線形系統(tǒng)的狀態(tài)空間分析與綜合

1、12 現(xiàn)代控制理論中用狀態(tài)方程和輸出方程描述系統(tǒng)，輸現(xiàn)代控制理論中用狀態(tài)方程和輸出方程描述系統(tǒng)，輸入和輸出構(gòu)成系統(tǒng)的外部變量，而狀態(tài)為系統(tǒng)的內(nèi)部變量，入和輸出構(gòu)成系統(tǒng)的外部變量，而狀態(tài)為系統(tǒng)的內(nèi)部變量，這就存在著系統(tǒng)內(nèi)的所有狀態(tài)是否可受輸入影響和是否可這就存在著系統(tǒng)內(nèi)的所有狀態(tài)是否可受輸入影響和是否可由由輸出反映的問題，這就是輸出反映的問題，這就是可控性和可觀測性問題可控性和可觀測性問題。如果系。如果系統(tǒng)統(tǒng)所有狀態(tài)變量的運(yùn)動都可以由輸入來影響和控制而由任意所有狀態(tài)變量的運(yùn)動都可以由輸入來影響和控制而由任意的的初態(tài)達(dá)到原點(diǎn)，則稱系統(tǒng)是初態(tài)達(dá)到原點(diǎn)，則稱系統(tǒng)是可控的可控的，或者更確切地是狀態(tài)，或者

2、更確切地是狀態(tài)可可控的。否則，就稱系統(tǒng)是不完全可控的，或簡稱為系統(tǒng)不控的。否則，就稱系統(tǒng)是不完全可控的，或簡稱為系統(tǒng)不可可控。相應(yīng)地，如果系統(tǒng)所有狀態(tài)變量地任意形式的運(yùn)動均控。相應(yīng)地，如果系統(tǒng)所有狀態(tài)變量地任意形式的運(yùn)動均可可由輸出完全反映，則稱系統(tǒng)是狀態(tài)由輸出完全反映，則稱系統(tǒng)是狀態(tài)可觀測的可觀測的，簡稱為系統(tǒng)，簡稱為系統(tǒng)可可觀測。觀測。二、二、 線性系統(tǒng)的可控性與可觀測性線性系統(tǒng)的可控性與可觀測性（1 1） 3例：例： 給定系統(tǒng)的動態(tài)方程為給定系統(tǒng)的動態(tài)方程為 將其表示為標(biāo)量方程組的形式，有將其表示為標(biāo)量方程組的形式，有 二、二、 線性系統(tǒng)的可控性與可觀測性線性系統(tǒng)的可控性與可觀測性（2

3、2） 1122401052xxuxx 1206xyxuxx114uxx252226xy4這表明狀態(tài)變量這表明狀態(tài)變量 和和 都可通過選擇控制量都可通過選擇控制量 而由始點(diǎn)達(dá)而由始點(diǎn)達(dá)到到原點(diǎn)，原點(diǎn)，因而系統(tǒng)完全可控因而系統(tǒng)完全可控。但是，輸出。但是，輸出 只能反映狀態(tài)變只能反映狀態(tài)變量量 ，而與狀態(tài)變量，而與狀態(tài)變量 既無直接關(guān)系也無間接關(guān)系，所以既無直接關(guān)系也無間接關(guān)系，所以系系統(tǒng)是不完全可觀測的統(tǒng)是不完全可觀測的。例：例：下下圖所示網(wǎng)絡(luò)，設(shè)圖所示網(wǎng)絡(luò)，設(shè) ，輸出，輸出 。 二、二、 線性系統(tǒng)的可控性與可觀測性線性系統(tǒng)的可控性與可觀測性（3 3） 1x2xuy2x1x2121,ccuxux2

4、xy 5當(dāng)當(dāng) 且初始狀態(tài)且初始狀態(tài) 時，則不論將時，則不論將輸入輸入 取為何種形式，對于所有取為何種形式，對于所有 ，只能，只能是是 ，不可能做到不可能做到 。也就是說，輸入。也就是說，輸入 能夠做到使能夠做到使和和 同時轉(zhuǎn)移到任意相同的目標(biāo)值，但不能將同時轉(zhuǎn)移到任意相同的目標(biāo)值，但不能將 和和 分分別別轉(zhuǎn)移到不同的目標(biāo)值。這表明此電路不完全可控，簡稱電轉(zhuǎn)移到不同的目標(biāo)值。這表明此電路不完全可控，簡稱電路路不可控。由于不可控。由于 ，故系統(tǒng)可觀測。，故系統(tǒng)可觀測。1 1、可控性可控性 考慮線性時變系統(tǒng)的狀態(tài)方程考慮線性時變系統(tǒng)的狀態(tài)方程 二、二、 線性系統(tǒng)的可控性與可觀測性線性系統(tǒng)的可控性與可

5、觀測性（4 4） 2121,ccrr)()(0201txtxu0tt )()(21txtx)()(21txtx21xxyu2x1x1x2x),()()()()(tutbtxtatxttt6其中其中 為為 維狀態(tài)向量；維狀態(tài)向量； 為為 維輸入向量；維輸入向量； 為時間定為時間定義義區(qū)間；區(qū)間； 和和 分別為分別為 和和 矩陣。現(xiàn)對狀矩陣?，F(xiàn)對狀態(tài)態(tài)可控、系統(tǒng)可控和不可控分別定義如下：可控、系統(tǒng)可控和不可控分別定義如下： 狀態(tài)可控：狀態(tài)可控： 對于上式所示線性時變系統(tǒng)，如果對取定對于上式所示線性時變系統(tǒng)，如果對取定初始時刻初始時刻 的一個非零初始狀態(tài)的一個非零初始狀態(tài) ，存在一，存在一個個時刻時

6、刻 和一個無約束的容許控和一個無約束的容許控制制 ，使?fàn)顟B(tài)由使?fàn)顟B(tài)由 轉(zhuǎn)移到轉(zhuǎn)移到 時的時的 ，則稱此，則稱此 是是在在 時刻可控的。時刻可控的。 二、二、 線性系統(tǒng)的可控性與可觀測性線性系統(tǒng)的可控性與可觀測性（5 5） xnuptt)(ta)(tbnnpn ttt 000)(xtx011,ttttt10,),(ttttu00)(xtx1t0)(1tx0 x0t7 系統(tǒng)可控：系統(tǒng)可控： 對于上式所示線性時變系統(tǒng)，如果狀態(tài)空對于上式所示線性時變系統(tǒng)，如果狀態(tài)空間中的所有非零狀態(tài)都是在間中的所有非零狀態(tài)都是在 時刻可控的，則稱時刻可控的，則稱系系統(tǒng)在統(tǒng)在 時刻是完全可控的，簡稱系統(tǒng)在時刻是完全可控

7、的，簡稱系統(tǒng)在 時刻可控。若系時刻可控。若系統(tǒng)統(tǒng)在所有時刻都是可控的，則稱系統(tǒng)是一致可控的。在所有時刻都是可控的，則稱系統(tǒng)是一致可控的。 系統(tǒng)不完全可控：系統(tǒng)不完全可控： 對于上式所示線性時變系統(tǒng)，取定對于上式所示線性時變系統(tǒng)，取定初始時刻初始時刻 ，如果狀態(tài)空間中存在一個或一些非零狀，如果狀態(tài)空間中存在一個或一些非零狀態(tài)在態(tài)在 時刻是不可控的，則稱系統(tǒng)在時刻是不可控的，則稱系統(tǒng)在 時刻是不完全可控時刻是不完全可控的，的，也稱為系統(tǒng)是不可控的。也稱為系統(tǒng)是不可控的。 可控性是表征系統(tǒng)狀態(tài)運(yùn)動的一個定性特性可控性是表征系統(tǒng)狀態(tài)運(yùn)動的一個定性特性。 必必須須是容許控制，即是容許控制，即 的每個分量

8、均在時間的每個分量均在時間 區(qū)間上平方區(qū)間上平方可可積，即積，即 二、二、 線性系統(tǒng)的可控性與可觀測性線性系統(tǒng)的可控性與可觀測性（6 6） )(00tttt0t0tttt 00t0t)(tu)(tutt02( ),titu tdt tttt, 08此外，對于線性時變系統(tǒng)，其可控性與初始時刻此外，對于線性時變系統(tǒng)，其可控性與初始時刻 的選取的選取有有關(guān)，是相對于關(guān)，是相對于 中的一個取定時刻來定義的。而對于線性中的一個取定時刻來定義的。而對于線性定定常系統(tǒng)，其可控性與初始時刻常系統(tǒng)，其可控性與初始時刻 的選取無關(guān)。的選取無關(guān)。 狀態(tài)與系統(tǒng)可達(dá)：狀態(tài)與系統(tǒng)可達(dá)： 若存在能將狀態(tài)若存在能將狀態(tài) 轉(zhuǎn)移

9、到轉(zhuǎn)移到 的控制作用，則稱狀態(tài)的控制作用，則稱狀態(tài) 是是 時刻可達(dá)的。時刻可達(dá)的。若若 對所有時刻都是可達(dá)的，則稱狀態(tài)對所有時刻都是可達(dá)的，則稱狀態(tài) 為完全可達(dá)或?yàn)橥耆蛇_(dá)或一一致可達(dá)。若系統(tǒng)對于狀態(tài)空間中的每一個狀態(tài)都是致可達(dá)。若系統(tǒng)對于狀態(tài)空間中的每一個狀態(tài)都是 時刻時刻可可達(dá)的，則稱該系統(tǒng)是達(dá)的，則稱該系統(tǒng)是 時刻狀態(tài)完全可達(dá)的，或簡稱該系時刻狀態(tài)完全可達(dá)的，或簡稱該系統(tǒng)統(tǒng)是是 時刻可達(dá)的。時刻可達(dá)的。 對于線性定常連續(xù)系統(tǒng)，可控性與可達(dá)性是等價(jià)的。對于線性定常連續(xù)系統(tǒng)，可控性與可達(dá)性是等價(jià)的。但但對于離散系統(tǒng)和時變系統(tǒng)，嚴(yán)格地說兩者是不等價(jià)的。對于離散系統(tǒng)和時變系統(tǒng)，嚴(yán)格地說兩者是不等

10、價(jià)的。 二、二、 線性系統(tǒng)的可控性與可觀測性線性系統(tǒng)的可控性與可觀測性（7 7） 0ttt0t0)(0txffxtx)(fx0tfxfx0t0t0t92 2、可觀測性可觀測性 可觀測性表征狀態(tài)可由輸出完全反映的性能，所以應(yīng)同時考可觀測性表征狀態(tài)可由輸出完全反映的性能，所以應(yīng)同時考慮系統(tǒng)的狀態(tài)方程和輸出方程慮系統(tǒng)的狀態(tài)方程和輸出方程 其中，其中， 分別為分別為的滿足狀態(tài)方程解的存在惟一性條件的時變矩陣。狀態(tài)方程的滿足狀態(tài)方程解的存在惟一性條件的時變矩陣。狀態(tài)方程的解為的解為 二、二、 線性系統(tǒng)的可控性與可觀測性線性系統(tǒng)的可控性與可觀測性（8 8） ttttutbtxtatx),()()()()(

11、 00)(),()()()()(xtxtutdtxtcty)()(),(),(tdtctbta和)()(),(),(pqnqpnnn和ttdubtxtttx0)()(),(),()(0010其中其中 為系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣。將上式代入輸出方程，為系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣。將上式代入輸出方程，可得輸出響應(yīng)為可得輸出響應(yīng)為若定義若定義 則輸出響應(yīng)可寫為則輸出響應(yīng)可寫為 這表明可觀測性即是這表明可觀測性即是 可由可由 完全估計(jì)的性能。由于完全估計(jì)的性能。由于 和和可取任意值，所以這又等價(jià)于研究可取任意值，所以這又等價(jià)于研究 時由時由 來估計(jì)來估計(jì) 的的可能性，即研究零輸入方程可能性，即研究零輸入方程 二、二

12、、 線性系統(tǒng)的可控性與可觀測性線性系統(tǒng)的可控性與可觀測性（9 9） ),(0tt)()()()(),()(),()()(00tutddubttcxtttcty)()()()(),()()()(tutddubttctyty00),()()(xtttctyy0 x0uy0 xy0 x11的可觀測性。輸出響應(yīng)成為的可觀測性。輸出響應(yīng)成為下面給出系統(tǒng)可觀測性的有關(guān)定義。下面給出系統(tǒng)可觀測性的有關(guān)定義。 系統(tǒng)完全可觀測：系統(tǒng)完全可觀測：對于線性時變系統(tǒng)，如果取定初始時對于線性時變系統(tǒng)，如果取定初始時刻刻 ，存在一個有限時刻，存在一個有限時刻 ，對于所，對于所有有 ，系統(tǒng)的輸出系統(tǒng)的輸出 能惟一確定狀態(tài)向

13、量能惟一確定狀態(tài)向量 的初值，則稱系統(tǒng)的初值，則稱系統(tǒng)在在 內(nèi)是完全可觀測的，簡稱可觀測。如果對于一切內(nèi)是完全可觀測的，簡稱可觀測。如果對于一切系統(tǒng)都是可觀測的，則稱系統(tǒng)在系統(tǒng)都是可觀測的，則稱系統(tǒng)在 內(nèi)完全可觀測。內(nèi)完全可觀測。 二、二、 線性系統(tǒng)的可控性與可觀測性線性系統(tǒng)的可控性與可觀測性（1010） ttttxtxtxtatx,)(),()()(000)()()(txtcty00),()()(xtttctyttt 0011,ttttt10,ttt)(ty)(0tx10,tt01tt ,0t12 系統(tǒng)不可觀測：系統(tǒng)不可觀測： 對于線性時變系統(tǒng)，如果取定初始時對于線性時變系統(tǒng)，如果取定初始時

14、刻刻 ，存在一個有限時刻，存在一個有限時刻 ，對于所，對于所有有 ，系統(tǒng)的輸出系統(tǒng)的輸出 不能惟一確定所有狀態(tài)不能惟一確定所有狀態(tài) 的的初值，即至少有一個狀態(tài)的初值不能被初值，即至少有一個狀態(tài)的初值不能被 確定，則稱系統(tǒng)確定，則稱系統(tǒng)在在時間區(qū)間時間區(qū)間 內(nèi)是不完全可觀測的，簡稱不可觀測。內(nèi)是不完全可觀測的，簡稱不可觀測。3 3、線性定常連續(xù)系統(tǒng)的可控性判據(jù)線性定常連續(xù)系統(tǒng)的可控性判據(jù) 考慮線性定常連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)方程考慮線性定常連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)方程 其中其中 為為 維狀態(tài)向量；維狀態(tài)向量； 為為 維輸入向量；維輸入向量； 和和 分別為分別為 和和 常陣。常陣。 二、二、 線性系統(tǒng)的可控性與可觀測

15、性線性系統(tǒng)的可控性與可觀測性（1111） ttt 0011,ttttt10,ttt)(tynitxi, 2 , 1),(0)(ty10,tt0,)0(),()()(0txxtbutaxtx xupnab)(nn ()np13下面根據(jù)下面根據(jù) 和和 給出系統(tǒng)可控性的常用判據(jù)。給出系統(tǒng)可控性的常用判據(jù)。 格拉姆矩陣判據(jù)格拉姆矩陣判據(jù) 線性定常連續(xù)系統(tǒng)完全可控的充分必線性定常連續(xù)系統(tǒng)完全可控的充分必要條件是，存在時刻要條件是，存在時刻 ，使如下定義的格拉姆矩陣：，使如下定義的格拉姆矩陣：為非奇異。為非奇異。 格拉姆矩陣判據(jù)主要用于理論分析。線性定常連續(xù)系格拉姆矩陣判據(jù)主要用于理論分析。線性定常連續(xù)系

16、統(tǒng)統(tǒng)可控性的常用判據(jù)是直接由矩陣可控性的常用判據(jù)是直接由矩陣 和和 判斷可控性的秩判判斷可控性的秩判據(jù)。據(jù)。 凱萊哈密頓定理凱萊哈密頓定理 設(shè)階矩陣的特征多項(xiàng)式為設(shè)階矩陣的特征多項(xiàng)式為 二、二、 線性系統(tǒng)的可控性與可觀測性線性系統(tǒng)的可控性與可觀測性（1212） ab01tdtebbetwtatatt), 0(1ab0111)(aaaaifnnn14則則 滿足其特征方程，即滿足其特征方程，即推論推論1 1 矩陣矩陣 的的 次冪可表示為次冪可表示為 的的 階多項(xiàng)階多項(xiàng)式式推論推論2 2 矩陣指數(shù)矩陣指數(shù) 可表示為可表示為 的的 階多項(xiàng)式階多項(xiàng)式 秩判據(jù)秩判據(jù) 線性定常連續(xù)系統(tǒng)完全可控的充分必要條件

17、是線性定常連續(xù)系統(tǒng)完全可控的充分必要條件是其中其中 為矩陣為矩陣 的維數(shù)，的維數(shù)， 稱為系統(tǒng)稱為系統(tǒng)的的可控性判別陣?？煽匦耘袆e陣。 二、二、 線性系統(tǒng)的可控性與可觀測性線性系統(tǒng)的可控性與可觀測性（1313） a0)(0111iaaaaaaafnnn)(nkk) 1( naa10nmmmkaaaate) 1( na10)(nmmmatataenbaabbrankn1nabaabbsn 115例：例： 橋式網(wǎng)絡(luò)如圖所示，試用可控性判據(jù)判斷其可控性。橋式網(wǎng)絡(luò)如圖所示，試用可控性判據(jù)判斷其可控性。解解： 該橋式電路的微分方程為該橋式電路的微分方程為選取狀態(tài)變量選取狀態(tài)變量 ，消去消去 ，可得狀態(tài)方程

18、，可得狀態(tài)方程 二、二、 線性系統(tǒng)的可控性與可觀測性線性系統(tǒng)的可控性與可觀測性（1414） uirirdtdiliruciriruciriiiiill3311221133444321cluxix21,4321,iiii16其可控性矩陣為其可控性矩陣為 二、二、 線性系統(tǒng)的可控性與可觀測性線性系統(tǒng)的可控性與可觀測性（1515） ulxrrrrrrlxrrrrrrrrlx1112433211143432121124321143421221111xrrrrcxrrrrrrcx2124344343212121011rrrrrrlcrrrrrrrrllabbs17當(dāng)當(dāng) 時，時， ，系統(tǒng)可控。，系統(tǒng)可控。

19、當(dāng)電橋處于平衡狀態(tài)，即當(dāng)電橋處于平衡狀態(tài)，即 時，時，及及 成立，這時狀態(tài)方程變?yōu)槌闪?，這時狀態(tài)方程變?yōu)?二、二、 線性系統(tǒng)的可控性與可觀測性線性系統(tǒng)的可控性與可觀測性（1616） 212434rrrrrrnranks 23241rrrr433211rrrrrr434212rrrrrrulxrrrrrrrrlx111434321211243212111xrrrrcx18可控性矩陣為可控性矩陣為 ，系統(tǒng)不可控，系統(tǒng)不可控， 不能控制不能控制 ， 是不可是不可控控狀態(tài)變量。狀態(tài)變量。例：例： 判別下列系統(tǒng)的可控性：判別下列系統(tǒng)的可控性： 二、二、 線性系統(tǒng)的可控性與可觀測性線性系統(tǒng)的可控性與可觀測

20、性（1717） 0011434321212rrrrrrrrllabbsnranks1u2x2x21321321111112310020231uuxxxxxx19解解 可控性判別矩陣為可控性判別矩陣為顯見矩陣的第二行與第三行線性相關(guān)，顯見矩陣的第二行與第三行線性相關(guān)， ，系，系統(tǒng)統(tǒng)不可控。不可控。 pbh秩判據(jù)秩判據(jù) 線性定常連續(xù)系統(tǒng)完全可控的充分必要條線性定常連續(xù)系統(tǒng)完全可控的充分必要條件是，對矩陣件是，對矩陣 的所有特征值的所有特征值 ，均成立，或等價(jià)地表示為均成立，或等價(jià)地表示為即即 和和 是左互質(zhì)的。是左互質(zhì)的。 二、二、 線性系統(tǒng)的可控性與可觀測性線性系統(tǒng)的可控性與可觀測性（1818）

21、 4422114422114523122baabbs32ranks), 2 , 1(niia; nbarankini, 2 , 1csnbasirank,)(asi b20由于這一判據(jù)是由波波夫和貝爾維奇首先提出，并由豪塔由于這一判據(jù)是由波波夫和貝爾維奇首先提出，并由豪塔斯斯最先指出其可廣泛應(yīng)用性，故稱為最先指出其可廣泛應(yīng)用性，故稱為pbh秩判據(jù)秩判據(jù)。例：例： 已知線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)方程為已知線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)方程為 試判別系統(tǒng)的可控性。試判別系統(tǒng)的可控性。解：解： 根據(jù)狀態(tài)方程可寫出根據(jù)狀態(tài)方程可寫出 二、二、 線性系統(tǒng)的可控性與可觀測性線性系統(tǒng)的可控性與可觀測性（1919） ,02100

22、1100500100001000010uxx4n21考慮到考慮到 的特征值為的特征值為 ，所以，所以只只需對它們來檢驗(yàn)上述矩陣的秩。通過計(jì)算知，當(dāng)需對它們來檢驗(yàn)上述矩陣的秩。通過計(jì)算知，當(dāng)時，有時，有 二、二、 線性系統(tǒng)的可控性與可觀測性線性系統(tǒng)的可控性與可觀測性（2020） 02500101000101010001ssssbasi5, 5, 04321a021s42050010010100001rankbasirank22當(dāng)當(dāng) 時，有時，有當(dāng)當(dāng) 時，有時，有計(jì)算結(jié)果表明，系統(tǒng)完全可控。計(jì)算結(jié)果表明，系統(tǒng)完全可控。 二、二、 線性系統(tǒng)的可控性與可觀測性線性系統(tǒng)的可控性與可觀測性（2121） 5

23、3s40200100001501015rankbasirank54s40200100001501015rankbasirank23 pbh特征向量判據(jù)特征向量判據(jù) 線性定常連續(xù)系統(tǒng)完全可控的充分線性定常連續(xù)系統(tǒng)完全可控的充分必要條件是，必要條件是， 不能有與不能有與 的所有列相正交的非零左特征的所有列相正交的非零左特征向向量。即量。即 對的任一特征值對的任一特征值 ，使同時滿足，使同時滿足 的特征向量的特征向量 。 一般地說，一般地說，pbh特征向量判據(jù)主要用于理論分析中，特征向量判據(jù)主要用于理論分析中，特特別是線性系統(tǒng)的復(fù)頻域分析中。別是線性系統(tǒng)的復(fù)頻域分析中。 約當(dāng)規(guī)范型判據(jù)約當(dāng)規(guī)范型判據(jù)

24、 線性定常連續(xù)系統(tǒng)完全可控的充分必線性定常連續(xù)系統(tǒng)完全可控的充分必要要條件分兩種情況：條件分兩種情況：1 1）矩陣）矩陣 的特征值的特征值 是兩兩相異的。是兩兩相異的。 二、二、 線性系統(tǒng)的可控性與可觀測性線性系統(tǒng)的可控性與可觀測性（2222） abia,tita0bt0n,21a24由線性變換可將狀態(tài)方程變?yōu)閷蔷€規(guī)范型由線性變換可將狀態(tài)方程變?yōu)閷蔷€規(guī)范型則系統(tǒng)完全可控的充分必要條件是，在上式中，不包含元則系統(tǒng)完全可控的充分必要條件是，在上式中，不包含元素素全為零的行。全為零的行。 2 2）矩陣的特征值為）矩陣的特征值為 ，且，且 。 二、二、 線性系統(tǒng)的可控性與可觀測性線性系統(tǒng)的可控性與

25、可觀測性（2323） ubxxn21)(,),(),(2211重重重llnl2125由線性變換化為約當(dāng)規(guī)范型由線性變換化為約當(dāng)規(guī)范型其中其中 二、二、 線性系統(tǒng)的可控性與可觀測性線性系統(tǒng)的可控性與可觀測性（2424） ubxaxlpnlnnbbbbjjja,21)(21)(,21)(1iiijiajjjiiiiiaiipibbbb21)(26而而 ，由，由 的最后的最后一一行所組成的矩陣行所組成的矩陣對對 均為行線性無關(guān)。均為行線性無關(guān)。 二、二、 線性系統(tǒng)的可控性與可觀測性線性系統(tǒng)的可控性與可觀測性（2525） rikikikprikiiirrikbbbbjikikik,11121)()(i

26、iaiiirrr)(21), 2 , 1(ikikbiiririribbbb21li, 2 , 1274 4、輸出可控性輸出可控性 如果系統(tǒng)需要控制的是輸出量而不是狀態(tài)，則需研究系統(tǒng)如果系統(tǒng)需要控制的是輸出量而不是狀態(tài)，則需研究系統(tǒng)的的輸出可控性。輸出可控性。 輸出可控性：輸出可控性： 若在有限時間間隔若在有限時間間隔 內(nèi)，存在無約內(nèi)，存在無約束束分段連續(xù)控制函數(shù)分段連續(xù)控制函數(shù) ，能使任意初始輸出，能使任意初始輸出 轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)移到任意最終輸出移到任意最終輸出 ，則稱此系統(tǒng)是輸出完全可控，簡，則稱此系統(tǒng)是輸出完全可控，簡稱稱輸出可控。輸出可控。 輸出可控性判據(jù)輸出可控性判據(jù) 設(shè)線性定常連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)

27、方程和輸設(shè)線性定常連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)方程和輸出方程為出方程為 二、二、 線性系統(tǒng)的可控性與可觀測性線性系統(tǒng)的可控性與可觀測性（2626） 10,tt10,),(ttttu)(0ty)(1ty10, 0,)0(,ttxxbuaxxducxy28式中，式中， 為為 維輸入向量；維輸入向量； 為為 維輸出向量；維輸出向量； 為為 維狀維狀態(tài)態(tài)向量。狀態(tài)方程的解為向量。狀態(tài)方程的解為 則輸出則輸出不失一般性，令不失一般性，令 ，有，有 二、二、 線性系統(tǒng)的可控性與可觀測性線性系統(tǒng)的可控性與可觀測性（2727） upyqxn10)(01, 0,)()(111ttdttbuexetxtttaat)()()(1

28、0)(01111tdudttbuecxcetytttaat0)(1ty 1001010110)(011111)()()()()()()(nmtmmtnmmmtttaattdudttutbactdudttbuatctdudtecxce29令令 ，則，則 二、二、 線性系統(tǒng)的可控性與可觀測性線性系統(tǒng)的可控性與可觀測性（2828） 101)()()(tmmdttuttu10110)()(1nmmmattdutbuacxce)()()()(11111110tdutbucatcabutcbunn)()()()(11111101tutututudbcacabcbnn30令令 為為 矩陣，稱為輸出一矩陣。輸

29、出可控的充矩陣，稱為輸出一矩陣。輸出可控的充分必要條件是，輸出可控性矩陣的秩等于輸出變量的維數(shù)分必要條件是，輸出可控性矩陣的秩等于輸出變量的維數(shù) ，即即 注意：注意：狀態(tài)可控性與輸出可控性是兩個不同的概念，二者狀態(tài)可控性與輸出可控性是兩個不同的概念，二者沒沒 有什么必然的聯(lián)系。有什么必然的聯(lián)系。 二、二、 線性系統(tǒng)的可控性與可觀測性線性系統(tǒng)的可控性與可觀測性（2929） dbcacabcbsn 100spnq) 1( qqranks 031例：例： 已知系統(tǒng)的狀態(tài)方程和輸出方程為已知系統(tǒng)的狀態(tài)方程和輸出方程為試判斷系統(tǒng)的狀態(tài)可控性和輸出可控性。試判斷系統(tǒng)的狀態(tài)可控性和輸出可控性。解：解： 系統(tǒng)

30、的狀態(tài)可控性矩陣為系統(tǒng)的狀態(tài)可控性矩陣為 ，故狀態(tài)不完全可控。，故狀態(tài)不完全可控。 二、二、 線性系統(tǒng)的可控性與可觀測性線性系統(tǒng)的可控性與可觀測性（3030） uxx112110 xy011111abbs2, 0rankss32輸出可控性矩陣為輸出可控性矩陣為 ，輸出可控。，輸出可控。 5 5、線性定常連續(xù)系統(tǒng)的可觀測性判據(jù)線性定常連續(xù)系統(tǒng)的可觀測性判據(jù) 考慮輸入考慮輸入 時系統(tǒng)的狀態(tài)方程和輸出方程時系統(tǒng)的狀態(tài)方程和輸出方程 其中，其中， 為為 維狀態(tài)向量；維狀態(tài)向量； 為為 維輸出向量；維輸出向量； 和和 分別分別為為 和和 的常值矩陣。的常值矩陣。 二、二、 線性系統(tǒng)的可控性與可觀測性線性

31、系統(tǒng)的可控性與可觀測性（3131） 0110dcabcbsqranks100ucxytxxaxx, 0,)0(,0yqxnacnnnq 33 格拉姆矩陣判據(jù)格拉姆矩陣判據(jù) 線性定常連續(xù)系統(tǒng)完全可觀測的充線性定常連續(xù)系統(tǒng)完全可觀測的充分分必要條件是，存在有限時刻必要條件是，存在有限時刻 ，使如下定義的格拉姆，使如下定義的格拉姆矩矩陣：陣：為非奇異。為非奇異。 秩判據(jù)秩判據(jù) 線性定常連續(xù)系統(tǒng)完全可觀測的充分必要條線性定常連續(xù)系統(tǒng)完全可觀測的充分必要條件件是是 二、二、 線性系統(tǒng)的可控性與可觀測性線性系統(tǒng)的可控性與可觀測性（3232） 01tdtcecetmattttat101), 0(ncacac

32、rankn134或或上兩式中的矩陣均稱為系統(tǒng)可觀測性判別陣，簡稱可觀測性上兩式中的矩陣均稱為系統(tǒng)可觀測性判別陣，簡稱可觀測性陣。陣。例：例： 判斷下列系統(tǒng)的可觀測性：判斷下列系統(tǒng)的可觀測性： 1） 2） 二、二、 線性系統(tǒng)的可控性與可觀測性線性系統(tǒng)的可控性與可觀測性（3333） ncacacacranktntttttt12)()(,buaxxcxy 01,13,1002cba1101,0112,1111cba35解：解：1）故系統(tǒng)不可觀測。故系統(tǒng)不可觀測。2）故系統(tǒng)可觀測。故系統(tǒng)可觀測。 二、二、 線性系統(tǒng)的可控性與可觀測性線性系統(tǒng)的可控性與可觀測性（3434） , 21, 10021nran

33、kvrancacrankrankvttt11102,2,0112tttrankvrank ca crankrankvn36 phb秩判據(jù)秩判據(jù) 線性定常連續(xù)系統(tǒng)完全可觀測的充分必要線性定常連續(xù)系統(tǒng)完全可觀測的充分必要條條件是，對矩陣件是，對矩陣 的所有特征值的所有特征值 ，均有，均有或等價(jià)地表示為或等價(jià)地表示為也即也即 和和 是右互質(zhì)的。是右互質(zhì)的。 二、二、 線性系統(tǒng)的可控性與可觀測性線性系統(tǒng)的可控性與可觀測性（3535） ), 2 , 1(niianinaicranki, 2 , 1;csnasicrank,)(asi c37 pbh特征向量判據(jù)特征向量判據(jù) 線性定常連續(xù)系統(tǒng)完全可觀測的充

34、線性定常連續(xù)系統(tǒng)完全可觀測的充分必要條件是，分必要條件是， 沒有與沒有與 的所有行相正交的非零右特征向的所有行相正交的非零右特征向量。即對量。即對 的任一特征值的任一特征值 ，使同時滿足，使同時滿足的特征向量的特征向量 。 約當(dāng)規(guī)范型判據(jù)約當(dāng)規(guī)范型判據(jù) 線性定常連續(xù)系統(tǒng)完全可觀測的充分線性定常連續(xù)系統(tǒng)完全可觀測的充分必要條件分兩種情況：必要條件分兩種情況： 1）當(dāng)矩陣）當(dāng)矩陣 的特征值的特征值 兩兩相異時，由線性變兩兩相異時，由線性變換換導(dǎo)出的對角線規(guī)范型為導(dǎo)出的對角線規(guī)范型為 二、二、 線性系統(tǒng)的可控性與可觀測性線性系統(tǒng)的可控性與可觀測性（3636） 0,sai), 2 , 1(niiaca

35、0n,21axcyxxn,2138式中式中 不包含元素全為零的列。不包含元素全為零的列。 2）當(dāng)）當(dāng) 矩陣的特征值為矩陣的特征值為 ，且且 時，對原式進(jìn)行線性變換導(dǎo)出的約當(dāng)時，對原式進(jìn)行線性變換導(dǎo)出的約當(dāng)規(guī)范型為規(guī)范型為 其中其中 二、二、 線性系統(tǒng)的可控性與可觀測性線性系統(tǒng)的可控性與可觀測性（3737） c)(,),(),(2211重重重llanl21xcyxax, lnqlnnccccjjja,21)(21)(39二、二、 線性系統(tǒng)的可控性與可觀測性線性系統(tǒng)的可控性與可觀測性（3838） ,21)(iiiiiiijjjjiiiiiqicccc21)(li, 2 , 1rikikikrqik

36、iiirrikccccjikikik;11121)(1)(40且且 ，由，由 的第的第一一列所組成的矩陣列所組成的矩陣對對 均為列線性無關(guān)。均為列線性無關(guān)。 例：例：已知線性定常系統(tǒng)的對角線規(guī)范型為已知線性定常系統(tǒng)的對角線規(guī)范型為試判定系統(tǒng)的可觀測性。試判定系統(tǒng)的可觀測性。解：解： 顯然，此規(guī)范型中顯然，此規(guī)范型中 不包含元素全為零的列，故系不包含元素全為零的列，故系統(tǒng)統(tǒng) 為完全可觀測。為完全可觀測。 二、二、 線性系統(tǒng)的可控性與可觀測性線性系統(tǒng)的可控性與可觀測性（3939） iiaiiirrr)(21), 2 , 1(ikikciiiiicccc12111li, 2 , 1xyxx32000

37、1,200010008c416 6、線性離散系統(tǒng)的可控性和可觀測性線性離散系統(tǒng)的可控性和可觀測性 （1 1）線性離散系統(tǒng)的可控性和可達(dá)性）線性離散系統(tǒng)的可控性和可達(dá)性 設(shè)線性時變離散時間系統(tǒng)的狀態(tài)方程為設(shè)線性時變離散時間系統(tǒng)的狀態(tài)方程為 其中其中 為離散時間定義區(qū)間。如果對初始時刻為離散時間定義區(qū)間。如果對初始時刻 和狀態(tài)和狀態(tài)空間中的所有非零狀態(tài)空間中的所有非零狀態(tài) ，都存在時刻，都存在時刻 ，和，和對應(yīng)的控制對應(yīng)的控制 ，使得，使得 ，則稱系統(tǒng)在時刻，則稱系統(tǒng)在時刻 為完為完全可控。對應(yīng)地，如果對初始時刻全可控。對應(yīng)地，如果對初始時刻 和初始狀和初始狀態(tài)態(tài) ，存在時刻存在時刻 和相應(yīng)的控制

38、和相應(yīng)的控制 ，使，使 可為狀可為狀態(tài)態(tài)空間中的任意非零點(diǎn)，則稱系統(tǒng)在時刻空間中的任意非零點(diǎn)，則稱系統(tǒng)在時刻 為完全可達(dá)。為完全可達(dá)。 二、二、 線性系統(tǒng)的可控性與可觀測性線性系統(tǒng)的可控性與可觀測性（4040） ktkkukhkxkgkx),()()()() 1(ktktl)(lxlmtmk,)(ku0)(mxlktl0)(lxlmtmk,)(ku)(mxl42 對于離散系統(tǒng)，不管是時變的還是定常的，其可控性對于離散系統(tǒng)，不管是時變的還是定常的，其可控性和和可達(dá)性只有在一定條件下才是等價(jià)的。其等價(jià)的條件分別可達(dá)性只有在一定條件下才是等價(jià)的。其等價(jià)的條件分別為為1）線性離散時間系統(tǒng)的可控性和可達(dá)

39、性為等價(jià)的充分必要）線性離散時間系統(tǒng)的可控性和可達(dá)性為等價(jià)的充分必要 條件是，系統(tǒng)矩陣條件是，系統(tǒng)矩陣 對所有對所有 為非奇異；為非奇異；2）線性定常離散時間系統(tǒng)）線性定常離散時間系統(tǒng) 可控性和可達(dá)性等價(jià)的充分必要條件是系統(tǒng)矩陣可控性和可達(dá)性等價(jià)的充分必要條件是系統(tǒng)矩陣 為非奇為非奇異。異。3）如果離散時間系統(tǒng)是相應(yīng)連續(xù)時間系統(tǒng)的時間離散化模）如果離散時間系統(tǒng)是相應(yīng)連續(xù)時間系統(tǒng)的時間離散化模型，則其可控性和可達(dá)性必是等價(jià)的。型，則其可控性和可達(dá)性必是等價(jià)的。 二、二、 線性系統(tǒng)的可控性與可觀測性線性系統(tǒng)的可控性與可觀測性（4141） )(kg1,mlk, 2 , 1 , 0);()() 1(k

40、khukgxkxg43 線性定常離散系統(tǒng)的可控性判據(jù)線性定常離散系統(tǒng)的可控性判據(jù) 設(shè)單輸入線性定常設(shè)單輸入線性定常離離散系統(tǒng)的狀態(tài)方程為散系統(tǒng)的狀態(tài)方程為其中其中 為為 維狀態(tài)向量；維狀態(tài)向量； 為標(biāo)量輸入；為標(biāo)量輸入； 為為 非奇非奇異異矩陣。狀態(tài)方程的解為矩陣。狀態(tài)方程的解為根據(jù)可控性定義，假定根據(jù)可控性定義，假定 時，時， ，將上式兩端左，將上式兩端左乘乘 ，則有，則有 二、二、 線性系統(tǒng)的可控性與可觀測性線性系統(tǒng)的可控性與可觀測性（4242） )()() 1(khukgxkxxnug)(nn 101)()0()(kiikkihugxgkxnk 0)(nxng)()0(101ihugxn

41、ii) 1() 1 ()0(21nhughughugn44記記 稱稱 為為 可控性矩陣可控性矩陣。由線性方程組解的存在定理。由線性方程組解的存在定理可可知，當(dāng)矩陣知，當(dāng)矩陣 的秩與增廣矩陣的秩與增廣矩陣 的秩相等時，的秩相等時，方方程組有解且為惟一解，否則無解。程組有解且為惟一解，否則無解。在在 為任意的情況為任意的情況下，下，使方程線有解的充分必要條件是矩陣使方程線有解的充分必要條件是矩陣 滿秩滿秩，即，即 二、二、 線性系統(tǒng)的可控性與可觀測性線性系統(tǒng)的可控性與可觀測性（4343） ) 1() 1 ()0(21nuuuhghghgnhghghgsn2111s)(nn )0(1xs1s)0(x

42、1snsrank145或矩陣或矩陣 的行列式不為零的行列式不為零 或矩陣或矩陣 是非奇異的。是非奇異的。 由于滿秩矩陣與另一滿秩矩陣由于滿秩矩陣與另一滿秩矩陣 相乘其秩不變，故相乘其秩不變，故交換矩陣的列，且記為交換矩陣的列，且記為 ，其秩也不變，故有，其秩也不變，故有在判斷系統(tǒng)的可控性時，使用上式比較方便。在判斷系統(tǒng)的可控性時，使用上式比較方便。上面四式即為可控性判據(jù)。上面四式即為可控性判據(jù)。 二、二、 線性系統(tǒng)的可控性與可觀測性線性系統(tǒng)的可控性與可觀測性（4444） 1s1s0det1sng11sgranksranknnhghhgrankn11snhgghhrankranksn1146 當(dāng)

43、當(dāng) 時，系統(tǒng)不可控，表示不存在使任意時，系統(tǒng)不可控，表示不存在使任意轉(zhuǎn)移至轉(zhuǎn)移至 的控制。的控制。 以上研究了終態(tài)為以上研究了終態(tài)為 的情況，若令終態(tài)為任意的情況，若令終態(tài)為任意給定狀態(tài)給定狀態(tài) ，則狀態(tài)方程的解變?yōu)?，則狀態(tài)方程的解變?yōu)?將上式兩端左乘將上式兩端左乘 ，有，有 二、二、 線性系統(tǒng)的可控性與可觀測性線性系統(tǒng)的可控性與可觀測性（4545） nranks 1)0(x0)(nx)(nx0)(nx101)()()0(niinnihugnxxgng) 1() 1 ()0()()0(21nuuuhghghgnxgxnn47當(dāng)當(dāng) 滿秩時，前式左端只不過是任一給定的另一初態(tài)，其滿秩時，前式左端只

44、不過是任一給定的另一初態(tài)，其狀狀態(tài)可控性條件可用以上推導(dǎo)方法得出完全相同的結(jié)論。若態(tài)可控性條件可用以上推導(dǎo)方法得出完全相同的結(jié)論。若令令 ，上述結(jié)論同樣成立。可見，當(dāng)，上述結(jié)論同樣成立?？梢?，當(dāng) 為非奇異陣時，為非奇異陣時，系統(tǒng)的可控性和可達(dá)性是等價(jià)的。系統(tǒng)的可控性和可達(dá)性是等價(jià)的。上述研究單輸入離散系統(tǒng)可控性的方法可推廣到多輸入系上述研究單輸入離散系統(tǒng)可控性的方法可推廣到多輸入系統(tǒng)。統(tǒng)。設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為 所謂所謂可控性問題，可控性問題，即是能否求出無約束控制向量序列即是能否求出無約束控制向量序列 ，使，使 系統(tǒng)能從任意初態(tài)系統(tǒng)能從任意初態(tài) 轉(zhuǎn)移至轉(zhuǎn)移至 。上式的解為。上式

45、的解為 二、二、 線性系統(tǒng)的可控性與可觀測性線性系統(tǒng)的可控性與可觀測性（4646） g0)0(xg)()() 1(khukgxkx) 1(,),1 (),0(nuuu0)(nx)0(x)()0()(101ihugxgkxkiikk48令令 ，且方程兩端左乘，且方程兩端左乘 ，有，有 記記 為為 矩陣，由子列向量矩陣，由子列向量 構(gòu)成的構(gòu)成的控控制列向量是制列向量是 維的。上式含維的。上式含 個方程，但有個方程，但有 個待求的個待求的控控制量。制量。 二、二、 線性系統(tǒng)的可控性與可觀測性線性系統(tǒng)的可控性與可觀測性（4747） 0)(,nxnkng) 1() 1 ()0()()0(21101nhu

46、ghughugihugxnnii)1()1()0(21nuuuhghghgnhghghgsn212)(npn ) 1(,),1 (),0(nuuunpnpn49由于初態(tài)由于初態(tài) 可任意給定，根據(jù)解存在定理，矩陣可任意給定，根據(jù)解存在定理，矩陣 的的秩秩為為 時，方程組才有解。于是時，方程組才有解。于是多輸入線性離散系統(tǒng)狀態(tài)可多輸入線性離散系統(tǒng)狀態(tài)可控的充分必要條件控的充分必要條件是是或或或或或或或或二、二、 線性系統(tǒng)的可控性與可觀測性線性系統(tǒng)的可控性與可觀測性（4848） )0(x2snnsrank2nhghhgranksgranksranknn122nhgghhranksrankn120de

47、t22tssnsrankst2250例：例： 雙輸入線性定常離散系統(tǒng)的狀態(tài)方程為雙輸入線性定常離散系統(tǒng)的狀態(tài)方程為試判斷可控性，并研究使試判斷可控性，并研究使 的可能性。的可能性。解：解： 顯然，由前三列組成的矩陣的行列式不為零，故系統(tǒng)可控。顯然，由前三列組成的矩陣的行列式不為零，故系統(tǒng)可控。二、二、 線性系統(tǒng)的可控性與可觀測性線性系統(tǒng)的可控性與可觀測性（4949） )()() 1(khukgxkx,041020122g011000h0) 1 (x101400140201042210022hgghhs51一定能求得控制序列使系統(tǒng)由任意初始狀態(tài)三步內(nèi)轉(zhuǎn)移到原一定能求得控制序列使系統(tǒng)由任意初始狀態(tài)

48、三步內(nèi)轉(zhuǎn)移到原點(diǎn)。點(diǎn)。 由由 可得可得設(shè)初始狀態(tài)為設(shè)初始狀態(tài)為 ，由于，由于 二、二、 線性系統(tǒng)的可控性與可觀測性線性系統(tǒng)的可控性與可觀測性（5050） 0)0()0() 1 (hugxx)0()0(3221021)0()0(0110002310210120)0()0(21211uuuuhugxtx201)0(233202101213221021rankrank52可求得可求得 ，在一步內(nèi)使系統(tǒng)由初始狀態(tài)轉(zhuǎn)，在一步內(nèi)使系統(tǒng)由初始狀態(tài)轉(zhuǎn)移移到原點(diǎn)。設(shè)初始狀態(tài)到原點(diǎn)。設(shè)初始狀態(tài) ，也可使系統(tǒng)，也可使系統(tǒng)在在一步內(nèi)由初始狀態(tài)轉(zhuǎn)移到原點(diǎn)，但一步內(nèi)由初始狀態(tài)轉(zhuǎn)移到原點(diǎn)，但 。本。本例例不能使系統(tǒng)由任意初

49、始狀態(tài)一步內(nèi)轉(zhuǎn)移到原點(diǎn)。不能使系統(tǒng)由任意初始狀態(tài)一步內(nèi)轉(zhuǎn)移到原點(diǎn)。（2 2）線性離散系統(tǒng)的可觀測性）線性離散系統(tǒng)的可觀測性 設(shè)離散系統(tǒng)為設(shè)離散系統(tǒng)為 二、二、 線性系統(tǒng)的可控性與可觀測性線性系統(tǒng)的可控性與可觀測性（5151） 0)0(, 1)0(21uutx3212)0(1) 0(, 0) 0(21uuktkkukhkxkgkx),()()()() 1()()()()()(kukdkxkcky53若對初始時刻若對初始時刻 的任一非零初始狀態(tài)的任一非零初始狀態(tài) ，都存，都存在在有限時刻有限時刻 ，且可由，且可由 上的輸出上的輸出 惟一惟一地地確定確定 ，則稱系統(tǒng)在時刻，則稱系統(tǒng)在時刻 是完全可觀

50、測的。是完全可觀測的。 線性定常離散系統(tǒng)的可觀測性判據(jù)線性定常離散系統(tǒng)的可觀測性判據(jù) 設(shè)線性定常離散系設(shè)線性定常離散系統(tǒng)的動態(tài)方程為統(tǒng)的動態(tài)方程為其中其中 為為 維狀態(tài)向量，維狀態(tài)向量， 為為 維輸出向量，其解為維輸出向量，其解為 二、二、 線性系統(tǒng)的可控性與可觀測性線性系統(tǒng)的可控性與可觀測性（5252） ktl0)(xlxlmtmk,ml,)(ky0 xl)()()(),()() 1(kdukcxkykhukgxkx)(kxnq)(ky101)()0()(kiikkihugxgkx101)()()0()(kiikkkduihugcxcgky54研究可觀測性問題時，研究可觀測性問題時， 均為已

51、知，故不均為已知，故不失失一般性，可將動態(tài)方程簡化為一般性，可將動態(tài)方程簡化為 對應(yīng)的解為對應(yīng)的解為 將將 寫成展開式寫成展開式 二、二、 線性系統(tǒng)的可控性與可觀測性線性系統(tǒng)的可控性與可觀測性（5353） dchgku,),()()(),() 1(kcxkykgxkx)0()(),0()(xcgkyxgkxkk)(ky)0() 1()0() 1 ()0()0(1xcgnycgxycxyn55其向量矩陣形式為其向量矩陣形式為 令令 二、二、 線性系統(tǒng)的可控性與可觀測性線性系統(tǒng)的可控性與可觀測性（5454） )0()0()0() 1() 1 ()0(211nnxxxcgcgcnyyy11ntcgc

52、gcv56 稱為線性定常離散系統(tǒng)的可觀測性矩陣，為稱為線性定常離散系統(tǒng)的可觀測性矩陣，為 矩矩陣。陣。系統(tǒng)可觀充分必要條件為系統(tǒng)可觀充分必要條件為由于由于 ，故線性定常離散系統(tǒng)的可觀測性，故線性定常離散系統(tǒng)的可觀測性判判據(jù)常表示為據(jù)常表示為 （3 3）連續(xù)動態(tài)方程離散化后的可控性和可觀測性）連續(xù)動態(tài)方程離散化后的可控性和可觀測性 一個可控的或可觀測的連續(xù)系統(tǒng)，當(dāng)其離散化后并不一定一個可控的或可觀測的連續(xù)系統(tǒng)，當(dāng)其離散化后并不一定能能保持其可控性或可觀測性?，F(xiàn)舉例來說明。保持其可控性或可觀測性?，F(xiàn)舉例來說明。 二、二、 線性系統(tǒng)的可控性與可觀測性線性系統(tǒng)的可控性與可觀測性（5555） tv1)(

53、nnqnrankvt111rankvrankvtncccgcrankrankvtntttt11)(57 設(shè)連續(xù)系統(tǒng)動態(tài)方程為設(shè)連續(xù)系統(tǒng)動態(tài)方程為 由于系統(tǒng)的狀態(tài)方程為可控標(biāo)準(zhǔn)型，故一定可控。根據(jù)可由于系統(tǒng)的狀態(tài)方程為可控標(biāo)準(zhǔn)型，故一定可控。根據(jù)可觀觀測性判據(jù)有測性判據(jù)有故系統(tǒng)可觀測。故系統(tǒng)可觀測。 二、二、 線性系統(tǒng)的可控性與可觀測性線性系統(tǒng)的可控性與可觀測性（5656） ,1001021221uxxxx2101xxynrankrankv21001158系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣為系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣為 二、二、 線性系統(tǒng)的可控性與可觀測性線性系統(tǒng)的可控性與可觀測性（5757） 122221111222

54、22211( )()sssstlsiallssss ttdbdtgttsincos1cossin)()(200sincossincostttt59系統(tǒng)離散化后的狀態(tài)方程為系統(tǒng)離散化后的狀態(tài)方程為 離散化后系統(tǒng)的可控性矩陣為離散化后系統(tǒng)的可控性矩陣為 二、二、 線性系統(tǒng)的可控性與可觀測性線性系統(tǒng)的可控性與可觀測性（5858） )()()()() 1(kutgkxtkx2121 cossin( )cos( )( )sinsincosttx ktu kx kttttttttttttgttgssincossin2sinsincoscoscos1)()()(2222160離散化后系統(tǒng)的可觀測性矩陣為離散

55、化后系統(tǒng)的可觀測性矩陣為當(dāng)采樣周期時當(dāng)采樣周期時 ，可控性矩陣，可控性矩陣 和可觀測和可觀測性性矩陣矩陣 均出現(xiàn)零行，均出現(xiàn)零行， ，系統(tǒng)不，系統(tǒng)不可可控也不可觀測?？匾膊豢捎^測。這表明連續(xù)系統(tǒng)可控或可觀測時，若采樣周這表明連續(xù)系統(tǒng)可控或可觀測時，若采樣周期選擇不當(dāng)，對應(yīng)的離散化系統(tǒng)便有可能不可控或不可觀測，期選擇不當(dāng)，對應(yīng)的離散化系統(tǒng)便有可能不可控或不可觀測，也有可能既不可控又不可觀測。若連續(xù)系統(tǒng)不可控或不可觀也有可能既不可控又不可觀測。若連續(xù)系統(tǒng)不可控或不可觀測，不管采樣周期測，不管采樣周期 如何選擇，離散化后的系統(tǒng)一定是不如何選擇，離散化后的系統(tǒng)一定是不可可控或不可觀測的?？鼗虿豢捎^測的

56、。 二、二、 線性系統(tǒng)的可控性與可觀測性線性系統(tǒng)的可控性與可觀測性（5959） ttctcvtttsin0cos1)(1), 2 , 1(kkt1s1vnrankvnranks1,111t611 1、狀態(tài)空間表達(dá)式的線性變換狀態(tài)空間表達(dá)式的線性變換 設(shè)系統(tǒng)動態(tài)方程為設(shè)系統(tǒng)動態(tài)方程為 令令 式中式中 為非奇異線性變換矩陣，它將為非奇異線性變換矩陣，它將 變換為變換為 ，變換后，變換后的動態(tài)方程為的動態(tài)方程為式中式中并稱為對系統(tǒng)進(jìn)行變換。線性變換的目的在于使并稱為對系統(tǒng)進(jìn)行變換。線性變換的目的在于使 陣規(guī)范陣規(guī)范化，化，并不會改變系統(tǒng)的原有性質(zhì)，故稱為等價(jià)變換。分析計(jì)算后，并不會改變系統(tǒng)的原有性質(zhì)

57、，故稱為等價(jià)變換。分析計(jì)算后，再引入反變換關(guān)系再引入反變換關(guān)系 ，得出最終結(jié)果。，得出最終結(jié)果。 三、三、 線性定常系統(tǒng)的線性變換線性定常系統(tǒng)的線性變換（1 1） cxybuaxx,xpx pxxyxcyubxax,cpcbpbappa11,axpx162下面概括給出本章中常用的幾種線性變換關(guān)系。下面概括給出本章中常用的幾種線性變換關(guān)系。 （1 1）化陣為對角型）化陣為對角型 1）設(shè)）設(shè) 陣為任意形式的方陣，且有陣為任意形式的方陣，且有 個互異實(shí)數(shù)特個互異實(shí)數(shù)特征征值值 ，則可由非奇異線性變換化為對角陣，則可由非奇異線性變換化為對角陣 。 陣由陣由 陣的實(shí)數(shù)特征向量陣的實(shí)數(shù)特征向量 組成組成

58、三、三、 線性定常系統(tǒng)的線性變換線性定常系統(tǒng)的線性變換（2 2） n,21annapp111p), 2 , 1(nipianpppp2163特征向量滿足特征向量滿足2）若）若 陣為友矩陣，且有陣為友矩陣，且有 個互異實(shí)數(shù)特征個互異實(shí)數(shù)特征值值 ，則下列的范德蒙特則下列的范德蒙特 矩陣矩陣 可使可使 對角化：對角化： 三、三、 線性定常系統(tǒng)的線性變換線性定常系統(tǒng)的線性變換（3 3） nipapiii, 2 , 1n,21an(mod )vanderepa1121122221211210111,100001000010nnnnnnnpaaaaa643）設(shè)）設(shè) 陣具有陣具有 重實(shí)數(shù)特征值重實(shí)數(shù)特征值

59、 ，其余為，其余為 個互異個互異實(shí)數(shù)特征值，但在求解實(shí)數(shù)特征值，但在求解 時仍有時仍有 個個獨(dú)立實(shí)特征向量獨(dú)立實(shí)特征向量 ，則仍可使，則仍可使 陣化為對角陣化為對角陣陣 。 三、三、 線性定常系統(tǒng)的線性變換線性定常系統(tǒng)的線性變換（4 4） am1)(mn ), 2 , 1(1mipapiimmppp,21a111100nnp ap nmmpppppp12165nmappj010111111式中式中 是互異實(shí)數(shù)特征值對應(yīng)的實(shí)特征向量。是互異實(shí)數(shù)特征值對應(yīng)的實(shí)特征向量。（2 2）化）化 陣為約當(dāng)陣陣為約當(dāng)陣1）設(shè)）設(shè) 陣具有陣具有 重實(shí)特征值重實(shí)特征值 ，其余為，其余為 個互異實(shí)個互異實(shí)特特征值，

60、但在求解征值，但在求解 時只有一個獨(dú)立實(shí)特征向時只有一個獨(dú)立實(shí)特征向量量 ， 只能化為約當(dāng)陣只能化為約當(dāng)陣 。 三、三、 線性定常系統(tǒng)的線性變換線性定常系統(tǒng)的線性變換（5 5） nmmppp,21am1)(mn iipap11paja66 中虛線示出存在一個約當(dāng)塊。中虛線示出存在一個約當(dāng)塊。式中式中 是廣義實(shí)特征向量，滿足是廣義實(shí)特征向量，滿足 是互異特征值對應(yīng)的實(shí)特征向量。是互異特征值對應(yīng)的實(shí)特征向量。 三、三、 線性定常系統(tǒng)的線性變換線性定常系統(tǒng)的線性變換（6 6） jnmmpppppp121mppp,32mmpppappp211112111nmpp,1672）設(shè)）設(shè) 為友矩陣，具有為友矩