北師大版高中數(shù)學(xué)導(dǎo)學(xué)案幾何概型

1、第35課時(shí)7.3.1 幾何概型學(xué)習(xí)要求 1、了解幾何概型的概念及基本特點(diǎn)；2、熟練掌握幾何概型的概率公式；3、正確判別古典概型與幾何概型,會(huì)進(jìn)行簡(jiǎn)單的幾何概率計(jì)算【課堂互動(dòng)】自學(xué)評(píng)價(jià)試驗(yàn) 取一根長(zhǎng)度為的繩子，拉直后在任意位置剪斷剪得兩段的長(zhǎng)都不小于的概率有多大？試驗(yàn) 射箭比賽的箭靶涂有五個(gè)彩色得分環(huán)從外向內(nèi)為白色，黑色，藍(lán)色，紅色，靶心是金色金色靶心叫黃心奧運(yùn)會(huì)的比賽靶面直徑為，靶心直徑為運(yùn)動(dòng)員在外射箭假設(shè)射箭都能射中靶面內(nèi)任何一點(diǎn)都是等可能的射中黃心的概率為多少？【分析】第一個(gè)試驗(yàn)，從每一個(gè)位置剪斷都是一個(gè)基本事件，剪斷位置可以是長(zhǎng)度為的繩子上的任意一點(diǎn)第二個(gè)試驗(yàn)中，射中靶面上每一點(diǎn)都是一個(gè)

2、基本事件，這一點(diǎn)可以是靶面直徑為的大圓內(nèi)的任意一點(diǎn)在這兩個(gè)問題中，基本事件有無限多個(gè)，雖然類似于古典概型的等可能性，但是顯然不能用古典概型的方法求解【解】實(shí)驗(yàn)1中，如下圖，記剪得兩段的長(zhǎng)都不小于為事件把繩子三等分，于是當(dāng)剪斷位置處在中間一段上時(shí)，事件發(fā)生由于中間一段的長(zhǎng)度等于繩長(zhǎng)的，于是事件發(fā)生的概率 實(shí)驗(yàn)2中，如下圖，記射中黃心為事件，由于中靶心隨機(jī)地落在面積為的大圓內(nèi)，而當(dāng)中靶點(diǎn)落在面積為的黃心內(nèi)時(shí)，事件發(fā)生，于是事件發(fā)生的概率為【小結(jié)】幾何概型的概念：對(duì)于一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)，我們將每個(gè)基本事件理解為從某個(gè)特定的幾何區(qū)域內(nèi)隨機(jī)地取一點(diǎn)，該區(qū)域中每一點(diǎn)被取到的機(jī)會(huì)都一樣；而一個(gè)隨機(jī)事件的發(fā)生則理解

3、為恰好取到上述區(qū)域內(nèi)的某個(gè)指定區(qū)域中的點(diǎn)這里的區(qū)域可以是線段，平面圖形，立體圖形等用這種方法處理隨機(jī)試驗(yàn)，稱為幾何概型幾何概型的基本特點(diǎn)：（）試驗(yàn)中所有可能出現(xiàn)的結(jié)果(基本事件)有無限多個(gè)；（）每個(gè)基本事件出現(xiàn)的可能性相等幾何概型的概率：一般地，在幾何區(qū)域中隨機(jī)地取一點(diǎn)，記事件該點(diǎn)落在其內(nèi)部一個(gè)區(qū)域內(nèi)為事件，則事件發(fā)生的概率說明：（）的測(cè)度不為；（）其中測(cè)度的意義依確定，當(dāng)分別是線段，平面圖形，立體圖形時(shí)，相應(yīng)的測(cè)度分別是長(zhǎng)度，面積和體積（）區(qū)域?yàn)殚_區(qū)域；（）區(qū)域內(nèi)隨機(jī)取點(diǎn)是指：該點(diǎn)落在區(qū)域內(nèi)任何一處都是等可能的，落在任何部分的可能性大小只與該部分的測(cè)度成正比而與其形狀位置無關(guān)【精典范例】例1

4、 判斷下列試驗(yàn)中事件a發(fā)生的概率是古典概型，還是幾何概型（1）拋擲兩顆骰子，求出現(xiàn)兩個(gè)“4點(diǎn)”的概率；（2）如圖所示，圖中有一個(gè)12等分的圓盤，甲乙兩人玩游戲，向圓盤投擲可視為質(zhì)點(diǎn)的骰子，規(guī)定當(dāng)骰子落在陰影區(qū)域時(shí)，甲獲勝，否則乙獲勝，求甲獲勝的概率【分析】本題考查的幾何概型與古典概型的特點(diǎn)，古典概型具有有限性和等可能性而幾何概型則是在試驗(yàn)中出現(xiàn)無限多個(gè)結(jié)果，且與事件的區(qū)域長(zhǎng)度有關(guān)【解】（1）拋擲兩顆骰子，出現(xiàn)的可能結(jié)果有6×6=36種，且它們都是等可能的，因此屬于古典概型；（2）游戲中骰子落在陰影區(qū)域時(shí)有無限多個(gè)結(jié)果，而且不難發(fā)現(xiàn)“骰子落在陰影部分”，概率可以用陰影部分的面積與總面積

5、的比來衡量，即與區(qū)域長(zhǎng)度有關(guān)，因此屬于幾何概型例2取一個(gè)邊長(zhǎng)為的正方形及其內(nèi)切圓（如右圖），隨機(jī)向正方形內(nèi)丟一粒豆子，求豆子落入圓內(nèi)的概率（測(cè)度為面積）【分析】由于是隨機(jī)丟豆子，故可認(rèn)為豆子落入正方形內(nèi)任一點(diǎn)的機(jī)會(huì)都是均等的，于是豆子落入圓中的概率應(yīng)等于圓面積與正方形面積的比【解】記豆子落入圓內(nèi)為事件，則答：豆子落入圓內(nèi)的概率為思維點(diǎn)拔：1、幾何概型的意義也可以這樣理解： 向區(qū)域g中任意投擲一個(gè)點(diǎn)m，點(diǎn)m落在g內(nèi)的部分區(qū)域g”的概率p定義為：g的度量與g的度量之比，即：2、我們可以通過實(shí)驗(yàn)計(jì)算圓周率的近似值實(shí)驗(yàn)如下：向如圖所示的圓內(nèi)投擲個(gè)質(zhì)點(diǎn)，計(jì)算圓的內(nèi)接正方形中的質(zhì)點(diǎn)數(shù)為，由幾何概型公式可知

6、：，即 追蹤訓(xùn)練1、求例1中（2）的概率解：由例1（2）分析可知：2、若,則點(diǎn)在圓面內(nèi)的概率是多少?解：3、靶子由三個(gè)半徑分別為r,2r,3r的同心圓組成,如果你向靶子隨機(jī)地?cái)S一個(gè)飛鏢,命中半徑分別為r區(qū)域,2r區(qū)域,3r區(qū)域的概率分別為,則=_. 第36課時(shí)7.3.2幾何概型學(xué)習(xí)要求 1、能運(yùn)用模擬的方法估計(jì)概率，掌握模擬估計(jì)面積的思想；2、熟練運(yùn)用幾何概型解決關(guān)于時(shí)間類型問題.【課堂互動(dòng)】自學(xué)評(píng)價(jià)例1 在等腰直角三角形中，在斜邊上任取一點(diǎn)，求小于的概率（測(cè)度為長(zhǎng)度）【分析】點(diǎn)隨機(jī)地落在線段上，故線段為區(qū)域當(dāng)點(diǎn)位于圖中線段內(nèi)時(shí)，故線段即為區(qū)域【解】在上截取于是答：小于的概率為例2 某人欲從某

7、車站乘車出差，已知該站發(fā)往各站的客車均每小時(shí)一班，求此人等車時(shí)間不多于10分鐘的概率【分析】假設(shè)他在060分鐘之間任何一個(gè)時(shí)刻到車站等車是等可能的,但在0到60分鐘之間有無窮多個(gè)時(shí)刻,不能用古典概型公式計(jì)算隨機(jī)事件發(fā)生的概率.可以通過幾何概型的求概率公式得到事件發(fā)生的概率.因?yàn)榭蛙嚸啃r(shí)一班,他在0到60分鐘之間任何一個(gè)時(shí)刻到站等車是等可能的,所以他在哪個(gè)時(shí)間段到站等車的概率只與該時(shí)間段的長(zhǎng)度有關(guān),而與該時(shí)間段的位置無關(guān),這符合幾何概型的條件.【解】設(shè)a=等待的時(shí)間不多于10分鐘,我們所關(guān)心的事件a恰好是到站等車的時(shí)刻位于50,60這一時(shí)間段內(nèi),因此由幾何概型的概率公式,得p(a)= =，即此

8、人等車時(shí)間不多于10分鐘的概率為【說明】在本例中，到站等車的時(shí)刻x是隨機(jī)的，可以是0到60之間的任何一刻，并且是等可能的，我們稱x服從0,60上的均勻分布，x為0,60上的均勻隨機(jī)數(shù)【小結(jié)】在許多實(shí)際問題中，其幾何概型特征并不明顯，要能將它們轉(zhuǎn)化為幾何概型，并正確應(yīng)用幾何概型的概率計(jì)算公式解決問題如與時(shí)間有關(guān)的等候問題、約會(huì)問題，與數(shù)域有關(guān)的點(diǎn)集問題等等?！揪浞独坷? 有一個(gè)半徑為的圓，現(xiàn)在將一枚半徑為硬幣向圓投去，如果不考慮硬幣完全落在圓外的情況，試求硬幣完全落入圓內(nèi)的概率【解】由題意，如圖，因?yàn)橛矌磐耆湓趫A外的情況是不考慮的，所以硬幣的中心均勻地分布在半徑為的圓內(nèi)，且只有中心落入與圓

9、同心且半徑為的圓內(nèi)時(shí)，硬幣才完全落如圓內(nèi)記硬幣完全落入圓內(nèi)為事件，則答：硬幣完全落入圓內(nèi)的概率為例4 約會(huì)問題兩人相約8點(diǎn)到9點(diǎn)在某地會(huì)面，先到者等候另一人20分鐘，過時(shí)就可離去，試求這兩人能會(huì)面的概率【解】以分別表示兩人的到達(dá)時(shí)刻，則兩人能會(huì)面的充要條件為，這是一個(gè)幾何概率問題，可能的結(jié)果全體是邊長(zhǎng)為60的正方形里的點(diǎn)，能會(huì)面的點(diǎn)的區(qū)域用陰影標(biāo)出（如上圖）所求概率為答：兩人會(huì)面的概率為追蹤訓(xùn)練1、已知地鐵列車每10min一班，在車站停1min，求乘客到達(dá)站臺(tái)立即乘上車的概率解：由幾何概型知，所求事件a的概率為：2、在區(qū)間內(nèi)的所有實(shí)數(shù)中,隨機(jī)取一個(gè)實(shí)數(shù),則這個(gè)實(shí)數(shù)的概率是_. 3、某人午覺醒來

10、,發(fā)現(xiàn)表停了,他打開收音機(jī),想聽電臺(tái)的整點(diǎn)報(bào)時(shí),求他等待的時(shí)間不多于15分鐘的概率.解：由幾何概型的求概率的公式得,即“等待整點(diǎn)報(bào)時(shí)的時(shí)間不超過15分鐘”的概率為.第37課時(shí)7.3.3幾何概型學(xué)習(xí)要求 1、增強(qiáng)幾何概型在解決實(shí)際問題中的應(yīng)用意識(shí) 2、將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為幾何概型，并正確應(yīng)用幾何概型的概率計(jì)算公式解決問題【課堂互動(dòng)】自學(xué)評(píng)價(jià)1.幾何概型的概率：一般地，在幾何區(qū)域中隨機(jī)地取一點(diǎn)，記事件該點(diǎn)落在其內(nèi)部一個(gè)區(qū)域內(nèi)為事件，則事件發(fā)生的概率2.與幾何概型有關(guān)的實(shí)際問題：長(zhǎng)度問題、面積問題、體積問題、等候問題、約會(huì)問題、點(diǎn)集問題等等?！揪浞独坷? 在1升高產(chǎn)小麥種子中混入了一種帶麥誘病的種子

11、，從中隨機(jī)取出10毫升，則取出的種子中含有麥誘病的種子的概率是多少？【分析】病種子在這1升中的分布可以看作是隨機(jī)的，取得的10毫克種子可視作構(gòu)成事件的區(qū)域，1升種子可視作試驗(yàn)的所有結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域，可用“體積比”公式計(jì)算其概率【解】取出10毫升種子，其中“含有病種子”這一事件記為a，則答：所求概率為例2 如圖，在線段上任取一點(diǎn)，試求：（）為鈍角三角形的概率；（）為銳角三角形的概率【解】如圖，由平面幾何知識(shí)：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，（）當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)在線段或上時(shí)，為鈍角三角形記為鈍角三角形為事件，則即為鈍角三角形的概率為（）當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，為銳角三角，記為銳角三角為事件，則即為銳角三角形的概率為例3 一只

12、螞蟻在一邊長(zhǎng)為6的正方形區(qū)域內(nèi)隨機(jī)地爬行,求其恰在離四個(gè)頂點(diǎn)距離都大于3的地方的概率.【解】例4 利用隨機(jī)模擬方法計(jì)算曲線，和所圍成的圖形的面積【分析】在直角坐標(biāo)系中畫出正方形（，所圍成的部分），用隨機(jī)模擬的方法可以得到它的面積的近似值【解】（）利用計(jì)算器或計(jì)算機(jī)產(chǎn)生兩組到區(qū)間上的隨機(jī)數(shù)，；（）進(jìn)行平移變換：；（其中分別為隨機(jī)點(diǎn)的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)）（）數(shù)出落在陰影內(nèi)的點(diǎn)數(shù)，用幾何概型公式計(jì)算陰影部分的面積例如，做次試驗(yàn)，即，模擬得到，所以，即【說明】模擬計(jì)算的步驟：（）構(gòu)造圖形（作圖）；（）模擬投點(diǎn)，計(jì)算落在陰影部分的點(diǎn)的頻率；（）利用算出相應(yīng)的量追蹤訓(xùn)練1、如圖，有一圓盤其中的陰影部分的圓心角

13、為，若向圓內(nèi)投鏢，如果某人每次都投入圓內(nèi)，那么他投中陰影部分的概率為（ a） 2、在區(qū)間中任意取一個(gè)數(shù)，則它與2之和大于的概率是_1/5_3、兩根相距6m的木桿上系一根繩子，并在繩子上掛一盞燈，求燈與兩端距離都大于2m的概率解：記“燈與兩端距離都大于2m”為事件a，則待添加的隱藏文字內(nèi)容2第34課時(shí)3.2.3復(fù)習(xí)課1學(xué)習(xí)要求 1.復(fù)習(xí)隨機(jī)事件及其概率2.復(fù)習(xí)古典概型及其概率公式,并進(jìn)行綜合應(yīng)用.【課堂互動(dòng)】自學(xué)評(píng)價(jià)1. 下列事件中不可能事件是（ c ）a.三角形的內(nèi)角和為180° b.三角形中大邊對(duì)的角大，小邊對(duì)的角小 c.銳角三角形中兩個(gè)內(nèi)角的和小于90°d.三角形中任意

14、兩邊的和大于第三邊 2. 在12件同類產(chǎn)品中，有10件是正品，2件是次品，從中任意抽出3件的必然事件是（ d ）a.3件都是正品 b.至少有1件是次品c.3件都是次品 d.至少有一件是正品 3. 有4條線段，長(zhǎng)度分別為1，3，5，7，從這四條線段中任取三條，則所取三條線段能構(gòu)成一個(gè)三角形的概率是_.【精典范例】例1 事件”某人擲骰子5次,兩次點(diǎn)數(shù)為2”是隨機(jī)事件嗎?條件和結(jié)果是什么?一次試驗(yàn)是指什么?一共做了幾次試驗(yàn)?解:是隨機(jī)事件.條件:某人擲骰子5次,結(jié)果:兩次點(diǎn)數(shù)為2,擲骰子一次就是一次試驗(yàn),一共做了5次試驗(yàn).例2 從甲、乙、丙、丁四個(gè)人中選兩名代表，求：（）甲被選中的概率;（）丁沒被選

15、中的概率.解：從甲、乙、丙、丁四個(gè)人中選兩名代表包含6個(gè)基本事件: 甲乙、甲丙、甲丁、乙丙、乙丁、丙丁.（1）記甲被選中為事件，則; （2）記丁沒被選中為事件，則.例3 袋中有大小相同的紅、黃兩種顏色的球各個(gè)，從中任取只，有放回地抽取次. 求： 只全是紅球的概率； 只顏色全相同的概率； 只顏色不全相同的概率. 解：每次抽到紅球的概率為每次抽到紅球或黃球顏色不全相同是全相同的對(duì)立，例4 現(xiàn)有一批產(chǎn)品共有件，其中件為正品，件為次品：（1）如果從中取出一件，然后放回，再取一件，求連續(xù)次取出的都是正品的概率；（2）如果從中一次取件，求件都是正品的概率. 解：1）有放回地抽取次，按抽取順序記錄結(jié)果，則都有種可能，所以試驗(yàn)結(jié)果有種；設(shè)事件為“連續(xù)次都取正品”，則包含的基本事件共有種，因此，（2）可以看作不放回抽樣次，順序不同，基本事件不同，按抽取順序記錄，則有種可能，有種可能，有種可能，所以試驗(yàn)的所有結(jié)果為種 設(shè)事件為“件都是正品”，則事件包含的基本事件總數(shù)為, 所以 追蹤訓(xùn)練1. 已經(jīng)發(fā)生的事件一定是必然事件; 隨機(jī)事件的發(fā)生能夠人為控制其發(fā)生或不發(fā)生; 不可能事件反映的是確定性現(xiàn)象; 隨機(jī)現(xiàn)象的結(jié)果是可以預(yù)知的. 以上說法正確的是 (c )a. b c d.2 . 先后拋擲兩顆骰子，設(shè)出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)之和是10，8，6的