2020屆江蘇省南通市、泰州市高三上學期第一次聯(lián)合調研測試數(shù)學試題(解析版)

1、2020屆江蘇省南通市、泰州市高三上學期第一次聯(lián)合調研測試數(shù)學試題一、填空題1 .已知集合 A= 1,0, 2 , B = 1, 1, 2,則 AAB=.【答案】1,2【解析】根據交集的定義求解即可【詳解】由題，A B 1,2 ,故答案為：1,2【點睛】本題考查交集的運算，屬于基礎題2 .已知復數(shù)z滿足1 i z= 2i,其中i是虛數(shù)單位，則z的模為.【答案】2【解析】利用復數(shù)的除法法則可得 z 1 i,進而求得模即可【詳解】2i 2i 1 i 2i 2由題，z1 i,1 i 1 i 1 i 2所以 |z ，12 12&,故答案為：,2【點睛】本題考查復數(shù)的模，考查復數(shù)除法法則的應用，

2、屬于基礎題3 .某校高三數(shù)學組有 5名黨員教師，他們一天中在 學習強國”平臺上的學習積分依次 為35, 35, 41, 38, 51,則這5名黨員教師學習積分的平均值為 .【答案】40【解析】 根據平均數(shù)的公式計算即可【詳解】由題,則平均值為135 35 41 38 5140,5故答案為：40【點睛】本題考查求平均數(shù)，考查運算能力，屬于基礎題4 .根據如圖所示的偽代碼，輸出的a的值為：While 0： .:(J*fl+lI;i 什 I:!EndWhile：!；Prima：_ - - *1【答案】11【解析】根據已知中的語句可知，該程序的功能是循環(huán)計算 a并輸出滿足條件的a的值, 模擬程序的運行

3、過程，即可得答案【詳解】當 a 1 時，i 1 4,則 a 1 1 2,i 1 1 2 4,則 a 224,i 2134,貝Ua 437,i 3 1 4 4,則 a 7 4 11,i 4 1 5 i,所以輸出a 11,故答案為：11【點睛】本題考查循環(huán)結構和算法語句，當程序的運行次數(shù)不多時，采用模擬程序運行結果的辦法進行解答即可5.已知等差數(shù)列 an的公差d不為0,且a1，a2, a4成等比數(shù)列，則 a1的值為. d【答案】1【解析】由等比中項可得a22 a1 a4,再根據等差數(shù)列 an可得21一 、， 一a1da1al 3d ，即可求得a1與d的關系【詳解】由d 0的等差數(shù)列 an ,2.2

4、因為4e2e4成等比數(shù)列，則a2aia4,即a1da1a13d可得a d,則 1, d故答案為：1【點睛】本題考查等差數(shù)列定義的應用，考查等比中項的應用，屬于基礎題6.將一枚質地均勻的硬幣先后拋擲3次，則恰好出現(xiàn) 2次正面向上的概率為先求得正面向上的概率，再求得恰好出現(xiàn)2次正面向上的概率即可第15頁共17頁1設芷面向上為事件A,則P A,則P A2所以恰好出現(xiàn)2次正面向上的概率為p C；3故答案為：3本題考查獨立重復試驗求概率，屬于基礎題A1 BB1C1的體積為7 .在正三棱柱 ABC A1B1C1中，AA1 = AB=2，則三枝錐【解析】根據正三棱柱的性質可得各棱長均為2,則VA1 BB1c

5、lVb A1B1c1 ,進而求解即可因為正三棱柱 ABC A1B1C1,則BB1 底面A B1C1, A1B1C1是等邊三角形又因為AA1 AB 2,則三棱柱各棱長均為2,則 V$ BBC1 Vb A1B1C1 ; g 22 sin60 2,323故答案為：2_!33【點睛】本題考查三棱錐的體積的計算，考查正三棱柱的性質應用，考查轉化思想8 .已如函數(shù)f (x) sin x (0).若當*= 一時，函數(shù)f x取得最大值，則36的最小值為.【答案】5【解析】 根據當x 能取到最大值可得 一一 一 2k k Z ,則663 25 12k k Z，由0,k賦值，即可求解【詳解】由題，至-2k k Z

6、，即 5 12k k Z ,因為0,則當k 0時，5,故答案為：5【點睛】本題考查正弦型函數(shù)對稱性的應用，屬于基礎題9.已知函數(shù)fx=m2x2 m8xm R是奇函數(shù).若對于任意的x R,關于x的不等 式f x2 1 f a恒成立，則實數(shù) a的取值范圍是 .【答案】a 1【解析】先由奇函數(shù)可得m 2 ,代回解析式則可判斷函數(shù)單調遞減，進而可將f x2 1 f a恒成立轉化為x2 1 a恒成立，從而求解即可【詳解】因為f x是奇函數(shù)，所以222f x f x m 2 x m 8 x m 2 x m 8 x 2 m 2 x 0,則m 2 ,所以f x6x,所以f x在R上單調遞減，22因為f x 1

7、 f a恒成立，所以x2 1 a恒成立，則a x 1 min 1,故答案為：a 1【點睛】本題考查已知函數(shù)奇偶性求參數(shù)，考查利用函數(shù)單調性解不等式恒成立問題10.在平面直角坐標系 xOy中，已知點A, B分別在雙曲線 C : x2 y2=1的兩條漸近線上，且雙曲線C經過線段AB的中點.若點A的橫坐標為2,則點B的橫坐標為-1【答案】-2【解析】先得到漸近線方程為 y x,則可設a為2, 2 , B x,x , AB的中點為C中，解得x即為所求2 x 2 x,，再將中點坐標代入雙曲線22由題，雙曲線C的漸近線方程為：y x,因為點A的橫坐標為2,則設a為2, 2 ,B x,x則AB的中點為22所

8、以3_x-2xi，解得x222則點B的橫坐標為, 2,1故答案為：12本題考查雙曲線漸近線方程的應用，考查中點公式的應用11.盡管目前人類還無法準確預報地震，但科學家通過研究，已經對地震有所了解，例如，地震時釋放出的能量E （單位:焦耳）與地震里氏震級 M之間的關系為lgE=4.81.5M . 2008年5月汶川發(fā)生里氏 8.0級地震，它釋放出來的能量是2019年6月四川長寧發(fā)生里氏6.0級地震釋放出來能量的 倍.【答案】1000【解析】由題意分別求得 M 6和8時的能量 巳進而求得能量的比【詳解】由題，當 M8 時,lgE 4.8 1.5 8,則 e 1016.8；當 M 6時，lgE 4.

9、8 1.5 6 13.8，則 e 1013.8,1016.8所以鼻103101000,故答案為:1000本題考查對數(shù)的運算性質的應用，考查閱讀分析能力-22 ,進而 cosA i 1443x2.9x4則BD2為關于x的函數(shù)，利用換元法和導函數(shù)求得最值即可uuvuuiv12 .已知AABC的面積3,且AB = AC .若CD 2DA ,則BD的最小值為【解析】由題可設AD x,則AB AC 3x,利用余弦定理可得22222BD AB AD 2AB AD cosA 10x 6x cosA,再根據二角形面積公式可11 _ _得 S AB AC sin A 3x 3x sin A 3,則 sin A【

10、詳解】由題，設ADx,則 AB AC 3x,所以BD2AB2AD2 2ABAD cos A3x 2 x2 23x22x cosA 10x 6x cosA因為S1-AB AC sinA 21 c c3x 3x sin A 3,所以 sin A20,1 ,因為大邊對大角，所以令A為銳角，則cos A J1 。,所以2_ 2_ 2BD 10x 6x49x410x22.9x4 4田10t 2、9t2 4,所以18tt 10,9t2-50,則 t6則f (t)在上單調遞減，在56,上單調遞增，所以t min102f I163所以BDmm16 4出33故答案為:4_33本題考查利用正弦定理、余弦定理解三角

11、形，考查利用導函數(shù)求最值，考查運算能力13 .在平面直角坐標系 xOy中， 已知圓Ci : x2 y 2=8與圓C2 : x2 y 2 2x y a=0相 交于A, B兩點.若圓Ci上存在點P,使得4ABP為等腰直角三角形，則實數(shù) a的值組 成的集合為.【答案】 8,8 2、5,8 2.5【解析】先求得直線AB為：2x y 8 a 0,再分別討論 PAB 90或PBA 90和 APB 90的情況，根據幾何性質求解即可【詳解】由題,則直線AB為：2x y 8 a 0,當 PAB 90或 PBA 90時，設C1到AB的距離為d ,因為 ABP等腰直角三角形，11所以 d -ABd 48 d2,所以

12、 d 2, 228 a ,一l所以2 d 2,解得 a 8 25/5,22 12當 APB 90時，AB經過圓心C1,則8 a 0,即a 8,故答案為：8,8 2 ,5,8 2.5【點睛】本題考查圓與圓的位置關系的應用，考查點到直線距離公式的應用，考查分類討論思想和數(shù)形結合思想14.已知函數(shù)f(x)六,x 0x 1,若關于x的方程f 2 x2af x 1 a2= 0有五個不相等的實數(shù)本則實數(shù) a的取值范圍是【答案】1,1 -.3【解析】畫出圖像，令tf x，由5個不相等的實根可得t10,1 ,t21,，則可列出不得關系，進而求得參數(shù)范圍即可【詳解】由題，畫出f x的圖像，設t f X，則方程t

13、2 2at 1 a2 0有5個不相等的實根由圖可得,t10,1 ,t21,1 a2 0所以2，解得1 a 1 J3,1 2a 1 a2 0故答案為：1,1 3本題考查已知零點個數(shù)求參問題，考查數(shù)形結合思想二、解答題15.如圖，在三棱錐 P ABC 中，PA 平面ABC, PC AB, D, E分別為BC, AC的中點.求證：（1） AB / /平面 PDE ;（2）平面PAB平面PAC .【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析【解析】（1）根據中位線的性質可得 AB/DE,進而得證;（2）先證得AB 平面PAC ,進而得證【詳解】 證明：（1） Q D,E分別為BC, AC的中點，AB/D

14、E ,Q DE 平面 PDE,AB 平面 PDE,AB/平面 PDE(2) Q PA 平面 ABC, AB i 平面 ABC ,PA AB,Q PC AB, PAI PC P, PA, PC 平面 PAC,AB 平面PAC,平面PAB 平面PAC【點睛】本題考查線面平行的證明，考查面面垂直的證明，考查推理論證能力16 .在 4ABC 中，已知 AC = 4, BC=3, cosB =-.4求sin A的值； uv uuv (2)求BA BC的值.【答案】(1) M5 ； (2)1615 - 1、 一 口 ,二5，再根據正弦定理求得 sin A即可;4(2)根據余弦定理解得 AB 2,再由數(shù)量積

15、的定義求解即可 【詳解】(1) Q cosB15 sin B ,4根據正弦定理可得3 .15 sin A 16(2)根據余弦定F即 42 AB2 32BCsin A3AC ，即 sin Asin B,AC2 AB2 BC223 一一AB,解得 AB 2,415 ,42AB AC cosB,【解析】(1)先求得sin Buuu uuini 3BA BC BA BC cosB 2 342【點睛】 本題考查利用正弦定理求角，考查向量的數(shù)量積運算，考查運算能力22x y一 一17 .如圖，在平面直角坐標系xOy中，橢圓E ：1 1(a b 0)的焦距為4,兩a b條準線間的距離為 8, A, B分別為

16、橢圓E的左、右頂點(1)求橢圓E的標準方程;(2)已知圖中四邊形 ABCD是矩形，且BC = 4,點M, N分別在邊BC, CD上，AM與 BN相交于第一象限內的點 P .若M, N分別是BC, CD的中點，證明：點P在橢圓E 上；若點P在橢圓E上，證明：叫為定值，并求出該定值.CNx2 y2【答案】(1) 一 匚 1 ; (2)證明見解析；證明見解析 842c 4【解析】(1)由2a2求得a,c,進而求得橢圓的方程；8 c(2)分別求得M ,N坐標，再求得直線 AM與直線BN方程，即可求得交點坐標，進而0，直線BP的方程為得證；分別設直線AP的方程為y k1 x 2 J2 kly k2 x

17、2,2 k2BM0，求得點M , N坐標，則一CNxJ21k1k2，利用斜22，2,所以胡4,率公式求證即可【詳解】2c 4 c(1)由題，2a2，則 8 ac22所以橢圓E的標準方程為：土匕 184(2)證明：由(1)可得A 2厄0,B 2, 2,0 ,因為BC 4,且四邊形ABCD是矩形，因為點M,N分別是BC,CD的中點，所以M 2.2,2,N則直線AM為:2.2222 2y 0-一，即2 0x 2 . 2y 2.2 0,直線BN為:所以因為2、2 0x 2 .2y2x 入2.24x2，即2x0，解得0.2y 4.2 0,6.25，即P 856.256 -2 25+8285，=14所以點

18、P在橢圓E上設直線AP的方程為yki2、. 2 ki 0 ,令 x 2收得 Vm 4V2ki,設直線BP的方程為yk2 xk20 ,令 y 4,得 xn 2.24k2 ,BMCNyMxn2>/2五|klk2 ,設 p %, y0xn2% 0, yq 0，則 82 No41,0y0 0一 y°k1k2x02五 x0 2.22y。2x02 x0x02 8BM.2CN 2【點睛】本題考查由幾何性質求橢圓的方程，考查橢圓的定值問題，考查運算能力與推理證明能力18.在平面內，將一個圖形繞一點按某個方向轉動一個角度，這樣的運動叫做圖形的旋轉，如圖，小盧利用圖形的旋轉設計某次活動的徽標，他將

19、邊長為a的正三角形ABC繞2其中心O逆時針旋轉到二角形AiBiCi,且 0, .順次連結A, Ai, B, Bi, C,第i2頁共i7頁Ci, A,得到六邊形徽標 AAiBBiCCi .當=一時，求六邊形徽標的面積;6(2)求六邊形徽標的周長的最大值.一一 3 o一【答案】一a ； (2) 2J3a42【解析】i連接OB,則 AQB ，由等邊三角形 ABC的邊長為a,可得3OA3OB a，再利用三角形面積公式求解即可;3(2)根據三角形的對稱性可得AAi2OAsin 一22 .3 asin ,32AB 2OBsin 3 22:3-3 i .- a cos- -sin-，則周長為關于的函數(shù)，進而

20、322 22求得最值即可【詳解】(i) Q等邊三角形ABC的邊長為a,OA OB 立 a,3 2連接 OB , AOB 23S 3 1OA2 sin sin 23亙sin2當一時,六邊形徽標的面積為6(2)在 VAOAi 中，AA1 2OAsin 2Glasin-,在 VBOA1 中，A1B 2OBsin 3 22.3.3a cos21sin-設周長為f (q)，則f3 AA A1B2,3asin0,i當且僅當，即2 32一時，f3max 2 3a本題考查三角形面積的應用，考查正弦型函數(shù)的最值問題，考查三角函數(shù)在幾何中的應用考查數(shù)形結合思想19.已知數(shù)列an滿足：a1=1,且當n 2時，an

21、an1 ( 1)n-(R)(1)若=1,證明數(shù)列a2n 1是等差數(shù)歹(2)若=2.設 bna2n2一,求數(shù)列bn的通項公式;3設Cn2na,證明:1對于任意的p, m N ,當p m,都有CpCm.【答案】(1)證明見解析;(2) bn 2 4n3證明見解析【解析】(1)分別可得2n+111a2n+1a2na2n1，a2na2n2n11a2n，二者求和可得a2 n 1a2n 11,進而得證;(2)分別可得a2n 22a2n 12n 2112a2 n2n 12a2n 1,二者整理第13頁共17頁可得a2n 24a2n2,即可證明bn是首項為8，公比為34的等比數(shù)列，進而求得通項公A；先求得a2n

22、與a2n1的通項公式，則2naia1i 1a3a2na2a4La2n4n 1n，則Cnn 34n 134n 1 3n 43n 1,進而利用數(shù)列的單調性證明即可(1)證明：當1 時,an2n+11an 1a2n+1a2na2n1,2n1a2na2n 1a2n 1則得 a2n 1a2n 11 時，a11,a2n 1是首項為1,公差為1的等差數(shù)列(2)當2 時,an 2an1a2n2 時，a222a2n12a2n 一2al2,2n 2112n 112 得 a2n 24a2 na22a2n1 ,2a2 n，即 bn 14bn,第21頁共17頁bn是首項為8，公比為4的等比數(shù)列3bn4n4n第25頁共1

23、7頁一一2 n由（2）知a2n 4n3,a2n 12a2n1 一/口,同理由可得a2n i4a2n 1 1 ,a2 n2a2n 1114當 n1 時,a11-,33314a2n 1一是首項為一,公比為4的等比數(shù)列33a2n 1171nda2n 13 41a2 a4 La2n2naiaa3 La2n 1i 14 14n8 1 4n3 n 31 431 4n 1c 144Cnn _ nn 3n33-4n94n4n 14n 1 3n 4n 3n 1Cn1Cn4n 2 3 n 1 4 4n 1 3n 4n 1 3n 2n 3n 1n 2n 1n 43 n 143 n 1 4 3n 4n on 2n 1

24、 n 3n 12-n 3 4 6n 6n 8n 12）n 2n n 1 3n 12-n 3 4 6n 14n 12._ n 2n n 1 3w c c 2 16 6 14 12 八當 n 1 時,C2 C1 % 0;2 33當 n 2時,C2 C164 24 28 12 0；2 3 33當 n 3時,Cn 1 Cn 0,對于一切n N，都有Cni Cn,故對任意p,m N ,當P m時,Cp Cm【點睛】本題考查等差數(shù)列的證明，考查等比數(shù)列通項公式的應用，考查等比數(shù)列求和公式的應用考查運算能力與推理論證能力-120.設函數(shù)f(x) ax a e (a R ,其中e為自然對數(shù)的底數(shù). x(1)當a= 0時，求函數(shù)f (x)的單調減區(qū)間；(2)已知函數(shù)f (x)的導函數(shù)f (x)有三個零點