高考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)立體幾何

1、立體幾何1.（浙江理4）下列命題中錯(cuò)誤的是【答案】da如果平面，那么平面內(nèi)一定存在直線平行于平面b如果平面不垂直于平面，那么平面內(nèi)一定不存在直線垂直于平面c如果平面，平面，那么d如果平面，那么平面內(nèi)所有直線都垂直于平面2.（四川理3），是空間三條不同的直線，則下列命題正確的是【ba，b，c，共面 d，共點(diǎn)，共面【解析】a答案還有異面或者相交，c、d不一定3.（陜西理5）某幾何體的三視圖如圖所示，則它的體積是abcd4.（浙江理3）若某幾何體的三視圖如圖所示，則這個(gè)幾何體的直觀圖可以是d5.在一個(gè)幾何體的三視圖中，正視圖與俯視圖如右圖所示，則相應(yīng)的側(cè)視圖可以為d6.（廣東理7）如圖13，某幾何體

2、的正視圖（主視圖）是平行四邊形，側(cè)視圖（左視圖）和俯視圖都是矩形，則該幾何體的體積為ba b c d7.（遼寧理8）。如圖，四棱錐sabcd的底面為正方形，sd底面abcd，則下列結(jié)論中不正確的是d（a）acsb（b）ab平面scd（c）sa與平面sbd所成的角等于sc與平面sbd所成的角（d）ab與sc所成的角等于dc與sa所成的角二、填空題8.若圓錐的側(cè)面積為，底面積為，則該圓錐的體積為 。9.（福建理12）三棱錐p-abc中，pa底面abc，pa=3，底面abc是邊長為2的正三角形，則三棱錐p-abc的體積等于_ 。三、10.如圖，在四棱錐中，平面pad平面abcd，ab=ad，bad=

3、60°，e、f分別是ap、ad的中點(diǎn)求證：（1）直線ef平面pcd；（2）平面bef平面pad證明：（1）在pad中，因?yàn)閑、f分別為ap，ad的中點(diǎn)，所以ef/pd.又因?yàn)閑f平面pcd，pd平面pcd，所以直線ef/平面pcd.（2）連結(jié)db，因?yàn)閍b=ad，bad=60°，所以abd為正三角形，因?yàn)閒是ad的中點(diǎn)，所以bfad.因?yàn)槠矫鎝ad平面abcd，bf平面abcd，平面pad平面abcd=ad，所以bf平面pad。又因?yàn)閎f平面bef，所以平面bef平面pad.11.（安徽理17）如圖，為多面體，平面與平面垂直，點(diǎn)在線段上，oab，,，都是正三角形。（）證明直

4、線；（ii）求棱錐fobed的體積。（i）（綜合法）證明：設(shè)g是線段da與eb延長線的交點(diǎn). 由于oab與是正三角形，所以=，og=od=2，同理，設(shè)是線段da與線段fc延長線的交點(diǎn)，有又由于g和都在線段da的延長線上，所以g與重合.=在ged和gfd中，由=和oc，可知b和c分別是ge和gf的中點(diǎn)，所以bc是gef的中位線，故bcef.（向法）過點(diǎn)f作，交ad于點(diǎn)q，連qe，由平面abed平面adfc，知fq平面abed，以q為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸正向，為y軸正向，為z軸正向，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系.由條件知?jiǎng)t有所以即得bcef.（ii）解：由ob=1，oe=2，而oed是邊長為2的三角形，故

5、所以過點(diǎn)f作fqad，交ad于點(diǎn)q，由平面abed平面acfd知，fq就是棱錐fobed的高，且fq=，所以12.如圖，在四棱錐中，平面，底面是菱形，.()求證：平面（）若求與所成角的余弦值；（）當(dāng)平面與平面垂直時(shí)，求的長. 證明：（）因?yàn)樗倪呅蝍bcd是菱形，所以acbd.又因?yàn)閜a平面abcd.所以pabd.所以bd平面pac.（）設(shè)acbd=o.因?yàn)閎ad=60°，pa=pb=2,所以bo=1，ao=co=.如圖，以o為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系oxyz，則p（0，2），a（0，0），b（1，0，0），c（0，0）.所以設(shè)pb與ac所成角為，則.（）由（）知設(shè)p（0，t）（t

6、>0），則設(shè)平面pbc的法向量,則所以令則所以同理，平面pdc的法向量因?yàn)槠矫鎝cb平面pdc,所以=0，即解得13. 如圖5在椎體p-abcd中，abcd是邊長為1的棱形，且dab=60，,pb=2,e,f分別是bc,pc的中點(diǎn)（1） 證明：ad 平面def;（2） 求二面角p-ad-b的余弦值 法一：（1）證明：取ad中點(diǎn)g，連接pg，bg，bd。因pa=pd，有，在中，有為等邊三角形，因此，所以平面pbg又pb/ef，得，而de/gb得ad de，又，所以ad 平面def。（2），為二面角padb的平面角，在在法二：（1）取ad中點(diǎn)為g，因?yàn)橛譃榈冗吶切危虼?，從而平面pbg。延

7、長bg到o且使得po ob，又平面pbg，po ad，所以po 平面abcd。以o為坐標(biāo)原點(diǎn)，菱形的邊長為單位長度，直線ob，op分別為軸，z軸，平行于ad的直線為軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系。由于得平面def。（2）取平面abd的法向量設(shè)平面pad的法向量由取14. 如圖5，在圓錐中，已知=，o的直徑,是的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)（）證明：平面平面;（）求二面角的余弦值。解法1：連結(jié)oc，因?yàn)橛值酌鎜，ac底面o，所以，因?yàn)閛d，po是平面pod內(nèi)的兩條相交直線，所以平面pod，而平面pac，所以平面pod平面pac。（ii）在平面pod中，過o作于h，由（i）知，平面所以平面pac，又面pac，所

8、以在平面pao中，過o作于g， 連接hg，則有平面ogh，從而，故為二面角bpac的平面角。在在在在所以故二面角bpac的余弦值為解法2：（i）如圖所示，以o為坐標(biāo)原點(diǎn)，ob、oc、op所在直線分別為x軸、y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)是平面pod的一個(gè)法向量，則由，得所以設(shè)是平面pac的一個(gè)法向量，則由，得所以得。因?yàn)樗詮亩矫嫫矫鎝ac。（ii）因?yàn)閥軸平面pab，所以平面pab的一個(gè)法向量為由（i）知，平面pac的一個(gè)法向量為設(shè)向量的夾角為，則由圖可知，二面角bpac的平面角與相等，所以二面角bpac的余弦值為15.如圖，四邊形abcd為正方形，pd平面abcd，pdqa，qa=

9、ab=pd（i）證明：平面pqc平面dcq；（ii）求二面角qbpc的余弦值解：如圖，以d為坐標(biāo)原點(diǎn)，線段da的長為單位長，射線da為x軸的正半軸建立空間直角坐標(biāo)系dxyz. （i）依題意有q（1，1，0），c（0，0，1），p（0，2，0）.則所以即pqdq，pqdc.故pq平面dcq.又pq平面pqc，所以平面pqc平面dcq. （ii）依題意有b（1，0，1），設(shè)是平面pbc的法向量，則因此可取設(shè)m是平面pbq的法向量，則可取故qbpc的余弦值為 16.如圖，四棱錐中，底面abcd為平行四邊形，底面abcd（i）證明：；（ii）若pd=ad，求二面角a-pb-c的余弦值（）因?yàn)椋?由余弦

10、定理得從而bd2+ad2= ab2，故bdad又pd底面abcd，可得bdpd所以bd平面pad. 故 pabd（）如圖，以d為坐標(biāo)原點(diǎn)，ad的長為單位長，射線da為軸的正半軸建立空間直角坐標(biāo)系d-，則，設(shè)平面pab的法向量為n=（x，y，z），則 即 因此可取n=設(shè)平面pbc的法向量為m，則 可取m=（0，-1，） 故二面角a-pb-c的余弦值為 17.如圖，在中，是上的高，沿把折起，使。（）證明：平面  平面；（）設(shè)為的中點(diǎn)，求與夾角的余弦值。解（）折起前是邊上的高， 當(dāng) 折起后，ad，ad，又db，平面，ad 平面平面bdc平面abd平面bdc。（

11、）由 及（）知da，dc兩兩垂直，不防設(shè)=1，以d為坐標(biāo)原點(diǎn)，以所在直線軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，易得d（0,0,0），b（1,0,0），c（0,3,0），a（0,0，），e（，0），=，=（1，0,0,），與夾角的余弦值為，=18. 已知是底面邊長為1的正四棱柱，是和的交點(diǎn)。（1）設(shè)與底面所成的角的大小為，二面角的大小為。求證：；（2）若點(diǎn)到平面的距離為，求正四棱柱的高。解：設(shè)正四棱柱的高為。 連，底面于， 與底面所成的角為，即 ，為中點(diǎn)，又， 是二面角的平面角，即 ，。 建立如圖空間直角坐標(biāo)系，有設(shè)平面的一個(gè)法向量為， ，取得 點(diǎn)到平面的距離為，則。19.如圖，在直三棱柱a

12、bc-a1b1c1中 bac=90°，ab=ac=aa1 =1d是棱cc1上的一p是ad的延長線與a1c1的延長線的交點(diǎn)，且pb1平面bda（i）求證：cd=c1d：（ii）求二面角a-a1d-b的平面角的余弦值； （）求點(diǎn)c到平面b1dp的距離解析：（1）連接交于,又為的中點(diǎn)，中點(diǎn)，,d為的中點(diǎn)。（2）由題意,過b 作,連接，則,為二面角的平面角。在中，,（3）因?yàn)?，所?在中，20.如圖，在四棱錐pabcd中，底面abcd是矩形pa平面abcd，ap=ab=2， bc=，e，f分別是ad,pc的中點(diǎn).（）證明：pc平面bef；（）求平面bef與平面bap夾角的大小。解法一 （）如

13、圖，以a為坐標(biāo)原點(diǎn)，ab，ad，ap所在的直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系.ap=ab=2， bc=，四邊形abcd是矩形.a，b，c，d的坐標(biāo)為a(0,0,0),b(2,0,0),c(2, ,0)，d(0，0)，p(0,0,2)又e，f分別是ad，pc的中點(diǎn)，e(0，0),f(1，1).=（2，-2）=（-1，1）=（1,0,1），·=-2+4-2=0，·=2+0-2=0，pcbf,pcef, ,pc平面bef（ii）由（i）知平面bef的法向量平面bap 的法向量 設(shè)平面bef與平面bap的夾角為，則， 平面bef與平面bap的夾角為21. 如圖，三棱柱中，面，,，為的中點(diǎn)。 (i)求證：面；()求二面角的余弦值21解：（1）連接b1c，交bc1于點(diǎn)o，則o為b1c的中點(diǎn)， d為ac中點(diǎn) odb1a