圖形與幾何變形[1]

1、 圖形與幾何圖形與幾何優(yōu)秀優(yōu)秀試題的分析與試題的分析與變形變形 平邑縣教研室祝福勝平邑縣教研室祝福勝 2014年年12月月 數(shù)學(xué)題目浩如煙海，面對(duì)書(shū)山題海數(shù)學(xué)題目浩如煙海，面對(duì)書(shū)山題海我們數(shù)學(xué)教師應(yīng)該采取怎樣的教學(xué)策略？我們數(shù)學(xué)教師應(yīng)該采取怎樣的教學(xué)策略？ “熟熟”真的能生真的能生“巧巧”嗎？嗎？變式教學(xué)變式教學(xué)-打開(kāi)學(xué)生思維大門(mén)的金鑰匙打開(kāi)學(xué)生思維大門(mén)的金鑰匙 一、借助教材典型例習(xí)題一題多變一、借助教材典型例習(xí)題一題多變 中考題哪里來(lái)？中考題哪里來(lái)？課本例題或習(xí)題課本例題或習(xí)題中考題中考題如何去解？如何去解？化歸化歸來(lái)來(lái)源源拓展引申、類(lèi)比遷移、圖形變換拓展引申、類(lèi)比遷移、圖形變換 教材中典型

2、的例、習(xí)題，具有一定的代表性和教材中典型的例、習(xí)題，具有一定的代表性和典型性，是數(shù)學(xué)問(wèn)題的精華，教師在平時(shí)教學(xué)典型性，是數(shù)學(xué)問(wèn)題的精華，教師在平時(shí)教學(xué)和總復(fù)習(xí)時(shí)要重視典型例習(xí)題的作用，教學(xué)中和總復(fù)習(xí)時(shí)要重視典型例習(xí)題的作用，教學(xué)中要要“借題發(fā)揮借題發(fā)揮”，“小題大做小題大做”；引導(dǎo)學(xué)生對(duì)；引導(dǎo)學(xué)生對(duì)典型例、習(xí)題作必要的演伸與拓展。這對(duì)激發(fā)典型例、習(xí)題作必要的演伸與拓展。這對(duì)激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散性思維，都學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散性思維，都將起到積極的作用。將起到積極的作用。小題不小、規(guī)律來(lái)找，一題多變、舉一反三小題不小、規(guī)律來(lái)找，一題多變、舉一反三 一道典型的課本例題的變式與

3、拓展（八上一道典型的課本例題的變式與拓展（八上p78p78）變式一：交換其中一個(gè)條件和結(jié)論的位置變式一：交換其中一個(gè)條件和結(jié)論的位置變式二：交換另一個(gè)條件與結(jié)論的位置：則變式二：交換另一個(gè)條件與結(jié)論的位置：則有：有：“等腰等腰+角平分線(xiàn)角平分線(xiàn)=平行平行”題后反思：題后反思： 模糊感受：等腰三角形、角平分線(xiàn)、平行線(xiàn)三模糊感受：等腰三角形、角平分線(xiàn)、平行線(xiàn)三者之間似乎存在一定的聯(lián)系者之間似乎存在一定的聯(lián)系 反思結(jié)論：反思結(jié)論：“等腰三角形、角平分線(xiàn)、平行線(xiàn)等腰三角形、角平分線(xiàn)、平行線(xiàn)”往往往往“知二推一知二推一”。觸類(lèi)旁通（串題練習(xí)）觸類(lèi)旁通（串題練習(xí)）1、P79課后練習(xí)課后練習(xí)2：2 2、P8

4、2P82課后習(xí)題課后習(xí)題2 2：變式練習(xí)：變式練習(xí)：3.P83課后習(xí)題：課后習(xí)題：4、（20112011年臨沂市年臨沂市2222題）題）5 5、20142014年泰州中考年泰州中考2323題題6 6、20142014年山東菏澤第年山東菏澤第1616題題 在數(shù)學(xué)的天地里，重要的不是我在數(shù)學(xué)的天地里，重要的不是我們知道什么，而是我們?cè)趺粗朗矀冎朗裁矗俏覀冊(cè)趺粗朗裁?！么！畢達(dá)哥拉斯畢達(dá)哥拉斯 二、變式基本圖形，構(gòu)建幾何模二、變式基本圖形，構(gòu)建幾何模型型一個(gè)基本圖形的變式與應(yīng)用一個(gè)基本圖形的變式與應(yīng)用引例引例 ： 6、如圖，在如圖，在RtRtCABCAB和和RtRtECDECD中，中，AC=

5、CAC=CD D，點(diǎn)，點(diǎn)E E在邊在邊BCBC的延長(zhǎng)線(xiàn)上，且的延長(zhǎng)線(xiàn)上，且ACACD D =B B = = E E = 90 = 900.0. 求證：求證：CAB CAB DCE.DCE. 一題多變的策略與途徑：一題多變的策略與途徑： 1 1、條件的弱化或強(qiáng)化；、條件的弱化或強(qiáng)化； 2 2、基本圖形的變化拓展；、基本圖形的變化拓展； 3 3、基本圖形的構(gòu)造與應(yīng)用、基本圖形的構(gòu)造與應(yīng)用 7 7、如圖，、如圖，ABABBDBD于點(diǎn)于點(diǎn)B B，CDCDBDBD于點(diǎn)于點(diǎn)D D，P P是是BDBD上上一點(diǎn)，一點(diǎn)，APAPPCPC，則，則ABP ABP PDCPDC。請(qǐng)說(shuō)明理由。請(qǐng)說(shuō)明理由。 弱化條件弱化

6、條件“線(xiàn)段相等線(xiàn)段相等”則結(jié)論由則結(jié)論由三角形的全等三角形的全等弱化弱化為為三角形相似三角形相似。當(dāng)一個(gè)命題成立的條件較為豐當(dāng)一個(gè)命題成立的條件較為豐富時(shí)，可考慮減少其中一兩個(gè)富時(shí)，可考慮減少其中一兩個(gè)條件，或?qū)⑵渲幸粌蓚€(gè)條件一條件，或?qū)⑵渲幸粌蓚€(gè)條件一般化，并確定相應(yīng)的命題結(jié)論，般化，并確定相應(yīng)的命題結(jié)論，從而加工概括成新的命題從而加工概括成新的命題。E EA AD DC CB B8 8、20201414日照市中考日照市中考2020題題 如圖，如圖，ABCABC和和CDECDE中，點(diǎn)中，點(diǎn)D D在邊在邊BCBC的延的延長(zhǎng)線(xiàn)上，長(zhǎng)線(xiàn)上，AC=CEAC=CE，ACE=B=DACE=B=D，則則A

7、BCABCCDECDE . 若弱化條件若弱化條件“直角直角”，則，則“全等三角形全等三角形”結(jié)論仍然成立。結(jié)論仍然成立。=90 同時(shí)弱化條件同時(shí)弱化條件“線(xiàn)段相等線(xiàn)段相等”和和“直角直角”， 則結(jié)則結(jié)論由全等弱化為相似。論由全等弱化為相似。 這里條件為這里條件為“三個(gè)角相等三個(gè)角相等”，至于等于多少度，并無(wú)要，至于等于多少度，并無(wú)要求，這就將特殊化為了一般，因而該結(jié)論在中考命題中求，這就將特殊化為了一般，因而該結(jié)論在中考命題中應(yīng)用更為廣泛。應(yīng)用更為廣泛。 1111、（、（20142014南昌市南昌市2121題）題） 如圖，在梯形如圖，在梯形ABCDABCD中，中，AD/BCAD/BC，AB=D

8、C=AD=6AB=DC=AD=6，ABCABC6060，點(diǎn)，點(diǎn)E E，F(xiàn) F分別分別在線(xiàn)段在線(xiàn)段ADAD、DCDC上（點(diǎn)上（點(diǎn)E E與點(diǎn)與點(diǎn)A A、D D不重合），且不重合），且BEFBEF120120，設(shè)，設(shè)AE=xAE=x，DF=yDF=y（1 1）求）求y y與與x x的函數(shù)解析式的函數(shù)解析式（2 2）當(dāng)）當(dāng)x x為何值時(shí)，為何值時(shí)，y y有最大值，最大值是多少？有最大值，最大值是多少？ 1212、20142014年江西撫州年江西撫州2222題題ACE=B=D=90 ABPPDCAP=CP B=APC=D ABP PDCACE=B=DAP=CP B=APC=D=90 ABP PDCABP

9、PDC無(wú)論如何變換，本無(wú)論如何變換，本質(zhì)是三個(gè)角相等，質(zhì)是三個(gè)角相等，應(yīng)用三角形相似應(yīng)用三角形相似（全等）來(lái)解決（全等）來(lái)解決。2.強(qiáng)化條件強(qiáng)化條件 針對(duì)基本問(wèn)題中的線(xiàn)段、角等幾何元素，通過(guò)針對(duì)基本問(wèn)題中的線(xiàn)段、角等幾何元素，通過(guò)給定其已知數(shù)據(jù)（長(zhǎng)度、角度等），或設(shè)計(jì)成給定其已知數(shù)據(jù)（長(zhǎng)度、角度等），或設(shè)計(jì)成實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題等手段強(qiáng)化問(wèn)題的條件，變化為實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題等手段強(qiáng)化問(wèn)題的條件，變化為一組新題，通過(guò)練習(xí)。培養(yǎng)學(xué)生綜合應(yīng)用知識(shí)一組新題，通過(guò)練習(xí)。培養(yǎng)學(xué)生綜合應(yīng)用知識(shí)解決問(wèn)題的能力。解決問(wèn)題的能力。 1313、如圖，在筆直的公路如圖，在筆直的公路L L的同側(cè)有的同側(cè)有A A、B B兩個(gè)村莊，已知

10、兩個(gè)村莊，已知A A、B B兩村分別到公路的距離兩村分別到公路的距離AC=3kmAC=3km，BD=4kmBD=4km?，F(xiàn)要在公路上現(xiàn)要在公路上建一個(gè)汽車(chē)站建一個(gè)汽車(chē)站P P，使該車(chē)站到，使該車(chē)站到A A、B B兩村的距離相等，兩村的距離相等，（1 1）試用直尺和圓規(guī)在圖中作出點(diǎn)）試用直尺和圓規(guī)在圖中作出點(diǎn)P P；（2 2）在（）在（1 1）的條件下，若連接）的條件下，若連接APAP、BPBP，測(cè)得，測(cè)得APB=90APB=90，求，求A A村到車(chē)站的距離村到車(chē)站的距離. .添加應(yīng)用背景添加應(yīng)用背景3.圖形的變式與延伸圖形的變式與延伸 結(jié)合基本圖形所具有的特殊性，可作一系列的變化，如結(jié)合基本圖

11、形所具有的特殊性，可作一系列的變化，如將習(xí)題中兩個(gè)三角形相向移動(dòng)交叉重疊，即可得到一個(gè)將習(xí)題中兩個(gè)三角形相向移動(dòng)交叉重疊，即可得到一個(gè)新的基本圖形；如圖所示。新的基本圖形；如圖所示。2014年廣西欽州20題 如圖，在正方形如圖，在正方形ABCDABCD中，中，E E、F F分別是分別是ABAB、BCBC上的上的點(diǎn)，且點(diǎn)，且DFDFCECE 求證：求證：CE=DFCE=DF15、2014麗水第23題提出問(wèn)題：（1）如圖1，在正方形ABCD中，點(diǎn)E，H分別在BC，AB上，若AEDHAEDH于點(diǎn)O，求證：AE=DH；類(lèi)比探究：（2）如圖2，在正方形ABCD中，點(diǎn)H，E，G，F(xiàn)分別在AB，BC，CD，

12、DA上，若EFHGEFHG于點(diǎn)O，探究線(xiàn)段EF與HG的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；綜合運(yùn)用：（3）在（2）問(wèn)條件下，HFGEHFGE，如圖3所示，已知BE=EC=2，EO=2FO，求圖中陰影部分的面積基本圖形的再演變基本圖形的再演變BONBON = =9 90 00 0BONBON = =？BONBON = =？1616、（、（20132013年常州中考年常州中考2121題）題） 問(wèn)題背景問(wèn)題背景 某課外學(xué)習(xí)小組在一次某課外學(xué)習(xí)小組在一次學(xué)習(xí)研討中，得到了如下兩個(gè)命題：學(xué)習(xí)研討中，得到了如下兩個(gè)命題：1 1）如圖）如圖(1)(1)，在正，在正ABCABC中，中，M M，N N分別是分別是ABAB，A

13、CAC上的點(diǎn)，上的點(diǎn)，BNBN與與CMCM相相交于點(diǎn)交于點(diǎn)O O，若，若BOM = 60BOM = 600 0，則，則BN=CMBN=CM；2 2）如圖）如圖(2)(2)，在正方形，在正方形ABCDABCD中，中，M M，N N分別是分別是CDCD，ADAD上的點(diǎn)，上的點(diǎn)，BMBM與與CNCN相交于點(diǎn)相交于點(diǎn)O O，若，若BON = 90BON = 900 0，則，則BM=CNBM=CN；然后運(yùn)用類(lèi)比的思想提出了如下命題；3）如圖(3)，在正五邊形ABCDE中，M，N分別是CD，DE上的點(diǎn)，BM與CN相交于點(diǎn)O，若BON = 1080，則BM=CN。任務(wù)要求任務(wù)要求（1）請(qǐng)你從1）、2）、3）

14、三個(gè)命題中選擇一個(gè)進(jìn)行證明；（2）如圖(4)，在正五邊形ABCDE中，M，N分別是DE，EA上的點(diǎn)，BM與CN相交于點(diǎn)O，若BON = 1080，請(qǐng)問(wèn)結(jié)論BM=CN是否還成立？若成立，試給予證明；若不成立，試說(shuō)明理由。4.基本圖形的應(yīng)用基本圖形的應(yīng)用 幾何綜合性問(wèn)題通常是由若干個(gè)幾何綜合性問(wèn)題通常是由若干個(gè)基本問(wèn)題基本問(wèn)題組合組合而成，其圖形也是由若干個(gè)而成，其圖形也是由若干個(gè)基本圖形基本圖形組合而成，組合而成，因而，在解決綜合性問(wèn)題時(shí)，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生因而，在解決綜合性問(wèn)題時(shí)，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生從復(fù)雜圖形中尋找基本模型；從而將復(fù)雜化簡(jiǎn)從復(fù)雜圖形中尋找基本模型；從而將復(fù)雜化簡(jiǎn)單，將一般化特殊，化難為

15、易；單，將一般化特殊，化難為易；培養(yǎng)學(xué)生的圖培養(yǎng)學(xué)生的圖形分解能力，轉(zhuǎn)化思想意識(shí)形分解能力，轉(zhuǎn)化思想意識(shí)。尋找基本圖形巧解規(guī)律探究題：尋找基本圖形巧解規(guī)律探究題：1717、在直線(xiàn)、在直線(xiàn)l l上依次擺放著七個(gè)正方形上依次擺放著七個(gè)正方形( (如圖所示如圖所示) )。已。已知斜放置的三個(gè)正方形的面積分別是知斜放置的三個(gè)正方形的面積分別是1 1、2 2、3 3，正放置，正放置的四個(gè)正方形的面積依次是的四個(gè)正方形的面積依次是S S1 1、S S2 2、S S3 3、S S4 4，則，則S S1 1S S2 2S S3 3S S4 4 . .321S4S3S2S1利用基本圖形，巧解壓軸題利用基本圖形，

16、巧解壓軸題1818、（20201010年臨沂年臨沂2525題）題）1919、（、（20142014浙江金華）浙江金華）如圖，有一矩形紙板如圖，有一矩形紙板ABCDABCD，長(zhǎng)，長(zhǎng)AD=10cmAD=10cm，寬，寬AB=4cmAB=4cm，將你手中足夠大的透明三角板，將你手中足夠大的透明三角板PHFPHF的直角頂點(diǎn)的直角頂點(diǎn)P P落在線(xiàn)段落在線(xiàn)段BCBC上（不與上（不與B B、C C重合）移動(dòng)。重合）移動(dòng)。（1 1）若三角板的兩直角邊分別通過(guò)點(diǎn)）若三角板的兩直角邊分別通過(guò)點(diǎn)A A與與D D， 求證：求證：ABPABPPCD.PCD.（2 2）若三角板的一直角邊）若三角板的一直角邊PHPH始終通

17、過(guò)點(diǎn)始終通過(guò)點(diǎn)D D，另一直角邊，另一直角邊PFPF與與BABA延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn)延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn)Q Q，與，與ADAD交于點(diǎn)交于點(diǎn)E E，能否使，能否使AE=2cmAE=2cm？若能，請(qǐng)你求出若能，請(qǐng)你求出CPCP的長(zhǎng)；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由。的長(zhǎng)；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由。構(gòu)建基本圖形，巧解綜合題構(gòu)建基本圖形，巧解綜合題ABCDPFHABCDPFHQEGx8-x442020、（、（20112011年濟(jì)南年濟(jì)南2525題）題）如圖，如圖，已知平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)已知平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A A（m m，6 6），），B B（n n，1 1）為兩動(dòng)點(diǎn)，）為兩動(dòng)點(diǎn)，其中其中0m30m3，連結(jié)，連結(jié)OAOBOAOB，。

18、，。（1 1）求證：）求證：mn=mn=6 6；（2 2）當(dāng)）當(dāng)S SAOB=10AOB=10時(shí)，拋物線(xiàn)時(shí)，拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)經(jīng)過(guò)A A，B B兩點(diǎn)且以?xún)牲c(diǎn)且以y y軸為對(duì)稱(chēng)軸，軸為對(duì)稱(chēng)軸，求拋物線(xiàn)對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)的關(guān)求拋物線(xiàn)對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)的關(guān)系式；系式；（3 3）在（）在（2 2）的條件下，在）的條件下，在ABAB的上方拋物線(xiàn)上是否存在一點(diǎn)的上方拋物線(xiàn)上是否存在一點(diǎn)P P使得三角形使得三角形APBAPB面積最大，若存面積最大，若存在，求出點(diǎn)在，求出點(diǎn)P P的坐標(biāo)，若不存的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由在，請(qǐng)說(shuō)明理由OBAxyCD構(gòu)建基本圖形，巧解壓軸題構(gòu)建基本圖形，巧解壓軸題 踏破鐵鞋無(wú)覓處，得來(lái)全不費(fèi)工

19、夫。踏破鐵鞋無(wú)覓處，得來(lái)全不費(fèi)工夫。 “他強(qiáng)由他強(qiáng)，清風(fēng)拂山崗，他橫任他橫，明月照他強(qiáng)由他強(qiáng)，清風(fēng)拂山崗，他橫任他橫，明月照大江大江”。 現(xiàn)在看來(lái)現(xiàn)在看來(lái)“基本圖形基本圖形”已達(dá)到這種境界，不管題目已達(dá)到這種境界，不管題目如何復(fù)雜，如何來(lái)的就如何去！如何復(fù)雜，如何來(lái)的就如何去！三、三、動(dòng)靜結(jié)合動(dòng)靜結(jié)合、遷移轉(zhuǎn)化、遷移轉(zhuǎn)化 -巧解動(dòng)態(tài)幾何壓軸題巧解動(dòng)態(tài)幾何壓軸題 題型概述：題型概述：2525題題 命制方法：命制方法：靜態(tài)變動(dòng)態(tài)，特殊化一般靜態(tài)變動(dòng)態(tài)，特殊化一般 解題策略：解題策略：動(dòng)靜結(jié)合動(dòng)靜結(jié)合 2121. .（0707臨沂）臨沂）如圖1，已知ABC中，ABBC1，ABC90，把一塊含30角的直角三角板DEF的直角頂點(diǎn)D放在AC的中點(diǎn)上(直角三角板的短直角邊為DE，長(zhǎng)直角邊為DF)，將直角三角板DEF繞D點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)。(1)(1)在圖1中，DE交AB于M，DF交BC于N。證明DMDN；在這一旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，直角三角板DEF與ABC的重疊部分為四邊形DMBN，請(qǐng)說(shuō)明四邊形DMBN的面積是否發(fā)生變化？若發(fā)生變化，請(qǐng)說(shuō)明