基于MATLAB的沖激不變法和雙線性法低通濾波器的設計

1、課程設計任務書題目 基于matlab的沖激不變法和雙線性法低通濾波器的設計 主要內(nèi)容、基本要求、主要參考資料等：主要內(nèi)容： 通過本課程設計，鞏固數(shù)字信號處理的有關知識，熟悉各種數(shù)字濾波器的設計原理，設計方法。學會分析有限字效應帶來的誤差，合理設計數(shù)字濾波器的結構。學會利用matlab來進行濾波器的設計?；疽螅?、給定技術指標如下： 0.89125<=|h(ejw)|<=1 0<=|<=0.2|h(ejw)|<=0.17783 0.3<=<= 用沖激響應不變法設計一個巴特沃思數(shù)字低通濾波器。 2、指標同上，用雙線性變換法設計一個巴特沃思數(shù)字低通濾波器

2、，分析其零極點。主要參考資料1: 程佩青。數(shù)字信號處理（第二版）。北京：清華大學出版社，2001.2: 陳懷琛。數(shù)字信號處理教程-matlab釋義與實現(xiàn)。北京：電子工業(yè)出版社， 完 成 期 限： 2009.6.22-2009.6.26 指導教師簽名： 課程負責人簽名： 2009年6月20日目錄 第一章 數(shù)字濾波器設計-4第一節(jié) 數(shù)字濾波器設計的基本思路 -4第二節(jié) 濾波器的技術指標 -4第三節(jié) 模擬濾波器概述 -5第四節(jié) 通過模擬濾波器設計iir數(shù)字濾波器 -6第五節(jié) 設計iir數(shù)字低通濾波器方法 -8第二章 給定指標下濾波器的設計-10第一節(jié) 基于沖激響應不變法數(shù)字低通濾波器的設計-10第二

3、節(jié) 基于雙線性變換法數(shù)字低通濾波器的設計-15心得體會-19參考文獻-20摘要：數(shù)字濾波器技術是數(shù)字信號處理的一個重要組成部分。文中敘述了數(shù)字濾波的相關理論，介紹了數(shù)字濾波器設計的基本思路，濾波器的基本指標，并且分析了設計iir數(shù)字低通濾波器的方法步驟。 根據(jù)iir（infinitr impulse response）數(shù)字濾波器的設計原理，提出了iir數(shù)字濾波器的快速設計方法，并在matlab環(huán)境下做出了實現(xiàn)快速設計iir數(shù)字濾波器的設計系統(tǒng)。在該系統(tǒng)中，只需要將數(shù)字濾波器的技術能指標根據(jù)指定的或是需要的設計方法，轉換為模擬濾波器的技術性能指標，根據(jù)指定的模擬濾波器設計出相應的數(shù)字濾波器。完成

4、所要求的任務。第一章 數(shù)字濾波器的設計第一節(jié) 數(shù)字濾波器設計的基本思路數(shù)字濾波器的實現(xiàn)有兩個關鍵步驟：一個從數(shù)字域到模擬域間的變換，這個變換實現(xiàn)了數(shù)字濾波器技術指標到模擬濾波器技術指標的轉換，同樣也實現(xiàn)了模擬濾波器系統(tǒng)函數(shù)到數(shù)字濾波器系統(tǒng)函數(shù)的轉換；另一個是從模擬濾波器技術指標到滿足該指標的模擬濾波器的設計。第二節(jié) 濾波器的技術指標無論是數(shù)字濾波器還是模擬濾波器，他們技術指標的建立都是以所謂的“固有衰減”參數(shù)為參照。以數(shù)字濾波器為例，固有衰減參數(shù)（關于之旅分量歸一化）定義為 不論是iir濾波器還是fir濾波器的設計都包括三個步驟：給出所需要的濾波器的技術指標；設計一個使其逼近所需要的技術指標；

5、實現(xiàn)所設計的，目前iir數(shù)字濾波器設計的最通用的方法是借助于模擬濾波器的設計方法。模擬濾波器設計已經(jīng)有了一套相當成熟的方法，它不但有完整的設計公式，而且還有較為完整的圖表供查詢，因此，充分利用這些已有的資源將會給數(shù)字濾波器的設計帶來很大方便。iir數(shù)字濾波器的設計步驟是：按一定規(guī)則將給出的數(shù)字濾波器的技術指標轉換為模擬低通濾波器的技術指標；根據(jù)轉換后的技術指標設計模擬低通濾波器；再按一定規(guī)則將g(s)轉換成h(z)。若設計的數(shù)字濾波器是低通的，那么上述設計工作可以結束，若所設計的是高通，帶通或帶阻濾波器，那么還有步驟；將高通、帶通、或帶阻數(shù)字l不去的技術指標先轉化為低通模擬濾波器的技術指標，然

6、后按照上述步驟設計出低通，再將轉換為所需的h(z)。第三節(jié) 模擬濾波器概述用模擬數(shù)字變換法設計iir數(shù)字濾波器，首先必須設計一個模擬濾波器，它有許多不同的類型，主要有以下兩種類型：巴特沃思（botterworth簡寫bw）濾波器。bw濾波器是根據(jù)幅頻特性在通帶內(nèi)具有最拼圖特性而定義的濾波器，對一個n階低通濾波器來說，所謂最平坦特性就是模擬函數(shù)的前（2n-1）階導數(shù)在處都為零。bw濾波器的另一個特性是在通帶和阻帶內(nèi)的幅頻特性始終是頻率的單調下降函數(shù)，且其模擬函數(shù)隨階次n 的增大而更接近于理想低通濾波器。切比雪夫（chbyshev簡寫為cb）濾波器。cb低通濾波器的模擬函數(shù)由切比雪夫多項式定義，且

7、在通帶內(nèi)的幅頻響應是波動的，在阻帶則單調變化。第四節(jié) 通過模擬濾波器設計iir數(shù)字濾波器iir數(shù)字濾波器在z域中的傳遞函數(shù)為一有理分式，即 而模擬濾波器在s域中的傳遞函數(shù)為 可見h(z)與h(s)具有相同的形式，利用線性映照的方法，可以把s平面上的模擬濾波器映照成z平面上的iir數(shù)字濾波器。按技術要求設計一個模擬濾波器，然后按一定的映照關系將中成數(shù)字濾波器的要求，必須對由復變量s到復變量z直接的映照提出如下要求：因果溫度的模擬濾波器轉換成數(shù)字濾波器后仍是因果溫度的，因此，映射應使s平面的左半平面映射為z平面的單位圓內(nèi)部，。數(shù)字濾波器的幅頻特性應與模擬濾波器的幅頻特性一致，故s平面的虛軸線性映射

8、到z平面的單位圓上，即頻率軸要對應。下圖表明了上述映照關系圖一模擬濾波器到數(shù)字濾波器的轉換可以在時域實現(xiàn)，也可以在頻域實現(xiàn)。時域轉換法是使數(shù)字濾波器的時域響應與模擬濾波器的時域采樣值相等，具體方法有：沖激不變法、階躍不變法和匹配z變換法。頻域變換法是使數(shù)字濾波器在范圍內(nèi)的幅度特性與模擬濾波器在范圍內(nèi)的幅度特性一致，具體方法有：雙線性變換法，微分映照法。但上述方法中得到廣泛的只有沖激響應不變法和雙線性變換法。第五節(jié) 設計iir數(shù)字低通濾波器方法一 用沖激響應不變法設計iir數(shù)字低通濾波器設模擬濾波器的單位應為沖激應為，令所對于的數(shù)字系統(tǒng)的單位抽樣響應那么所對應的數(shù)字系統(tǒng)的轉移函數(shù)及頻率響應分別是

9、 上述由g(s)到h(z)的轉換方法都是令等于的抽樣。二 用雙線性變換法設計iir低通濾波器沖激響應不變法的主要缺點是會產(chǎn)生頻率混疊現(xiàn)象，使數(shù)字濾波器的頻響偏移模擬濾波器的頻響。產(chǎn)生的原因是模擬低通的最高截止頻率超過了折疊頻率,在數(shù)字化后產(chǎn)生了頻譜混疊，再通過標準映射關系，結果在附近形成了頻譜混疊。為了克服一缺點，可以采用非線性頻率壓縮方法，將整個頻率軸上的范圍壓縮到直接，再用轉換到z平面上。設，經(jīng)過非線性頻率壓縮到，表示，這里用正切變換實現(xiàn)頻率壓縮： 式中t仍是采樣間隔，當從經(jīng)過0變化到時，則由經(jīng)過0變化到，實現(xiàn)了s平面上正虛軸完全壓縮到平面上虛軸的直接的轉換，這樣便有 在通過轉換到z平面上

10、，得到 上式稱為雙性變換。從s平面到平面具有非線性頻率壓縮的功能，因此不可能產(chǎn)生頻率混疊現(xiàn)象，這 是雙線性變換法比脈沖響應不變法最大的優(yōu)點。優(yōu)點：避免了頻率響應的混迭現(xiàn)象s 平面與 z 平面為單值變換缺點：除了零頻率附近，與之間嚴重非線性線性相位模擬濾波器與非線性相位數(shù)字濾波器要求模擬濾波器的幅頻響應為分段常數(shù)型，不然會產(chǎn)生畸變，預畸變。第二章 給定指標下濾波器的設計第一節(jié) 基于沖激響應不變法數(shù)字低通濾波器的設計一 濾波器的技術指標通帶指標：0.89125<=|h(ejw)|<=1，0<=|<=0.2阻帶指標：|h（ejw）|<=0.17783,0.3<=|

11、<=通帶截頻：wp=0.2，通帶衰減：0.89125阻帶截頻：ws=0.3，阻帶衰減：0.17783數(shù)字指標變換模擬指標ap=-20lg（0.89125）=1db；as=-20lg（0.17783）=15db；為了便于計算我們將濾波器的抽樣頻率fs選為1hz，故通帶及阻帶截頻分別為wp=wp*fs，ws=ws*fs。模擬濾波器的設計二 butterworth濾波器的設計步驟：（1） 由濾波器的設計指標wp、ws、ap、as確定濾波器的階數(shù)n。n>=lg(100.1ap-1)/ (100.1as-1)/(2*lg(wp/ws)（2） 確定wc。公式如下：wp/(100.1ap-1)(

12、1/2n)<=wc<=ws/(100.1as-1)(1/2n)（3） 確定系統(tǒng)函數(shù)h（s）。模擬濾波器的數(shù)字化（沖激響應不變法）源程序：%沖激響應不變法設計butterworth數(shù)字低通濾波器：通帶指標0.89125<=|h(ejw)|<=1，0<=|<=0.2%阻帶指標：|h（ejw）|<=0.17783,0.3<=<=wp=0.2*pi;ws=0.3*pi;ap=-20*log10(0.89125);as=-20*log10(0.17783);%以上為數(shù)字指標fs=1;%抽樣頻率wp=wp*fs;ws=ws*fs;n=buttord(w

13、p,ws,ap,as,'s');%確定濾波器階數(shù)wc=wp/(10(0.1*ap)-1)(1/2/n);%確定3db截頻numa,dena=butter(n,wc,'s');%確定濾波器的零極點（確定濾波器相關系數(shù)）numd,dend=impinvar(numa,dena,fs);%沖激響應不變法進行濾波器數(shù)字化w=linspace(0,pi,2048);h=freqz(numd,dend,w);norm=max(abs(h);numd=numd/norm;%歸一化數(shù)字濾波器幅度響應subplot(2,2,1),plot(w/pi,20*log10(abs(h)

14、/norm);grid;xlabel('normalized frequency');ylabel('幅度響應,db');%axis(0,1,-40,5);subplot(2,2,2),plot(w/pi,angle(h)/pi);grid;xlabel('normalized frequency');ylabel('相位響應');%axis(0,1,-1,1);subplot(2,2,3),plot(w/pi,abs(h);grid;xlabel('normalized frequency');ylabel(&#

15、39;幅度響應,h');axis(0,1,0,1.1);disp('numerator polynomial');fprintf('%.5et',numd);disp('denominator polynomial');fprintf('%.5et',dend);fprintf('n');w=wp ws;h=freqz(numd,dend,w);fprintf('ap=%.5fn',abs(h(1);fprintf('as=%.5fn',abs(h(2);%以下是濾波器的結構

16、的設計%級聯(lián)型fprintf('級聯(lián)型n');z,p,k=tf2zp(numd,dend);sos=zp2sos(z,p,k);sos%并聯(lián)型fprintf('并聯(lián)型n');r,p,k=residuez(numd,dend);fprintf('一階并聯(lián)系數(shù)n');rpkr1=r(1),r(2);p1=p(1),p(2);b1,a1=residuez(r1,p1,0);fprintf('二階并聯(lián)系數(shù)n');b1a1r2=r(3),r(4);p2=p(3),p(4);b2,a2=residuez(r2,p2,0);b2a2r3=r(5

17、),r(6);p3=p(5),p(6);b3,a3=residuez(r3,p3,0);b3a3rz=roots(numd);rp=roots(dend);rzrpsubplot(2,2,4),zplane(numd,dend);第二節(jié) 基于雙線性變換法數(shù)字低通濾波器的設計一 濾波器的技術指標通帶指標：0.89125<=|h(ejw)|<=1，0<=|<=0.2阻帶指標：|h（ejw）|<=0.17783,0.3<=|<=通帶截頻：wp=0.2，通帶衰減：0.89125阻帶截頻：ws=， 阻帶衰減：0.17783數(shù)字指標變換模擬指標ap=-20lg（0

18、.89125）=1db；as=-20lg（0.17783）=15db；為了便于計算我們將t=2，模擬頻率和數(shù)字頻率的對應關系是w=tan(/2); 二 零極點分析21r = 0.1464 + 0.2220i 0.1464 - 0.2220i -1.0891 + 0.1440i -1.0891 - 0.1440i 0.9384 - 1.9472i 0.9384 + 1.9472ip = 0.6572 + 0.5320i 0.6572 - 0.5320i 0.5270 + 0.3123i 0.5270 - 0.3123i 0.4730 + 0.1026i 0.4730 - 0.1026i由以上數(shù)據(jù)

19、可知：本系統(tǒng)的極點都分布在z平面半徑為1的圓內(nèi)，由此可知此系統(tǒng)是一個因果穩(wěn)定的系統(tǒng)。三 模擬濾波器的數(shù)字化（雙線性變換法）源程序：%雙線性變換法設計butterworth數(shù)字低通濾波器：通帶指標0.89125<=|h(ejw)|<=1，0<=|<=0.2%阻帶指標：|h（ejw）|<=0.17783,0.3<=|<=wp=0.2*pi;ws=0.3*pi;ap=-20*log10(0.89125);as=-20*log10(0.17783);%以上為數(shù)字指標t=2;wp=tan(wp/2);ws=tan(ws/2);n=buttord(wp,ws,ap

20、,as,'s');%確定濾波器階數(shù)wc=wp/(10(0.1*ap)-1)(1/2/n);%確定3db截頻numa,dena=butter(n,wc,'s');%確定濾波器的零極點（確定濾波器相關系數(shù)）numd,dend=bilinear(numa,dena,1/t);%脈沖響應不變法進行濾波器數(shù)字化w=linspace(0,pi,2048);h=freqz(numd,dend,w);norm=max(abs(h);numd=numd/norm;%歸一化數(shù)字濾波器幅度響應subplot(2,2,1),plot(w/pi,20*log10(abs(h)/norm)

21、;grid;xlabel('normalized frequency');ylabel('幅度響應,db');%axis(0,1,-40,5);subplot(2,2,2),plot(w/pi,angle(h)/pi);grid;xlabel('normalized frequency');ylabel('相位響應');%axis(0,1,-1,1);subplot(2,2,3),plot(w/pi,abs(h);grid;xlabel('normalized frequency');ylabel('幅度響

22、應,h');axis(0,1,0,1.1);disp('numerator polynomial');fprintf('%.5et',numd);disp('denominator polynomial');fprintf('%.5et',dend);fprintf('n');w=wp ws;h=freqz(numd,dend,w);fprintf('ap=%.5fn',abs(h(1);fprintf('as=%.5fn',abs(h(2);%以下是濾波器的結構的設計%級聯(lián)型fprintf('級聯(lián)型n');z,p,k=tf2zp(numd,dend);sos=zp2sos(z,p,k);sos%并聯(lián)型fprintf('并聯(lián)型n');r,p,k=residuez(numd,dend);rpkrz=roots(numd);rp=roots(dend);rzrpsubplot(2,2,4),zplane(numd,dend);axis(-1.1,1.1,-1.1,1.1);%subplot(2,2,3),impz(numd,dend,50);心得體會經(jīng)過一周的設計，在這一周中的學習使我對數(shù)字信號處理這門