一次函數(shù)與幾何圖形綜合專題經(jīng)典實用

1、一次函數(shù)與幾何圖形綜合專題思想方法小結(jié) ： （1）函數(shù)方法函數(shù)方法就是用運動、變化的觀點來分析題中的數(shù)量關(guān)系，抽象、升華為函數(shù)的模型，進(jìn)而解決有關(guān)問題的方法函數(shù)的實質(zhì)是研究兩個變量之間的對應(yīng)關(guān)系，靈活運用函數(shù)方法可以解決許多數(shù)學(xué)問題（2）數(shù)形結(jié)合法數(shù)形結(jié)合法是指將數(shù)與形結(jié)合，分析、研究、解決問題的一種思想方法，數(shù)形結(jié)合法在解決與函數(shù)有關(guān)的問題時，能起到事半功倍的作用知識規(guī)律小結(jié) ：（1）常數(shù)k，b對直線y=kx+b(k0）位置的影響當(dāng)b0時，直線與y軸的正半軸相交；當(dāng)b=0時，直線經(jīng)過原點；當(dāng)b0時，直線與y軸的負(fù)半軸相交當(dāng)k，b異號時，即-0時，直線與x軸正半軸相交；當(dāng)b=0時，即-=0時，

2、直線經(jīng)過原點；當(dāng)k，b同號時，即-0時，直線與x軸負(fù)半軸相交當(dāng)ko，bo時，圖象經(jīng)過第一、二、三象限；當(dāng)k0，b=0時，圖象經(jīng)過第一、三象限；當(dāng)bo，bo時，圖象經(jīng)過第一、三、四象限；當(dāng)ko，b0時，圖象經(jīng)過第一、二、四象限；當(dāng)ko，b=0時，圖象經(jīng)過第二、四象限；當(dāng)bo，bo時，圖象經(jīng)過第二、三、四象限（2）直線y=kx+b（k0）與直線y=kx(k0)的位置關(guān)系直線y=kx+b(k0)平行于直線y=kx(k0)當(dāng)b0時，把直線y=kx向上平移b個單位，可得直線y=kx+b；當(dāng)bo時，把直線y=kx向下平移|b|個單位，可得直線y=kx+b（3）直線b1=k1x+b1與直線y2=k2x+b2

3、（k10 ，k20）的位置關(guān)系k1k2y1與y2相交；y1與y2相交于y軸上同一點（0，b1）或（0，b2）；y1與y2平行；y1與y2重合.例題精講：1、直線y=-2x+2與x軸、y軸交于a、b兩點，c在y軸的負(fù)半軸上，且oc=ob(1) 求ac的解析式；xyobacpq(2) 在oa的延長線上任取一點p,作pqbp,交直線ac于q,試探究bp與pq的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論。(3) 在（2）的前提下，作pmac于m,bp交ac于n,下面兩個結(jié)論：(mq+ac)/pm的值不變；(mq-ac)/pm的值不變，期中只有一個正確結(jié)論，請選擇并加以證明。xyobacpqm2如圖所示，直線l：與軸負(fù)半

4、軸、軸正半軸分別交于a、b兩點。(1)當(dāng)oa=ob時，試確定直線l的解析式；第2題圖第2題圖(2)在(1)的條件下，如圖所示，設(shè)q為ab延長線上一點，作直線oq，過a、b兩點分別作amoq于m，bnoq于n，若am=4，bn=3，求mn的長。 (3)當(dāng)取不同的值時，點b在軸正半軸上運動，分別以ob、ab為邊，點b為直角頂點在第一、二象限內(nèi)作等腰直角obf和等腰直角abe，連ef交軸于p點，如圖。第2題圖問：當(dāng)點b在 y軸正半軸上運動時，試猜想pb的長是否為定值，若是，請求出其值，若不是，說明理由?？键c：一次函數(shù)綜合題；直角三角形全等的判定專題：代數(shù)幾何綜合題分析：（1）是求直線解析式的運用，會

5、把點的坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為線段的長度；（2）由oa=ob得到啟發(fā)，證明amoonb，用對應(yīng)線段相等求長度；（3）通過兩次全等，尋找相等線段，并進(jìn)行轉(zhuǎn)化，求pb的長解答：解：（1）直線l：y=mx+5m，a（-5，0），b（0，5m），由oa=ob得5m=5，m=1，直線解析式為：y=x+5（2）在amo和obn中oa=ob，oam=bon，amo=bno，amoonbam=on=4，bn=om=3（3）如圖，作eky軸于k點先證abobek，oa=bk，ek=ob再證pbfpke，pk=pbpb=bk=oa=點評：本題重點考查了直角坐標(biāo)系里的全等關(guān)系，充分運用坐標(biāo)系里的垂直關(guān)系證明全等，本題也涉及一次函

6、數(shù)圖象的實際應(yīng)用問題3、如圖，直線與x軸、y軸分別交于a、b兩點，直線與直線關(guān)于x軸對稱，已知直線的解析式為，（1）求直線的解析式；（3分）（2）過a點在abc的外部作一條直線，過點b作be于e,過點c作cf于f分別，請畫出圖形并求證：becfef （3）abc沿y軸向下平移，ab邊交x軸于點p，過p點的直線與ac邊的延長線相交于點q，與y軸相交與點m，且bpcq，在abc平移的過程中，om為定值；mc為定值。在這兩個結(jié)論中，有且只有一個是正確的，請找出正確的結(jié)論，并求出其值。（6分）考點：軸對稱的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)分析：（1）根據(jù)題意先求直線l1與x軸、y軸的交點a、b的坐標(biāo)，再根

7、據(jù)軸對稱的性質(zhì)求直線l2的上點c的坐標(biāo)，用待定系數(shù)法求直線l2的解析式；（2）根據(jù)題意結(jié)合軸對稱的性質(zhì)，先證明beaafc，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，結(jié)合圖形證明be+cf=ef；（3）首先過q點作qhy軸于h，證明qchpbo，然后根據(jù)全等三角形的性質(zhì)和qhmpom，從而得hm=om，根據(jù)線段的和差進(jìn)行計算om的值解答：解：（1）直線l1與x軸、y軸分別交于a、b兩點，a（-3，0），b（0，3），直線l2與直線l1關(guān)于x軸對稱，c（0，-3）直線l2的解析式為：y=-x-3；（2）如圖1答：be+cf=ef直線l2與直線l1關(guān)于x軸對稱，ab=bc，eba=fac，bel3，cfl3bea=

8、afc=90°beaafcbe=af，ea=fc，be+cf=af+ea=ef；（3）對，om=3過q點作qhy軸于h，直線l2與直線l1關(guān)于x軸對稱pob=qhc=90°，bp=cq，又ab=ac，abo=acb=hcq，則qchpbo（aas），qh=po=ob=chqhmpomhm=omom=bc-（ob+cm）=bc-（ch+cm）=bc-omom=bc=3點評：軸對稱的性質(zhì)：對應(yīng)點的連線與對稱軸的位置關(guān)系是互相垂直，對應(yīng)點所連的線段被對稱軸垂直平分，對稱軸上的任何一點到兩個對應(yīng)點之間的距離相等，對應(yīng)的角、線段都相等4.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，a(a，0)，b(0

9、，b)，且a、b滿足.(1)求直線ab的解析式；(2)若點m為直線y=mx上一點，且abm是以ab為底的等腰直角三角形，求m值；(3)過a點的直線交y軸于負(fù)半軸于p，n點的橫坐標(biāo)為-1，過n點的直線交ap于點m，試證明的值為定值考點：一次函數(shù)綜合題；二次根式的性質(zhì)與化簡；一次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征；待定系數(shù)法求正比例函數(shù)解析式；全等三角形的判定與性質(zhì)；等腰直角三角形專題：計算題分析：（1）求出a、b的值得到a、b的坐標(biāo)，設(shè)直線ab的解析式是y=kx+b，代入得到方程組，求出即可；（2）當(dāng)bmba，且bm=ba時，過m作mny軸于n，證bmnabo（aas），求出m的坐標(biāo)即可；當(dāng)amba，且am

10、=ba時，過m作mnx軸于n，同法求出m的坐標(biāo)；當(dāng)ambm，且am=bm時，過m作mnx軸于n，mhy軸于h，證bhmamn，求出m的坐標(biāo)即可（3）設(shè)nm與x軸的交點為h，分別過m、h作x軸的垂線垂足為g，hd交mp于d點，求出h、g的坐標(biāo)，證amgadh，amgadhdpcnpc，推出pn=pd=ad=am代入即可求出答案解答：解：（1）要使b=有意義，必須（a-2）2=0，=0，a=2，b=4，a（2，0），b（0，4），設(shè)直線ab的解析式是y=kx+b，代入得：0=2k+b，4=b，解得：k=-2，b=4，函數(shù)解析式為：y=-2x+4，答：直線ab的解析式是y=-2x+4（2）如圖2，分

11、三種情況：如圖（1）當(dāng)bmba，且bm=ba時，過m作mny軸于n，bmnabo（aas），mn=ob=4，bn=oa=2，on=2+4=6，m的坐標(biāo)為（4，6 ），代入y=mx得：m=，如圖（2）當(dāng)amba，且am=ba時，過m作mnx軸于n，boaanm（aas），同理求出m的坐標(biāo)為（6，2），m=，當(dāng)ambm，且am=bm時，過m作mnx軸于n，mhy軸于h，則bhmamn，mn=mh，設(shè)m（x，x）代入y=mx得：x=mx，（2）m=1，答：m的值是或或1（3）解：如圖3，結(jié)論2是正確的且定值為2，設(shè)nm與x軸的交點為h，分別過m、h作x軸的垂線垂足為g，hd交mp于d點，由

12、y=x-與x軸交于h點，h（1，0），由y=x-與y=kx-2k交于m點，m（3，k），而a（2，0），a為hg的中點，amgadh（asa），又因為n點的橫坐標(biāo)為-1，且在y=x-上，可得n 的縱坐標(biāo)為-k，同理p的縱坐標(biāo)為-2k，nd平行于x軸且n、d的橫坐標(biāo)分別為-1、1n與d關(guān)于y軸對稱，amgadhdpcnpc，pn=pd=ad=am，=2點評：本題主要考查對一次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，等腰直角三角形性質(zhì)，用待定系數(shù)法求正比例函數(shù)的解析式，全等三角形的性質(zhì)和判定，二次根式的性質(zhì)等知識點的理解和掌握，綜合運用這些性質(zhì)進(jìn)行推理和計算是解此題的關(guān)鍵5.如圖，直線ab：y=-x-b

13、分別與x、y軸交于a（6，0）、b兩點，過點b的直線交x軸負(fù)半軸于c，且ob：oc=3：1。（1）求直線bc的解析式：（2）直線ef：y=kx-k（k0）交ab于e，交bc于點f，交x軸于d，是否存在這樣的直線ef，使得sebd=sfbd？若存在，求出k的值；若不存在，說明理由？（3）如圖，p為a點右側(cè)x軸上的一動點，以p為直角頂點，bp為腰在第一象限內(nèi)作等腰直角bpq，連接qa并延長交軸于點k，當(dāng)p點運動時，k點的位置是否發(fā)現(xiàn)變化？若不變，請求出它的坐標(biāo)；如果變化，請說明理由?？键c：一次函數(shù)綜合題；一次函數(shù)的定義；正比例函數(shù)的圖象；待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式專題：計算題分析：代入點的坐標(biāo)求出

14、解析式y(tǒng)=3x+6，利用坐標(biāo)相等求出k的值，用三角形全等的相等關(guān)系求出點的坐標(biāo)解答：解：（1）由已知：0=-6-b，b=-6，ab：y=-x+6b（0，6）ob=6ob：oc=3：1，oc=2，c（-2，0）設(shè)bc的解析式是y=ax+c，代入得；6=0a+c, 0=-2a+c，解得：a=3, c=6，bc：y=3x+6直線bc的解析式是：y=3x+6；（2）過e、f分別作emx軸，fnx軸，則emd=fnd=90°sebd=sfbd，de=df又ndf=edm，nfdedm，fn=me聯(lián)立y=kx-k, y=-x+6得ye=，聯(lián)立y=kx-k，y=3x+6得yf=fn=-yf，me=

15、ye，=k0，5（k-3）=-9（k+1），k=；（3）不變化k（0，-6）過q作qhx軸于h，bpq是等腰直角三角形，bpq=90°，pb=pq，boa=qha=90°，bpo=pqh，bophpq，ph=bo，op=qh，ph+po=bo+qh，即oa+ah=bo+qh，又oa=ob，ah=qh，ahq是等腰直角三角形，qah=45°，oak=45°，aok為等腰直角三角形，ok=oa=6，k（0，-6）點評：此題是一個綜合運用的題，關(guān)鍵是正確求解析式和靈活運用解析式去解6. 如圖，直線ab交x軸負(fù)半軸于b（m，0），交y軸負(fù)半軸于a（0，m），oc

16、ab于c（-2，-2）。（1） 求m的值；（2） 直線ad交oc于d，交x軸于e，過b作bfad于f,若od=oe，求的值；（3） 如圖，p為x軸上b點左側(cè)任一點，以ap為邊作等腰直角apm，其中pa=pm，直線mb交y軸于q，當(dāng)p在x軸上運動時，線段oq長是否發(fā)生變化？若不變，求其值；若變化，說明理由。7.在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y=ax+b的圖像過點b（1，），與x軸交于點a（4,0），與y軸交于點c，與直線y=kx交于點p，且po=pa（1）求a+b的值；（2）求k的值；（3）d為pc上一點，dfx軸于點f，交op于點e，若de=2ef，求d點坐標(biāo).考點：一次函數(shù)與二元一次方程（組）

17、專題：計算題；數(shù)形結(jié)合；待定系數(shù)法分析：（1）根據(jù)題意知，一次函數(shù)y=ax+b的圖象過點b（-1， ）和點a（4，0），把a、b代入求值即可；（2）設(shè)p（x，y），根據(jù)po=pa，列出方程，并與y=kx組成方程組，解方程組；（3）設(shè)點d（x，- x+2），因為點e在直線y= x上，所以e（x，x），f（x，0），再根據(jù)等量關(guān)系de=2ef列方程求解解答：解：（1）根據(jù)題意得：=-a+b0=4a+b解方程組得：a=， b=2a+b=-+2=，即a+b=；（2）設(shè)p（x，y），則點p即在一次函數(shù)y=ax+b上，又在直線y=kx上，由（1）得：一次函數(shù)y=ax+b的解析式是y=-x+2，又po=pa

18、，x2+y2=(4-x)2+y2y=kxy= x+2，解方程組得：x=2，y=1，k=，k的值是；（3）設(shè)點d（x，-x+2），則e（x，x），f（x，0），de=2ef，-x+2-x=2×x，解得：x=1，則-x+2=-×1+2=，d（1，）點評：本題要求利用圖象求解各問題，要認(rèn)真體會點的坐標(biāo)，一次函數(shù)與一元一次方程組之間的內(nèi)在聯(lián)系8. 在直角坐標(biāo)系中，b、a分別在x，y軸上，b的坐標(biāo)為（3，0），abo=30°，ac平分oab交x軸于c；（1） 求c的坐標(biāo)；解：aob=90° abo=30° oab=30° 又 ac是oab的角平

19、分線 oac=cab=30° ob=3 oa= oc=1 即 c(1，0)（2） 若d為ab中點，edf=60°，證明：ce+cf=oc證明：取cb中點h，連cd,dh ao= co=1 ac=2 又d,h分別是ab,cd中點 dh= ab=2 db=ab= bc=2 abc=30° bc=2 cd=2 cdb=60° cd=1=dh eof=edc+cdf=60 ° cdb=cdf+fdh=60° edc=fdh ac=bc=2 cdab adc=90° cba=30°ecd=60°hd=hb=1dhf

20、=60°在dce和 dhf中edc=fdhdce=dhfdc=dhdce dhf(aas)ce=hfch=cf+fh=cf+ce=1 oc=1ch=oc oc=ce+cf（3） 若d為ab上一點，以d作dec，使dc=de，edc=120°，連be，試問ebc的度數(shù)是否發(fā)生變化；若不變，請求值。解：不變 ebc=60° 設(shè)db與ce交與點g dc=de edc=120° dec=dce=30° 在dgc和 dcb中 cdg=bdc dcg=dbc=30dgc dcb= dc=de=在edg和bde中 = edg=bdeedg bdedeg=db

21、e=30°ebd=dbe+dbc=60°9、如圖，直線ab交x軸正半軸于點a（a，0），交y 軸正半軸于點b（0， b），且a 、b滿足 + |4b|=0 （1）求a、b兩點的坐標(biāo)； （2）d為oa的中點，連接bd，過點o作oebd于f，交ab于e，求證bdo=eda；abodefyxabompqxy（3）如圖，p為x軸上a點右側(cè)任意一點，以bp為邊作等腰rtpbm，其中pb=pm，直線ma交y 軸于點q，當(dāng)點p在x軸上運動時，線段oq的長是否發(fā)生變化？若不變，求其值；若變化，求線段oq的取值范圍.考點：全等三角形的判定與性質(zhì)；非負(fù)數(shù)的性質(zhì)：絕對值；非負(fù)數(shù)的性質(zhì)：算術(shù)平方根

22、專題：證明題；探究型分析：首先根據(jù)已知條件和非負(fù)數(shù)的性質(zhì)得到關(guān)于a、b的方程，解方程組即可求出a，b的值，也就能寫出a，b的坐標(biāo)；作出aob的平分線，通過證bogoae得到其對應(yīng)角相等解決問題；過m作x軸的垂線，通過證明pbompn得出mn=an，轉(zhuǎn)化到等腰直角三角形中去就很好解決了解答：解：+|4-b|=0a=4，b=4，a（4，0），b（0，4）；（2）作aob的角平分線，交bd于g，bog=oae=45°，ob=oa，obg=aoe=90°-bof，bogoae，og=aegod=a=45°，od=ad，godedagdo=ade（3）過m作mnx軸，垂足為

23、nbpm=90°，bpo+mpn=90°aob=mnp=90°，bpo=pmn，pbo=mpnbp=mp，pbompn，mn=op，pn=ao=bo，op=oa+ap=pn+ap=an，mn=an，man=45°bao=45°，bao+oaq=90°baq是等腰直角三角形ob=oq=4無論p點怎么動oq的長不變點評：（1）考查的是根式和絕對值的性質(zhì)（2）考查的是全等三角形的判定和性質(zhì)（3）本題靈活考查的是全等三角形的判定與性質(zhì)，還有特殊三角形的性質(zhì)10、如圖，平面直角坐標(biāo)系中，點a、b分別在x、y軸上，點b的坐標(biāo)為(0，1)，bao=

24、30°（1）求ab的長度；（2）以ab為一邊作等邊abe，作oa的垂直平分線mn交ab的垂線ad于點d求證：bd=oe （3）在（2）的條件下，連結(jié)de交ab于f求證：f為de的中點考點：全等三角形的判定與性質(zhì)；線段垂直平分線的性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì)；含30度角的直角三角形專題：計算題；證明題分析：（1）直接運用直角三角形30°角的性質(zhì)即可（2）連接od，易證ado為等邊三角形，再證abdaeo即可（3）作ehab于h，先證aboaeh，得ao=eh，再證afdefh即可解答：（1）解：在rtabo中，bao=30°，ab=2bo=2；（2）證明：連接od，abe

25、為等邊三角形，ab=ae，eab=60°，bao=30°，作oa的垂直平分線mn交ab的垂線ad于點d，dao=60°eao=nab又do=da，ado為等邊三角形da=ao在abd與aeo中，ab=ae，eao=nab，da=aoabdaeobd=oe（3）證明：作ehab于hae=be，ah=ab，bo=ab，ah=bo，在rtaeh與rtbao中，ah=bo ，ae=abrtaehrtbao，eh=ao=ad又ehf=daf=90°，在hfe與afd中，ehf=daf，efh=dfa，eh=adhfeafd，ef=dff為de的中點點評：本題主要考

26、查全等三角形與等邊三角形的巧妙結(jié)合，來證明角相等和線段相等11.如圖，直線y=x+1分別與坐標(biāo)軸交于a、b兩點，在y軸的負(fù)半軸上截取oc=ob.（1） 求直線ac的解析式；解： 直線y=x+1分別與坐標(biāo)軸交于a、b兩點 可得點a坐標(biāo)為（-3，0），點b坐標(biāo)為（0，1） oc=ob 可得點c坐標(biāo)為（0，-1） 設(shè)直線ac的解析式為y=kx+b將a（-3，0），c（0，-1）代入解析式 -3k+b=0且b=-1可得k=-，b=-1 直線ac的解析式為y=x-1（2） 在x軸上取一點d（-1，0），過點d做ab的垂線，垂足為e，交ac于點f，交y軸于點g，求f點的坐標(biāo)；解： geab 設(shè)直線ge的解

27、析式為將點d坐標(biāo)（-1，0）代入，得 直線ge的解析式為y=-3x-3 聯(lián)立y=x-1與y=-3x-3，可求出， 將其代入方程可得y=， f點的坐標(biāo)為（，）（3） 過點b作ac的平行線bm，過點o作直線y=kx（k0），分別交直線ac、bm于點h、i，試求的值。解：過點o作ac的平行線on交ab于點n bm/acob=ocoi=oho為ih的中點 bm/ac oi=oh nb=na n為ab中點 on是四邊形abih的中位線 ah+bi=2on n是ab的中點，aob是直角三角形 ab=2on（直接三角形斜邊的中線等于斜邊的一半） ah+bi=ab =112.如圖，直線ab：y=-x-b分別與

28、x、y軸交于a（6，0）、b兩點，過點b的直線交x軸負(fù)半軸于c，且ob：oc=3：1.（1） 求直線bc的解析式；解：（1）因為直線ab：y=-xb過點a（6，0）.帶入解析式 就可以得到 b=-6即直線ab：y=-x+6 b為直線ab與y軸的交點點 b （0，6）ob：oc=3：1oc=2 點 c（-2，0）已知直線上的兩點 b、c。設(shè)直線的解析式為y=kx+m帶入b、c的坐標(biāo)?？梢运愠鰇=3 ,m=6所以bc的解析式為：y=3x+6（2） 直線ef：y=kx-k（k0）交ab于e，交bc于點f，交x軸于d，是否存在這樣的直線ef，使得sebd=sfbd？若存在，求出k的值；若不存在，說明理

29、由？(2) 假設(shè) 存在滿足題中條件的k值因為直線ef: y=kx-k（k0）交x軸于點d。 所以d點坐標(biāo)為（1,0）在圖中標(biāo)出點d,且過點d做一直線，相交與直線ab,bc分別與點e,f然后觀察ebd和fbd則 sebd= de×h sfbd=df×h兩個三角形的高其實是一樣的要使這兩個三角形面積相等，只要滿足de=df就可以了點e在直線ab上，設(shè)點e的坐標(biāo)為（p，-p+6）點f在直線bc上，設(shè)點f的坐標(biāo)為（q，3q+6）而上面我們已經(jīng)得到點d的坐標(biāo)為（1,0）點e、f又關(guān)于點d對稱，所以我們就可以得到兩個等式，即：（p+q)/2=1(-p+6+3q+6)/2=0這樣就可以求得：p=，q=-點e的坐標(biāo)即為（，），點f的坐標(biāo)即為（-，-）把點e代入直線ef 的解析式，得到k=所以存在k，且k=（3） 如圖，p為a點右側(cè)x軸上的一動點，以p為直角頂點，bp為腰在第一象限內(nèi)作等腰直角bpq，連接qa并延長交y軸于點k，當(dāng)p點運動時，k點的位置是否發(fā)生變化？若不變，請求出它的坐標(biāo)；如果變化，請說明理由。(3) k點的位置不發(fā)生變化理由