1) 二級交互作用有6個： AB， AC， AD， BC， BD， CD；n(2)

23、 三級交互作用有4個： ABC， ABD， ACD， BCD；n(3) 四級交互作用有1個： ABCD 。n 交互作用共有11個，比因子個數還多。實踐經驗表明，多數交互作用是不存在或者很小以至可以忽略不計的，一般我們主要考慮部分二級交互作用，但具體考察哪些二級交互作用還要根據下面的方法來決定。 2021-10-2780四、正交表及其類型n 正交試驗設計法是利用正交表科學地挑選試驗條件，合理安排試驗的方法，是研究與處理多因素試驗的一種科學方法。n 正交設計有兩個重要的特點：（1）任意一對因子（也稱因素）的任一水平組合必在試驗中出現，且出現的次數相同；（2）總試驗次數比全面試驗（所有因子的任一水平

24、組合都進行搭配）要少許多次。例如，對7個二水平因子進行全面試驗要進行27=128次，而用正交表安排試驗只需要作8次。用正交表合理地安排試驗，可以做到省時、省力、省錢，還能得到令人滿意的檢驗效果，因此這種方法在改進產品質量、研究采用新工藝、試制新產品、了解設備工藝性能以及改進技術管理等方面都有廣泛的應用。 2021-10-27811正交表及其特性n 正交表是正交設計的工具，是運用組合數學理論在正交拉丁方的基礎上構造的一種規(guī)格化表格，符號為：n其中，L為正交表符號；n n為正交表的行數(試驗次數，試驗方案數)；n j為正交表中每一列因子的水平個數；n i為正交表的列數(試驗因子的個數)。 n 20

25、21-10-27822021-10-27832021-10-2784n 正交表具有正交性，這是指它有如下兩個特征：n（1）每列中不同的數字重復的次數相同。在表7.22中，每列有兩個不同的數字：1，2，每一個各出現4次。n（2）將任意兩列的同行數字看成一個數對，那么任意可能數對重復的次數相等。在 中，任意兩列有4種可能數對：(1，1)， (1，2)，(2，1)，(2，2)，每一對各出現2次。 2021-10-27852正交表的分類2021-10-2786五、無交互作用情況下的設計n正交表安排試驗的步驟如下：n（1） 明確試驗目的，確定要考察的試驗指標。n（2） 確定要考察的因子和因子的水平。n（

26、3） 選用合格的正交表，進行表頭設計。n（4） 根據試驗號的安排進行試驗，并記錄試驗指標的具體數據。n（5） 數據分析。對一個正交表形式的試驗設計通常有三種分析方法：一是用極差分析各因子對指標影響程度的大小，這是一種較為簡單的直觀分析方法；二是用方差分析進行數據分析；三是貢獻率分析法。 2021-10-2787n例7.5 某化工廠生產的一種產品的收率較低，為此希望通過試驗提高收率。在試驗中考察如下三個因子三個水平（表7-23）：n表7-23 因子水平表 2021-10-2788n解n 由于所考察的因子是三水平的，因此選用三水平正交表，又現在只考察三個因子，故選擇 安排試驗。n 選定了正交表后把

27、因子放在正交表的列上去，稱為表頭設計。在例7.5中將三個因子置于前三列，將它寫成如下的表頭設計形式： 2021-10-2789n九次試驗的結果收率(%)分別是：n51 61 58 72 69 59 87 85 84n(一) 用極差分析各因子對指標影響程度的大小n1用直觀分析表對該試驗進行分析n為方便起見，把試驗結果寫在正交表的右邊一列上，并分別用 表示，所有計算可以在表上進行。2021-10-2790n 首先來看第一列，該列中的1，2，3分別表示因子的三個水平，按水平號將數據分為三組：“1”對應 ，“2”對應 ，“3”對應 。n 在第二列，該列中的1，2，3分別表示因子B的三個水平，按水平號將

28、數據分為三組：“1”對應 ，“2”對應 ，“3”對應 。同理我們可以從圖中得到第三列的情況。2021-10-2791n 分別對每一列每個水平的數據進行相加，得到這個水平下該因子對應指標值的和，例如，2021-10-2792n 同理我們可以得到對應C水平的T1，T2，T3的值，用每個水平得出的Ti的值去除以3就得到其均值 。n 由以上計算可知，每個因子下間的差異反映了這個因子三個水平間的差異；分別對三個因子的各個水平進行數值大小比較：因子A的三個水平均值差異較大，其第三個水平的均值最大，故因子A的三水平最好。對第二、三列進行類似地分析，可知因子B的第二個水平好，因子C的第二個水平好。 n 202

29、1-10-2793n對第四列也可以進行上述分析，按其中的1，2，3分別將數據分為三組，但三組的水平組合相同，因此該列僅反映誤差。n綜上可知，使指標達到最佳的水平組合是，即反應溫度為90度、加堿量為48公斤、選取乙類催化劑可以使轉化率達到最大。2021-10-27942用極差分析各因子對指標影響程度的大小n 一個因子的極差是該因子各水平均值的最大值與最小值之差，如果該值大，則說明改變這一因子的水平會對指標造成較大的變化，所以該因子對指標的影響大，反之，則影響小。極差最大的列所對應的因子是最主要因子。當要求指標愈高愈好時，可選R行中最大者，所對應的水平為優(yōu)水平；當要求指標愈低愈好時，可選R行中最小

30、者其所對應的水平為優(yōu)水平。 2021-10-2795n在例7.5中各個因子的極差分別是：n它們被置于表7-24的最下方一行。從三個因子的極差可知因子A的影響最大，其次是C，而因子B的影響則最小，通常記為n 2021-10-2796表7-24 例7.5的直觀分析計算表2021-10-2797(二) 用方差分析進行數據分析n 用方差分析方法來說明影響指標的因子的分析步驟如下：n1建立統(tǒng)計模型n要對試驗進行方差分析，首先要作幾點假設：n(1) 在同一水平組合下全部試驗結果構成一個總體，且服從正態(tài)分布；n(2) 各正態(tài)總體的方差相同，均為 ；n(3) 各正態(tài)均值與水平組合有關；n(4) 不同水平組合下

31、的試驗是相互獨立的。 2021-10-27982021-10-27992進行平方和分解n總平方和為：2021-10-271003計算各因子的平方和n（1）因子的平方和是此因子各水平均值與總均值間的離差平方和；n（2）一個置于正交表第k列上的因子，其平方和 ，其自由度 ；n（3） 因子平方和中除了誤差之外只反映此因子的效應間的差異；n（4）誤差平方和 等于諸空白列的平方和之和，其自由度等于諸空白列的自由度之和。 2021-10-271014方差分析表2021-10-271022021-10-271035最佳水平選擇n(1)對顯著因子應選擇其最好的水平；n(2)對不顯著的因子可以任意選擇水平，常可根據降低成本、操作方便等來選擇其水平。2021-10-271046最佳水平組合均值估計2021-10-271052021-10-271067驗證試驗n 在實際問題中,分析所得的最佳水平組合無論是否在試驗中出現，通常都需要作驗證