2021年高考數(shù)學(xué)三輪沖刺大題練習(xí)04空間幾何體含答案詳解

1、2021年高考數(shù)學(xué)三輪沖刺大題練習(xí)04空間幾何體如圖，在四棱錐p-abcd中，pc底面abcd，ab=ad=1,ab/cd,abad，點(diǎn)e為pc的中點(diǎn).平面abe交側(cè)棱pd于點(diǎn)f，四邊形abef為平行四邊形.（1）求證：平面pbd平面pbc；（2）若二面角a-pb-c的余弦值為，求pd與平面pab所成角的正弦值.      如圖，三棱柱abc-a1b1c1的各棱長均相等，aa1底面abc，e，f分別為棱aa1,bc的中點(diǎn)（1）過fa1作平面，使得直線be/平面，若平面與直線bb1交于點(diǎn)h，指出點(diǎn)h所在的位置，并說明理由；（2）求二面角b-fh-

2、a1的余弦值 如圖1,在直角梯形abcd中,adbc,abbc,bddc,點(diǎn)e是bc邊的中點(diǎn),將abd沿bd折起,使平面abd平面bcd,連接ae,ac,de,得到如圖2所示的幾何體.(1)求證:ab平面adc;(2)若ad=1,二面角cabd的平面角的正切值為6,求二面角bade的余弦值.如圖,已知四棱錐sabcd,底面梯形abcd中,bcad,平面sab平面abcd,sab是等邊三角形,已知ac=2ab=4,bc=2ad=2dc=2.(1)求證:平面sab平面sac;(2)求二面角bsca的余弦值.如圖(1)，在矩形abcd中，ab=1，ad=2，點(diǎn)e為ad的中點(diǎn)，沿be將abe折起至pb

3、e，如圖所示，點(diǎn)p在平面bcde上的射影o落在be上.圖(1) 圖(2)(1)求證：bpce；(2)求二面角b­pc­d的余弦值. 如圖1,acb=45°,bc=3,過動點(diǎn)a作adbc,垂足d在線段bc上且異于點(diǎn)b,連接ab,沿ad將abd折起,使bdc=90°(如圖2所示).(1)當(dāng)bd的長為多少時(shí),三棱錐abcd的體積最大;(2)當(dāng)三棱錐abcd的體積最大時(shí),設(shè)點(diǎn)e,m分別為棱bc,ac的中點(diǎn),試在棱cd上確定一點(diǎn)n,使得enbm,并求en與平面bmn所成角的大小.如圖，四棱柱abcd-a1b1c1d1的底面abcd為菱形，且a1ab=a1ad.（1

4、）證明：四邊形bb1d1d為矩形；（2）若ab=a1a,bad=60°，a1a與平面abcd所成的角為30°，求二面角a1-bb1-d的余弦值.在四棱錐p-abcd中，ab/cd,ab=2cd=2bc=2ad=4，dab=60°，ae=be,pad為正三角形，且平面pad平面abcd，平面pec平面pad=l。（1）求證：l/ec；（2）求二面角p-ec-d的余弦值；（3）是否存在線段pc（端點(diǎn)p,c除外）上一點(diǎn)m，使得deam，若存在，指出點(diǎn)m的位置，若不存在，請明理由。答案解析解：解： (1)證明:因?yàn)槠矫鎍bd平面bcd,平面abd平面bcd=bd,又bdd

5、c,所以dc平面abd.因?yàn)閍b平面abd,所以dcab.又折疊前后均有adab,dcad=d,所以ab平面adc.(2)解:由(1)知ab平面adc,所以abac,又abad,所以二面角cabd的平面角為cad.又dc平面abd,ad平面abd,所以dcad.依題意tancad=cdad=6.因?yàn)閍d=1,所以cd=6,設(shè)ab=x(x>0),則bd=.依題意abddcb,所以=cdbd,即=.又x>0,解得x=,故ab=2,bd=3,bc=bd2+cd2=3.如圖所示,建立空間直角坐標(biāo)系dxyz,則d(0,0,0),b(3,0,0), c(0,6,0),e(,0),a(,0,),

6、所以=(,0),=(,0,).由(1)知平面bad的一個(gè)法向量為n=(0,1,0).設(shè)平面ade的法向量為m=(x,y,z),由m·de=0,m·da=0,得32x+62y=0,33x+63z=0.令x=6,得y=-3,z=-3,所以m=(6,-3,-3).所以cos <n,m>=n·m|n|m|=-12.由圖可知二面角bade的平面角為銳角,所以二面角bade的余弦值為12. (1)證明:在bca中,由于ab=2,ca=4,bc=25,所以ab2+ac2=bc2,故abac.又平面sab平面abcd,平面sab平面abcd=ab,ac平面abcd,所

7、以ac平面sab,又ac平面sac,故平面sac平面sab.(2)解:如圖,建立空間直角坐標(biāo)系axyz,則a(0,0,0),b(2,0,0), s(1,0,3),c(0,4,0),=(1,-4,3),=(-2,4,0),=(0,4,0).設(shè)平面sbc的法向量n=(x1,y1,z1),-2x1+4y1=0,x1-4y1+3z1=0,令y1=1,則x1=2,z1=233,所以n=(2,1,233).設(shè)平面sca的法向量m=(x2,y2,z2),4y2=0,x2-4y2+3z2=0,令x2=-3,所以m=(-3,0,1).所以|cos<n,m>|=|n·m|n|m|=21919

8、,易知二面角bsca的平面角為銳角,所以二面角bsca的余弦值為21919.解：(1)證明：因?yàn)辄c(diǎn)p在平面bcde上的射影o落在be上，所以平面pbe平面bcde，易知bece，所以ce平面pbe，而bp平面pbe，所以pbce.(2)以o為坐標(biāo)原點(diǎn)，以過點(diǎn)o且平行于cd的直線為x軸，過點(diǎn)o且平行于bc的直線為y軸，直線po為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則b，c，d，p.所以=(1,0,0)，=，=，=(0,2,0).設(shè)平面pcd的法向量為n1=(x1，y1，z1)，則有，即，令z1=，可得n1=.設(shè)平面pbc的法向量為n2=(x2，y2，z2)，則，即，令z2=，可得n2=(2,0，

9、).所以cosn1，n2=.考慮到二面角b­pc­d為鈍角，則其余弦值為.解:(1)設(shè)bd=x(0<x<3),則cd=3-x.由adbc,acb=45°知,adc為等腰直角三角形,所以ad=cd=3-x.由折起前adbc知,折起后,addc,adbd,且bddc=d,所以ad平面bcd.又bdc=90°,所以sbcd=12bd·cd=12x(3-x).于是vabcd=13ad·sbcd=13(3-x)·12x(3-x)=·2x(3-x)·(3-x) 2x+(3-x)+(3-x)33=23(當(dāng)且

10、僅當(dāng)2x=3-x,即x=1時(shí),等號成立),故當(dāng)x=1,即bd=1時(shí),三棱錐abcd的體積最大.(2)以d為原點(diǎn),建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系dxyz.由(1)知,當(dāng)三棱錐abcd的體積最大時(shí),bd=1,ad=cd=2.于是可得d(0,0,0),b(1,0,0),c(0,2,0),a(0,0,2),m(0,1,1),e(12,1,0),所以=(-1,1,1).設(shè)n(0,0),則=(-12,-1,0).因?yàn)閑nbm,所以·=0,即(-12,-1,0)·(-1,1,1)=12+-1=0,故=12,n(0,12,0).所以當(dāng)dn=12(即n是cd上靠近點(diǎn)d的一個(gè)四等分點(diǎn))時(shí),enbm.設(shè)平面bmn的一個(gè)法向量為n=(x,y,z),由nbn,nbm,及bn=(-1,12,0),得-x+