定積分基本計算公式-定積分的計算公式

1、一一 定積分計算的基本公式定積分計算的基本公式 xadxxf)(考察定積分考察定積分 xadttf)(記記( )( ).xaxf t dt 積分上限函數積分上限函數4. 定積分的計算定積分的計算1語言資格考試PPTabxyoxx 證證dttfxxxxa )()()()(xxx dttfdttfxaxxa )()()(x x2語言資格考試PPT dttfdttfdttfxaxxxxa )()()(,)( xxxdttf由積分中值定理得由積分中值定理得( ),fx xx , 0),( fx )(limlim00 fxxx ).()(xfx abxyoxx )( x x.xxx 在在 與與之之間間3

2、語言資格考試PPT補充補充 ( )( )( )( )f b x b xf a x a x 證證: dttfxFxaxb)()(0)()(0 dttfxb )(0)(,)()(0dttfxa )()()()()(xaxafxbxbfxF ()()( )( )b xa xdFxf t dtdx 4語言資格考試PPT例例1 1 求求.lim21cos02xdtextx 解解 1cos2xtdtedxd,cos12 xtdtedxd)(cos2cos xex,sin2cos xex 21cos02limxdtextx xexxx2sinlim2cos0 .21e 00分析：分析：這是這是 型不定式，應

3、用洛必達法則型不定式，應用洛必達法則.5語言資格考試PPT證證 xdtttfdxd0)(),(xxf xdttfdxd0)(),(xf 2000)()()()()()( xxxdttfdtttfxfdttfxxfxF6語言資格考試PPT ,)()()()()(200 xxdttfdttftxxfxF)0(, 0)( xxf, 0)(0 xdttf, 0)()( tftx, 0)()(0 xdttftx).0(0)( xxF7語言資格考試PPT證證, 1)(2)(0 dttfxxFx, 0)(2)( xfxF, 1)( xf, 01)0( F 10)(1)1(dttfF 10)(1dttf, 0

4、 令令8語言資格考試PPT基本公式基本公式CxxF )()(,bax 證證9語言資格考試PPT令令ax ,)()(CaaF 0)()( dttfaaa,)(CaF ),()()(aFxFdttfxa ,)()(CdttfxFxa 令令 bx).()()(aFbFdxxfba 10語言資格考試PPT)()()(aFbFdxxfba 基本公式表明基本公式表明 baFx 注意注意求定積分問題轉化為求原函數的問題求定積分問題轉化為求原函數的問題.牛頓牛頓萊布尼茨公式萊布尼茨公式牛頓萊布尼茨公式溝通了微分學與積分學牛頓萊布尼茨公式溝通了微分學與積分學之間的關系之間的關系11語言資格考試PPT例例4 4

5、求求 .)1sincos2(20 dxxx原式原式202sincosxxx .23 例例5 5 設設 , 求求 . 215102)(xxxxf 20)(dxxf解解解解 102120)()()(dxxfdxxfdxxf 102152dxxdx原式原式. 6 xyo1212語言資格考試PPT例例6 6 求求 .,max222 dxxx解解由圖形可知由圖形可知,max)(2xxxf ,21100222 xxxxxx 21210022dxxxdxdxx原式原式.211 xyo2xy xy 122 13語言資格考試PPT例例7 7 求求 解解.112dxx dxx 12112ln|x . 2ln2ln

6、1ln 解解 面積面積xyo 0sin xdxA0cos x . 2 14語言資格考試PPT二二 定積分的換元公式定積分的換元公式定理定理15語言資格考試PPT證證),()()(aFbFdxxfba ( )( ),tFt 令令dtdxdxdFt )()()(txf ),()(ttf ),()()()( dtttf16語言資格考試PPT)()( )()( FF ),()(aFbF ( )( )( )baf xdxF bF a )()( .)()(dtttf 17語言資格考試PPT應用換元公式時應注意應用換元公式時應注意:（1）（2）18語言資格考試PPT例例9 9 計算計算.sincos205

7、xdxx解解令令,cosxt 2 x, 0 t0 x, 1 t 205sincosxdxx 015dtt1066t .61 ,sin xdxdt 19語言資格考試PPT例例10 10 計算計算解解 aadxxax022)0(.1令令,sintax ax ,2 t0 x, 0 t,costdtadx 原式原式 2022)sin1(sincosdttatata 20cossincosdtttt 20cossinsincos121dttttt 20cossinln21221 tt.4 20語言資格考試PPT證證,)()()(00 aaaadxxfdxxfdxxf例例1111 當當)(xf在在,aa

8、上連續(xù)，且有上連續(xù)，且有 )(xf為偶函數，則為偶函數，則 aaadxxfdxxf0)(2)(； )(xf為奇函數，則為奇函數，則 aadxxf0)(. 21語言資格考試PPT 0)(adxxf 0)(adttf,)(0 adttf),()(tftf aaaadxxfdxxfdxxf00)()()(;)(20 adttf),()(tftf aaaadxxfdxxfdxxf00)()()(. 0 22語言資格考試PPT奇函數奇函數例例12 12 計算計算解解.11cos21122 dxxxxx原式原式 1122112dxxx 11211cosdxxxx偶函數偶函數 1022114dxxx 102

9、22)1(1)11(4dxxxx 102)11(4dxx 102144dxx.4 單位圓的面積單位圓的面積23語言資格考試PPT證證tx ,dtdx 0 x, t x, 0 t 0)(sindxxxf 0)sin()(dttft,)(sin)(0 dttft24語言資格考試PPT 0)(sindttf 0)(sindtttf 0)(sindxxf,)(sin0 dxxxf.)(sin2)(sin00 dxxfdxxxf 02cos1sindxxxx 02cos1sin2dxxx 02)(coscos112xdx 0)arctan(cos2x.42 )44(2 0)(sindxxxf25語言資格

10、考試PPT三、定積分的分部積分法三、定積分的分部積分法定積分的分部積分公式定積分的分部積分公式證證 ,vuvuuv (),bbaauv dxuv ,bbbaaauvu vdxuv dx.bbbaaaudvuvvdu26語言資格考試PPT例例1414 計算計算.arcsin210 xdx解解令令,arcsin xu ,dxdv ,12xdxdu ,xv 210arcsin xdx 210arcsin xx 21021xxdx621 )1(112120221xdx 12 21021x . 12312 則則27語言資格考試PPT例例1515 計算計算解解.2cos140 xxdx,cos22cos1

11、2xx 402cos1xxdx 402cos2xxdx xdxtan240 401tan2xx xdxtan2140 401lnsec82x .42ln8 28語言資格考試PPT例例1616 計算計算解解.)2()1ln(102 dxxx 102)2()1ln(dxxx 1021)1ln(xdx102)1ln( xx 10)1ln(21xdx32ln dxxx 101121xx 2111 10)2ln()1ln(32lnxx . 3ln2ln35 29語言資格考試PPT解解例例1717 設設 求求 21,sin)(xdtttxf.)(10 dxxxf 10)(dxxxf 102)()(21xd

12、xf 102)(21xfx 102)(21xdfx)1(21f 102)(21dxxfx30語言資格考試PPT 21,sin)(xdtttxf,sin22sin)(222xxxxxxf 10)(dxxxf)1(21f 102)(21dxxfx 102sin221dxxx 1022sin21dxx 102cos21x ).11(cos21 , 0sin)1(11 dtttf31語言資格考試PPT例例1818 證明定積分公式證明定積分公式 2200cossinxdxxdxInnn nnnnnnnnnn,3254231,22143231 為正偶數為正偶數為大于為大于1的正奇數的正奇數證證 設設,si

13、n1xun ,sin xdxdv ,cossin)1(2xdxxndun ,cos xv 32語言資格考試PPT dxxxnxxInnn 2202201cossin)1(cossinx2sin1 0dxxndxxnInnn 22002sin)1(sin)1( nnInIn)1()1(2 21 nnInnI積分積分 關于下標的遞推公式關于下標的遞推公式nI4223 nnInnI,直到下標減到直到下標減到0或或1為止為止33語言資格考試PPT,214365223221202ImmmmIm ,3254761222122112ImmmmIm ), 2 , 1( m,2200 dxI, 1sin201 xdxI,221436522322122 mmmmIm.325476122212212 mmmmIm于是于是34語言資格考試PPT四、雜例四、雜例例例19 19 計算極限計算極限111lim12nnnnn11111111212111nnnnnnnnn解解： 1( ),0 1.1f xx 令令它它在在， 連連續(xù)續(xù) 0