例析數(shù)學思想在初中數(shù)學解題中的作用7

1、例析數(shù)學思想在初中數(shù)學解題中的作用高芳民（甘肅省寧縣新莊初級中學745203）【提要】：數(shù)學思想和方法是解決數(shù)學問題的金鑰匙，它不但能提高學生解決數(shù)學問題的能力，而且能培養(yǎng)學生的數(shù)學思維和素養(yǎng)。從而優(yōu)化解題過程，降低解題難度，加快解題速度起到事倍功半的作用?！娟P鍵詞】：數(shù)學思想初中數(shù)學解題作用一、數(shù)形結合的思想數(shù)形結合的思想是指將數(shù)與形結合起來進行分析、研究、解決問題的一種數(shù)學思想方法。在解決反比例函數(shù)有關問題中，有時起到事倍功半的效果。例 1 已知反比例函數(shù)的圖象，如圖示，試寫出其關系式？分析：通過觀察圖象可以看出反比例函數(shù)圖象只在第三象限,且經過 A 點，只要把A 點坐標代入 yky即能求

2、出其關系式。x解：設反比例函數(shù)關系式為 yk0 ）由圖象知：A（ kx-2x當 x2 時 y4 代入 yk8O得 kx .-4.所以反比例函數(shù)的關系式為8又因圖象在第三象限，則自變量x0 。yx點評：本題由函數(shù)圖象 （形），知點的坐標 ( 數(shù) ), 進而求得函數(shù)解析式，達到數(shù)與形的有機結合使抽象的數(shù)學直觀化，形象化。有助于理解題意，探究思路，檢測解題效果。二、函數(shù)與方程的思想函數(shù)是方程的引申，方程是函數(shù)的特例。因此利用函數(shù)與方程之間的對立統(tǒng)一關系，能進一步提高分析問題和解決問題的能力，對于三角函數(shù)中的某些問題，運用函數(shù)與方程的思想求解，常可使問題化難為易，得到巧妙的解法。例 2、圖示在RtAB

3、C 中 D 是 BC 上一點， BD=aB30oADC45oA求 AC 的長？分析：通過觀察分析要求AC 的長，必解RtACD 和 RtABC解 :設 AC=xADC45oACCDX BCCDBxDC在 RtADC 中BDa在 RtABC 中B30o tan BACtan 30oxx31aBCx a2點評： 本題利用三角函數(shù)雙解直角三角形，設未知數(shù)列方程求得所求線段的長，從而使函數(shù)與方程有機的結合，達到解決問題的目的。三、分類討論的思想分類討論的思想是按一定標準將所學對象分成若干個問題，從而獲解的思想，它有三個原則即 “不越級、不重復、 不遺漏”在解含絕對值的一元二次方程中運用分類討論可將絕對

4、值方程轉化為一般方程再求解。例 3： 解方程 x2x20分析：要解這個方程， 先利用絕對值的意義， 對未知數(shù)進行分類討論去掉絕對值化為一般方程求解。解： x 0 時，原方程可化為x2x20 解得 x2 或 x=-1( 舍去 )x<0 時，原方程可化為x2x20 解得 x2或 x 1（舍去）綜上所述，原方程的解為x2或 x2點評：本題充分運用了實數(shù)絕對值的意義進行分類討論將含絕對值的方程轉化為一元二次方程，再求解。四、整體的思想整體的思想是從問題的整體結構出發(fā)實施整體變形， 整體運算的思想， 要特別注意這種思想的靈活應用，它可以使許多常規(guī)解法較復雜的問題得到易簡合理的解決。例 4、解方程(

5、x22x)22( x22x) 30分析：將(x22x)可看做整體，從而利用因式分解將方程化為( x22 x 1)(x22x3)0 進而轉化為兩個一元二次方程再求解。解：原方程可化為：( x22 x1)(x22x3)0x22x 1 0 或 x22 x 3 0解這兩個方程得原方程的解為：x11x21x33點評；本題充分運用整體的數(shù)學思想， 利用因式分解的方法將方程轉化為兩個一元二次方程達到降次，進而求得方程的解，化繁為簡，收到事半功倍的作用。五、轉化與化歸的思想轉化與化歸的思想是指將待求問題轉化為已知問題的一種數(shù)學思想，化一般為特殊， 化未知為已知，在解一元高次方程時常用轉化化歸來求解。例 5、解

6、方程 x43x240解：設 x2y 則 x4y2 原方程可化為： y23 y 40 解這個方程得， y4 或 y1當 y4 時 x24x2當 y1時x21 這個方程無實數(shù)解。原方程的解為： x2 x221點評：本題利用換元的數(shù)學方法將高次方程轉化化歸為一元二次方程求得原方程的解。六、建模的思想數(shù)學建模就是用數(shù)學方法解決實際問題，是用數(shù)學語言和方法通過抽象、簡化建立能近似刻畫并“解決”實際問題的一種強有力數(shù)學手段。例 6：某商店將進貨8 元的商品按每件10 元出售，每天可以銷售200 件，現(xiàn)采用提高售價減少進貨量的方法增加利潤。已知這種商品每漲0.5 元，銷售量就減少10 件。問：每件商品應提高

7、多少元每天才能獲得最大利潤？解：設每件商品提高x 元，每天獲得利潤y 元。由題意可得 :y=(x+2)(200 20x)= 20（ x 4）2+72故當 x=4 時， y 最大即每件商品提高4 元時才能獲得最大利潤。點評：本題據(jù)實際問題將其進行二次函數(shù)建模，利用二次函數(shù)求最值的方法求得實際問題有最大值時，每件商品提高的價格。七、隱含條件的思想隱含的思想就是沒有明文表達出來， 但是根據(jù)已有的明文表述可以推斷出來的條件，者是沒有明文表示，但是該條件是常規(guī)，是真理，是數(shù)學事實。或例 7：已知|x-1|=1-x求 x 的取值范圍錯解：由題意可知：x-1<1所以 x<1分析：錯解忽視了0 的絕對值也可是它的相反數(shù)0，即 0 的絕對值也為它的相反數(shù)0正解：由實數(shù)的絕對值意義可知;X-10所以X1點評 :本題充分挖掘概念和性質的隱含條件，達到解題的目的。從而培養(yǎng)了學生批判的數(shù)學思想?？傊瑪?shù)學思想是數(shù)學知識的神經中樞，又是知識轉化為