最新題庫大全高考數(shù)學(xué)理試題分項(xiàng)專題08立體幾何

1、專題08 立體幾何一、選擇題1（全國理7題）如圖，正四棱柱中，則異面直線所成角的余弦值為（ d ）a b c d2（全國理7題）已知正三棱柱abca1b1c1的側(cè)棱長與底面邊長相等，則ab1與側(cè)面acc1a1所成角的正弦等于（ a ）a b c d3（北京理3題）平面平面的一個(gè)充分條件是（d）a存在一條直線 b存在一條直線c存在兩條平行直線d存在兩條異面直線4（安徽理2題）設(shè)，均為直線，其中，在平面內(nèi)，“”是且“”的（）a充分不必要條件 b必要不充分條件 c充分必要條件 d既不充分也不必要條件7（福建理10題）頂點(diǎn)在同一球面上的正四棱柱abcda1b1c1d1中，ab1，aa1，則a、c兩點(diǎn)間

2、的球面距離為（ b ）a b c d 9（湖南理8題）棱長為1的正方體的8個(gè)頂點(diǎn)都在球的表面上，分別是棱，的中點(diǎn)，則直線被球截得的線段長為（ d ）a b c d10（江蘇理4題）已知兩條直線，兩個(gè)平面，給出下面四個(gè)命題： 其中正確命題的序號是（ c ）a b c d11（江西理7題）如圖，正方體ac1的棱長為1，過點(diǎn)a作平面a1bd的垂線，垂足為點(diǎn)h則以下命題中，錯(cuò)誤的命題是（ d ） a點(diǎn)h是a1bd的垂心 bah垂直平面cb1d1 cah的延長線經(jīng)過點(diǎn)c1 d直線ah和bb1所成角為45°12（遼寧理7題）若是兩條不同的直線，是三個(gè)不同的平面，則下列命題中的真命題是（ ）a若，

3、則b若，則c若，則d若，則13（陜西理6題）一個(gè)正三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)都在半徑為1的球面上，其中底面的三個(gè)頂點(diǎn)在該球的一個(gè)大圓上，則該正三棱錐的體積是（ b ） a b c d 14（四川理4題）如圖，abcd-a1b1c1d1為正方體，下面結(jié)論錯(cuò)誤的是（ d ）abd平面cb1d1 bac1bdcac1平面cb1d1 d異面直線ad與cb1角為60° 2020正視圖20側(cè)視圖101020俯視圖15(寧夏理8題) 已知某個(gè)幾何體的三視圖如下，根據(jù)圖中標(biāo)出的尺寸（單位：cm），可得這個(gè)幾何體的體積是（b） 若，則 若，則18（浙江理6題）若p是兩條異面直線外的任意一點(diǎn)，則（ b ）a過點(diǎn)p

4、有且僅有一條直線與都平行 b過點(diǎn)p有且僅有一條直線與都垂直c過點(diǎn)p有且僅有一條直線與都相交 d過點(diǎn)p有且僅有一條直線與都異面二、填空題19（全國理16題）一個(gè)等腰直角三角形的三個(gè)頂點(diǎn)分別在正三棱柱的三條側(cè)棱上。已知正三棱柱的底面邊長為2，則該三角形的斜邊長為 。23（遼寧理15題）若一個(gè)底面邊長為，棱長為的正六棱柱的所有頂點(diǎn)都在一個(gè)平面上，則此球的體積為 26（天津理12題）一個(gè)長方體的各頂點(diǎn)均在同一球的球面上，且一個(gè)頂點(diǎn)上的三條棱的長分別為1，2，3，則此球的表面積為27（浙江理16題）已知點(diǎn)o在二面角的棱上，點(diǎn)p在內(nèi)，且。若對于內(nèi)異于o的任意一點(diǎn)q，都有，則二面角的大小是_。三、解答題27

5、（全國理19題）四棱錐sabcd中，底面abcd為平行四邊形，側(cè)面sbc底面abcd。已知abc45°，ab2，bc=2，sasb。()證明：sabc；()求直線sd與平面sab所成角的大??；連結(jié)，得的面積設(shè)到平面的距離為，由于，得，解得設(shè)與平面所成角為，則所以，直線與平面所成的我為解法二：（）作，垂足為，連結(jié)，由側(cè)面底面，得平面因?yàn)?，所以又，為等腰直角三角形，dbcas如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸正向，建立直角坐標(biāo)系，所以（）取中點(diǎn)，連結(jié)，取中點(diǎn)，連結(jié)，與平面內(nèi)兩條相交直線，垂直所以平面，與的夾角記為，與平面所成的角記為，則與互余，所以，直線與平面所成的角為28（全國理19題）如圖，在

6、四棱錐s-abcd中，底面abcd為正方形，側(cè)棱sd底面abcd，e、f分別是ab、sc的中點(diǎn)。()求證：ef平面sad；()設(shè)sd = 2cd，求二面角aefd的大?。唤夥ㄒ唬海?）作交于點(diǎn)，則為的中點(diǎn)連結(jié)，又，故為平行四邊形，又平面平面所以平面（2）不妨設(shè)，則為等腰直角三角形取中點(diǎn)，連結(jié)，則又平面，所以，而，aaebcfsdgmyzx所以面取中點(diǎn)，連結(jié)，則連結(jié)，則故為二面角的平面角所以二面角的大小為解法二：（1）如圖，建立空間直角坐標(biāo)系設(shè)，則，取的中點(diǎn)，則平面平面，所以平面（2）不妨設(shè)，則中點(diǎn)又，所以向量和的夾角等于二面角的平面角所以二面角的大小為29（北京理16題）如圖，在中，斜邊可以通

7、過以直線為軸旋轉(zhuǎn)得到，且二面角是直二面角動(dòng)點(diǎn)的斜邊上（i）求證：平面平面；（ii）當(dāng)為的中點(diǎn)時(shí)，求異面直線與所成角的大?。唬╥ii）求與平面所成角的最大值解法一：（i）由題意，是二面角是直二面角，又二面角是直二面角，又，平面，又平面平面平面（ii）作，垂足為，連結(jié)（如圖），則，是異面直線與所成的角在中，又在中，異面直線與所成角的大小為（iii）由（i）知，平面，是與平面所成的角，且當(dāng)最小時(shí)，最大，這時(shí)，垂足為，與平面所成角的最大值為解法二：（i）同解法一（ii）建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，則，異面直線與所成角的大小為分析：本小題主要考查直線與平面的位置關(guān)系，二面角的大小，點(diǎn)到平面的距離等知識，考

8、查空間想象能力、邏輯思維能力和運(yùn)算能力滿分12分解答：解法一：（）取中點(diǎn)，連結(jié)為正三角形，abcdof正三棱柱中，平面平面，平面連結(jié)，在正方形中，分別為的中點(diǎn)，在正方形中，平面（）設(shè)與交于點(diǎn)，在平面中，作于，連結(jié)，由（）得平面，為二面角的平面角在中，由等面積法可求得，又，所以二面角的大小為（）中，在正三棱柱中，到平面的距離為設(shè)點(diǎn)到平面的距離為由得，點(diǎn)到平面的距離為解法二：（）取中點(diǎn)，連結(jié)為正三角形，在正三棱柱中，平面平面，平面取中點(diǎn)，以為原點(diǎn)，的方向?yàn)檩S的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則，令得為平面的一個(gè)法向量由（）知平面，為平面的法向量，二面角的大小為（）由（），為平面法向量，點(diǎn)到平面的距離32

9、（廣東理19題）如圖6所示，等腰abc的底邊ab=6，高cd=3，點(diǎn)b是線段bd上異于點(diǎn)b、d的動(dòng)點(diǎn).點(diǎn)f在bc邊上，且efab.現(xiàn)沿ef將bef折起到pef的位置，使peae。記bex，v(x)表示四棱錐pacfe的體積。（）求v(x)的表達(dá)式；（）當(dāng)x為何值時(shí)，v(x)取得最大值？（）當(dāng)v(x)取得最大值時(shí)，求異面直線ac與pf所成角的余弦值；33（湖北理18題）如圖，在三棱錐v-abc中，vc底面abc，acbc，d是ab的中點(diǎn)，且ac=bc=a，vdc=。（）求證：平面vab平面vcd ；（）當(dāng)角變化時(shí)，求直線bc與平面vab所成的角的取值范圍；分析：本小題主要考查線面關(guān)系、直線與平面

10、所成角的有關(guān)知識，考查空間想象能力和推理運(yùn)算能力以及應(yīng)用向量知識解決數(shù)學(xué)問題的能力解答：解法1：（），是等腰三角形，又是的中點(diǎn)，又底面于是平面，又，即直線與平面所成角的取值范圍為解法2：（）以所在的直線分別為軸、軸、軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，于是，從而，即同理，即又，平面又平面平面平面（）設(shè)直線與平面所成的角為，平面的一個(gè)法向量為又，即直線與平面所成角的取值范圍為解法3：（）以點(diǎn)為原點(diǎn)，以所在的直線分別為軸、軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，于是，從而，即同理，即又，平面又平面，平面平面（）設(shè)直線與平面所成的角為，平面的一個(gè)法向量為，又，即直線與平面所成角的取值范圍為解法4：以

11、所在直線分別為軸、軸、軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則設(shè)設(shè)是平面的一個(gè)非零法向量，則取，得可取，又，于是，關(guān)于遞增，即直線與平面所成角的取值范圍為aebgdfcaebcfdg1g2圖1圖234（湖南理18題）如圖1，分別是矩形的邊的中點(diǎn)，是上的一點(diǎn)，將，分別沿翻折成，并連結(jié)，使得平面平面，且連結(jié)，如圖2（i）證明：平面平面；（ii）當(dāng)，時(shí)，求直線和平面所成的角；解：解法一：（）因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面，所以平面，又平面，所以平面平面由題設(shè)， ，則所以，因?yàn)槠矫?，所以平面，從而故，又，由得故即直線與平面所成的角是解法二：（i）因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面，所以平面，從而又，所設(shè)是平面的一

12、個(gè)法向量，由得故可取過點(diǎn)作平面于點(diǎn)，因?yàn)?，所以，于是點(diǎn)在軸上因?yàn)?，所以，設(shè)（），由，解得，所以設(shè)和平面所成的角是，則故直線與平面所成的角是abcda1d1c1b1gmhfe35（江蘇理18題）如圖，已知是棱長為3的正方體，點(diǎn)在上，點(diǎn)在上，且。（i）求證：四點(diǎn)共面；（4分）（ii）若點(diǎn)在上，點(diǎn)在上，垂足為，求證：面；所以則是平行四邊形，因此有平面且平面，則面（2）如圖，過作截面面，分別交，于，作于，連因?yàn)槊?，所以，則平面又因?yàn)?，所以，根?jù)三垂線定理知，所以就是所求二面角的平面角因?yàn)椋?，故，即：所求二面角的大小為?）因?yàn)?，所以所求幾何體體積為設(shè)是平面的一個(gè)法向量，則則，得：取，顯然，為平面的

13、一個(gè)法向量則，結(jié)合圖形可知所求二面角為銳角所以二面角的大小是（3）同解法一37（遼寧理18題）如圖，在直三棱柱中，分別為棱的中點(diǎn)，為棱上的點(diǎn)，二面角為。（i）證明：；（ii）求的長，并求點(diǎn)到平面的距離。38（寧夏理19題）如圖，在三棱錐中，側(cè)面與側(cè)面均為等邊三角形，為中點(diǎn)（）證明：平面；（）求二面角的余弦值證明：（）由題設(shè)，連結(jié)，為等腰直角三角形，所以，且，又為等腰三角形，故，且，從而所以為直角三角形，又所以平面（）解法一：取中點(diǎn)，連結(jié)，由（）知，得為二面角的平面角由得平面所以，又，故所以二面角的余弦值為解法二：以為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線分別為軸、軸的正半軸，建立如圖的空間直角坐標(biāo)系設(shè)，則39（陜西理

14、19題）如圖,在底面為直角梯形的四棱錐中，,bc=6。()求證：；()求二面角的大小；解法一：（）平面，平面又，即又平面（）過作，垂足為，連接平面，是在平面上的射影，由三垂線定理知，為二面角的平面角aedpcbf又，又，由得在中，二面角的大小為平面的法向量取為，二面角的大小為40（上海理19題）體積為1的直三棱柱中，求直線與平面所成角。41（四川理19題）如圖，四邊形是直角梯形，90°，1，2，又1，120°，直線與直線所成的角為60°.（）求證：平面平面；（）求二面角的大?。唬ǎ┣笕忮F的體積；分析：本題主要考察異面直線所成的角、平面與平面垂直、二面角、三棱錐體

15、積等有關(guān)知識，考察思維能力和空間想象能力、應(yīng)用向量知識解決數(shù)學(xué)問題的能力、化歸轉(zhuǎn)化能力和推理運(yùn)算能力。解法一：（），又（）取的中點(diǎn)，則，連結(jié)，在中，在中，故二面角的平面角大小為（）由（）知，為正方形解法二：（）同解法一（）在平面內(nèi)，過作，建立空間直角坐標(biāo)系（如圖）由題意有，設(shè)，平面的法向量取為設(shè)與所成的角為，則顯然，二面角的平面角為銳角，故二面角的平面角大小為（）取平面的法向量取為，則點(diǎn)a到平面的距離，42（天津理19題）如圖，在四棱錐中，底面，是的中點(diǎn)（）證明；（）證明平面；（）求二面角的大?。环治觯罕拘☆}考查直線與直線垂直、直線與平面垂直、二面角等基礎(chǔ)知識，考查空間想象能力、運(yùn)算能力和推理論證能力滿分12分解答：（）證明：在四棱錐中，因底面，平面，故，平面而平面，（）證明：由，可得是的中點(diǎn)，由（）知，且，所以平面而平面，所以二面角的大小是解法二：由題設(shè)底面，平面，則平面平面，交線為過點(diǎn)作，垂足為，故平面過點(diǎn)作，垂足為，連結(jié)，故因此是二面角的平面角由已知，可得，設(shè)，可