例析數(shù)學(xué)思想在初中數(shù)學(xué)解題中的作用7

1、例析數(shù)學(xué)思想在初中數(shù)學(xué)解題中的作用高芳民（甘肅省寧縣新莊初級中學(xué)745203）【提要】：數(shù)學(xué)思想和方法是解決數(shù)學(xué)問題的金鑰匙，它不但能提高學(xué)生解決數(shù)學(xué)問題的能力，而且能培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維和素養(yǎng)。從而優(yōu)化解題過程，降低解題難度，加快解題速度起到事倍功半的作用?！娟P(guān)鍵詞】：數(shù)學(xué)思想初中數(shù)學(xué)解題作用一、數(shù)形結(jié)合的思想數(shù)形結(jié)合的思想是指將數(shù)與形結(jié)合起來進(jìn)行分析、研究、解決問題的一種數(shù)學(xué)思想方法。在解決反比例函數(shù)有關(guān)問題中，有時起到事倍功半的效果。例 1 已知反比例函數(shù)的圖象，如圖示，試寫出其關(guān)系式？分析：通過觀察圖象可以看出反比例函數(shù)圖象只在第三象限,且經(jīng)過 A 點，只要把A 點坐標(biāo)代入 yky即能求

2、出其關(guān)系式。x解：設(shè)反比例函數(shù)關(guān)系式為 yk0 ）由圖象知：A（ kx-2x當(dāng) x2 時 y4 代入 yk8O得 kx .-4.所以反比例函數(shù)的關(guān)系式為8又因圖象在第三象限，則自變量x0 。yx點評：本題由函數(shù)圖象 （形），知點的坐標(biāo) ( 數(shù) ), 進(jìn)而求得函數(shù)解析式，達(dá)到數(shù)與形的有機(jī)結(jié)合使抽象的數(shù)學(xué)直觀化，形象化。有助于理解題意，探究思路，檢測解題效果。二、函數(shù)與方程的思想函數(shù)是方程的引申，方程是函數(shù)的特例。因此利用函數(shù)與方程之間的對立統(tǒng)一關(guān)系，能進(jìn)一步提高分析問題和解決問題的能力，對于三角函數(shù)中的某些問題，運(yùn)用函數(shù)與方程的思想求解，常可使問題化難為易，得到巧妙的解法。例 2、圖示在RtAB

3、C 中 D 是 BC 上一點， BD=aB30oADC45oA求 AC 的長？分析：通過觀察分析要求AC 的長，必解RtACD 和 RtABC解 :設(shè) AC=xADC45oACCDX BCCDBxDC在 RtADC 中BDa在 RtABC 中B30o tan BACtan 30oxx31aBCx a2點評： 本題利用三角函數(shù)雙解直角三角形，設(shè)未知數(shù)列方程求得所求線段的長，從而使函數(shù)與方程有機(jī)的結(jié)合，達(dá)到解決問題的目的。三、分類討論的思想分類討論的思想是按一定標(biāo)準(zhǔn)將所學(xué)對象分成若干個問題，從而獲解的思想，它有三個原則即 “不越級、不重復(fù)、 不遺漏”在解含絕對值的一元二次方程中運(yùn)用分類討論可將絕對

4、值方程轉(zhuǎn)化為一般方程再求解。例 3： 解方程 x2x20分析：要解這個方程， 先利用絕對值的意義， 對未知數(shù)進(jìn)行分類討論去掉絕對值化為一般方程求解。解： x 0 時，原方程可化為x2x20 解得 x2 或 x=-1( 舍去 )x<0 時，原方程可化為x2x20 解得 x2或 x 1（舍去）綜上所述，原方程的解為x2或 x2點評：本題充分運(yùn)用了實數(shù)絕對值的意義進(jìn)行分類討論將含絕對值的方程轉(zhuǎn)化為一元二次方程，再求解。四、整體的思想整體的思想是從問題的整體結(jié)構(gòu)出發(fā)實施整體變形， 整體運(yùn)算的思想， 要特別注意這種思想的靈活應(yīng)用，它可以使許多常規(guī)解法較復(fù)雜的問題得到易簡合理的解決。例 4、解方程(

5、x22x)22( x22x) 30分析：將(x22x)可看做整體，從而利用因式分解將方程化為( x22 x 1)(x22x3)0 進(jìn)而轉(zhuǎn)化為兩個一元二次方程再求解。解：原方程可化為：( x22 x1)(x22x3)0x22x 1 0 或 x22 x 3 0解這兩個方程得原方程的解為：x11x21x33點評；本題充分運(yùn)用整體的數(shù)學(xué)思想， 利用因式分解的方法將方程轉(zhuǎn)化為兩個一元二次方程達(dá)到降次，進(jìn)而求得方程的解，化繁為簡，收到事半功倍的作用。五、轉(zhuǎn)化與化歸的思想轉(zhuǎn)化與化歸的思想是指將待求問題轉(zhuǎn)化為已知問題的一種數(shù)學(xué)思想，化一般為特殊， 化未知為已知，在解一元高次方程時常用轉(zhuǎn)化化歸來求解。例 5、解

6、方程 x43x240解：設(shè) x2y 則 x4y2 原方程可化為： y23 y 40 解這個方程得， y4 或 y1當(dāng) y4 時 x24x2當(dāng) y1時x21 這個方程無實數(shù)解。原方程的解為： x2 x221點評：本題利用換元的數(shù)學(xué)方法將高次方程轉(zhuǎn)化化歸為一元二次方程求得原方程的解。六、建模的思想數(shù)學(xué)建模就是用數(shù)學(xué)方法解決實際問題，是用數(shù)學(xué)語言和方法通過抽象、簡化建立能近似刻畫并“解決”實際問題的一種強(qiáng)有力數(shù)學(xué)手段。例 6：某商店將進(jìn)貨8 元的商品按每件10 元出售，每天可以銷售200 件，現(xiàn)采用提高售價減少進(jìn)貨量的方法增加利潤。已知這種商品每漲0.5 元，銷售量就減少10 件。問：每件商品應(yīng)提高

7、多少元每天才能獲得最大利潤？解：設(shè)每件商品提高x 元，每天獲得利潤y 元。由題意可得 :y=(x+2)(200 20x)= 20（ x 4）2+72故當(dāng) x=4 時， y 最大即每件商品提高4 元時才能獲得最大利潤。點評：本題據(jù)實際問題將其進(jìn)行二次函數(shù)建模，利用二次函數(shù)求最值的方法求得實際問題有最大值時，每件商品提高的價格。七、隱含條件的思想隱含的思想就是沒有明文表達(dá)出來， 但是根據(jù)已有的明文表述可以推斷出來的條件，者是沒有明文表示，但是該條件是常規(guī)，是真理，是數(shù)學(xué)事實?；蚶?7：已知|x-1|=1-x求 x 的取值范圍錯解：由題意可知：x-1<1所以 x<1分析：錯解忽視了0 的絕對值也可是它的相反數(shù)0，即 0 的絕對值也為它的相反數(shù)0正解：由實數(shù)的絕對值意義可知;X-10所以X1點評 :本題充分挖掘概念和性質(zhì)的隱含條件，達(dá)到解題的目的。從而培養(yǎng)了學(xué)生批判的數(shù)學(xué)思想。總之，數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)知識的神經(jīng)中樞，又是知識轉(zhuǎn)化為