一題學懂極值點偏移5大套路

1、極值點偏移 5 大套路12已知 f x xlnx mx x，m R若 f x 有兩個極值點 x1， x2 ，且 x1 x2，2證： x1x2 e2（ e為自然對數(shù)的底數(shù)）解法一：齊次構(gòu)造通解偏移套路2證法 1：欲證 x1x2 e2，需證 ln x1 ln x2 2x1，若f x有兩個極值點 x1 ，x2 ，即函數(shù) f x有兩個零點又f x lnx mx ，所以，x2 是方程 f x 0的兩個不同實根于是，有 llnnx1 mx1 0 x2 mx2 0ln x1 ln x2，解得 m 1 2x1 x2另一方面，由ln x1 mx1 0ln x2 mx2 0得 ln x2 ln x1 m x2 x

2、1 ，要證 ln x1 ln x2 2 ，即證：t 1 ln t2， t 1即：當 t 1時，t1有l(wèi)nt 2 t 1t1設(shè)函數(shù) h t ln t 2 t 1 ，t1t1，則h t 1 2 t 1 2t 12t12 0 ， t t 1 2ln x2 ln x1 ln x1 ln x2 從而可得， 2 1 1 2 x2 x1x1 x21 x2 ln x2 于是， ln x1 lnx2ln x2 lnx1 x2 x1x1x1x2 x1x2 1x1x2x1， t 1又0 x1 x2，設(shè) t x2 ，則t 1因此， ln x1 lnx21 t lntx1t 1所以， h t 為 1. 上的增函數(shù)注意到

3、， h 1 0 ，因此， h t h 1 0ln x1 ln x2 2 成立，2x1 x2 e 于是，當 t 1時，有 ln t 2 t 1 所以，有t1解法二 變換函數(shù)能妙解2證法 2：欲證 x1x2 e ，需證 ln x1 ln x2 2若 f x 有兩個極值點 x1 ，x2 ，即函數(shù) f x 有兩個零點又 f x ln x mx ，所以， x1 ， x2是方程 f x 0 的兩個不同實根顯 然 m 0 ，否則，函數(shù) f x 為單調(diào)函數(shù)，不符合題意ln x1 mx1 0由 ln x ln x e2 x22 mx12 0 ln x1 ln x2 m x1 x2 ，即只需證明 m x1 x2

4、2 即可即只需證明 x1 x2 x 1,e ，h x 2 2 0 ，故 h x 在 1,e ， xe m設(shè) g x f x f 2 x x 0, 1mm22 mx 1 ， g xx 2 mx0 ，故 g x 在0,m由于 f x 1 m 1 mxxx1,，故 f x 在 0mm12設(shè) x1x2 ，令 x x1 ，則 f x2 f x1 fx1mm又因為 x2，2 x11 ,mm，f x 在 m1 ,22，故有 x2x1 ，即 x1 x2原m命題得證解法三 構(gòu)造函數(shù)現(xiàn)實力ln x ln x 證法 3：由 x1， x2 是方程 f x 0的兩個不同實根得 m ，令 g x xx g x1 g x2

5、 ，由于 g x 1 ln2 x ，因此， g x 在 1,e ， e, x2 2e 設(shè)1 x1 e x2 ，需證明 x1x2 e2 ，只需證明 x10,e ，只需證明x2e2x2，即 f x2 f，即 g x g 1 0 ，故 f x f 2 x mm故 h x h e 0 ，即 f x f2 e令 x x1 ，則 f x2 f x1 f2 exx1，因為 x2 ，2 x1 x2 e 2 e x12 e e, ， f x 在 e,，所以 x2，即x1t1 mett12 t1 ett2 met2 t2t2t1t1 t 2，設(shè) k t1 t2 0，則t1kkek ，e1k2k 欲證 x1x2 e

6、 ， e1需證 ln x1 ln x22 即只需證明 t1 t2 2 ，即k 1 ek2ke1k 1ek2ek1 k 1ek2ek10 設(shè)解法四 巧引變量（一） 證法 4：設(shè)t1 lnx1 0,1 ，t2 lnx2 1, ，則由 llnn xx12 mmxx12 00得g k ln k2 k 1k1k 0,1 ，gk0 ，故 g k 在 0,1，因此g k k 1 ek2 ek1 k 0，gkkekek1，gkkek0，故 g k 在,0 ，故 g k g 0 0，故 g k 在 ,0 ，因此 g k g 0 0 ，命題得證解法五 巧引變量（二）ln x1 mx1 0證法 5：設(shè) t1 lnx1 0,1 ，t2 lnx2 1, ，則由 llnn xx12 mmxx12 00t1met1t1t1 t 2t1k ln kln k21 t 1 e1 ln k ln k 0 ，設(shè)k 1 k 1 k 1 ，設(shè) 1 k 0,1 ，則 t1