蘭州交通大學(xué)數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽論文

1、 2014年蘭州交通大學(xué) 數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽論文 （b題）參賽隊(duì)員： 郭文濤 焦萬(wàn)寶 隊(duì)名：北辰之光 日期：2014年5月21日 摘要本文主要討論汽車安全帶法規(guī)帶來(lái)的利益問(wèn)題，以及保險(xiǎn)公司與客戶之間此利益的分配問(wèn)題。我們通過(guò)分析從收入與支出關(guān)系建立了模型一，從各類投保人數(shù)的相應(yīng)變化情況建立了模型二。模型一：保險(xiǎn)公司每年的支出主要有給付客戶的醫(yī)療費(fèi)、修理費(fèi)、死亡補(bǔ)償費(fèi)、退還費(fèi)和基本業(yè)務(wù)支出構(gòu)成；而主要收入只有保險(xiǎn)費(fèi)一項(xiàng)。我們了解到汽車保險(xiǎn)費(fèi)分為基本保險(xiǎn)和附加保險(xiǎn)兩部分，一般來(lái)說(shuō)，附加保險(xiǎn)主要用于支付保險(xiǎn)公司的日常營(yíng)業(yè)費(fèi)用，即基本支出，這部分費(fèi)用對(duì)下一年的保險(xiǎn)決策影響很小，可假定不變，本文中將次部分的保

2、險(xiǎn)費(fèi)用忽略不計(jì)。由相關(guān)的概率知識(shí)知道風(fēng)險(xiǎn)投費(fèi)在數(shù)量上等于汽車賠款的期望值。保險(xiǎn)公司保持現(xiàn)有收益規(guī)模，這就是要求保險(xiǎn)公司平均從每個(gè)客戶身上所得到的利潤(rùn)額保持不變，即c均不變。模型二：通過(guò)查閱我國(guó)的20022013年的汽車銷量，利用得到的數(shù)據(jù)運(yùn)用matlab進(jìn)行曲線擬合，發(fā)現(xiàn)自2010年以來(lái)我國(guó)汽車銷量呈線性增長(zhǎng)，我們假設(shè)新投保人數(shù)與汽車銷量的增長(zhǎng)率相等，得到新投保人數(shù)的增長(zhǎng)率v,于是可得新投保人數(shù)的關(guān)系式：sj=s0*（1+v)j；又由概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)的相關(guān)知識(shí)，運(yùn)用泊松分布來(lái)求得索賠人數(shù)與總體投保人數(shù)之間的關(guān)系：b索=b總（1-e-i），隨后在建立各個(gè)變量之間的關(guān)系。最終通過(guò)模型的求解，得到結(jié)

3、果如下：?jiǎn)栴}一： p1=1065元；p2=1069元；p3=1071元 問(wèn)題二： u1=1109元；u2=1112元； u3=1114元汽車安全帶法實(shí)施帶來(lái)的利益分配1.問(wèn)題的提出：某保險(xiǎn)公司只提供提年期的綜合車險(xiǎn)保單業(yè)務(wù)，在這一年內(nèi)，如果客戶沒(méi)有要求賠償，則給予額外補(bǔ)償。保險(xiǎn)公司將所有參保人被分為0、1、2、3四類，類別越高，從保單中獲得的折扣越多，在計(jì)算保險(xiǎn)費(fèi)時(shí)，新投保客戶屬于0類，在客戶延續(xù)保單時(shí)，若在上一年沒(méi)有要求賠償，則提高一個(gè)類別進(jìn)行打折扣；若客戶在上一年要求賠償過(guò)，如果可能則降低兩個(gè)類別進(jìn)行打折，否則為0類?？蛻敉吮r(shí)，不論自然死亡還是事故死亡都將退還起本年度的打折部分?，F(xiàn)在政府

4、準(zhǔn)備實(shí)施安全帶法規(guī)，如果實(shí)施了該法，雖然每年的事故數(shù)量不會(huì)減少，但事故中受傷的司機(jī)和乘客數(shù)量肯定會(huì)減少，從而醫(yī)藥費(fèi)將有所下降，調(diào)查發(fā)現(xiàn)醫(yī)藥費(fèi)會(huì)減少20%到40%，死亡的司機(jī)也會(huì)減少40%。要求在本年度每份保單的保費(fèi)為1225元，預(yù)計(jì)醫(yī)療費(fèi)會(huì)下降30%的情況下求解下列問(wèn)題：?jiǎn)栴}一：保險(xiǎn)公司在保持現(xiàn)有收益規(guī)模的情況下，將安全帶法則帶來(lái)的利益全部反還給投?？蛻?，建立數(shù)學(xué)模型，預(yù)計(jì)今后3年保險(xiǎn)公司每年應(yīng)該收取的保險(xiǎn)費(fèi)用。問(wèn)題二：如果考慮到安全帶法則帶來(lái)的利益均衡問(wèn)題，有保險(xiǎn)公司和投?？蛻艄餐窒戆踩珟Х◣?lái)的利益，重新解決問(wèn)題一。2. 問(wèn)題的分析：2.1保持公司現(xiàn)有收益規(guī)模，將安全帶法則帶來(lái)的的利益全

5、部返還給投?？蛻?，這就要求我們計(jì)算出在實(shí)施此法規(guī)之前保險(xiǎn)公司可獲得的總利潤(rùn)額w0總，然后算出公司可從每個(gè)客戶身上獲得的利潤(rùn)額c均=w0總/n0總，設(shè)以后每年的保險(xiǎn)費(fèi)為pj，可得方程式：pj-wj總賠/nj總=c均。2.2根據(jù)實(shí)際情況，我們知道，如果實(shí)施了安全帶法規(guī)，各保險(xiǎn)公司為了與其他保險(xiǎn)公司競(jìng)爭(zhēng)，都會(huì)采取合理可行的的保險(xiǎn)費(fèi)用下調(diào)方案。這樣，各公司客戶數(shù)額不會(huì)發(fā)生太大的變化，和問(wèn)題一所預(yù)測(cè)的增長(zhǎng)應(yīng)該是相吻合的。因此，在該公司合理解決了此利益均衡問(wèn)題后，不會(huì)對(duì)保單的發(fā)放情況產(chǎn)生影響，問(wèn)題一所得出的各類客戶人數(shù)對(duì)問(wèn)題二完全適用。我們只需考慮如何才能使得利益在保險(xiǎn)公司與投?？蛻暨@兩個(gè)對(duì)立者中均衡的問(wèn)

6、題，于是我們聯(lián)想到，在實(shí)施安全帶法則之前，保險(xiǎn)公司在綜合多種因素的考慮下所制定的保險(xiǎn)費(fèi)用相對(duì)于公司和客戶應(yīng)該說(shuō)是都達(dá)到了利益的均衡，這是經(jīng)過(guò)實(shí)踐檢驗(yàn)過(guò)的。所以我們從公司在實(shí)施安全帶法則之前的利潤(rùn)率出發(fā)，得出當(dāng)利潤(rùn)率不變時(shí)所求得的保險(xiǎn)費(fèi)即為保險(xiǎn)公司與客戶二者利益均衡點(diǎn)。那我們的問(wèn)題將轉(zhuǎn)化為下列問(wèn)題：年利率w；以后3年隔年總費(fèi)用的期望值。3. 模型的假設(shè)： （1）新投保人數(shù)與新投保人數(shù)與汽車銷量的增長(zhǎng)率相等； （2）注銷人數(shù)等于自動(dòng)退保人數(shù)與死亡人數(shù)之和； （3）每年的平均修理費(fèi)、醫(yī)療費(fèi)、死亡賠償費(fèi)保持不變； （4）每個(gè)人的索賠次數(shù)服從泊松分布； （5）受傷索賠過(guò)的人不注銷； （6）死亡人數(shù)的減少

7、量轉(zhuǎn)化為受傷人數(shù)；4. 符號(hào)的說(shuō)明： a:本年度人數(shù)； b：下一年度人數(shù)； i：參?？蛻舻念悇e，i=0,1,2,3； j：記本年度為第0年，以后各年為第1,2,3年； w0總:實(shí)施此法規(guī)之前保險(xiǎn)公司可獲得的總利潤(rùn)； c均:實(shí)施此法規(guī)之前保險(xiǎn)公司從每個(gè)客戶身上可獲得的利潤(rùn)； pj，uj：第j年每份保單的保險(xiǎn)費(fèi)； pi藥：第i類客戶的醫(yī)藥費(fèi)； hi：第i類客戶的賠償費(fèi)用； xi：第i類客戶的修理費(fèi)用； si:第i類客戶的死亡賠償； ti退：第i類客戶的退還費(fèi)用； nji總：第j年第i類客戶的總投保人數(shù)； nji傷：第j年第i類客戶的受傷人數(shù)； nji索：第j年第i類客戶的索賠人數(shù)； nji死：第j

8、年第i類客戶的死亡人數(shù)； nji續(xù)：第j年第i類客戶的續(xù)保人數(shù)； nj新：第j年新投保人數(shù)；5. 模型的建立及求解：5.1建立以后各年每份保單的保費(fèi)與人均利潤(rùn)額的關(guān)系式： wj總賠=p0索*n0索； w0總=p0*n0總-wj總賠； c均=w0總/n0總由以上三式可得：c均=p0-（p0i賠*n0i賠+n0i退*ti退）/n0總死亡賠償：si=(hi-xi-pi藥）*n0i索/n0i死；以后3年每年應(yīng)收取的保險(xiǎn)費(fèi)用：pj=wj總賠/nj總+c均5.2建立各類投保人以及各類索賠人之間的關(guān)系：總投保人數(shù)：nji總=nji新+nji續(xù)；受傷人數(shù)：nji傷=nji索-nji死；5.2.1分析表一、二可

9、得： 下一年0類續(xù)保人數(shù)=0類索賠人數(shù)+1類降為0類的人數(shù)（1類索賠人數(shù)-1類死亡人數(shù)）： b0續(xù)=a0索-a0死+a1索-a1死+a2索-a2死； 下一年1類續(xù)保人數(shù)=0類升為1類的人數(shù)（0類投保人數(shù)-0類索賠人數(shù)-0類注銷人數(shù)+0類死亡人數(shù)）+3類降為1類的人數(shù)（3類索賠人數(shù)-3類死亡人數(shù)）： b1續(xù)=a0總-a0索-a0注+a0死+a3索-a3死； 下一年2類續(xù)保人數(shù)=1類升為2類的人數(shù)（1類續(xù)保人數(shù)-1類索賠人數(shù)-1類注銷人數(shù)+1類死亡人數(shù)）： b2續(xù)=a1續(xù)-a1索-a1注+a1死； 下一年3類續(xù)保人數(shù)=2類升為3類的人數(shù)（2類續(xù)保人數(shù)-2類索賠人數(shù)-2類注銷人數(shù)+2類死亡人數(shù)）+3

10、類續(xù)保人數(shù)-3類注銷人數(shù)+3類死亡人數(shù)： b3續(xù)=a2續(xù)-a2索-a2注+a2死+a3續(xù)-a3索-a3注+a3死；5.2.2現(xiàn)在分析新投保人數(shù)的變化情況：首先我們從國(guó)家統(tǒng)計(jì)局網(wǎng)站上查閱到了我國(guó)20022013年各年的汽車銷量，利用matlab進(jìn)行曲線擬合，得到如下圖形曲線： 從上面的圖形曲線我們可以看出，自2010年以來(lái)我國(guó)汽車銷量呈平穩(wěn)上升趨勢(shì)，增長(zhǎng)率基本穩(wěn)定在10%左右，由假設(shè)新投保人數(shù)的增長(zhǎng)率與汽車銷量的增長(zhǎng)率相等，得到新投保人數(shù)的增長(zhǎng)率，為了數(shù)據(jù)更為準(zhǔn)確，這里我們?nèi)≡鲩L(zhǎng)率v=0.100419,于是可得新投保人數(shù)的關(guān)系式：nj新=n0新*（1+v)j,n0新=384620，通過(guò)c語(yǔ)言編程

11、計(jì)算可得結(jié)果如下表： 年份 0 1 2 3新投保人數(shù) 384620 423243 465745 51225145.2.3分析索賠人數(shù)：由概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)的相關(guān)知識(shí)可知，對(duì)于試驗(yàn)發(fā)生概率很小，二實(shí)驗(yàn)次數(shù)很多的隨機(jī)過(guò)程，都可以很自然地應(yīng)用泊松分布的理論。在總投保人數(shù)中每一個(gè)人的索賠次數(shù)服從泊松分布，所以他索賠k次的概率p為:pi（k=k）=e-*ik(i>0)所以，他至少索賠一次的概率:i=p(k1)=1-pi(k=0)=e-i所以總?cè)藬?shù)中x個(gè)人中索賠的概率為：pi（x）=cnx*ix*(1-i)n-x=cnk*(1-e-)*(e-)n-k所以：i=nji總-（nji總-nji索）nji索=

12、nji總*（1-e-i）代入數(shù)據(jù)計(jì)算可得到個(gè)類索賠人數(shù)與總投保人數(shù)之間的關(guān)系： 類別（i） 函數(shù) 第0類 0.4307nji索=nji總*（1-e-0.4307） 第1類 0.4005nji索=nji總*（1-e-0.4005） 第2類 0.1057nji索=nji總*（1-e-0.1057） 第3類 0.00834nji索=nji總*（1-e-0.0834）5.2.4分析死亡人數(shù)：由假設(shè)，死亡司機(jī)人數(shù)與索賠人數(shù)呈比例關(guān)系：nji死=n0i死/n0i索*nji索5.2.5分析退還折扣人數(shù)：+nj1注退還折扣為25%的人數(shù)：nj1退=nj0總-nj0索-nj0注+nj0死+nj3索-nj3注+n

13、j3死+nj1注-nj1死；退還折扣為40%的人數(shù)：nj2退=nj1總-nj1索-nj1注+nj1死+nj2注-nj2死；退還折扣為50%的人數(shù)：nj3退=nj3總-nj3索-nj3注+nj3死。5.3運(yùn)用上述公式及本年度的統(tǒng)計(jì)報(bào)表，我們利用matlab語(yǔ)言編程運(yùn)算得到如下數(shù)據(jù)： 表二：醫(yī)療費(fèi)下降后各類賠償費(fèi)用（平均費(fèi)用） 類別（i） 修理費(fèi)（元） 醫(yī)療費(fèi)（元）死亡賠償費(fèi)（元） 0 1020 1068 32459 1 1223 862 35775 2 947 576 59192 3 805 570 70157表三：實(shí)施安全帶法規(guī)后第一年保單發(fā)放及各類索賠情況類別（i）沒(méi)有索賠時(shí)的打折比例（%）

14、續(xù)保人數(shù)新投保人數(shù)注銷人數(shù)總投保 人數(shù)索賠人數(shù)死亡司機(jī)人數(shù) 0 012438174232431361716670605833816999 1 251769819 018967176981958406714028 2 401177509 01319911775091181111402 3 508769124 03216487691247016784213表四：實(shí)施安全帶法規(guī)后第二年保單發(fā)放及各類索賠情況類別（i）沒(méi)有索賠時(shí)的打折比例（%）續(xù)保人數(shù)新投保人數(shù)注銷人數(shù)總投保 人數(shù)索賠人數(shù)死亡司機(jī)人數(shù) 0 012632044657451412317289496050397259 1 251783878

15、 019118178387858870714139 2 401180827 01323611808271184431406 3 508798178 032274387981787040034227表四：實(shí)施安全帶法規(guī)后第二年保單發(fā)放及各類索賠情況類別（i）沒(méi)有索賠時(shí)的打折比例（%）續(xù)保人數(shù)新投保人數(shù)注銷人數(shù)總投保 人數(shù)索賠人數(shù)死亡司機(jī)人數(shù) 0 012898345125141472318023486307257567 1 251817093 019474181709359966814402 2 401190246 01334211902461193881417 3 508827893 03238

16、33882789370638142415.4.1問(wèn)題一的求解結(jié)果： c均=339元； p1=1065元、p2=1069元、p3=1071元5.4.2對(duì)于問(wèn)題二，我們需考慮由此法規(guī)帶來(lái)的保險(xiǎn)公司與投?？蛻糁g的利益均衡問(wèn)題，由問(wèn)題一的計(jì)算結(jié)果我們可得出以后3年相對(duì)于本年度的保險(xiǎn)費(fèi)下降值分別為p1=160元，p2=156元，p3=154元，問(wèn)題的關(guān)鍵在于如何合理地分配這些利益，使保險(xiǎn)公司和投保客戶的相對(duì)滿意度最高。如前文對(duì)問(wèn)題二的分析，我們只需計(jì)算得到在實(shí)施安全帶法規(guī)之前保險(xiǎn)公司的收益，即可使問(wèn)題得到解決。由第一問(wèn)結(jié)算結(jié)果我們已知每份保單的人均利潤(rùn)額:c均=339元。那么公司的收益率:w=c均/p

17、0,p0=1225元， 計(jì)算得到: w=27.67%即這三年的保險(xiǎn)費(fèi)的下降值p1、p2、p3的27.67%分配給保險(xiǎn)公司最為合理，也達(dá)到了客戶與公司之間的利益均衡。所以： u1=p1+w*p1=1065+27.67%*160=1109元； u2=p2+w*p2=1069+27.67%*156=1112元； u3=p3+w*p3=1071+27.67%*154=1114元。6.模型的優(yōu)缺點(diǎn)分析：6.1模型的優(yōu)點(diǎn)：（1）.充分利用了題目中所給的本年度發(fā)放保單數(shù)與本年度索賠款數(shù)，從國(guó)家統(tǒng)計(jì)局網(wǎng)站獲取準(zhǔn)確的汽車銷量情況，從而使得得出的新投保人數(shù)的增長(zhǎng)率更為準(zhǔn)確，具有實(shí)際的預(yù)測(cè)意義。(2).在考慮某些問(wèn)

18、題時(shí)很巧妙的從其他角度入手，避開了一些難以從題目所給信息得出具體結(jié)果的過(guò)程量。(3).針對(duì)各變量之間的關(guān)系進(jìn)行了合理而又不失準(zhǔn)確性的簡(jiǎn)化，并未個(gè)別變量（如索賠人數(shù)，新投保人數(shù)等）建立了子模型，既見笑了模型的求解難度，又提高了模型的準(zhǔn)確性。6.2模型的缺點(diǎn)：（1）.隨著人們安全意識(shí)的提高、保險(xiǎn)業(yè)的發(fā)展、國(guó)名經(jīng)濟(jì)的增長(zhǎng)，投保人數(shù)可能會(huì)比預(yù)期值高一些，索賠人數(shù)可能會(huì)少一些，并考慮到醫(yī)療費(fèi)用、修理費(fèi)用等不可能保持不變，但根據(jù)本體數(shù)據(jù)及所得到的信息，我們很難講這些因素納入考慮范疇。（2）。在某些方面考慮太過(guò)理想化，如在考慮第二問(wèn)時(shí)，認(rèn)為第一問(wèn)所得的數(shù)據(jù)完全可靠，理想化的認(rèn)為各保險(xiǎn)公司都會(huì)合理的解決此利益分配問(wèn)題，不會(huì)引起投保人數(shù)的大幅度波動(dòng)。7. 模型的改進(jìn)：（1）.從相關(guān)的保險(xiǎn)公司調(diào)查了解附加保險(xiǎn)費(fèi)所占總保險(xiǎn)費(fèi)的比例，把附加保險(xiǎn)費(fèi)對(duì)每份保單保險(xiǎn)費(fèi)的影響考慮進(jìn)去。（2） 再建立兩個(gè)小模型，一是將汽車銷量的變化趨勢(shì)單獨(dú)列出來(lái)，考慮各種因素對(duì)于汽車銷量的影響，或從相關(guān)資料獲取相關(guān)函數(shù)關(guān)系；二