三元一次方程及其解法經(jīng)典實(shí)用

1、三元一次方程組及其解法1.三元一次方程的定義：含有三個(gè)未知數(shù)的一次整式方程2.三元一次方程組：由三個(gè)一次方程(一元、二元或三元)組成并含有三個(gè)未知數(shù)的方程組叫做三元一次方程組3. 三元一次方程組的解：能使三個(gè)方程左右兩邊都成立的三個(gè)未知數(shù)的值解題思路：利用消元思想使三元變二元，再變一元4. 三元一次方程組的解法：用代入法或加減法消元，即通過(guò)消元將三元一次方程組轉(zhuǎn)化為二元一次方程組，再轉(zhuǎn)化為一元一次方程例題解析一、三元一次方程組之特殊型例1：解方程組分析：方程是關(guān)于x的表達(dá)式，通過(guò)代入消元法可直接轉(zhuǎn)化為二元一次方程組，因此確定“消x”的目標(biāo)。解法1：代入法，消x.把分別代入、得解得把y=2代入，

2、得x=8. 是原方程組的解.根據(jù)方程組的特點(diǎn)，可歸納出此類方程組為：類型一：有表達(dá)式，用代入法型.針對(duì)上例進(jìn)而分析，方程組中的方程里缺z,因此利用、消z,也能達(dá)到消元構(gòu)成二元一次方程組的目的。 解法2：消z.×5得 5x+5y+5z=60 - 得 4x+3y=38 由、得解得把x=8,y=2代入得z=2. 是原方程組的解.根據(jù)方程組的特點(diǎn)，可歸納出此類方程組為：類型二：缺某元，消某元型.例2：解方程組分析：通過(guò)觀察發(fā)現(xiàn)每個(gè)方程未知項(xiàng)的系數(shù)和相等；每一個(gè)未知數(shù)的系數(shù)之和也相等，即系數(shù)和相等。具備這種特征的方程組，我們給它定義為“輪換方程組”，可采取求和作差的方法較簡(jiǎn)潔地求出此類方程組的

3、解。解：由+得4x+4y+4z=48， 即x+y+z=12 . -得 x=3，-得 y=4，-得 z=5， 是原方程組的解.典型例題舉例：解方程組 解：由+得2(x+y+z)=60 ， 即x+y+z=30 . -得 z=10，-得 y=11，-得 x=9， 是原方程組的解.根據(jù)方程組的特點(diǎn)，由學(xué)生歸納出此類方程組為：類型三：輪換方程組，求和作差型.例3：解方程組分析1：觀察此方程組的特點(diǎn)是未知項(xiàng)間存在著比例關(guān)系，根據(jù)以往的經(jīng)驗(yàn)，看見(jiàn)比例式就會(huì)想把比例式化成關(guān)系式求解，即由x:y=1:2得y=2x； 由x:z=1:7得z=7x.從而從形式上轉(zhuǎn)化為三元一次方程組的一般形式，即，根據(jù)方程組的特點(diǎn)，可

4、選用“有表達(dá)式，用代入法”求解。解法1：由得y=2x，z=7x ，并代入，得x=1.把x=1，代入y=2x，得y=2；把x=1，代入z=7x，得 z=7. 是原方程組的解.分析2：由以往知識(shí)可知遇比例式時(shí)，可設(shè)一份為參數(shù)k，因此由方程x:y:z=1：2：7，可設(shè)為x=k,y=2k,z=7k.從而也達(dá)到了消元的目的，并把三元通過(guò)設(shè)參數(shù)的形式轉(zhuǎn)化為一元，可謂一舉多得。解法2：由設(shè)x=k,y=2k,z=7k，并代入，得k=1.把k=1，代入x=k，得x=1；把k=1，代入y=2k，得y=2；把k=1，代入z=7k，得 z=7. 是原方程組的解.典型例題舉例：解方程組分析1：觀察此方程組的特點(diǎn)是方程、

5、中未知項(xiàng)間存在著比例關(guān)系，由例3的解題經(jīng)驗(yàn)，易選擇將比例式化成關(guān)系式求解，即由得x = y； 由得z=.從而利用代入法求解。解法1：略.分析2：受例3解法2的啟發(fā)，想使用設(shè)參數(shù)的方法求解，但如何將、轉(zhuǎn)化為x:y:z的形式呢？通過(guò)觀察發(fā)現(xiàn)、中都有y項(xiàng)，所以把它作為橋梁，先確定未知項(xiàng)y比值的最小公倍數(shù)為15，由×5得y:x=15:10 ，由×3得y:z=15:12,于是得到x:y:z=10:15:12,轉(zhuǎn)化為學(xué)生熟悉的方程組形式，就能解決了。解法2：由、得 x:y:z=10:15:12.設(shè)x=10k,y=15k,z=12k，并代入，得k=3.把k=3，代入x=10k，得x=30

6、；把k=3，代入y=15k，得y=45；把k=3，代入z=12k，得 z=36. 是原方程組的解.根據(jù)方程組的特點(diǎn)，由學(xué)生歸納出此類方程組為：類型四：遇比例式找關(guān)系式，遇比設(shè)元型.二、三元一次方程組之一般型例4：解方程組分析：對(duì)于一般形式的三元一次方程組的求解，應(yīng)該認(rèn)清兩點(diǎn)：一是確立消元目標(biāo)消哪個(gè)未知項(xiàng)；二是在消元的過(guò)程中三個(gè)方程式如何正確的使用，怎么才能做到“目標(biāo)明確，消元不亂”，為此歸納出：（一） 消元的選擇1.選擇同一個(gè)未知項(xiàng)系數(shù)相同或互為相反數(shù)的那個(gè)未知數(shù)消元；2.選擇同一個(gè)未知項(xiàng)系數(shù)最小公倍數(shù)最小的那個(gè)未知數(shù)消元。（二） 方程式的選擇采取用不同符號(hào)標(biāo)明所用方程，體現(xiàn)出兩次消元的過(guò)程選

7、擇。解：（明確消z，并在方程組中體現(xiàn)出來(lái)畫線）+ 得5x+2y=16， (體現(xiàn)第一次使用在后做記號(hào))+ 得3x+4y=18， (體現(xiàn)第二次使用在后做不同記號(hào))由、得解得把x=2 ，y=3代人，得 z=1. 是原方程組的解.典型例題舉例：解方程組分析：通過(guò)比較發(fā)現(xiàn)未知項(xiàng)y的系數(shù)的最小公倍數(shù)最小，因此確定消y。以方程作為橋梁使用，達(dá)到消元求解的目的。解：×2 得 6x4y+10z=22， 2x +4y+ 3z=9， + 得 8x +13z=31 . ×3 得 9x6y+15z=33 ， 5x6y+7z =13， 得 4x +8z =20 . x +2z=5 . 由、得解得把x=

8、-1 ，z=3代人 ，得 . 是原方程組的解.在此需要說(shuō)明的是，每一個(gè)三元一次方程組的求解方法都不是唯一的，需要進(jìn)一步的觀察，但是學(xué)生只要掌握了最基本的解方程組思想和策略，就可以以不變應(yīng)萬(wàn)變，就可以很容易的學(xué)會(huì)三元一次方程組的解法。課堂練習(xí)1.解下列方程組（1） （2）2解下列方程組（1） （2）3有這樣一個(gè)數(shù)學(xué)題：在等式中，當(dāng)x=1時(shí)，y=1；當(dāng)y=3時(shí)，y=9，當(dāng)x=5時(shí)，y=5.（1）請(qǐng)你列出關(guān)于a,b,c的方程組.這是一個(gè)三元三次方程組嗎？（2）你能求出a,b,c的值嗎？4.解方程組 5.解方程組6. 解方程組 7. 解方程組，三元一次方程組的實(shí)際應(yīng)用eg01:某車間有60人，生產(chǎn)甲乙

9、丙三種零件，每人每小時(shí)能生產(chǎn)甲24個(gè)，或乙20個(gè)，或丙16個(gè)，現(xiàn)用零件甲9個(gè)，乙15個(gè)，丙12個(gè)，裝配成某機(jī)件，如何安排勞動(dòng)力，才能使每小時(shí)生產(chǎn)的零件恰好成套？共有多少套？解：設(shè)生產(chǎn)甲、乙、丙三種零件各有x人，y人，z人.根據(jù)題意得x+y+z=6024x/9=20y/15=16z/12解得x=12,y=24,z=2424×12/9=32答：安排生產(chǎn)甲、乙、丙三種零件各有12人，24人，24人，共有32套.eg02: 甲、乙、丙三個(gè)數(shù)的和是35，甲數(shù)的2倍比乙數(shù)大5，乙數(shù)的1/3（三分之一）等于丙數(shù)的1/2（二分之一），求這三個(gè)數(shù)。解: 設(shè)甲是x，乙是y，丙是z 則x+y+z=35 (

10、1) 甲數(shù)的2倍比乙數(shù)大5 2x-y=5 (2) 乙數(shù)的1/3（三分之一）等于丙數(shù)的1/2 y/3=z/2 (3) 由(2)和(3)得到 y=2x-5,z=2y/3=(4x-10)/3 代入(1) x+2x-5+4x/3-10/3=35 13x/3=130/3 x=10 y=2x-2=15 z=2y/3=10 所以 甲是10，乙是15，丙是10ex: 1.有甲乙丙三種貨物，若購(gòu)物甲種3件，乙種7件，丙1件需要31.5元，如果購(gòu)買甲4件，乙10件，丙1件共需要42元，若購(gòu)甲乙丙各一件，需要10.5元。問(wèn)甲乙丙每件各多少元？ 2.汽車在平路上每小時(shí)行30公里，上坡時(shí)每小時(shí)行28公里，下坡時(shí)每小時(shí)行

11、35公里，現(xiàn)在行駛142公里的路程用去4小時(shí)三十分鐘，回來(lái)使用4小時(shí)42分鐘，問(wèn)這段平路有多少公里？去時(shí)上下坡路各有多少公里？ 3.某校初中三個(gè)年級(jí)一共有651人，初二的學(xué)生數(shù)比初三學(xué)生數(shù)多10%，初一的學(xué)生數(shù)比初二的學(xué)生數(shù)多5%。求三個(gè)年級(jí)各有多少人？aw: 1式子：3x+7y+z=31.5 4x+10y+z=42 x+y+z=10.5 答案：？這題有問(wèn)題，多解的（只要符合x+3y=10.5)就行，真不知樓上怎么算出來(lái)的。 2：去時(shí)上坡x平路y下坡z x+y+z=142 x/28+y/30+z/35=4.5 z/28+y/30+x/35=4.7 答案：x=42 y=30 z=70 3:初一：

12、x 初二：y 初三：z x+y+z=651 y=1.1z x=1.05y 答案：x=231 y=220 z=200訓(xùn)練集中營(yíng)1?，F(xiàn)有1角，5角，1元硬幣各10枚從中取出15枚，共值7元，1角，5角，1元各取幾枚？ 2。甲地到乙地全稱是3.3km，一段上坡，一段平路，一段下坡，如果保持上坡每小時(shí)行3km，平路每小時(shí)行4km，下坡每小時(shí)行5km，那么，從甲地到乙地需行51分，從乙地到甲地需行53.4分，求從甲地到乙地時(shí)的上坡。平路。下坡的路程各是多少？ 3。水費(fèi)價(jià)格：不超過(guò)6立方米部分，每立方米2元。超過(guò)6立方米至10立方米部分，每立方米4元。超過(guò)10立方米部分，每立方米8元。某居民三月和四月共用

13、水15立方米，交水費(fèi)44元，（四月用水量多于三月用水量），求三月和四月用水量？如果某居民某月用水量是13.5立方米，則他需要交水費(fèi)多少元？ 4。某足球聯(lián)賽一個(gè)賽季共進(jìn)行26場(chǎng)比賽（即每隊(duì)均賽26場(chǎng)），其中勝一場(chǎng)得三分，平一場(chǎng)得一分，負(fù)一場(chǎng)得0分。某隊(duì)在這個(gè)賽季中平局的場(chǎng)數(shù)比負(fù)的場(chǎng)數(shù)多7場(chǎng)，結(jié)果共得34分。這個(gè)隊(duì)在這個(gè)賽季中勝，平，負(fù)各多少場(chǎng)？ 5。學(xué)校的籃球數(shù)比排球數(shù)的2倍少3個(gè)，足球數(shù)與排球數(shù)的比是2：3，三種球共41個(gè)，求三種球各有多少 6。一個(gè)水池裝有甲、乙進(jìn)水管和丙出水管，若打開(kāi)甲管4小時(shí)，乙管2小時(shí)和丙管2小時(shí)，則水池中余水5噸；若打開(kāi)甲管2小時(shí)，乙管3小時(shí)，丙管1小時(shí)，則池中余水1

14、噸，求打開(kāi)甲管22小時(shí)，乙管5小時(shí)，丙管11小時(shí)，池中余水多少噸？ 7。小紅買了面值為50分和230分的郵票共8枚，共用去9元4角問(wèn)50分和230分的郵票各買幾枚？ 8。運(yùn)往某地的兩批貨物，第一批為440噸，用8節(jié)火車車廂和10輛汽車正好運(yùn)完；第二批貨物520噸，多用了2節(jié)火車車廂而少用了5輛汽車，正好運(yùn)完。求每節(jié)火車車廂和每輛汽車平均各裝多少噸？ 9。1、有一批零件共420個(gè)，若甲先做2天，乙加入，合作2天可以完成；若乙先做2天，甲加入，合作3天可以完成，求二人每天平均做多少個(gè)？ 10。、張紅用7元錢買2角和5角一張的郵票共20張，問(wèn)兩種郵票各買多少?gòu)垼?11。有甲乙兩數(shù)，甲數(shù)的3倍與乙數(shù)的2倍之和是47，甲數(shù)的5倍比乙數(shù)的6倍小1，求這兩個(gè)數(shù)。 12。某車隊(duì)運(yùn)一批貨物，若每輛裝3.5噸，就有2噸運(yùn)不走，若每輛多裝0.5噸，則還可以裝其他貨物1噸，問(wèn)有多少輛車？多少噸貨物？ 13。已知甲、乙兩