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1、典型例題例1如圖,已知:在中,bd平分交ac于d.求證:d在ab的垂直平分線上. 分析:根據(jù)線段垂直平分線的逆定理,欲證d在ab的垂直平分線上,只需證明即可. 證明:,(已知), (的兩個(gè)銳角互余)又bd平分(已知) . (等角對(duì)等邊)d在ab的垂直平分線上(和一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn),在這條線段的垂直平分線上).例2如圖,已知:在中,ab的垂直平分線交ab于e,交bc于f。求證:。分析:由于,可得,又因?yàn)閑f垂直平分ab,連結(jié)af,可得. 要證,只需證,即證就可以了. 證明:連結(jié)af,ef垂直平分ab(已知)(線段垂直平分線上的點(diǎn)和這條線段兩端點(diǎn)的距離相等)(等邊對(duì)等角)(已知), (等
2、邊對(duì)等角)又(已知),(三角形內(nèi)角和定理) (直角三角形中,角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半)說(shuō)明:線段的垂直平分線的定理與逆定理都由三角形的全等證得,初學(xué)者往往不習(xí)慣直接使用絕無(wú)僅有垂直平分線的定理與逆定理,容易舍近求遠(yuǎn),由三角形全等來(lái)證題. 例3如圖,已知:ad平分,ef垂直平分ad,交bc延長(zhǎng)線于f,連結(jié)af。求證:。分析:與不在同一個(gè)三角形中,又,所在的兩個(gè)三角形不全等,所以欲證,不能利用等腰三角形或全等三角形的性質(zhì). 那么注意到ef垂直平分ad,可得,因此,又因?yàn)?,而,所以可證明. 證明:ef垂直平分ad(已知),(線段垂直平分線上的點(diǎn)和這條線段的兩端點(diǎn)的距離相等). (等邊對(duì)等角)(三
3、角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和),又(角平分線定義),說(shuō)明:運(yùn)用線段的垂直平分線的定理或逆定理,能使問(wèn)題簡(jiǎn)化,如本例題中,ef垂直平分ad,可以直接有結(jié)論,不必再去證明兩個(gè)三角形全等. 例4如圖,已知直線和點(diǎn)a,點(diǎn)b,在直線上求作一點(diǎn)p,使. 分析:假設(shè)p點(diǎn)已經(jīng)作出,則由,那么根據(jù)“到線段兩端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在這條線段的垂直平分線上”可知,點(diǎn)p在線段ab的垂直平分線上. 而點(diǎn)p又在直線上,則點(diǎn)p應(yīng)是ab的垂直平分線與垂線的交點(diǎn)。作法:1連結(jié)ab. 2作線段ab的垂直平分線,交直線于點(diǎn)p. 則p即為所求的點(diǎn). 說(shuō)明:在求作一個(gè)點(diǎn)時(shí),要考慮該點(diǎn)具備什么樣的特點(diǎn),如它到一條線段的兩個(gè)端點(diǎn)距離相等,
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