二次曲線中的齊次式學練結合_第1頁
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1、二次曲線中的齊次式 齊次式是一種常見的關系式，它體現(xiàn)了數(shù)學的對稱美。有關二次曲線的題目往往運算量較大，引入齊次方程可以化繁為簡，化難為易。怎樣應用呢？ 途徑1 一次方程二次化 通過乘積，將兩直線方程合成二次式，作為新曲線參與解題。 例1 直線與雙曲線及其漸近線交于a、b、c、d四點（如圖1），求證|ac|=|bd|。 證明 將兩漸近線方程合成二次式 即 聯(lián)立方程組，得 由于（1）、（2）消去y，所得二次方程僅常數(shù)項不同，因此必有 亦即ab、cd中點重合 由平面幾何知識知|ac|=|bd| 例2 已知：，試問：當且僅當a,b滿足什么條件時，對上任一點p，均存在以p為頂點，與外切、與內(nèi)接的平行四邊

2、形？并證明你的結論。 解 過p點作的一條直徑pr（過橢圓中心的線段稱為直徑），作直徑qspr，顯然pqrs為菱形。（想一想，為什么？） 設ps方程為 （此為直線的法線式方程，其中為ps垂線的傾角，p為o到ps距離） 則直線op、os的方程可“合成”為 即 （可以證明此曲線方程是雙曲線型過原點，且過p、s，故即為直線op與os兩直線方程的“合成”） 變形為 由opos可得 所以 而菱形pqrs與相切的充要條件為p=1 即。 途徑2 常數(shù)字母化 將直線方程變換為的形式進行代換，消去常數(shù)項，巧構齊次方程。 例3 已知直線與二次曲線f=0，相交于m、n兩點，試求直線om、on垂直的充要條件。 解 由得 代入二次曲線方程得x,y的齊次方程 方程是x,y的齊次方程，因此，（*）表示過原點的兩直線； 又m、n坐標滿足方程（*）， 因此，（*）就是om、on的方程。 （*）可改寫成 （其中g是常數(shù)不必算出） 則omon的充要條件是 即 例4 已知圓c：，問是否存在斜率為1的直線l，使l被圓c截得弦ab，以ab為直徑的圓經(jīng)過原點，若存在，寫出直線l的方程；若不存在，說明理由。

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