數(shù)學(xué)同步優(yōu)化指導(dǎo)(人教版選修2-2)課件：222反證法

第二章推理與證明2.2直接證明與間接證明2.2.2反證法1．了解反證法是間接證明的一種基本方法．(重點(diǎn))2．理解反證法的思考過程，會(huì)用反證法證明數(shù)學(xué)問題．(難點(diǎn))1．反證法假設(shè)原命題________(即在原命題的條件下，結(jié)論不成立)，經(jīng)過正確的推理，最后得出_____，因此說明_________，從而證明了___________，這樣的證明方法叫做反證法．2．反證法常見的矛盾類型反證法的關(guān)鍵是在正確的推理下得出矛盾．這個(gè)矛盾可以是與__________矛盾，或與_____矛盾，或與_____、_____、_____、事實(shí)矛盾等．不成立矛盾假設(shè)錯(cuò)誤原命題成立已知條件假設(shè)定義定理公理1．應(yīng)用反證法推出矛盾的推導(dǎo)過程中要把下列哪些作為條件(

)①結(jié)論的假設(shè)；②已知條件；③定義、公理、定理等；④原結(jié)論．A．①②

B．②③C．①②③

D．①②④答案：C2．用反證法證明命題“三角形的內(nèi)角中至多有一個(gè)鈍角”時(shí)，反設(shè)正確的是(

)A．三個(gè)內(nèi)角中至少有一個(gè)鈍角B．三個(gè)內(nèi)角中至少有兩個(gè)鈍角C．三個(gè)內(nèi)角都不是鈍角D．三個(gè)內(nèi)角都不是鈍角或至少有兩個(gè)鈍角解析：“至多有一個(gè)”即要么一個(gè)都沒有，要么有一個(gè)，故反設(shè)為“至少有兩個(gè)”．答案：B3．用反證法證明“一個(gè)三角形不能有兩個(gè)直角”有三個(gè)步驟：①∠A＋∠B＋∠C＝90°＋90°＋∠C>180°，這與三角形內(nèi)角和為180°矛盾，故假設(shè)錯(cuò)誤．②所以一個(gè)三角形不能有兩個(gè)直角．③假設(shè)△ABC中有兩個(gè)直角，不妨設(shè)∠A＝90°，∠B＝90°.上述步驟的正確順序?yàn)開_______．(填序號)答案：③①②4．有下列敘述：①“a>b”的反設(shè)是“a<b”；②“x＝y(tǒng)”的反設(shè)是“x>y或x<y”；③“三角形的外心在三角形外”的反設(shè)是“三角形的外心在三角形內(nèi)”．其中正確的敘述有________．(填序號)解析：①的反設(shè)是“a≤b”；②的反設(shè)是“x≠y”，也就是“x>y或x<y”；③的反設(shè)是“三角形的外心在三角形內(nèi)或在三角形邊上”．只有②正確．答案：②1．反證法不直接證明命題“若p則q”，而是先肯定命題的條件p，并否定命題的結(jié)論q，即從原命題的否定入手，由p與?q合乎邏輯地推出一個(gè)矛盾結(jié)果；根據(jù)矛盾律，兩個(gè)互相矛盾的判斷不能同真，必有一假，斷定命題的否定為假；又兩個(gè)互相矛盾的判斷不能同假，必有一真．由此肯定命題“若p則q”為真．反證法

2．反證法證明數(shù)學(xué)命題的一般步驟第一步：分清命題“p→q”的條件和結(jié)論；第二步：作出與命題結(jié)論q相矛盾的假定?q(反設(shè))；第三步：由p和?q出發(fā)，應(yīng)用正確的推理方法，推出矛盾結(jié)果(歸謬)；第四步：斷定產(chǎn)生矛盾結(jié)果的原因，在于開始所作的假定?q不真，于是原結(jié)論q成立，從而間接地證明了命題p→q為真．第三步中所說的矛盾結(jié)果，通常是指推出的結(jié)果與已知公理、已知定義、已知定理或已知條件矛盾，或與臨時(shí)假定矛盾，或自相矛盾等各種情況．3．反證法常用的否定形式結(jié)論詞＝＞＜是都是至多一個(gè)至少一個(gè)任意至少n個(gè)至多n個(gè)反設(shè)詞≠≤≥不是不都是至少兩個(gè)一個(gè)也沒有某個(gè)至多n－1個(gè)至少n＋1個(gè)【想一想】

有人說反證法就是通過證明逆否命題來證明原命題，這種說法對嗎？為什么？提示：這種說法是錯(cuò)誤的，反證法是先否定命題，然后再證明命題的否定是錯(cuò)誤的，從而肯定原命題正確，不是通過逆否命題證題．命題的否定與原命題是對立的，原命題正確，其命題的否定一定不對．

設(shè)函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)中，a，b，c均為整數(shù)，且f(0)，f(1)均為奇數(shù)．求證：f(x)＝0無整數(shù)根．[思路探究]此題為否定形式的命題，直接證明很困難，可選用反證法．證題的關(guān)鍵是根據(jù)f(0)，f(1)均為奇數(shù)，分析出a，b，c的奇偶情況，并應(yīng)用．用反證法證明否(肯)定式命題

[自主解答]

假設(shè)f(x)＝0有整數(shù)根n，則an2＋bn＋c＝0(n∈Z)．而f(0)，f(1)均為奇數(shù)，即c為奇數(shù)，a＋b為偶數(shù)，則an2＋bn＝－c①為奇數(shù)．當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，顯然與①矛盾．當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，設(shè)n＝2k＋1(k∈Z)，則an2＋bn＝a(2k＋1)2＋b(2k＋1)＝(2k＋1)(2ak＋a＋b)為偶數(shù)，與①矛盾．∴f(x)＝0無整數(shù)根．1．對某些結(jié)論為肯定形式或者否定形式的命題的證明，從正面突破較困難時(shí)，可用反證法．通過反設(shè)將肯定命題轉(zhuǎn)化為否定命題或?qū)⒎穸}轉(zhuǎn)化為肯定命題，然后用轉(zhuǎn)化后的命題作為條件進(jìn)行推理，推出矛盾，從而達(dá)到證題的目的．2．用反證法證題時(shí)，如果欲證明命題的反面情況只有一種，那么只要將這種情況駁倒了就可以；若結(jié)論的反面情況有多種，則必須將所有的反面情況一一駁倒，才能推斷結(jié)論成立．1．平面內(nèi)有四個(gè)點(diǎn)，任意三點(diǎn)不共線．證明：以任意三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形不可能都是銳角三角形．證明：假設(shè)以任意三點(diǎn)為頂點(diǎn)的四個(gè)三角形都是銳角三角形，四個(gè)點(diǎn)為A，B，C，D.考慮△ABC，則點(diǎn)D有兩種情況：在△ABC內(nèi)部和外部．(1)如果點(diǎn)D在△ABC內(nèi)部(如圖(1))，根據(jù)假設(shè)知圍繞點(diǎn)D的三個(gè)角∠ADB，∠ADC，∠BDC都小于90°，其和小于270°，這與一個(gè)周角等于360°矛盾．(2)如果點(diǎn)D在△ABC外部(如圖(2))，根據(jù)假設(shè)知∠BAD，∠ABC，∠BCD，∠ADC都小于90°，即四邊形ABCD的內(nèi)角和小于360°，這與四邊形內(nèi)角和等于360°矛盾．綜上所述，可知假設(shè)錯(cuò)誤，題中結(jié)論成立．

已知：一點(diǎn)A和平面α.求證：經(jīng)過點(diǎn)A只能有一條直線和平面α垂直．[思路探究]本題主要考查用反證法證明“唯一”型命題，解答本題的關(guān)鍵是分兩種情況討論：用反證法證明“唯一性”命題因?yàn)锳B⊥平面α，AC⊥平面α，a?α，所以AB⊥a，AC⊥a，在平面β內(nèi)經(jīng)過點(diǎn)A有兩條直線都和直線a垂直，這與平面幾何中“經(jīng)過直線上一點(diǎn)只能有一條直線與已知直線垂直”相矛盾．(2)如圖②，點(diǎn)A在平面α外，假設(shè)經(jīng)過點(diǎn)A至少有平面α的兩條垂線AB和AC(B、C為垂足)，那么AB、AC是兩條相交直線，它們確定一個(gè)平面β，平面β和平面α相交于直線BC.因?yàn)锳B⊥平面α，AC⊥平面α，BC?α，所以AB⊥BC，AC⊥BC.1．證明“有且只有一個(gè)”的問題，需要證明兩個(gè)命題，即存在性和唯一性．當(dāng)證明結(jié)論以“有且只有”“只有一個(gè)”“唯一存在”等形式出現(xiàn)的命題時(shí)，由于反設(shè)結(jié)論易于導(dǎo)出矛盾，所以用反證法證其唯一性就較簡單明了．2．用反證法證明數(shù)學(xué)命題的步驟：①反設(shè)：假設(shè)命題的結(jié)論不成立，即假定原結(jié)論的反面為真．②歸謬：從反設(shè)和已知條件出發(fā)，經(jīng)過一系列正確的邏輯推理，得出矛盾的結(jié)果．③存真：由矛盾的結(jié)果斷定反設(shè)不真，從而肯定原結(jié)論成立．2．已知a與b是異面直線，求證：過a且平行于b的平面只有一個(gè)．用反證法證明“至多、至少”問題1．用反證法證明“至少”“至多”型命題，可減少討論情況，目標(biāo)明確．否定結(jié)論時(shí)需弄清楚結(jié)論的否定是什么，避免出現(xiàn)錯(cuò)誤．2．用反證法證明“至多、至少”問題時(shí)常見的“結(jié)論詞”與“反設(shè)詞”如下：結(jié)論詞反設(shè)詞結(jié)論詞反設(shè)詞至少有一個(gè)一個(gè)也沒有對所有x成立存在某個(gè)x0不成立至多有一個(gè)至少有兩個(gè)對任意x不成立存在某個(gè)x0成立至少有n個(gè)至多有n－1個(gè)p或q?p且?q至多有n個(gè)至少有n＋1個(gè)p且q?p或?q1．反證法：假設(shè)原命題的反面正確，根據(jù)已知條件及公理、定理、定義，按照嚴(yán)格的邏輯推理導(dǎo)出矛盾．從而說明假設(shè)不正確，得出原命題正確．2．反證法是間接證明的一種方法，在證明否定性命題、唯一性命題和存在性命