湖南師范大學(xué)附屬中學(xué)高三上學(xué)期月考四數(shù)學(xué)理試題含答案

1、炎德·英才大聯(lián)考湖南師大附中2017屆高三月考試卷(四)數(shù)學(xué)(理科)本試卷分第卷(選擇題)和第卷(非選擇題)兩部分，共8頁。時量120分鐘。滿分150分。第卷一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的(1)復(fù)數(shù)(d)(a)12i (b)12i(c)12i (d)12i(2)執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的i值為(b)(a)3 (b)4 (c)5 (d)6(3)設(shè)向量a，b均為單位向量，且|ab|1，則a與b夾角為(c)(a) (b) (c) (d)(4)設(shè)m、n是兩條不同的直線，、是兩個不同的平面，給出下列四個命題： 若m，n，則mn；

2、若mn，n，則m；若mn，n，m，則；若mna，m，m，n，n，則.其中真命題的個數(shù)是(c)(a)1 (b)2 (c)3 (d)4(5)已知函數(shù)yax，yxb，ylogcx的圖象如圖所示，則(c)(a)a>b>c(b)a>c>b(c)c>a>b(d)c>b>a(6)一個幾何體的三視圖如圖所示，其中正視圖、俯視圖中的圓以及側(cè)視圖中的圓弧的半徑都相等，側(cè)視圖中的兩條半徑互相垂直，若該幾何體的體積是，則它的表面積是(d)(a) (b) (c) 3 (d) 4(7)已知數(shù)列an，bn滿足a11，且an，an1方程x2bnx2n0的兩根，則b10等于(d)

3、(a)24 (b)32 (c)48 (d)64(8)從5位同學(xué)中選派4位同學(xué)在星期五、星期六、星期日參加公益活動，每人一天，要求星期五有2人參加，星期六、星期日各有1人參加，則不同的選派方法共有(b)(a)40種 (b)60種 (c)100種 (d)120種(9)已知f1、f2分別是雙曲線c：1的左、右焦點，若f2關(guān)于漸近線的對稱點恰落在以f1為圓心，|of1|為半徑的圓上(o為原點)，則雙曲線c的離心率為(d)(a) (b)3 (c) (d)2(10)如果對于任意實數(shù)x，x表示不超過x的最大整數(shù). 例如3.273，0.60.那么“xy”是“|xy|<1”的(a)(a)充分而不必要條件

4、(b)必要而不充分條件(c)充要條件 (d)既不充分也不必要條件(11)設(shè)直線l：3x4ya0，圓c：(x2)2y22，若在圓c上存在兩點p，q，在直線l上存在一點m，使得pmq90°，則a的取值范圍是(c)(a)18，6 (b)65，65(c)16，4 (d)65，65(12)若函數(shù)f(x)則當(dāng)k>0時，函數(shù)yff(x)1的零點個數(shù)為(d)(a)1 (b)2 (c)3 (d)4【解析】結(jié)合圖象分析當(dāng)k>0時，ff(x)1，則f(x)t1或f(x)t2(0，1)對于f(x)t1，存在兩個零點x1、x2；對于f(x)t2，存在兩個零點x3、x4，共存在4個零點，故選d.選擇

5、題答題卡題號(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9)(10)(11)(12)答案dbcccddbdacd第卷本卷包括必考題和選考題兩部分第(13)(21)題為必考題，每個試題考生都必須作答第(22)(23)題為選考題，考生根據(jù)要求作答二、填空題：本題共4小題，每小題5分(13)在二項式的展開式中，x的一次項系數(shù)為_80_(用數(shù)字作答)(14)九章算術(shù)是我國古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著，書中有如下問題：“今有圓堢瑽，周四丈八尺，高一丈一尺問積幾何？答曰：二千一百一十二尺術(shù)曰：周自相乘，以高乘之，十二而一”這里所說的圓堢瑽就是圓柱體，它的體積為“周自相乘，以高乘之，十二而一”就是說：圓

6、堢瑽(圓柱體)的體積v×(底面的圓周長的平方×高)，則該問題中圓周率的取值為_3_【解析】由題意，圓堢瑽(圓柱體)底面的圓周長48尺，高11尺，體積為2 112(立方)尺，設(shè)圓堢瑽(圓柱體)的底面半徑為r，則 ，解得3, r8，故答案為：3.(15)若x，y滿足 ，則2xy的取值范圍是_0，3_(16)函數(shù)f(x)sin (x)的導(dǎo)函數(shù)yf(x)的部分圖象如圖所示，其中，a，c為圖象與x軸的兩個交點，b為圖象的最低點若在曲線段與x軸所圍成的區(qū)域內(nèi)隨機取一點，則該點在abc內(nèi)的概率為_【解析】由f(x)cos(x)知|ac|，|yb|，所以sabc·|ac|

7、3;|yb| ，設(shè)a(x0，0) ，則x0，c，設(shè)曲線段與x軸所圍成的區(qū)域的面積為s，則s|x0x0f(x)dx|x0x0f(x)dxf(x)|x0x0f(x0)fsin(x0)sinsinsin2. 所以該點在abc內(nèi)的概率p.三、解答題：解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟(17)(本小題滿分12分)在abc中，角a，b，c所對的邊分別為a，b，c，函數(shù)f(x)2sin(xa)cos xsin(bc)(xr)，f(x)的圖象關(guān)于點對稱()當(dāng)x時，求f(x)的值域；()若a7且sin bsin c，求abc的面積【解析】()f(x)2sin(xa)cos xsin(bc)2(sin xco

8、s acos xsin a)cos xsin a2sin xcos xcos a2cos2xsin asin asin 2xcos acos2xsin asin(2xa)，由函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點對稱，知f0，即sin 0，又0a，故a，所以f(x)sin，當(dāng)x時，2x，所以 sin1.即f(x)的值域為；()由正弦定理得，則sin bb，sin cc，所以sin bsin c(bc)，即bc13，由余弦定理a2b2c22bccos a，得49b2c2bc(bc)23bc，從而bc40，則abc的面積為sbcsin a×40×10.(18)(本小題滿分12分)某網(wǎng)絡(luò)營銷部

9、門為了統(tǒng)計某市網(wǎng)友2016年11月11日在某淘寶店的網(wǎng)購情況，隨機抽查了該市當(dāng)天60名網(wǎng)友的網(wǎng)購金額情況，得到如下數(shù)據(jù)統(tǒng)計表(如表)：網(wǎng)購金額(單位：千元)頻數(shù)頻率(0，0.530.05(0.5，1xp(1，1.590.15(1.5，2150.25(2，2.5180.30(2.5，3yq合計601.00若網(wǎng)購金額超過2千元的顧客定義為“網(wǎng)購達人”，網(wǎng)購金額不超過2千元的顧客定義為“非網(wǎng)購達人”，已知“非網(wǎng)購達人”與“網(wǎng)購達人”人數(shù)比恰好為32.()試確定x，y，p，q的值，并補全頻率分布直方圖(如圖)()該營銷部門為了進一步了解這60名網(wǎng)友的購物體驗，從“非網(wǎng)購達人”、“網(wǎng)購達人”中用分層抽樣

10、的方法確定10人，若需從這10人中隨機選取3人進行問卷調(diào)查設(shè)為選取的3人中“網(wǎng)購達人”的人數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望【解析】()根據(jù)題意，有，解得.p0.15，q0.10.補全頻率分布直方圖如圖所示()用分層抽樣的方法，從中選取10人，則其中“網(wǎng)購達人”有10×4人，“非網(wǎng)購達人”有10×6人故的可能取值為0，1，2，3；p(0)，p(1)，p(2)，p(3).所以的分布列為：0123pe()0×1×2×3×.(19)(本小題滿分12分)如圖，正方形abcd的邊長為4，e，f分別為bc，da的中點將正方形abcd沿著線段ef折起，使得d

11、fa60°. 設(shè)g為af的中點()求證：dgef；()求直線ga與平面bcf所成角的正弦值；()設(shè)p，q分別為線段dg，cf上一點，且pq平面abef，求線段pq長度的最小值【解析】()因為正方形abcd中，e，f分別為bc，da的中點，所以effd，effa，將正方形abcd沿著線段ef折起后，仍有effd，effa，而fdfaf，所以ef平面dfa.又因為dg平面dfa，所以dgef.()因為dfa60°，dffa，所以dfa為等邊三角形，又aggf，故dgfa.由()，dgef，又effaf，所以dg平面abef.設(shè)be的中點為h，連接gh，則ga，gh，gd兩兩垂直

12、，故以ga，gh，gd分別為x軸、y軸和z軸，建立空間直角坐標(biāo)系如圖，則g(0，0，0)，a(1，0，0)，b(1，4，0)，c(0，4，)，f(1，0，0),:.所以(1，0，0)，(1，0，)，(2，4，0)設(shè)平面bcf的一個法向量為m(x，y，z), 由m·0，m·0，得令z2，得m(2，2)設(shè)直線ga與平面bcf所成角為，則sin |cosm，|.即直線ga與平面bcf所成角的正弦值為.:()由題意，可設(shè)p(0，0，k)(0k)，(01)，由(1，4，)，得(，4，)，所以q(1，4，)，(1，4，k)由()，得(0，0，)為平面abef的法向量因為pq平面abef

13、，所以·0，即k0.所以|，又因為1722117，所以當(dāng)時，|min.所以當(dāng)，k時，線段pq長度有最小值.(20)(本小題滿分12分)已知橢圓e：1(a>b>0)的離心率為，以e的四個頂點為頂點的四邊形的面積為4.()求橢圓e的方程；()設(shè)a，b分別為橢圓e的左、右頂點，p是直線x4上不同于點(4，0)的任意一點，若直線ap， bp分別與橢圓相交于異于a，b的點m、n，試探究，點b是否在以mn為直徑的圓內(nèi)？證明你的結(jié)論【解析】()依題意得，·2a·2b4，又a2b2c2，由此解得a2，b.所以橢圓e的方程為 1.()點b在以mn為直徑的圓內(nèi)證明如下：方

14、法1：由()得a(2，0)，b(2，0)設(shè)m(x0，y0)m點在橢圓上，y02(4x02)又點m異于頂點a、b，2<x0<2.由p、a、m三點共線可以得p. 從而(x02，y0), .·2x04(x0243y02)將代入，化簡得·(2x0)2x0>0，·>0，于是mbp為銳角，從而mbn為鈍角，故點b在以mn為直徑的圓內(nèi)方法2：由()得a(2，0)，b(2，0)設(shè)m(x1，y1)，n(x2，y2)，則2<x1<2，2<x2<2，又mn的中點q的坐標(biāo)為，依題意，計算點b到圓心q的距離與半徑的差|bq|2|mn|2(x1

15、x2)2(y1y2)2(x12) (x22)y1y2直線ap的方程為y(x2)，直線bp的方程為y(x2)，而兩直線ap與bp的交點p在直線x4上，即y2又點m在橢圓上，則1，即y12(4x12)于是將、代入，化簡后可得|bq|2|mn|2(2x1)(x22)<0.從而點b在以mn為直徑的圓內(nèi)(21)(本小題滿分12分)已知函數(shù)f(x)eaxx.()若對一切xr，f(x)1恒成立，求a的取值集合；()若a1，k為整數(shù)，且存在x0>0，使(x0k)f(x0)x01<0，求k的最小值【解析】() 若a0，則對一切x>0，f(x)eaxx<1，這與題設(shè)矛盾， 故a>

16、;0.而f(x)aeax1，令f(x)0，得xln. 當(dāng)x<ln時，f(x)<0，f(x)單調(diào)遞減；當(dāng)x>ln時，f(x)>0，f(x)單調(diào)遞增，故當(dāng)xln時，f(x)取最小值fln. 于是對一切xr，f(x)1恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)ln1. 令g(t)ttln t，則g(t)ln t. 當(dāng)0<t<1時，g(t)>0，g(t)單調(diào)遞增；當(dāng)t>1時，g(t)<0，g(t)單調(diào)遞減. 故當(dāng)t1時，g(t)取最大值g(1)1.因此，當(dāng)且僅當(dāng)1即a1時，式成立. 綜上所述，a的取值集合為1. ()a1時，f(x)ex1, 所以(xk)f(x)x1(xk)

17、(ex1)x1, 故當(dāng)x>0時， (xk)f(x)x1<0等價于k>x，令h(x)x(x>0)，則h(x)1，令(x)exx2(x>0)，則(x)ex1 >0，(x)在(0, )上單調(diào)遞增，而(1)<0，(2)>0，所以(x)在(0, )上存在唯一的零點，亦即h(x)在(0, )上存在唯一的零點，設(shè)此零點為，則(1，2)，e2，當(dāng)x(0，)時， h(x)<0；當(dāng)x(，)時， h(x)>0，所以h(x)在(0，)上的最小值為h() ，而h()1(2，3)，而由知，存在x0>0，使(x0k)f(x0)x01<0等價于k>

18、h()，所以整數(shù)k的最小值為3. 請考生在(22)、(23)兩題中任選一題作答如果多做，則按所做第一題計分，作答時請寫清題號(22)(本題滿分10分)選修44：坐標(biāo)系與參數(shù)方程在直角坐標(biāo)系xoy中，曲線c1的參數(shù)方程為(為參數(shù))，m為c1上的動點，p點滿足2，點p的軌跡為曲線c2.()求c2的普通方程；()在以o為極點，x軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，射線與c1的異于極點的交點為a，與c2的異于極點的交點為b，求|ab|.【解析】()設(shè)p(x，y)，則由條件知m. 由于m點在c1上，所以，即 ，消去參數(shù)得x2(y4)216, 即c2的普通方程為x2(y4)216.()曲線c1的極坐標(biāo)方程為4sin ，曲線c2的極坐標(biāo)方程為8sin .射線與c1的交點a的極徑為14sin，射線與c