初中數(shù)學(xué)《幾何最值問題》典型例題

1、學(xué)習(xí)必備歡迎下載初中數(shù)學(xué)最值問題典型例題一、解決幾何最值問題的通常思路兩點(diǎn)之間線段最短；直線外一點(diǎn)與直線上所有點(diǎn)的連線段中，垂線段最短；三角形兩邊之和大于第三邊或三角形兩邊之差小于第三邊（重合時(shí)取到最值）是解決幾何最值問題的理論依據(jù)，根據(jù)不同特征轉(zhuǎn)化是解決最值問題的關(guān)鍵通過(guò)轉(zhuǎn)化減少變量，向三個(gè)定理靠攏進(jìn)而解決問題；直接調(diào)用基本模型也是解決幾何最值問題的高效手段幾何最值問題中的基本模型舉例圖形軸對(duì)原理稱最值特征BAPl兩點(diǎn)之間線段最短A， B 為定點(diǎn)， l 為定直線， P 為直線 l 上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求 AP+BP 的最小值BAAPllMNB兩點(diǎn)之間線段最短三角形三邊關(guān)系A(chǔ)，B 為定點(diǎn)， l 為定

2、直線，A，B 為定點(diǎn)，l 為定直線，MN 為直線 l 上的一條動(dòng)線P 為直線 l 上的一個(gè)動(dòng)段，求 AM +BN 的最小值點(diǎn)，求 |AP-BP|的最大值作其中一個(gè)定點(diǎn)關(guān)于定先平移 AM 或 BN 使 M，N作其中一個(gè)定點(diǎn)關(guān)于定轉(zhuǎn)化重合，然后作其中一個(gè)定直線 l 的對(duì)稱點(diǎn)直線 l 的對(duì)稱點(diǎn)點(diǎn)關(guān)于定直線 l 的對(duì)稱點(diǎn)A圖形折疊最值原理特征轉(zhuǎn)化二、典型題型B'MBNC兩點(diǎn)之間線段最短在 ABC 中， M， N 兩點(diǎn)分別是邊 AB， BC 上的動(dòng)點(diǎn)，將 BMN 沿 MN 翻折， B 點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為 B'，連接 AB'，求 AB'的最小值轉(zhuǎn)化成求AB'+B'

3、N+NC 的最小值1如圖：點(diǎn) P 是 AOB 內(nèi)一定點(diǎn)， 點(diǎn) M、N 分別在邊 OA、OB 上運(yùn)動(dòng)，若 AOB=45 °，OP=32 ，則 PMN的周長(zhǎng)的最小值為【分析】 作 P 關(guān)于 OA，OB 的對(duì)稱點(diǎn)C，D 連接 OC，OD則當(dāng) M，N 是 CD 與 OA，OB 的交點(diǎn)時(shí)， PMN的周長(zhǎng)最短， 最短的值是CD 的長(zhǎng)根據(jù)對(duì)稱的性質(zhì)可以證得： COD 是等腰直角三角形，據(jù)此即可求解【解答】 解：作 P 關(guān)于 OA，OB 的對(duì)稱點(diǎn)C，D連接 OC，OD則當(dāng) M，N 是 CD 與 OA，OB 的交點(diǎn)時(shí)， PMN 的周長(zhǎng)最短，最短的值是CD 的長(zhǎng) PC 關(guān)于 OA 對(duì)稱， COP=2 A

4、OP，OC=OP同理， DOP =2BOP， OP=OD COD= COP+ DOP =2（ AOP+ BOP）=2 AOB=90°， OC=OD學(xué)習(xí)必備歡迎下載 COD 是等腰直角三角形則CD=2OC=2×32=6【題后思考】本題考查了對(duì)稱的性質(zhì)，正確作出圖形，理解 PMN 周長(zhǎng)最小的條件是解題的關(guān)鍵2如圖，當(dāng)四邊形PABN 的周長(zhǎng)最小時(shí)，a=【分析】 因?yàn)?AB， PN 的長(zhǎng)度都是固定的，所以求出PA+NB 的長(zhǎng)度就行了問題就是PA+NB 什么時(shí)候最短把 B 點(diǎn)向左平移2 個(gè)單位到B點(diǎn)；作 B關(guān)于 x 軸的對(duì)稱點(diǎn)B，連接 AB，交 x 軸于 P，從而確定N 點(diǎn)位置，此時(shí)

5、 PA+NB 最短設(shè)直線 AB的解析式為y=kx+b，待定系數(shù)法求直線解析式即可求得a 的值【解答】 解：將 N 點(diǎn)向左平移2 單位與 P 重合，點(diǎn) B 向左平移2 單位到 B（ 2， 1），作 B關(guān)于 x 軸的對(duì)稱點(diǎn) B，根據(jù)作法知點(diǎn) B（ 2，1），設(shè)直線 AB的解析式為 y=kx+b，12kb則，解得 k=4 ， b= 73kb y=4 x 7當(dāng) y=0 時(shí)， x= 7 ，即 P（ 7 ， 0）， a= 7 444故答案填：7 4【題后思考】考查關(guān)于 X 軸的對(duì)稱點(diǎn)，兩點(diǎn)之間線段最短等知識(shí)3如圖， A、 B 兩點(diǎn)在直線的兩側(cè)，點(diǎn)A 到直線的距離AM =4，點(diǎn) B 到直線的距離BN=1 ，

6、且 MN=4，P 為直線上的動(dòng)點(diǎn)，|PA PB|的最大值為學(xué)習(xí)必備歡迎下載ABDMNPB【分析】 作點(diǎn) B 于直線 l 的對(duì)稱點(diǎn)B，則 PB=PB因而 |PA PB|=|PAPB|，則當(dāng) A，B、P 在一條直線上時(shí)，|PA PB|的值最大根據(jù)平行線分線段定理即可求得 PN 和 PM 的值然后根據(jù)勾股定理求得 PA、 PB的值，進(jìn)而求得 |PA PB|的最大值【解答】 解：作點(diǎn) B 于直線 l 的對(duì)稱點(diǎn)B，連 AB并延長(zhǎng)交直線l 于 P BN=BN=1，過(guò) D 點(diǎn)作 BDAM，利用勾股定理求出AB =5 |PA PB|的最大值 =5【題后思考】本題考查了作圖軸對(duì)稱變換，勾股定理等，熟知“兩點(diǎn)之間

7、線段最短”是解答此題的關(guān)鍵4動(dòng)手操作：在矩形紙片ABCD 中， AB=3， AD =5如圖所示，折疊紙片，使點(diǎn)折痕為 PQ，當(dāng)點(diǎn) A在 BC 邊上移動(dòng)時(shí)，折痕的端點(diǎn)P、Q 也隨之移動(dòng)若限定點(diǎn)上移動(dòng)，則點(diǎn)A在 BC 邊上可移動(dòng)的最大距離為A 落在 BC 邊上的 A處，P、Q 分別在 AB、AD 邊【分析】 本題關(guān)鍵在于找到兩個(gè)極端，即別求出點(diǎn) P 與 B 重合時(shí)， BA取最大值BA取最大或最小值時(shí)，點(diǎn)P 或 Q3 和當(dāng)點(diǎn) Q 與 D 重合時(shí)， BA的最小值的位置經(jīng)實(shí)驗(yàn)不難發(fā)現(xiàn)，分1所以可求點(diǎn)A在 BC 邊上移動(dòng)的最大距離為2【解答】 解：當(dāng)點(diǎn) P 與 B 重合時(shí)， BA 取最大值是3，當(dāng)點(diǎn) Q

8、與 D 重合時(shí)（如圖） ，由勾股定理得AC=4 ，此時(shí) BA 取最小值為1則點(diǎn) A在 BC 邊上移動(dòng)的最大距離為3 1=2 故答案為： 2【題后思考】 本題考查了學(xué)生的動(dòng)手能力及圖形的折疊、勾股定理的應(yīng)用等知識(shí)，難度稍大，學(xué)生主要缺乏動(dòng)手操作習(xí)慣，單憑想象造成錯(cuò)誤5如圖，直角梯形紙片ABCD ，AD AB，AB=8，AD=CD =4，點(diǎn) E、F 分別在線段AB、AD 上，將 AEF沿 EF 翻折，點(diǎn) A 的落點(diǎn)記為P當(dāng) P 落在直角梯形ABCD 內(nèi)部時(shí)， PD 的最小值等于學(xué)習(xí)必備歡迎下載【分析】 如圖，經(jīng)分析、探究，只有當(dāng)直徑EF 最大，且點(diǎn)BD 的長(zhǎng)度，問題即可解決【解答】 解：如圖，當(dāng)點(diǎn)

9、 P 落在梯形的內(nèi)部時(shí)，P= A=90°，四邊形 PFAE 是以 EF 為直徑的圓內(nèi)接四邊形，只有當(dāng)直徑EF 最大，且點(diǎn)A 落在 BD 上時(shí)， PD 最小，此時(shí) E與點(diǎn) B重合；由題意得： PE =AB =8，由勾股定理得：A 落在BD上時(shí)， PD最??；根據(jù)勾股定理求出BD 2=82+62=80，BD=45，PD= 458【題后思考】 該命題以直角梯形為載體，以翻折變換為方法，以考查全等三角形的判定及其性質(zhì)的應(yīng)用為核心構(gòu)造而成；解題的關(guān)鍵是抓住圖形在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的某一瞬間，動(dòng)中求靜，以靜制動(dòng)6如圖， MON =90 °，矩形 ABCD 的頂點(diǎn) A、 B 分別在邊OM ， ON

10、 上，當(dāng) B 在邊在 OM 上運(yùn)動(dòng)，矩形ABCD 的形狀保持不變，其中AB=2， BC=1，運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，點(diǎn)為ON 上運(yùn)動(dòng)時(shí)， A 隨之D 到點(diǎn) O 的最大距離【分析】取AB 的中點(diǎn)E，連接OD、OE 、DE ，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得OE=AB ，利用勾股定理列式求出DE ，然后根據(jù)三角形任意兩邊之和大于第三邊可得OD過(guò)點(diǎn)E 時(shí)最大【解答】 解：如圖，取AB 的中點(diǎn) E，連接 OD 、 OE、DE ， MON =90°， AB=21 OE=AE= AB =1，2 BC=1，四邊形 ABCD 是矩形， AD=BC=1 ， DE= 2，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系，OD OE

11、+DE ，當(dāng) OD 過(guò)點(diǎn) E 是最大，最大值為2 +1學(xué)習(xí)必備歡迎下載故答案為：2 +1【題后思考】 本題考查了矩形的性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質(zhì)，三角形的三邊關(guān)系，勾股定理，確定出 OD 過(guò) AB 的中點(diǎn)時(shí)值最大是解題的關(guān)鍵7如圖，線段AB 的長(zhǎng)為4， C 為 AB 上一動(dòng)點(diǎn)，分別以AC、 BC為斜邊在AB 的同側(cè)作等腰直角 ACD和等腰直角 BCE，那么DE 長(zhǎng)的最小值是【分析】 設(shè) AC=x， BC=4 x，根據(jù)等腰直角三角形性質(zhì)，得出CD =2 x， CD =2 （4 x），根據(jù)勾股22定理然后用配方法即可求解【解答】 解：設(shè) AC=x，BC=4 x， ABC， B

12、CD 均為等腰直角三角形， CD= 2 x， CD =2 （ 4x），22 ACD=45°， BCD =45，° DCE=90°，222121222， DE=CD +CE =2x +2（ 4 x）=x 4x+8=（x 2） +4根據(jù)二次函數(shù)的最值，當(dāng) x 取 2 時(shí)， DE 取最小值，最小值為：4故答案為： 2【題后思考】 本題考查了二次函數(shù)最值及等腰直角三角形，難度不大，關(guān)鍵是掌握用配方法求二次函數(shù)最值8如圖， 菱形 ABCD 中，AB =2， A=120 °，點(diǎn) P，Q，K 分別為線段BC，CD ，BD 上的任意一點(diǎn)， 則 PK+QK的最小值為【分析

13、】 根據(jù)軸對(duì)稱確定最短路線問題，作點(diǎn)P 關(guān)于 BD 的對(duì)稱點(diǎn)點(diǎn) K ，然后根據(jù)直線外一點(diǎn)到直線的所有連線中垂直線段最短的性質(zhì)可知然后求解即可【解答】 解：如圖， AB=2， A=120°，P，連接 PQPQ與 CDBD 時(shí)的交點(diǎn)即為所求的PK+QK 的最小值，點(diǎn)P到CD的距離為2×3=3 ，2 PK+QK 的最小值為3 故答案為：3 學(xué)習(xí)必備歡迎下載【題后思考】 本題考查了菱形的性質(zhì)，軸對(duì)稱確定最短路線問題，熟記菱形的軸對(duì)稱性和利用軸對(duì)稱確定最短路線的方法是解題的關(guān)鍵9如圖所示，正方形ABCD 的邊長(zhǎng)為1，點(diǎn) P 為邊 BC 上的任意一點(diǎn)（可與B、 C 重合），分別過(guò)B、

14、C、D 作射線 AP 的垂線，垂足分別為B、 C、D ，則 BB+CC+DD 的取值范圍是【分析】 首先連接 AC ，DP由正方形 ABCD 的邊長(zhǎng)為1，即可得： SADP =1S 正方形 ABCD =1 ，11 ，繼而可得122S ABP+SACP =SABC=S 正方形 ABCD =AP?（ BB+CC+DD ） =1，又由 1AP2 ，即可求得222答案【解答】 解：連接 AC ，DP四邊形 ABCD 是正方形，正方形ABCD 的邊長(zhǎng)為 1， AB=CD， S 正方形 ABCD=1 ， S ADP = 1 S 正方形 ABCD = 1 ， SABP+SACP =S ABC= 1 S 正方

15、形 ABCD = 1 ，2222 S ADP +SABP+S ACP=1 ，11112AP ?BB+ AP ?CC + AP?DD = AP?（ BB+CC+DD ） =1 ，222則 BB +CC+DD =2，AP 1AP 2 ，當(dāng) P 與 B 重合時(shí)，有最大值2；當(dāng) P 與 C 重合時(shí)，有最小值2 2 BB +CC+DD 2故答案為： 2 BB +CC+DD 2【題后思考】此題考查了正方形的性質(zhì)、面積及等積變換問題此題難度較大，解題的關(guān)鍵是連接AC，DP ，根據(jù)題意得到SADP+SABP+SACP=1，繼而得到BB+CC+DD = 2AP學(xué)習(xí)必備歡迎下載10如圖，菱形ABCD 中， A=60 °，AB=3， A、 B 的半徑分別為和 B 上的動(dòng)點(diǎn)，則PE+PF 的最小值是2 和1，P、E、F分別是邊CD、 A【分析】 利用菱形的性質(zhì)以及相切兩圓的性質(zhì)得