對坐標曲面積分ppt課件

1、1第五節(jié)一、有向曲面及曲面元素的投影一、有向曲面及曲面元素的投影 二、二、 對坐標的曲面積分的概念與性質(zhì)對坐標的曲面積分的概念與性質(zhì) 三、對坐標的曲面積分的計算法三、對坐標的曲面積分的計算法四、兩類曲面積分的聯(lián)系四、兩類曲面積分的聯(lián)系機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 對坐標的曲面積分 第十章 2一、有向曲面及曲面元素的投影一、有向曲面及曲面元素的投影(一) 曲面分類雙側(cè)曲面單側(cè)曲面莫比烏斯帶莫比烏斯帶曲面分上側(cè)和下側(cè)曲面分內(nèi)側(cè)和外側(cè)曲面分左側(cè)和右側(cè)(單側(cè)曲面的典型) 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 3其方向用法向量指向表示. 法向量(cos)(cos)(cos ) 0 為前側(cè) 0 為右側(cè)

2、 0 為上側(cè) 0 為下側(cè)外側(cè)內(nèi)側(cè)側(cè)的規(guī)定指定了側(cè)的曲面叫有(定)向曲面, 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 (二)雙側(cè)曲面的定向注:對于非定向曲面在一點的法向量可以取兩個方向(它們從X-軸來看有前后之分;Y-軸來看有左右之分; Z-軸來看有上下之分;xFyFzF故曲面的向從X-軸來看有前后之分;Y-軸來看有左右之分; Z-軸來看有上下之分;故但對于定向曲面只能其中一個方向.對于一個向量1:有(定)向曲面定義方向相反)4 設 為有向曲面,)(yxSSyxS)(其面元在 xoy 面上的投影記為,0)(yxyxS)(的面積為則規(guī)定,)(yx,)(yx,0時當0cos時當0cos時當0cos類似可規(guī)

3、定zxyzSS)( ,)(機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2:有向曲面對坐標軸的投影注:由投影的定義有()cosxySdS()cosyzSdS類似的有()coszxSdS5二、二、 對坐標的曲面積分的概念與性質(zhì)對坐標的曲面積分的概念與性質(zhì) 1. 引例引例 設穩(wěn)定流動的不可壓縮流體的速度場為求單位時間流過有向曲面 的流量 . S分析分析: 若 是面積為S 的平面, 則流量單位法向量: 流速為常向量: ),(),(),(zyxRzyxQzyxPv )cos,cos,(cosnvcosvS nvSnv機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 6對一般的有向曲面 ,用“大化小, 常代變, 近似和, 取極

4、限” ni 10lim0limni 1iiiiPcos),(iiiiRcos),(0limni 1zyiiiiSP)(,(xziiiiSQ)(,(yxiiiiSR)(,(iiiiQcos),(iS對穩(wěn)定流動的不可壓縮流體的速度場),(),(),(zyxRzyxQzyxPv 進行分析可得iniviiiSnv)cos,cos,(cosiiiin設, 則 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 7設 為光滑的有向曲面, 在 上定義了一個意分割和在局部面元上任意取點,0limni 1zyiiiiSP)(,(xziiiiSQ)(,(分,yxRxzQzyPdddddd記作P, Q, R 叫做被積函數(shù)被積函數(shù);

5、 叫做積分曲面積分曲面.yxiiiiSR)(,(或第二類曲面積分.下列極限都存在向量場xdydzdPQR),(),(),(zyxRzyxQzyxPA 若對 的任 則稱此極限為向量場 A 在有向曲面上對坐標的曲面積2. 定義定義.機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 8zyPddxzQdd稱為Q 在有向曲面上對對 z, x 的曲面積分的曲面積分;yxRdd稱為R 在有向曲面上對對 x, y 的曲面積分的曲面積分.稱為P 在有向曲面上對對 y, z 的曲面積分的曲面積分;若記 正側(cè)正側(cè)的單位法向量為令)cos,cos,cos(n)dd,dd,d(dddyxxzzySnS) ),(, ),(, ),(

6、zyxRzyxQzyxPA 則對坐標的曲面積分也常寫成如下向量形式機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 yxRxzQzyPddddddSnAdSA d9zyPddxzQddyxRdd機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 注：（）由對坐標的曲面積分的定義可知道對坐標的曲面積分有其物理意義：yxRxzQzyPdddddd表示穩(wěn)定流動的不可壓縮流體的速度場為),(),(),(zyxRzyxQzyxPv 單位時間流過有向曲面 的流量表示方向平行x軸正向（即垂直YOZ面）流體單位時間流過有向曲面 的流量( , , )P x y z速度為表示方向平行z軸正向（即垂直XOY面）速度為( , , )R x y z

7、流體單位時間流過有向曲面 的流量表示方向平行y軸正向（即垂直XOZ面）速度為( , , )Q x y z流體單位時間流過有向曲面 的流量10機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 故計算yxRxzQzyPdddddd只需要分別計算zyPddxzQddyxRdd（）注意和對面積曲面積分定義的異同d dd dd dP yzQ zxR x yzyPddd dQ z xd dR x y(2)故113. 性質(zhì)性質(zhì)(1) 若,1kiiki 1之間無公共內(nèi)點, 則i且(2) 用 表示 的反向曲面, 則 SA dSASAddiSA d機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 ()若曲面垂直于坐標面XOY(YOZ或XOZ

8、）即投影為零則(d d0,d d0)P y zQ z xd d0R x y（）線性性12( , , )( , , )d dkR x y zlR x y zx y例12( , , )( , , )d dkR x y z dxdy lR x y zx y注：不滿足對稱性12三、對坐標的曲面積分的計算法三、對坐標的曲面積分的計算法定理定理: 設光滑曲面yxDyxyxzz),( , ),(:取上側(cè),),(zyxR是 上的連續(xù)函數(shù), 則yxzyxRdd),() ,(yxDyxR),(yxzyxdd證證:0limni 1yxiiiiSR)(,(yxiS )(yxi)( 取上側(cè),),(iiiz0limni

9、1) ,(iiR),(iizyxi)(yxx,yzyxRyxDdd)(,(yxzyxRdd),(機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 13 若,),( , ),(:zyDzyzyxx則有zyzyxPdd),(), (zy,PzyD),(zyxzydd 若,),( , ),(:xzDxzxzyy則有xzzyxQdd),() z, ,(xzDxQ),(xzyxzdd(前正后負)(右正左負)說明說明:如果積分曲面 取下側(cè), 則yxzyxRdd),() ,(yxDyxR),(yxzyxdd機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 14 計算,),( , ),(:zyDzyzyxx( ( , ), , )P x

10、 y zy z), (zy,PzyD( , )x y z(前正后負)綜上所述綜上所述:機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 yxRxzQzyPdddddd計算先分別計算zyPddxzQddyxRddzyPdd(1)將曲面投影到Y(jié)OZ面為曲線而非區(qū)域，此時d d0P y z），反映在方程上是根據(jù)曲面方程解出x,(2)將zyPdd轉(zhuǎn)化二重積分積分區(qū)域為,yzD被積函數(shù)為看定向曲面是前側(cè)還是后側(cè)決定二重積分的符號zyPdd（只能投影到Y(jié)OZ面，即使投影15 計算:( , ), ( , ),xzyy y zx zD( ( , ), , )P x y zy z( , ( , ), )xzDQ x y x

11、z z (右正左負)機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 d dQ z x(1)將曲面投影到XOZ面為曲線而非區(qū)域，此時d d0Q x z），反映在方程上是根據(jù)曲面方程解出y,(2)將d dQ x z轉(zhuǎn)化二重積分積分區(qū)域為,xzD被積函數(shù)為看定向曲面是右側(cè)還是左側(cè)決定二重積分的符號d dQ x z（只能投影到XOZ面，即使投影16 計算:( , ), ( , ),x yzz x yx yD( , ,)R x y z x y( , , ( , )x yDR x y z x y (上正下負)機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 d dR x y(1)將曲面投影到XOY面為曲線而非區(qū)域，此時d d0R

12、x y），反映在方程上是根據(jù)曲面方程解出z,(2)將d dR x y轉(zhuǎn)化二重積分積分區(qū)域為,xyD被積函數(shù)為看定向曲面是上側(cè)還是下側(cè)決定二重積分的符號d dR x z（只能投影到XOY面，即使投影17解解: 把 分為上下兩部分2211:yxz根據(jù)對稱性0ddyxxyz 思考思考: 下述解法是否正確:例例. 計算曲面積分,ddyxxyz其中 為球面2x外側(cè)在第一和第八卦限部分. ozyx112yxD0,01:),(22yxyxDyxyx2221:yxz122zy機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 分析：計算的是對x、y的曲面積分，則必須將曲面投影到XOY面。即解出z,得兩個z即需要將曲面分成兩塊

13、。18yxDyxyxyxdd 1222221cossin2rryxDrrrd1210315220d2sinozyx112yxDyxzyxdd2ddyxzyx1ddyxzyxyxDyxxydd )1(22yx yxDyxxydd 221yx ddrr機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 1922zxyIzdxdy 解解:機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例計算其中由錐面及1z 所圍成的邊界曲面的外側(cè)1:1,xyzx yD2Izdxdy 12()zdxdyzdxdyxyD221xy222:,xyzxyx yD1zdxdyxyDdxdy2zdxdy22xyDxy dxdy21200dr dr 23

14、 故3Izdxdy 20Ixzdydzxydzdxyzdxdy 解解:機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例計算其中是四面體邊界曲面的外側(cè)1y1xz112341:0,xyzx yD1234 2:0,yzxy zD3:0,xzyx zD4:1,xyxyzx yDxyDxy111xz11xzDz1yyzDIxzdydzxydzdxyzdxdy 故1234()xzdydzxydzdxyzdxdy21機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 1y1xz11234xyDxy111xz11xzDz1yyzDxzdydz 計算1234()xzdydz01100(1)zdzyz zdy124xydzdx 1234

15、()xydzdx000(1)DzxDxzx dzdxxxz dzdx11001(1)24xdxxxz dzyzdxdy 1234()yzdxdy000(1)DxyDxyy dxdyyxy dxdy11001(1)24ydyyxy dx故18I 0Dyzzdydz(1)Dyzyz zdydz022例例. 設S 是球面1222zyx的外側(cè) , 計算22ddcosSyzIxx解解: 利用輪換對稱性, 有Sxxzy2cosdd22d dcosSx yIzz 102221cos1drrrr102221cos1d4rr1tan4zzyx2cosdd,cosdd22Szzyx2222222222d dd d

16、1cos11cos1xyxyDDxyxyxyxyxyxy20d2機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 221:1,xyzxyx yD222:1,xyzxyx yD （朝上）（朝下）1222d dd dcoscosSx yx yIzzzz 221xy22222d d21cos1xyDxyxyxy23（二）投影面的轉(zhuǎn)換法計算對坐標的曲面積分yxDyxyxzz),( , ),(:若曲面是如下形式在計算時zyPddxzQddyxRdd是方便的。但計算則需要將曲面分別向另外坐標面投影。和我們將借助投影面的轉(zhuǎn)換法避免另外的投影。24投影面的轉(zhuǎn)換：()cosxydxdySdS ()cosyzdydzSdS (

17、)coszxdxdzSdS 已知(cos ,cos,cos )2222221,111xxxyxyxyzzzzzzzzcosdxdydSccososdxdyxz dxdy ccososdxdyyz dxdy 得由故：公式d dd dd dP yzQ zxR x y()d dxyRPzQzx y25類似地若:( , ), ( , )yzxx y zy zDd dd dd dP yzQ zxR x y()d dyzPPxRxy z:( , ), ( , )xzyy x zx zD若d dd dd dP yzQ zxR x y()d dxzQPyRyx z26例例. 計算曲面積分其中解解:2xzxxy

18、Doyxz2( 2 )x(2)xzd dzxy(2 )ddd d ,zxyzzxy旋轉(zhuǎn)拋物面22()zxy介于平面 z= 0 及 z = 2 之間部分的下側(cè). 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 22:(),xyzxyx yD(2 )ddd d ,zxyzzxy2222(2)( 2 )()xyDxxyxxydxdy 2222( 3)22()xyxyDDxydxdyx xydxdy 227四、兩類曲面積分的聯(lián)系四、兩類曲面積分的聯(lián)系ni 1zyiiiiSP)(,(xziiiiSQ)(,(yxRxzQzyPddddddyxiiiiSR)(,(0lim0limni 1iiiiPcos),(iiiiQ

19、cos),(iiiiRcos),(iSSRQPdcoscoscos曲面的方向用法向量的方向余弦刻畫機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 28令yxRxzQzyPddddddSRQPdcoscoscosSAnd向量形式),(RQPA )cos,cos,(cosn)dd,dd,d(dddyxxzzySnS SA dnAAnSnAd( A 在 n 上的投影)機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 29例例. 位于原點電量為 q 的點電荷產(chǎn)生的電場為解解:Srqd2SRqd2q4。q)(),(22233zyxrzyxrqrrqE求E 通過球面 : r = R 外側(cè)的電通量 .SE dSnEdSrrdrrq3

20、機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 30yxz111例例. 設,1:22yxz是其外法線與 z 軸正向夾成的銳角, 計算.dcos2SzI解解: SzIdcos2yxzdd2rrrd)1(d210202yxDyxyxdd)1(22n機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 31,),(Czyxf是平面1zyx在第四卦限部分的上側(cè) , 計算zyxzyxfIdd),(xzyzyxfdd),(2yxzzyxfdd),(解解:故轉(zhuǎn)化成第一類曲面積分例例 設SzyxId)(31Sd31yxxd3d01103121第六節(jié) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 對曲面任意一點, ,x y z法向量均為1, 1,13cos

21、33cos3 3cos33( , , )3If x y zx32 ( , , )3f x y zy3( , , )3f x y zzdS32內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)定義定義:Szyxfd),(iiiniiSf),(lim10yxRxzQzyPddddddzyiiiiniSP),(lim10yxiiiiSR),(1. 兩類曲面積分及其聯(lián)系兩類曲面積分及其聯(lián)系xziiiiSQ),( 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 33性質(zhì)性質(zhì):yxRxzQzyPddddddyxRxzQzyPdddddd聯(lián)系聯(lián)系:yxRxzQzyPddddddSRQPdcoscoscos思考思考:的方向有關,上述聯(lián)系公式是否矛盾 ?兩類曲線積分的定義一個與 的方向無關, 一個與 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 342. 常用計算公式及方法常用計算公式及方法面積分第一類 (對面積)第二類 (對坐標)二重積分(1) 統(tǒng)一積分變量代入曲面方程 (方程不同時分片積分)(2) 積分元素投影第一類： 面積投影第二類： 有向投影(4) 確定積分域把曲面積分域投影到相關坐標面 注注：二重積分是第一類曲面積分的特殊情況.轉(zhuǎn)化機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 35當yxDyxyxzz),( , ),(:時，yxzzyxzyxfSzyxfyxDyxdd1),