經(jīng)典層次分析法分析及實例教程

1、t.l.saaty一一 問題的提出問題的提出 日常生活中有許多決策問題。決策是指在面臨多種方案時需要依據(jù)一定的標準選擇某一種方案。例1 購物 買鋼筆，一般要依據(jù)質量、顏色、實用性、價格、外形等方面的因素選擇某一支鋼筆。 買飯，則要依據(jù)色、香、味、價格等方面的因素選擇某種飯菜。例2 旅游 假期旅游，是去風光秀麗的蘇州，還是去迷人的北戴河，或者是去山水甲天下的桂林，一般會依據(jù)景色、費用、食宿條件、旅途等因素選擇去哪個地方。例3 擇業(yè)面臨畢業(yè)，可能有高校、科研單位、企業(yè)等單位可以去選擇，一般依據(jù)工作環(huán)境、工資待遇、發(fā)展前途、住房條件等因素擇業(yè)。例4 科研課題的選擇 由于經(jīng)費等因素，有時不能同時開展幾

2、個課題，一般依據(jù)課題的可行性、應用價值、理論價值、被培養(yǎng)人才等因素進行選題。 面臨各種各樣的方案，要進行比較、判斷、評價、最后作出決策。這個過程主觀因素占有相當?shù)谋戎亟o用數(shù)學方法解決問題帶來不便。t.l.saatyt.l.saaty等人20世紀在七十年代提出了一種能有效處理這類問題的實用方法。 層次分析法（analytic hierarchy process, ahp)analytic hierarchy process, ahp)這是一種定性和定量相結合的、系統(tǒng)化的、層次化的分析方法。過去研究自然和社會現(xiàn)象主要有機理分析法和統(tǒng)計分析法機理分析法和統(tǒng)計分析法兩種方法，前者用經(jīng)典的數(shù)學經(jīng)典的數(shù)學

3、工具分析現(xiàn)象的因果關系，后者以隨機數(shù)學隨機數(shù)學為工具，通過大量的觀察數(shù)據(jù)尋求統(tǒng)計規(guī)律。近年發(fā)展的系統(tǒng)分析是又一種方法，而層次分析法層次分析法是系統(tǒng)分析的數(shù)學工具之一。層次分析法的基本思路：與人們對某一復雜決策問題的思維、判斷過程大體一致。選擇鋼筆質量、顏色、價格、外形、實用鋼筆1、鋼筆2、鋼筆3、鋼筆4質量、顏色、價格、外形、實用進行排序將各個鋼筆的質量、顏色、價格、外形、實用進行排序經(jīng)綜合分析決定買哪支鋼筆買鋼筆質量顏色價格外形實用可供選擇的筆1 1 建立層次結構模型建立層次結構模型 一般分為三層，最上面為目標層目標層，最下面為方案層方案層，中間是準則層或指標層準則層或指標層。例1 的層次結

4、構模型 準則層 方案層目標層選擇旅游地景色費用居住飲食旅途蘇州、杭州、桂林例2 層次結構模型層次結構模型 準則層a 方案層b目標層z若上層的每個因素都支配著下一層的所有因素，或被下一層所有因素影響，稱為完全層次結構，否則稱為不完全層次結構。設某層有個因素，n nxxxx,21 ijaijjiijaa1 nnnnnnnnijaaaaaaaaaaa212222111211an2 2 構造成對比較矩陣構造成對比較矩陣要比較它們對上一層某一準則（或目標）的影響程度，確定在該層中相對于某一準則所占的比重。（即把個因素對上層某一目標的影響程度排序）用 表示第個因素相對于第個因素的比較結果，則則稱為成對比較

5、矩陣成對比較矩陣。上述比較是兩兩因素之間進行的比較，比較時取1919尺度。尺度。尺度第 個因素與第 個因素的影響相同ij第 個因素比第 個因素的影響稍強 第 個因素比第 個因素的影響強 第 個因素比第 個因素的影響明強第 個因素比第 個因素的影響絕對地強 iiiijjjj含義比較尺度：（1919尺度尺度的含義）2,4,6,8表示第個因素相對于第個因素的影響介于上述兩個相鄰等級之間。不難定義以上各尺度倒數(shù)的含義，根據(jù)。jijiijaa1由上述定義知，成對比較矩陣 nnijaa 0 1ijajiijaa1 2則稱為正互反陣正互反陣。比如，例2的旅游問題中，第二層a a的各因素對目標層z z的影響兩

6、兩比較結果如下：滿足一下性質11/2433217551/41/711/21/31/31/52111/31/53111 3iia54321,aaaaa分別表示景色、費用、居住、飲食、旅途。由上表，可得成對比較矩陣 1135131112513131211714155712334211a旅游問題的成對比較矩陣共有6個（一個5階，5個3階）。問題：問題：兩兩進行比較后，怎樣才能知道，下層各因素對上層某因素的影響程度的排序結果呢？3 層次單排序及一致性檢驗層次單排序及一致性檢驗nnwww,21層次單排序：層次單排序：確定下層各因素對上層某因素影響程度的過程。確定下層各因素對上層某因素影響程度的過程。用權

7、值表示影響程度，先從一個簡單的例子看如何確定權值。例如 一塊石頭重量記為1，打碎分成 各小塊，各塊的重量分別記為：則可得成對比較矩陣 11121212121wwwwwwwwwwwwannnn由右面矩陣可以看出，jkkijiwwwwww 即，nji, 2 , 1,1321231321234, 2, 7aaaaaa aijkjikaaa ijkjikaaa anjiaaaiijiij,2, 1, 1,1 .1也是一致陣ta . 2 1 . 3aranka的各行成比例，則但在例2的成對比較矩陣中，在正互反矩陣 中，若 ,則稱 為一致陣。一致陣的性質：。特征根均等于個其余的最大特征根（值）為0 1,

8、. 4n-n aa5. 的任一列(行)都是對應于特征根 的特征向量。n作業(yè)作業(yè)若成對比較矩陣是一致陣，則我們自然會取對應于最大特征根 的歸一化特征向量 ，且定理定理： 階互反陣 的最大特征根 ，當且僅 當 時， 為一致陣。annwww,2111 niiwiwinnn a表示下層第 個因素對上層某因素影響程度的權值。若成對比較矩陣不是一致陣，saatysaaty等人建議用其最大特征根對應的歸一化特征向量作為權向量 ，則wwwanwww,21w（為什么？）這樣確定權向量的方法稱為特征根法特征根法. .1nnci由于 連續(xù)的依賴于 ，則 比 大的越多， 的不一致性越嚴重。用最大特征值對應的特征向量作

9、為被比較因素對上層某因素影響程度的權向量，其不一致程度越大，引起的判斷誤差越大。因而可以用 數(shù)值的大小來衡量 nijanaa的不一致程度。定義一致性指標一致性指標其中 為 的對角線元素之和，也為 的特征根之和。anari50021,aaa50021,cicici15005005002150021nnciciciri則可得一致性指標 定義隨機一致性指標隨機一致性指標隨機構造500個成對比較矩陣隨機一致性指標 ri 的數(shù)值：1 .0ricicraa一致性檢驗一致性檢驗：利用一致性指標和一致性比率0.1及隨機一致性指標的數(shù)值表，對 進行檢驗的過程。 一般，當一致性比率 的不一致程度在容許范圍之內，可

10、用其歸一化特征向量作為權向量，否則要重新構造成對比較矩陣，對 加以調整。時，認為a4 4 層次總排序及其一致性檢驗層次總排序及其一致性檢驗 確定某層所有因素對于總目標相對重要性的排序權值過程，確定某層所有因素對于總目標相對重要性的排序權值過程，稱為層次總排序層次總排序 從最高層到最低層逐層進行。設： z1a2ama1b2bnb,21maaama個因素層對總目標z的排序為maaa,21jaanb中因素為個因素對上層層的層次單排序為), 2 , 1( ,21mjbbbnjjj即 層第 個因素對總目標的權值為：bnmmnnnmmmmbabababbabababbababab2211222221121

11、1221111:bimjijjba1層的層次總排序為：maaa,21maaa,21nbbb2112111nbbb22212nbbbnmmmbbb21ab111bbamjjj212bbamjjjnmjnjjbba1層次總排序的一致性檢驗層次總排序的一致性檢驗設 層 對上層( 層)中因素 的層次單排序一致性指標為 ，隨機一致性指為 ，則層次總排序的一致性比率為：bnbbb,21a), 2 , 1(mjajjcijrimmmmriariariaciaciaciacr221122111 . 0cr當 時，認為層次總排序通過一致性檢驗。到此，根據(jù)最下層（決策層）的層次總排序做出最后決策。1.1.建立層次

12、結構模型建立層次結構模型 該結構圖包括目標層，準則層，方案層。層次分析法的基本步驟基本步驟歸納如下3.計算單排序權向量并做一致性檢驗計算單排序權向量并做一致性檢驗2.構造成對比較矩陣構造成對比較矩陣從第二層開始用成對比較矩陣和19尺度。對每個成對比較矩陣計算最大特征值及其對應的特征向量，利用一致性指標、隨機一致性指標和一致性比率做一致性檢驗。若檢驗通過，特征向量（歸一化后）即為權向量；若不通過，需要重新構造成對比較矩陣。計算最下層對最上層總排序的權向量。4.4.計算總排序權向量并做一致性檢驗計算總排序權向量并做一致性檢驗1 . 0crcr進行檢驗。若通過，則可按照總排序權向量表示的結果進行決策

13、，否則需要重新考慮模型或重新構造那些一致性比率 較大的成對比較矩陣。mmmmriariariaciaciaciacr22112211利用總排序一致性比率z1a2a3a4a5a1b2b3b54321,aaaaa321,bbb 旅游問題旅游問題 (1)建模分別分別表示景色、費用、居住、飲食、旅途。分別表示蘇杭、北戴河、桂林。 （2）構造成對比較矩陣1135131112513131211714155712334211a1215121215211b1383113813112b131313113113b114111314314b144411141115b(3)計算層次單排序的權向量和一致性檢驗a073.

14、 5110. 0 ,099. 0 ,055. 0 ,475. 0 ,263. 0018. 0155073. 5ci12. 1ri1 . 0016. 012. 1018. 0cra成對比較矩陣 的最大特征值表明 通過了一致性驗證。故則該特征值對應的歸一化特征向量 對成對比較矩陣 可以求層次總排序的權向量并進行一致性檢驗，結果如下： 54321,bbbbbk1k2k3kkkcikri12345595. 0082. 0429. 0633. 0166. 0277. 0236. 0429. 0193. 0166. 0129. 0682. 0142. 0175. 0668. 0005. 3002. 330

15、09. 33003. 0001. 000005. 058. 058. 058. 058. 058. 0計算 可知 通過一致性檢驗。kcr54321,bbbbb對總目標的權值為：1b3 . 0110. 0166. 0099. 0633. 0055. 0429. 0475. 0082. 0263. 0595. 032,bb,456. 0 ,246. 0456. 0 ,246. 0 , 3 . 01 . 0015. 058. 0/)0110. 0005. 0099. 00055. 0001. 0475. 0003. 0263. 0(cr（4）計算層次總排序權值和一致性檢驗又決策層對總目標的權向量為：

16、同理得， 對總目標的權值分別為：故，層次總排序通過一致性檢驗。可作為最后的決策依據(jù)。456. 0 ,246. 0 , 3 . 0213bbb321,bbb故最后的決策應為去桂林桂林。又 分別表示蘇杭、北戴河、桂林，即各方案的權重排序為四四 層次分析法的優(yōu)點和局限性層次分析法的優(yōu)點和局限性1 系統(tǒng)性 層次分析法把研究對象作為一個系統(tǒng)，按照分解、比較判斷、綜合的思維方式進行決策 ，成為繼機理分析、統(tǒng)計分析之后發(fā)展起來的系統(tǒng)分析的重要工具。 2 實用性 層次分析法把定性和定量方法結合起來，能處理許多用傳統(tǒng)的最優(yōu)化技術無法著手的實際問題，應用范圍很廣，同時，這種方法使得決策者與決策分析者能夠相互溝通，

17、決策者甚至可以直接應用它，這就增加了決策的有效性。3 簡潔性 具有中等文化程度的人即可以了解層次分析法的基本原理并掌握該法的基本步驟，計算也非常簡便，并且所得結果簡單明確，容易被決策者了解和掌握。以上三點體現(xiàn)了層次分析法的優(yōu)點，該法的局限性主要表現(xiàn)在以下幾個方面：第一第一 只能從原有的方案中優(yōu)選一個出來，沒有辦法得出更好的新方案。第二第二 該法中的比較、判斷以及結果的計算過程都是粗糙 的，不適用于精度較高的問題。第三第三 從建立層次結構模型到給出成對比較矩陣，人主觀 因素對整個過程的影響很大，這就使得結果難以讓 所有的決策者接受。當然采取專家群體判斷的辦法 是克服這個缺點的一種途徑。思考：多名

18、專家的綜合決策問題思考：多名專家的綜合決策問題五五 正互反陣最大特征值和特征向量實用算法正互反陣最大特征值和特征向量實用算法用定義計算矩陣的特征值和特征向量相當困難，特別是階數(shù)較高時；成對比較矩陣是通過定性比較得到的比較粗糙的結果，對它的精確計算是沒有必要的。尋找簡便的近似方法。定理定理對于正矩陣 a （a的所有元素為正）1） a 的最大特征根為正單根 ；2） 對應正特征向量 w（w的所有分量為正）；3）weaeeaktkklim其中t, ,)(111 ew是對應 的歸一化特征向量。1 冪法冪法 步驟如下a) 任取 n 維歸一化初始向量)(0wb) 計算,)()(2101kkkaww)(1kwc) 歸一化，即令nikikkw1111)()()(/wwd) 對于預先給定的精度 ，當下式成立時n,iwwkiki,21 )()1()(1kw即為所求的特征向量；否則返回b；e) 計算最大特征值nikikiwwn111)()(這是求特征根對應特征向量的迭代方法迭代方法，其收斂性由定理的3）保證。2 和法和法 步驟如下a) 將a的每一列向量歸一化得b) 對c) 歸一化niijijijaaw1/ijw按行求和得njijiww1tnwww),(