高中數(shù)學必修1“圓的方程”經(jīng)典教案

1、圓的標準方程課標要求學習目標1掌握確定圓的幾何要素，掌握圓的標準方程。2會根據(jù)不同的已知條件，利用坐標法、數(shù)形結(jié)合這一數(shù)學思想以及轉(zhuǎn)化與化歸思想求出圓的標準方程3培養(yǎng)學生細心的學習習慣、認真的學習態(tài)度，激發(fā)學生學習數(shù)學的興趣1會推導圓的標準方程，使學生掌握圓的標準方程的特點2能根據(jù)所給有關圓心、半徑的具體條件用待定系數(shù)法準確地寫出圓的標準方程3能運用圓的標準方程正確地求出其圓心和半徑 4.會判斷點與圓的位置關系.教學策略 1本節(jié)重點是圓的標準方程結(jié)構(gòu)特征的正確理解與認識；在給定條件下求圓的標準方程的一般思維方法。難點是用數(shù)形結(jié)合法求圓的標準方程。2在得到圓的標準方程之后，用“曲線與方程”的思想

2、解釋坐標滿足方程的點一定在曲線上。即若點M在圓上，由上述結(jié)論可知，點M的坐標適合方程；反之，若N的坐標適合方程，說明點N與圓心A的距離為r。3對于圓的標準方程，應強調(diào)其圓心為C(a,b)，半徑為r，注意方程中的減號。4提出坐標法的思想，即根據(jù)給出的圓心坐標以及半徑寫出圓的方程從幾何到代數(shù)；根據(jù)坐標是否滿足方程，來認識所對應的幾何對象之間的關系從代數(shù)到幾何。5在引導學生列關于a、b、r的方程或方程組時，要注意聯(lián)系平面幾何的知識，尤其是其中的一些直角三角形、垂弦定理。學習策略 1在本節(jié)的學習中，要注意圓的標準方程，通過兩點間的距離公式理解和記憶，且通過圓的標準方程可以直接得到圓心和半徑、通過圓心和

3、半徑可以直接得到圓的標準方程。2在掌握了標準方程之后，要能從“是”、“否”兩個方面來判斷點與方程的關系，3要注意數(shù)形結(jié)合思想及方程思想的運用。4求標準方程常用待定系數(shù)法，根據(jù)題目的條件列出關于a、b、r的方程或方程組。情景創(chuàng)設 同學們，你們做過摩天輪嗎？登高而望遠，不亦樂乎。世界上最巨大的摩天輪是座落于泰晤士河畔的英航倫敦眼，距地總高達135公尺然而，由于倫敦眼屬于觀景摩天輪結(jié)構(gòu)，有些人認為其在排行上應該與重力式摩天輪分開來計算因此目前世界最大的重力式摩天輪應位于日本福岡的天空之夢福岡，是直徑112公尺，離地總高120公尺的摩天輪。2 / 24對于這些摩天輪，我們?nèi)绾瓮ㄟ^建立平面直角坐標系，利

4、用方程的知識來研究呢？合作探究欄目功能：通過對本節(jié)重要知識點和典型解題方法的探究，進一步強化學生對知識和方法的探索感悟和認知過程，使學生對問題的認識是一個層層遞進、不斷攀升、不斷升華的過程，從而遵循由特殊到一般的認識問題和解決問題的基本思路、基本方法編寫要求：1.對于基本概念、公式、定理、方法的講解.一般是先通過具體一例子引出問題或者由創(chuàng)設的情景提出問題，然后進行探究（議一議，思考等），一定要體現(xiàn)思維過程，最后得出一般性的結(jié)論（提升總結(jié)）.2.在第1條的寫作時，自選取課本或其它資料上的一些典型例題進行講解示例.3.對于本節(jié)的“應用”可設為最后一個探究，選取典型例題進行講解（不要和前面的探究中例

5、題設置角度重復）探究一 探究圓的標準方程想一想：初中學習圓的定義如何？我們在初中已經(jīng)學習了圓的有關知識，圓的幾何特征是在平面內(nèi)圓上任一點到定點的距離等于定長的點的集合(軌跡)叫做圓，定點就是圓心，定長就是半徑xyOCPr圖4-1-1-1議一議：確定圓需要哪些條件？一個圓的圓心位置和半徑一旦給定，這個圓就被確定下來了.探究：如圖4-1-1-1，設圓心是C(a,b)，半徑為r，設P(x,y)是圓上任意一點，則CP=r，由兩點間的距離公式得，即得圓的標準方程：其中圓心為C(a,b)，半徑為r提升總結(jié)：圓心為C(a,b)，半徑為r的圓的標準方程為。溫馨提示：(1)如果圓心在坐標原點，此時a=b=0，圓

6、的方程為(2)圓的標準方程 圓心為C(a,b)，半徑為r，這呈現(xiàn)了圓的幾何特征.例1求滿足下列條件的各圓的方程：(1)圓心在原點，半徑是；(2)圓心在點C(8,8)，半徑是2008；(3)經(jīng)過點P(5,1)，圓心在點C(8,).分析：根據(jù)圓心和半徑直接代入標準方程。解：(1) ；(2) ；(3) 方法一：圓的半徑，圓心在點C(8,)，圓的方程是.方法二：圓心為C(8,)，故設圓的方程為，又點P(5,1)在圓上，。所求圓的方程是.點撥：確定圓的標準方程只需要確定圓心的坐標和圓的半徑即可，因此圓心和半徑被稱為圓的兩要素。例2 寫出下列方程表示的圓的圓心和半徑(1)；(2)()；(3)().分析：搞

7、清圓的標準方程()中，圓心為()，半徑為，本題易于解決解：(1)圓心(0,0)，半徑為； (2)圓心(3,0)，半徑為；(3)圓心()，半徑為.點撥：(2)、(3)兩題僅為半徑的平方，沒有給定，所以半徑.探究二 如何確定點與圓的位置關系？在平面直角坐標系中，圓一旦確定，該平面內(nèi)的任何一點與圓的位置關系都確定下來那么該如何確定呢？想一想：初中學習圓的內(nèi)容時，點與圓的位置關系有哪些？點與圓的位置關系有三種情形：點在圓內(nèi)、點在圓上、點在圓外。議一議：如何通過距離進行比較呢？其判斷方法是看點到圓心的距離d與圓半徑r的關系d<r時點在圓內(nèi)；d=r時點在圓上；d>r時點在圓外議一議：如何通過方

8、程進行比較呢？探究：以圓為例，在圓上的點都滿足數(shù)形結(jié)合易知點都在圓的內(nèi)部，它們都滿足、事實上若點在圓的內(nèi)部，過點作軸的垂線，交圓于，顯然有且，從而有也就是說圓的內(nèi)部的點都滿足數(shù)形結(jié)合易知點都在圓的外部，它們都滿足、事實上若點在圓的外部，過點作軸或軸的垂線，(1)若與圓有交點，則同理可得，(2)若均與圓無交點，則，從而也有也就是說圓的外部的點都滿足將圓替換為，結(jié)論同樣成立提升總結(jié)：點在圓上等價于；點在圓內(nèi)部等價于；點在圓外部等價于溫馨提示：點與圓的位置關系的比較有以上兩種方法，幾何法與代數(shù)法。例3 寫出以點A(2,)為圓心，5為半徑的圓的標準方程，并判斷點M(5,)，N(2,)，P(10,)與該

9、圓的位置關系分析：先求出圓的標準方程，然后再判斷。解：圓的標準方程為.方法一：因為，所以點M在圓上因為，所以點N在圓內(nèi)因為，所以點P在圓外方法二：因為，所以點M在圓上因為，所以點N在圓內(nèi)因為，所以點P在圓外點撥：求點與圓心之間的距離或?qū)Ⅻc的坐標代入方程是關鍵探究三 如何確定圓的標準方程的方法和步驟？想一想：圓的標準方程中有幾個參變數(shù)？使用什么方法求解？議一議：圓的標準方程中含有三個參變數(shù)，必須具備三個獨立的條件，才能定出一個圓的方程。當已知曲線為圓時，一般采用待定系數(shù)法求圓的方程提升總結(jié)：求圓的標準方程的一般步驟為：(1)根據(jù)題意，設所求的圓的標準方程為(2)根據(jù)已知條件，建立關于a，b，r的

10、方程組；(3)解此方程組，求出a，b，r的值； .(4)將所得的a，b，r的值代回所設的圓的方程中，就得到所求的圓的標準方程例4在平面直角坐標系中，求與x軸相交于A(1,0)和B(5,0)兩點且半徑為的圓的標準方程.分析：設出標準方程進行求解或利用平面幾何的知識求解。解：方法一：設圓的標準方程為.因為點A，B在圓上，所以可得到方程組： 解得a=3，b=.所以圓的標準方程是或.方法二：由A、B兩點在圓上，那么線段AB是圓的一條弦，根據(jù)平面幾何知識：這個圓的圓心在線段AB的垂直平分線上，于是可以設圓心為C(3,b)，又AC=得：. 解得b=1或b=因此，所求圓的標準方程為或. 點撥：本題求解的核心

11、就是求出圓心的坐標，待定系數(shù)法是最容易想到的辦法；但用待定系數(shù)法計算有時會比較麻煩如果在求解有關這類問題時能夠結(jié)合圓的有關幾何性質(zhì)來考慮（如垂徑定理等），可以使思路比較直觀而且計算會簡潔些探究四 圓的標準方程的求解與應用例5已知一個圓經(jīng)過兩個點，且圓心在直線上，求此圓的方程分析：已知三個條件，直接利用待定系數(shù)求出圓心坐標和半徑即可可以直接代入、利用圓的性質(zhì)、圓的定義進行等價轉(zhuǎn)化解：方法一：設所求圓的方程為由已知條件得： (*)兩式相減得：展開整理得又圓心在直線上，所以聯(lián)立方程得解之得將其再代入(*)式中的任何一個方程，解得故所求圓的方程為方法二：因為已知所以中點為，從而的中垂線方程為，即解方程

12、組得所以圓心為從而圓的半徑故所求圓的方程為方法三：因為圓心在直線上所以點的坐標可表示為又，所以解得從而圓心為，半徑故所求圓的方程為點撥：三種方法都是利用待定系數(shù)法其中方法一是直接法，即將圓上的點的坐標代入圓的方程進行求解；方法二是利用圓的性質(zhì)作等價轉(zhuǎn)化，即弦的中垂線經(jīng)過圓心轉(zhuǎn)化求解；方法三是利用圓的定義作等價轉(zhuǎn)化，即圓上的點到圓心的距離都相等上述三種方法都需要熟練掌握，其中利用圓的性質(zhì)作等價轉(zhuǎn)化既方便又快捷例6 有一種商品，A，B兩地都有出售，且價格相同某地居民從兩地之一購得商品后運回的費用：A地每公里的費用是B地每公里費用的3倍已知A，B兩地的距離是10公里，顧客選擇A地或B地購買這件商品的

13、標準是包括運費和價格的總費用較低求P地居民選擇A地或B地購貨總費用相等時，點P所在曲線的形狀，并指出曲線上、曲線內(nèi)、曲線外的居民應如何選擇購物地點?分析：本題是一個實際問題，要通過建立數(shù)學模型來解決，要判斷曲線的形狀，實際上是求曲線的方程，宜用解析法.解：如圖4-1-1-2所示，以A、B所在的直線為x軸，線段AB中點為原點建立直角坐標系.xyABOP圖4-1-1-2AB=10，A(,0)，B(5,0).設P(x,y)，P到A、B所在購物費用相等時有：價格+A地運費=價格+B地運費，化簡整理，得.(1)當P點在以(,0)為圓心，為半徑的圓上時，居民到A地或B地購貨總費用相等.(2)當P點在上述圓

14、內(nèi)時，.，故此時到A地購物最合算.(3)當P點在上述圓外時，同理可知，此時到B地購物最合算.點撥：作為應用要注意領悟題目的實際意義，對于曲線上、曲線內(nèi)、曲線外的居民應如何選擇購物地點，這實際是研究點與圓的關系問題.例7 如果實數(shù)x、y滿足方程. 求(1)的最大值與最小值；(2)的最大值與最小值.分析：由題目可以獲取信息點(x,y)在圓上，故應考慮與的幾何意義，然后借助圖形求解。解：(1)設P(x,y)，則P點的軌跡就是已知圓C：. 而的幾何意義就是直線OP的斜率(O為坐標原點)，如圖4-1-1-3所示，xyOP2P1C(3,3)圖4-1-1-3設=k，則直線OP的方程為.由圖可知，當直線OP與

15、圓相切時，斜率取最值.點C到直線的距離. 當，即時，直線OP與圓相切. 的最大值與最小值分別是和.(2)設，則，由圖知直線與圓相切時，截距b取最值.而圓心C到直線的距離為，即時，直線與圓相切，的最大值與最小值分別為與.點撥：針對這個類型的題目一般考慮所求式子的集合意義，然后利用數(shù)形結(jié)合的方法求出其最值。備選例題 欄目功能：供教師課堂選用編寫要求：學生用書無此欄目，只教師用書有，供教師課堂選用，一般23個為宜.例1已知點在圓上，求的值分析：本題是點與圓的位置關系問題，直接利用點與圓的位置關系的等價條件求解解：因為點在圓上所以，化簡得解之得或點撥：判斷點在圓上、圓內(nèi)、還是在圓外，一般是將點的坐標代

16、入，并利用相應的等價條件求解，由于是等價條件，所以逆向應用求解參數(shù)范圍的方法也一樣例2 設圓的方程為，過點的直線交圓于點，是坐標原點，點為的中點，當繞點旋轉(zhuǎn)時，求動點的軌跡方程分析：動點為的中點，所以點是由點而決定，另外點又由點的直線來決定，找到最初的“動”是解決問題的關鍵。解：設點的坐標為、因在圓上，所以兩式相減得所以當時，有 并且 將代入并整理得 當時，點的坐標為（0，2）、（0，2），這時點的坐標為（0，0）也滿足，所以點的軌跡方程為點撥：將所求點坐標設為，相應的已知點的坐標設為，再用表示即，然后代入已知點滿足的方程，消去得到所求曲線的方程，體現(xiàn)設而不求思想本題是將看作整體進行代換 圖4

17、-1-1-4例3 在某海濱城市附近海面有一臺風，據(jù)監(jiān)測，當前臺風中心位于城市O(如圖4-1-1-4所示)的東偏南()方向300km的海面P處，并以20kmh的速度向西偏北方向移動臺風侵襲的范圍為圓形區(qū)域，當前半徑為60km，并以l0kmh的速度不斷增大問幾小時后該城市開始受到臺風的侵襲？分析：建立適當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼?，將條件轉(zhuǎn)化為圓的相關知識求解。解：如圖4-1-1-5所示，建立坐標系：以O為原點，正東方向為軸正方向在時刻(h)時，臺風中心的坐標為： 圖4-1-1-5此時臺風侵襲的區(qū)域是：，其中.若在時刻城市O恰好開始受到臺風的侵襲，則有，即，解得，=12或=24答：12小時后該城市開始受到臺

18、風的侵襲點撥：解決本題的關鍵是實際問題轉(zhuǎn)化為相應的數(shù)學模型，臺風侵襲的區(qū)域是個圓面，將“城市O受到臺風侵襲”這一條件轉(zhuǎn)化為點O在圓上或圓內(nèi)去解決問題，同學們在做題過程中要認真體會化歸思想的妙用達標體驗 欄目功能：供學生課內(nèi)練習用，強化所學知識，體驗成功的喜悅.編寫要求：1.一般56個題為宜，要立足于本課所涉及的基礎知識，基本技能和基本方法的訓練，能使80%的學生鞏固所學基本要點，且能當堂處理完；2.題目的呈現(xiàn)順序應與本課時知識點的出現(xiàn)順序一致；3.難度控制好，應由易到難排列；4.學生用書留足學生的答題空，教師用書用解析、有答案；5.模擬題、高考題、課本練習題應注明題源.1圓的圓心和半徑分別為(

19、 )AB C D 1解析：根據(jù)圓的標準方程的定義和參數(shù)的幾何意義，直接寫出圓心坐標和半徑答案：D。2已知一圓的圓心為點A(2,)，一條直徑的兩個端點分別在x軸和y軸上，則此圓的方程是( ).A13 B13C52 D522解析：由中點坐標公式得直徑的兩個端點為(4,0)，(0,)，所以半徑.答案：A。3在平面直角坐標系中，方程的曲線形狀是( ).A一條直線和一個圓 B一條線段和一個圓C一條直線和圓的一部分 D一條線段和圓的一部分3解析：由題意得或，且.答案：C。4（2007湖南11）圓心為且與直線相切的圓的方程是 4解析：圓心，半徑，所求圓的方程為。答案：5（2006全國理15）過點的直線將圓分

20、成兩段弧，當劣弧所對的圓心角最小時，直線的斜率5 解析：由題設知此直線應與過點(1,)與圓心的直線垂直. ，所以.答案：6已知點(1)求以為直徑的圓的標準方程；(2)已知點，若點在圓上，求的最大值和最小值6解：(1)以為直徑的圓方程為，即，配方化為標準方程是(2)由及圓心，知，所以，反思感悟 欄目功能：認真總結(jié)本課時所接觸的數(shù)學思想、數(shù)學方法，不要求面面俱到，但必須把本課時的核心問題進行提煉、升華，用精練的語言表述出來，以便學生能對本節(jié)所學知識做到更好地理解和掌握.編寫要求：1.提練課本時所用數(shù)學思想方法、突出本課時的重點；2.語言要簡煉，避免與前面的內(nèi)容重復；3.學生用書只給標題，后面適當留

21、空；教師用書照要求編出具體內(nèi)容.1利用圓的標準方程能直接求出圓心和半徑，比較點到圓心的距離與半徑的大小，能得出點與圓的位置關系求圓的標準方程就是求出圓心的坐標與圓的半徑，借助弦心距、弦、半徑之間的關系計算時，可大大簡化計算的過程與難度2圓的標準方程為，其中圓心坐標為，圓的半徑為圓心在原點、半徑為的標準方程為3點與圓的位置關系有三種情形：點在圓內(nèi)、點在圓上、點在圓外，其判斷方法是看點到圓心的距離與圓半徑的關系時，點在圓內(nèi)；時，點在圓上；時，點在圓外4求圓的標準方程的基本方法有直譯法、定義法、待定系數(shù)法，在求解時要注意數(shù)形結(jié)合思想方法的使用。課時作業(yè) 欄目功能：此欄目為學生課外練習使用，是在達標體

22、驗基礎上設計的較高起點的綜合性訓練題，是達標成功體驗的拓展和延伸，旨在培養(yǎng)學生的學科能力，分析和解決問題的能力.編寫要求：1.習題的選擇要全面貫徹新課標的理念和六性（情境性、時代性、科學性、探究性和開放性），題型盡量全面.2.題目務必要精選，有典型性，每個題都有它的分量，保證所選題目難度適中，避免出現(xiàn)偏、難、怪題.3.教師用書答案跟在題后，學生用書答案單獨裝訂.答案應盡量詳細，有解題過程.4.一般10個小題左右，應有12個題（該題加符號區(qū)別）有一定的深度，以便照顧學習有余力的學生.一、選擇題1圓心是，且經(jīng)過原點的圓的方程為( )ABCD1解析：因為圓經(jīng)過坐標原點，所以圓的半徑因此，所求圓的方程是答案：B2直線將圓平分，則（ ）。A13B7C-13D以上答案都不對2解析：直線過圓心時才將圓平分，將圓心代入直線方程，解得答案：B3(2005重慶)圓關于原點（0，0）對稱的圓的方程為( )。ABCD3解析：求出圓心的對稱點即可圓心關于原點的對稱圓心為，半徑不改變，故所求對稱圓的方程為答案：A4圓與圓關于直線對稱，則與的值分別等于（ ）。A，B，C，D，4解析：已知兩圓圓心分別為，的中點為故直線的方程為，即，所以，選B答案：B。5在平面直角坐標系中，橫縱坐標都是整