連續(xù)函數(shù)的概念課件

1、連續(xù)函數(shù)的概念1 第一章連續(xù)函數(shù)的概念連續(xù)函數(shù)的概念0lim0 xy 00lim( )()xxf xf x或或連續(xù)函數(shù)的概念設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)在點(diǎn)x0的某個(gè)領(lǐng)域的某個(gè)領(lǐng)域U(x0;h)內(nèi)有定義，若內(nèi)有定義，若0lim0 xy 則稱則稱f(x)在點(diǎn)在點(diǎn)x0處連續(xù)。點(diǎn)處連續(xù)。點(diǎn)x0為連續(xù)點(diǎn)為連續(xù)點(diǎn).00lim( )()xxf xf x或或左連續(xù)左連續(xù)：右連續(xù)右連續(xù)： 00limxxf xf x00f xf x 00limxxf xf x00f xf x連續(xù)函數(shù)的概念5x00lim( )()xxf xf xxyo0 xxxy0f x f x00lim( )()xxf xf x函數(shù)在點(diǎn)函數(shù)在點(diǎn)x

2、0處連續(xù)當(dāng)且僅當(dāng)左連續(xù)且右連續(xù)處連續(xù)當(dāng)且僅當(dāng)左連續(xù)且右連續(xù)000lim( )lim( )()xxxxf xf xf xx00lim( )()xxf xf xxxy00 xxy yf x0f x0f xx連續(xù)函數(shù)的概念例1,nyxxR ()( )yf xxf x ()nnxxx12(1)()()2!nnnnn nxnxxxxx 12(1)()()2!nnn nnxxxx 0lim0 xy 1()nnkkn knkabC a b,nyxxR 在定義域內(nèi)每一點(diǎn)x處連續(xù)連續(xù)函數(shù)的概念7例2( )ln ,(0,)yf xxx ()( )yf xxf x ln()lnxxxlnxxxln(1)xx0lim

3、0 xy lnlnlnaabbln ,(0,)yxx 在定義域內(nèi)每一點(diǎn)x處連續(xù)連續(xù)函數(shù)的概念8sinyx例例4,x sinsinyxxx 2cossin22xxx0lim0 xy sinsin2cossin22ABABAB有界量乘以無窮小量是無窮小量有界量乘以無窮小量是無窮小量sinyx,x 在定義域內(nèi)每一點(diǎn)x處連續(xù)連續(xù)函數(shù)的概念9 11sin010(1)0 xxAxxf xBxxx例例5 確定函數(shù)確定函數(shù)中中的值，使函數(shù)的值，使函數(shù)在在處連續(xù)處連續(xù)。A fx0 x 解解 0f01limsinxxAxA0f10lim 1xxxe,1Ae BeB與與 01fB連續(xù)函數(shù)的概念10 f x（1）如果

4、）如果在在, a b內(nèi)的每一點(diǎn)都連續(xù)，則稱它在內(nèi)的每一點(diǎn)都連續(xù)，則稱它在, a b開區(qū)間內(nèi)連續(xù)內(nèi)連續(xù)；（2）如果）如果 fx在在, a b內(nèi)連續(xù)，又在內(nèi)連續(xù)，又在a 點(diǎn)右連續(xù)，在點(diǎn)右連續(xù)，在b點(diǎn)左連續(xù)，則稱它在閉區(qū)間點(diǎn)左連續(xù)，則稱它在閉區(qū)間, a b上連續(xù)；上連續(xù)；（3）如果）如果 fx在它的整個(gè)定義區(qū)間連續(xù)，則簡(jiǎn)稱在它的整個(gè)定義區(qū)間連續(xù)，則簡(jiǎn)稱 fx是連續(xù)函數(shù)。是連續(xù)函數(shù)。,fC a b連續(xù)函數(shù)的概念110f x連續(xù)必須同時(shí)滿足的三個(gè)條件：（連續(xù)必須同時(shí)滿足的三個(gè)條件：（1）有確定的值；有確定的值；00limxxfx（2）存在；存在；（3） 00limxxf xf x1、幾種、幾種 常見的間

5、斷點(diǎn)常見的間斷點(diǎn)（1）跳躍間斷點(diǎn)）跳躍間斷點(diǎn)o101,f0(0)1ff ( )f x0 x是是例例6 1,0,1,0,xxf txx00()()f xf xxy1連續(xù)函數(shù)的概念12例例7 sin xf xx0sinlim1xxx(0)f不存在0 x是是 fx的的00()()f xf xsin0( )10 xxxf xx是連續(xù)函數(shù)是連續(xù)函數(shù)-10-5510-0.20.20.40.60.8100()()f xf x但不等于或不存在連續(xù)函數(shù)的概念13例例8 1yx01limxx 0 x 是是1yx無窮間斷點(diǎn)。無窮間斷點(diǎn)。tanyx2xtan x 2x是tanyx0lim( )xxf x oxyxy0

6、2232tanyx,()2xkkZ連續(xù)函數(shù)的概念14 1sinf xx（4 4）振蕩間斷點(diǎn)）振蕩間斷點(diǎn)例例9 110()2xnn 11sinsin20nx 2210()2xnn 21sinsin(2)12nx1sin, 1x1( )sinf xx在1 , 1上來回振蕩。0 x是1( )sinf xxlim( )f x振蕩不存在。振蕩不存在。0.020.040.060.080.1-1-0.50.51連續(xù)函數(shù)的概念1500000(0)()()f xf xf xf x或不存在2、間斷點(diǎn)的分類、間斷點(diǎn)的分類（1）第一類間斷點(diǎn)：）第一類間斷點(diǎn)：可去間斷點(diǎn)可去間斷點(diǎn)（2）第二類間斷點(diǎn)：）第二類間斷點(diǎn)：振蕩

7、間斷點(diǎn)振蕩間斷點(diǎn)00f x 與與00f x 至少有一個(gè)不存在至少有一個(gè)不存在跳躍間斷點(diǎn)跳躍間斷點(diǎn)000(0)f xf x無窮間斷點(diǎn)無窮間斷點(diǎn)lim( )f x振蕩不存在。振蕩不存在。lim( )f x 連續(xù)函數(shù)的概念例例10 函數(shù)函數(shù)211xyx在在x=1處沒有定義，所以函數(shù)在點(diǎn)處沒有定義，所以函數(shù)在點(diǎn)x=1處間斷，但處間斷，但211lim2,1xxx所以點(diǎn)所以點(diǎn)x=1是可去間斷點(diǎn)是可去間斷點(diǎn)若定義若定義f(1)=2，則新函數(shù)，則新函數(shù)211121xxyxx為連續(xù)函數(shù)為連續(xù)函數(shù)連續(xù)函數(shù)的概念例例11 函數(shù)函數(shù)111xye在在x=0處沒有定義，所以函數(shù)在點(diǎn)處沒有定義，所以函數(shù)在點(diǎn)x=0處間斷，但

8、處間斷，但101lim1xxe0,101lim11xxe 所以點(diǎn)所以點(diǎn)x=0是跳躍間斷點(diǎn)是跳躍間斷點(diǎn)1111xxxxeeyee問：?jiǎn)枺河惺裁撮g斷點(diǎn)？有什么間斷點(diǎn)？連續(xù)函數(shù)的概念思考與練習(xí)思考與練習(xí)1. 討論函數(shù)討論函數(shù)231)(22xxxxfx = 2 是第二類無窮間斷點(diǎn)是第二類無窮間斷點(diǎn) .間斷點(diǎn)的類型間斷點(diǎn)的類型.2. 設(shè)設(shè)0,0,sin)(21xxaxxxfx_,a時(shí)時(shí)提示提示:(0 )(0 )(0)fff0)(xf為為連續(xù)函數(shù)連續(xù)函數(shù).答案答案: x = 1 是第一類可去間斷點(diǎn)是第一類可去間斷點(diǎn) ,提示提示:11( )(1)(2)xxf xxx連續(xù)函數(shù)的概念作業(yè)：作業(yè)： P.65 1,

9、5書上；書上；3(1)(4)，4作業(yè)本作業(yè)本 上上4提示：提示：22| 11( )lim0| 11| 1nnnxxxf xxxxxx連續(xù)函數(shù)的概念20 ,f x設(shè)設(shè) 000lim(),xxg xug x 00lim(),uuf uf u 0000limlim( ) (lim ) ()xxxxxxfg xfg xf gxf g x g x ( ),f xg x ( ),f x g x 0( ()0)( )f xg xg x設(shè)設(shè)則則在點(diǎn)在點(diǎn)x0處連續(xù)，則處連續(xù)，則都在點(diǎn)都在點(diǎn)x0處連續(xù)。處連續(xù)。設(shè)設(shè) yf x在區(qū)間在區(qū)間Ix上單調(diào)且連續(xù)，則其反函數(shù)上單調(diào)且連續(xù)，則其反函數(shù) 1yfx在區(qū)間在區(qū)間Iy

10、上也單調(diào)連續(xù)。上也單調(diào)連續(xù)。 連續(xù)函數(shù)的概念21由基本初等函數(shù)的連續(xù)性及連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算法則知，由基本初等函數(shù)的連續(xù)性及連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算法則知，00lim( )(lim )xxxxf xfx212lim 2 ( 1)sin2xxxxx21 22 11 11sin22 23連續(xù)函數(shù)的概念000lim( )lim( )()xxxxf xf xf x連續(xù)函數(shù)的概念作業(yè)：作業(yè)：P.69 1,5書上；書上；3(雙數(shù)雙數(shù)),4(雙數(shù)雙數(shù))，6作業(yè)本作業(yè)本 上上23連續(xù)函數(shù)的概念Th1 閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)在該區(qū)間上有界且一定能閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)在該區(qū)間上有界且一定能 取得最大值和最小值。取得最大值和最小值。xa

11、b1x2xyo例例sinyx在0,2上連續(xù)。1,m 1M Mm24連續(xù)函數(shù)的概念25如果定理的條件不滿足，結(jié)論就不一定成立。如果定理的條件不滿足，結(jié)論就不一定成立。yx在在0 ,1內(nèi)連續(xù)，內(nèi)連續(xù)，11o函數(shù)在閉區(qū)間函數(shù)在閉區(qū)間-1，1上上x=0 處不連續(xù)，處不連續(xù)，沒有最大值和最小值。沒有最大值和最小值。也沒有最大值和最小值。也沒有最大值和最小值。連續(xù)函數(shù)的概念 , f xC a b若Th2（介值定理）（介值定理） ( )f af b且,ab則 至 少 存 在 一 點(diǎn) .f使ab f a f b123 123fff推論推論1 在閉區(qū)間上連續(xù)的在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)必取得介于最大值和函數(shù)必取得介于

12、最大值和最小值之間最小值之間 的任何值。的任何值。Mmab1x2xMm26連續(xù)函數(shù)的概念推論推論2（）利用零點(diǎn)定理，可以判斷方程 , f xC a b ( )0f af b,ab使使 0.f則至少存在一點(diǎn)則至少存在一點(diǎn) 0f x 在某個(gè)范圍內(nèi)是否有實(shí)根。xyab)(xfy O27且 有且 有連續(xù)函數(shù)的概念O1x例例. 證明方程證明方程01423 xx證證: 顯然顯然, 1 ,014)(23Cxxxf又又,01)0(f02) 1 (f故由零點(diǎn)定理故由零點(diǎn)定理, 至少存在一點(diǎn)至少存在一點(diǎn), ) 1 ,0(使使,0)(f即即01423說明說明:,21x,0)(8121f內(nèi)必有方程的根內(nèi)必有方程的根 ;) 1 ,(21取 1 ,21的中點(diǎn)的中點(diǎn),43x,0)(43f內(nèi)必有方程的根內(nèi)必有方程的根 ;),(4321可用此法逼近求近似根可用此法逼近求近似根.二分法二分法在區(qū)間在區(qū)間)1 ,0(的中點(diǎn)取1 ,0內(nèi)至少有內(nèi)至少有一個(gè)根一個(gè)根 .則則432128連續(xù)函數(shù)的概念說明：說明：f(x)滿足零點(diǎn)定理，則滿足零點(diǎn)定理，則f(x)=0至少有一個(gè)根，至少有一個(gè)根，若函數(shù)又在該區(qū)間內(nèi)單調(diào)，則只有唯一根。若函數(shù)又在該區(qū)間內(nèi)單調(diào)，則只有唯一根。29連續(xù)函數(shù)的概念作業(yè)：作業(yè)：P.74 2,作業(yè)本