1量子力學(xué)課后答案詳解

1、第一章量子理論基礎(chǔ)1. 1由黑體輻射公式導(dǎo)出維恩位移定律：能量密度極大值所對應(yīng)的波長'm與溫度T成反比，即m T=b （常量）；并近似計算b的數(shù)值，準(zhǔn)確到二位有效數(shù)字 解根據(jù)普朗克的黑體輻射公式以及1hvdv(1)kT(2)dv - -d ,(3)這里的.的物理意義是黑體內(nèi)波長介于 入與入+d入之間的輻射能量密度。本題關(guān)注的是入取何值時，匚取得極大值，因此，就得要求匚 對入的一階導(dǎo)數(shù)為零，由此可求得相應(yīng)的入的值，記作韋。但要注意的是，還需要驗證 匚/u對入的二階導(dǎo)數(shù)在'm處的取值是否小于零，如果小于零，那么前面求得的'm就是要求的，具體如下：如果令x=®，則上

2、述方程為&kT這是一個超越方程。首先，易知此方程有解：x=0，但經(jīng)過驗證，此解是平庸的； 另外的一個解可以通過逐步近似法或者數(shù)值計算法獲得：x=4.97，經(jīng)過驗證，此解正是所要求的，這樣則有把x以及三個物理常量代入到上式便知這便是維恩位移定律。據(jù)此，我們知識物體溫度升高的話，輻射的能量分布的峰 值向較短波長方面移動，這樣便會根據(jù)熱物體（如遙遠(yuǎn)星體）的發(fā)光顏色來判定 溫度的高低。1. 2在0K附近，鈉的價電子能量約為3eV,求其德布羅意波長。 解 根據(jù)德布羅意波粒二象性的關(guān)系，可知E=hv，如果所考慮的粒子是非相對論性的電子（E動 »eC2 ），那么如果我們考察的是相對性的光子

3、，那么E=pc注意到本題所考慮的鈉的價電子的動能僅為3eV，遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于電子的質(zhì)量與光速平方的乘積，即0.51 106eV，因此利用非相對論性的電子的能量一一動量關(guān)系式,這樣，便有在這里，利用了以及最后，對作一點討論，從上式可以看出，當(dāng)粒子的質(zhì)量越大時，這個粒子的波長就越短， 因而這個粒子的波動性較弱，而粒子性較強；同樣的，當(dāng)粒子的動能越大時，這 個粒子的波長就越短，因而這個粒子的波動性較弱，而粒子性較強，由于宏觀世 界的物體質(zhì)量普遍很大，因而波動性極弱，顯現(xiàn)出來的都是粒子性，這種波粒二 象性，從某種子意義來說，只有在微觀世界才能顯現(xiàn)。31. 3氦原子的動能是E二-kT (k為玻耳茲曼常數(shù))，求T

4、=1K時，氦原子的德2布羅意波長。解根據(jù)1k K =10”eV，知本題的氦原子的動能為 顯然遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于核c2這樣，便有 這里，利用了最后，再對德布羅意波長與溫度的關(guān)系作一點討論， 由某種粒子構(gòu)成的溫度 為T的體系，其中粒子的平均動能的數(shù)量級為 kT,這樣，其相慶的德布羅意波 長就為據(jù)此可知，當(dāng)體系的溫度越低，相應(yīng)的德布羅意波長就越長，這時這種粒子的波 動性就越明顯，特別是當(dāng)波長長到比粒子間的平均距離還長時， 粒子間的相干性 就尤為明顯，因此這時就能用經(jīng)典的描述粒子統(tǒng)計分布的玻耳茲曼分布， 而必須 用量子的描述粒子的統(tǒng)計分布玻色分布或費米公布。1. 4利用玻爾索末菲的量子化條件，求：(1) 一維諧

5、振子的能量；(2) 在均勻磁場中作圓周運動的電子軌道的可能半徑。已知外磁場H=10T,玻爾磁子Mb = 9 104J T J，試計算運能的量子化間 隔AE,并與T=4K及T=100K的熱運動能量相比較。解玻爾 索末菲的量子化條件為其中q是微觀粒子的一個廣義坐標(biāo)，p是與之相對應(yīng)的廣義動量，回路積分是沿 運動軌道積一圈，n是正整數(shù)。(1)設(shè)一維諧振子的勁度常數(shù)為k，諧振子質(zhì)量為卩，于是有這樣，便有這里的正負(fù)號分別表示諧振子沿著正方向運動和沿著負(fù)方向運動，一正一負(fù)正好表示一個來回，運動了一圈。此外，根據(jù) 可解出 這表示諧振子的正負(fù)方向的最大位移。這樣，根據(jù)玻爾一一索末菲的量子化條件, 有為了積分上述

6、方程的左邊，作以下變量代換； 這樣，便有這時，令上式左邊的積分為 A，此外再構(gòu)造一個積分 這樣，便有nrnrJ" k這里=2 9，這樣，就有A B 二 E "dsin =0t k(2)根據(jù)式（1）和（2），便有 這樣，便有 其中h二上2兀最后，對此解作一點討論。首先，注意到諧振子的能量被量子化了；其次, 這量子化的能量是等間隔分布的。（2）當(dāng)電子在均勻磁場中作圓周運動時，有 這時，玻爾一一索末菲的量子化條件就為2又因為動能耐-糅，所以，有M一其中，Mb二-是玻爾磁子，這樣，發(fā)現(xiàn)量子化的能量也是等間隔的，而且2卩具體到本題，有 根據(jù)動能與溫度的關(guān)系式 以及可知，當(dāng)溫度T=4K

7、時，當(dāng)溫度T=100K時，顯然，兩種情況下的熱運動所對應(yīng)的能量要大于前面的量子化的能量的間隔。 1. 5兩個光子在一定條件下可以轉(zhuǎn)化為正負(fù)電子對，如果兩光子的能量相等， 問要實現(xiàn)實種轉(zhuǎn)化，光子的波長最大是多少？解關(guān)于兩個光子轉(zhuǎn)化為正負(fù)電子對的動力學(xué)過程，如兩個光子以怎樣的概 率轉(zhuǎn)化為正負(fù)電子對的問題，嚴(yán)格來說，需要用到相對性量子場論的知識去計算， 修正當(dāng)涉及到這個過程的運動學(xué)方面， 如能量守恒，動量守恒等，我們不需要用 那么高深的知識去計算，具休到本題，兩個光子能量相等，因此當(dāng)對心碰撞時， 轉(zhuǎn)化為正風(fēng)電子對反需的能量最小，因而所對應(yīng)的波長也就最長，而且，有 此外，還有 于是，有盡管這是光子轉(zhuǎn)化為電子的最大波長， 但從數(shù)值上看，也是相當(dāng)小的，我們 知道，電子是自然界中最輕的有質(zhì)量的粒子， 如果是光子轉(zhuǎn)化為像正反質(zhì)子對之 類的更大質(zhì)量的粒子， 那么所對應(yīng)的光子的最大波長將會更小， 這從