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1、周期3意味著混沌一沙爾可夫斯基定理拋物線映射分岔圖,及其穩(wěn)定和不穩(wěn)定周期軌道。l 在單峰映射中,倍周期分岔表示存在2i p(i = 0,1,2,)諸偶數(shù)周期軌道。l 在混沌帶中,則存在3p、5p、7p、9p、諸奇數(shù)周期軌道。這些奇數(shù)周期軌道也按倍周期進一步分岔,得到諸周期軌道。l 倍周期分岔和混沌帶中周期窗口的所有周期軌道(包括周期窗口的精細結(jié)構(gòu)),包括了全部np(周期軌道)。l 當映射中的參量(如方程拋物線方程中的)取某一定值、映射結(jié)果是某穩(wěn)定周期軌道np時,實際上還同時存在許多不穩(wěn)定周期軌道。然則它總共可能包含哪些(穩(wěn)定和不穩(wěn)定)周期軌道呢?沙爾可夫斯基定理回答了此問題。沙爾可夫斯基首先為
2、一維映射中的不同周期定義了“領(lǐng)先”關(guān)系,如果周期p的存在一定導(dǎo)致周期q存在,則稱“p領(lǐng)先于q”,記為。在此意義上,所有自然數(shù)的領(lǐng)先關(guān)系為: (1)這就是沙爾可夫斯基序列。沙爾可夫斯基定理說,如果在某個一維連續(xù)映射中存在著周期p,則在序列(1)中一切排在p后面的周期都也存在。u 當分岔參量取值增大時,原來穩(wěn)定的周期軌道不斷地變得不穩(wěn)定,并出現(xiàn)新的穩(wěn)定軌道。但新的穩(wěn)定軌道(p)的出現(xiàn)并不意味著原來軌道(q)不存在,而只是說原來軌道(q)是以不穩(wěn)定的形式存在于新的穩(wěn)定狀態(tài)中。因此參量值越大,(式1中位置越靠前),狀態(tài)中包含的不穩(wěn)定軌道越多。這就是沙爾可夫斯基定理。u 序列(1)中最下一行的p2i就是
3、倍周期分岔的逆過程。u 序列(1)中p 2i的周期軌道就是混沌帶中的奇數(shù)周期窗口,這種周期軌道實際上包含有無窮多周期軌道(q)。當然,只有p軌道自身是穩(wěn)定的,其余都是不穩(wěn)定的。u 如果p=3,由于3處于序列(1)的第一行最左端,因此它包含全部其他的np(n=1,2,4,5,6,.)周期軌道。當然,這些被包含的np周期軌道全部都是不穩(wěn)定的。二周期3意味著混沌周期3意味著混沌李天巖,約克老子道德經(jīng):“一生二,二生三,三生萬物”李天巖和約克進一步指出當然,除3p自身是穩(wěn)定的外,所有其余周期的和非周期軌道都是不穩(wěn)定的。也就是說,即使初始條件是非??拷骋徊环€(wěn)定軌道,系統(tǒng)最終也要被吸引到穩(wěn)定的3p周期軌
4、道上來。對于其他的周期軌道,情況也完全類似,對于參量的取值是,而又不屬于周期軌道的情形,不同初始條件形成的不同非周期軌道便不可能趨于一個穩(wěn)定的周期軌道,于是其狀態(tài)變量的取值便在其定義域內(nèi)不斷交化,這就是混沌。li-yorke定理:令i為一個線段,是線段的連續(xù)自映射。設(shè)線段中存在一點,使得: 或 (不難看出,只要存在一條周期3軌道,這兩串不等式就必然有一個成立),則有:1. 對于任何k1, 2, 3, , 線段i中都存在一條周期k軌道;2. i中有一個不可數(shù)子集,它不包含周期點,而且滿足以下條件:a. 對于s中的任意兩點, b. 對于s中每個q點和線段i中周期點p,也有(21.2)式成立。三周期3意味著混沌其他的含義(1)這個定義是針對集合提出的,它表明了混沌存在可數(shù)無窮多個不穩(wěn)定的周期軌道、不可數(shù)無窮多個穩(wěn)定的非周期軌道、至少一個穩(wěn)定的周期軌道。由于序列中存在有無窮多的不穩(wěn)定軌道和至少一個穩(wěn)定的周期軌道,從頻域的觀點來看,序列的頻譜中應(yīng)包含有一定區(qū)域內(nèi)的所有頻率分量,既具有連續(xù)的頻譜。(2)充分而非必要條件混沌并不意味著周期3。因為周期3之前已經(jīng)存在混沌了。(3)從前面的分析也可看出,李約克猜想也完全適用于5p、7p、9p、周期軌道,即也完
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