2020高中數(shù)學(xué)直線和圓的位置關(guān)系導(dǎo)學(xué)案北師大版必修2通用

1、第10課時直線和圓的位置關(guān)系1.理解直線與圓的位置關(guān)系的種類.2.利用平面直角坐標(biāo)系中點(diǎn)到直線的距離公式求圓心到直線的距離.3.會用方程思想(判別式法)或點(diǎn)到直線的距離來判斷直線與圓的位置關(guān)系.一艘船在沿直線返回港口的途中,接到臺風(fēng)預(yù)報:臺風(fēng)中心位于船正西70千米處,受影響的范圍是半徑為30千米的圓形區(qū)域.已知港口位于臺風(fēng)中心正北40千米處,如果這艘船不改變航線,那么它是否會受到臺風(fēng)影響?這個問題可歸結(jié)為直線和圓是否有公共點(diǎn)的問題,也是我們這節(jié)課研究的對象.問題1:直線與圓的位置關(guān)系有三種:相交、相切、相離 . 判斷直線與圓的位置關(guān)系有兩種方法:(1)代數(shù)法:聯(lián)立直線方程與圓的方程消

2、去x或y整理成一元二次方程后,計(jì)算判別式,當(dāng)判別式<0時,直線和圓相離;當(dāng)判別式=0時,直線和圓相切 ;當(dāng)判別式>0時,直線和圓相交. (2)幾何法:利用圓心到直線的距離d和圓半徑r的大小關(guān)系:d<r相交,d=r相切,d>r相離. 問題2:過一定點(diǎn)是否都存在圓的切線?如果存在,如何求圓的切線方程? (1)若點(diǎn)在圓內(nèi),此時直線和圓相交,不存在圓的切線.(2)若點(diǎn)在圓上,則過該點(diǎn)的切線只有一條,切線方程求法如下: 直接法,先求該點(diǎn)與圓心的連線的直線的斜率,再利用垂直關(guān)系求出切線斜率,最后用點(diǎn)斜式求出切線方程.設(shè)元法,先設(shè)出切線方程(注意斜率不存

3、在時的討論),再利用圓心到切線的距離等于半徑,求出所設(shè)參數(shù).公式法,設(shè)a(x0,y0)是圓(x-a)2+(y-b)2=r2上的一點(diǎn),則過點(diǎn)a的切線方程為:(x-a)(x0-a)+(y-b)·(y0-b)=r2,特別地,當(dāng)圓心在原點(diǎn)時,即:a(x0,y0)是圓x2+y2=r2上一點(diǎn),則過點(diǎn)a的切線方程為:x0x+y0y=r2. (3)若點(diǎn)在圓外,則過該點(diǎn)的切線有兩條,切線方程求法如下: 首先分析斜率不存在是否滿足條件,再分析斜率存在時:設(shè)斜率為k,寫出切線方程,利用圓心到切線的距離等于半徑求出斜率,從而求出切線方程.問題3:計(jì)算直線被圓截得的弦長的常用方法(1)幾何

4、法:運(yùn)用弦心距(即圓心到直線的距離)、弦長的一半及半徑構(gòu)成直角三角形計(jì)算.(2)代數(shù)法:運(yùn)用韋達(dá)定理及兩點(diǎn)距離公式有|ab|= 1+k2·|xa-xb|=(1+k2)(xa+xb)2-4xaxb. 問題4:用直線與圓的知識解決實(shí)際問題的步驟(1)仔細(xì)審題,理解題意;(2)引入數(shù)學(xué)符號,建立數(shù)學(xué)模型; (3)用直線與圓的知識解決已建立的數(shù)學(xué)模型;(4)用結(jié)果解釋實(shí)際問題. 1.直線3x+4y=5與圓x2+y2=16的位置關(guān)系是( ).a.相交b.相切c.相離d.相切或相交2.自點(diǎn)a(-1,4)作圓(x-2)2+(y-3)2=1的切線,則切線長為(

5、).a. 5b.3c.10d.53.若直線y=kx+2與圓(x-2)2+(y-3)2=1有兩個不同的交點(diǎn),則k的取值范圍是. 4.過原點(diǎn)作圓x2+y2-2x-2y+1=0的切線,求切線方程. 圓的切線方程已知圓的方程是x2+y2=r2,求經(jīng)過圓上一點(diǎn)m(x0,y0)的切線方程.求圓的弦長求直線x-3y+23=0被圓x2+y2=4截得的弦長.利用圓的方程求最值已知實(shí)數(shù)x,y滿足(x-2)2+y2=4,求3x2+4y2的最值.求過點(diǎn)p(4,5)的圓(x-2)2+y2=4的切線方程.已知圓c:x2+y2-8y+12=0,直線l:ax+y+2a=0.當(dāng)直線l與圓c相交于a,b兩點(diǎn),且ab=2

6、2時,求直線l的方程.已知點(diǎn)p(x,y)在圓x2+(y-1)2=1上運(yùn)動,則y-1x-2的最大值為;最小值為. 1.直線y=x+1與圓x2+y2=1的位置關(guān)系是().a.相切b.相交但直線不過圓心c.直線過圓心d.相離2.圓c:x2+y2-4x=0在點(diǎn)p(1,3)處的切線方程為().a.x+3y-2=0b.x+3y-4=0c.x-3y+4=0d.x-3y+2=03.直線3x-y+m=0與圓x2+y2-2x-2=0相切,則實(shí)數(shù)m等于. 4.已知圓x2+y2=8內(nèi)一點(diǎn)p(-1,2),過點(diǎn)p的直線l的傾斜角為135°,直線l交圓于a、b兩點(diǎn),求ab的長.(2020年&#

7、183;北京卷) 直線y=x被圓x2+(y-2)2=4截得的弦長為. 考題變式(我來改編):第10課時直線和圓的位置關(guān)系知識體系梳理問題1:相交相切相離(1)相離相切相交(2)相交相切相離問題2:(2)一條x0x+y0y=r2(3)兩條問題3:(2)1+k2·|xa-xb|=(1+k2)(xa+xb)2-4xaxb問題4:(2)數(shù)學(xué)符號數(shù)學(xué)模型(4)實(shí)際問題基礎(chǔ)學(xué)習(xí)交流1.ad=|3×0+4×0-5|32+42=1<4,直線與圓的位置關(guān)系是相交.2.b因?yàn)檫^圓外一點(diǎn)作圓的切線,兩條切線長相等,故切線長為(-1-2)2+(4-3)2-1=3,或2-(

8、-1)=3.3.(0,43)依題意有|2k-1|k2+1<1,解得0<k<43,k的取值范圍是(0,43).4.解:已知圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-1)2+(y-1)2=1,所以圓與坐標(biāo)軸相切,所以切線方程為x=0或y=0.重點(diǎn)難點(diǎn)探究探究一: 【解析】(法一)當(dāng)點(diǎn)m不在坐標(biāo)軸上時,設(shè)切線的斜率為k,半徑om的斜率為k1,圓的切線垂直于過切點(diǎn)的半徑,k=-1k1.k1=y0x0,k=-x0y0.經(jīng)過點(diǎn)m的切線方程是 y-y0=-x0y0(x-x0),整理得x0x+y0y=x02+y02.又點(diǎn)m(x0,y0)在圓上,x02+y02=r2.所求的切線方程是 x0x+y0y=r2.當(dāng)點(diǎn)m在

9、坐標(biāo)軸上時,可以驗(yàn)證上面的方程同樣適用.(法二)設(shè)p(x,y)為所求切線上的任意一點(diǎn),當(dāng)p與m不重合時,opm為直角三角形,op為斜邊,op2=om2+mp2,即x2+y2=x02+y02+(x-x0)2+(y-y0)2,整理得x0x+y0y=r2.可以驗(yàn)證,當(dāng)p與m重合時同樣適合上式,故所求的切線方程是x0x+y0y=r2.(法三)設(shè)p(x,y)為所求切線上的任意一點(diǎn)(m與p不重合),當(dāng)點(diǎn)m不在坐標(biāo)軸上時,由ommp得kom· kmp=-1,即y0x0·y0-yx0-x=-1,整理得x0x+y0y=r2.可以驗(yàn)證,當(dāng)點(diǎn)m在坐標(biāo)軸上時,同樣適合上式;當(dāng)p與m重合時亦適合上式

10、.故所求的切線方程是x0x+y0y=r2.【小結(jié)】(1)求圓的切線方程一般有三種方法:設(shè)切線斜率,利用判別式,但過程冗長,計(jì)算復(fù)雜,易出錯,通常不采用此法,但該法卻是判斷直線和曲線相切的通法,以后會經(jīng)常用到;設(shè)切線斜率,利用圓心到直線的距離等于半徑;設(shè)切點(diǎn),利用過圓心和切點(diǎn)的直線與切線垂直.前兩種方法要驗(yàn)證斜率是否存在.(2)過圓外一點(diǎn)可作圓的兩條切線.探究二:【解析】(法一)直線x-3y+23=0和圓x2+y2=4的公共點(diǎn)坐標(biāo)就是方程組x-3y+23=0,x2+y2=4的解.根據(jù)x-3y+23=0得y=33x+2,代入x2+y2=4得43x2+433x=0,解得x1=-3,y1=1或x2=0

11、,y2=2.公共點(diǎn)坐標(biāo)為(-3,1)和(0,2),直線x-3y+23=0被圓x2+y2=4截得的弦長為(-3-0)2+(1-2)2=2.(法二)如圖,設(shè)直線x-3y+23=0與圓x2+y2=4交于a,b兩點(diǎn),弦ab的中點(diǎn)為m,則omab(o為坐標(biāo)原點(diǎn)),所以om=|0-0+23|12+(-3)2=3,所以ab=2am=2oa2-om2=222-(3)2=2.【小結(jié)】在本題的兩種方法中,前一種方法是代數(shù)法,后一種方法是幾何法.在處理與直線和圓相交形成的弦的有關(guān)問題時,我們經(jīng)常用到如下解法:(1)設(shè)弦的兩個端點(diǎn)坐標(biāo)分別為(x1,y1)、(x2,y2),代入圓的方程后尋求坐標(biāo)與弦的關(guān)系,然后加以求解

12、;(2)涉及圓的弦長問題時,為了簡化運(yùn)算,常利用垂徑定理或半弦長、弦心距及半徑構(gòu)成的直角三角形進(jìn)行運(yùn)算.探究三:【解析】 由(x-2)2+y2=4得y2=4x-x2,所以3x2+4y2=3x2+4(4x-x2)=-x2+16x=-(x-8)2+64,故3x2+4y2在x=8時有最大值64,沒有最小值.問題在圓的方程中變量x的取值范圍是r嗎?結(jié)論將x=8代入圓方程(x-2)2+y2=4,得y2=-32,矛盾,所以上述解法是錯誤的.因?yàn)閥2=4-(x-2)20,所以x的取值范圍不是r.于是,正確解答如下:由(x-2)2+y2=4得y2=4x-x20,得0x4,所以3x2+4y2=3x2+4(4x-

13、x2)=-x2+16x=-(x-8)2+64(0x4),所以當(dāng)x=y=0時,3x2+4y2取得最小值0;當(dāng)x=4,y=0時,3x2+4y2取得最大值48.【小結(jié)】確定圓的一般方程x2+y2+dx+ey+f=0中的變量的取值范圍的方法:先配方,再根據(jù)平方項(xiàng)非負(fù)來確定.圓的方程中變量的范圍一般是以隱含條件的形式出現(xiàn)在試題中,因此在解題時注意挖掘出這個隱含條件.思維拓展應(yīng)用應(yīng)用一:把點(diǎn)p(4,5)代入(x-2)2+y2=4,得(4-2)2+52=29>4,即點(diǎn)p在圓(x-2)2+y2=4外.設(shè)切線斜率為k,則切線方程為y-5=k(x-4),即kx-y+5-4k=0,又圓心坐標(biāo)為(2,0),r=

14、2,由圓心到切線的距離等于半徑,得|2k-0+5-4k|k2+1=2,解得k=2120.將k代入所設(shè)方程得此時切線方程為21x-20y+16=0.當(dāng)直線的斜率不存在時,還有一條切線是x=4.因此切線方程為x=4或21x-20y+16=0.應(yīng)用二:將圓c的方程x2+y2-8y+12=0配方后得到標(biāo)準(zhǔn)方程x2+(y-4)2=4,則此圓的圓心為c(0,4),半徑為2.(法一)過圓心c作cdab交ab于點(diǎn)d,則根據(jù)題意和圓的性質(zhì),得cd=|4+2a|a2+1,cd2+da2=ac2=22,da=12ab=2,即:(4+2a)2a2+1+2=4.解得a=-7或a=-1.即直線l的方程為7x-y+14=0

15、或x-y+2=0.(法二)聯(lián)立方程組ax+y+2a=0,x2+y2-8y+12=0,消去y,得(a2+1)x2+4(a2+2a)x+4(a2+4a+3)=0.=-16(4a+3)>0,即a<-34,設(shè)此方程的兩根分別為x1,x2,由韋達(dá)定理知x1+x2=-4(a2+2a)a2+1,x1x2=4(a2+4a+3)a2+1.由ab=22=(a2+1)(x1+x2)2-4x1x2,可求出a=-7或a=-1,所以直線l的方程是7x-y+14=0或x-y+2=0.應(yīng)用三:33-33因?yàn)?y-1x-2表示的幾何意義是圓上的動點(diǎn)與(2,1)連線的斜率,所以設(shè)y-1x-2=k,即kx-y+1-2k=0,當(dāng)直線與圓相切時,斜率k取最大值或最小值,此時|-1+1-2k|k2+1=1,解得k=±33.所以y-1x-2的最大值為33 ,最小值為-33 .基礎(chǔ)智能檢測1.b因?yàn)閳A心(0,0)到直線x-y+1=0的距離d=12<1,故直線與圓相交,又(0,0)不在直線上,所以直線不過圓心.2.d因?yàn)辄c(diǎn)p在圓c上,kpc=-3,所以切線的斜率為33,所以切線方程為y-3=33(x-1),即x-3y+2=0.3.-33或3由題設(shè)知圓心坐標(biāo)為(1,0),因?yàn)橹本€與圓相切,所以d=|3+m|2=r=3,解得m=3或-33.4.解:kab=-1,直線ab的方程為y-2=-(