周期3意味著混沌

1、周期3意味著混沌一沙爾可夫斯基定理拋物線映射分岔圖，及其穩(wěn)定和不穩(wěn)定周期軌道。l 在單峰映射中，倍周期分岔表示存在2i p（i = 0,1,2,）諸偶數(shù)周期軌道。l 在混沌帶中，則存在3p、5p、7p、9p、諸奇數(shù)周期軌道。這些奇數(shù)周期軌道也按倍周期進一步分岔，得到諸周期軌道。l 倍周期分岔和混沌帶中周期窗口的所有周期軌道（包括周期窗口的精細結(jié)構(gòu)），包括了全部np（周期軌道）。l 當映射中的參量（如方程拋物線方程中的）取某一定值、映射結(jié)果是某穩(wěn)定周期軌道np時，實際上還同時存在許多不穩(wěn)定周期軌道。然則它總共可能包含哪些（穩(wěn)定和不穩(wěn)定）周期軌道呢？沙爾可夫斯基定理回答了此問題。沙爾可夫斯基首先為

2、一維映射中的不同周期定義了“領(lǐng)先”關(guān)系，如果周期p的存在一定導(dǎo)致周期q存在，則稱“p領(lǐng)先于q”，記為。在此意義上，所有自然數(shù)的領(lǐng)先關(guān)系為： （1）這就是沙爾可夫斯基序列。沙爾可夫斯基定理說，如果在某個一維連續(xù)映射中存在著周期p，則在序列（1）中一切排在p后面的周期都也存在。u 當分岔參量取值增大時，原來穩(wěn)定的周期軌道不斷地變得不穩(wěn)定，并出現(xiàn)新的穩(wěn)定軌道。但新的穩(wěn)定軌道(p)的出現(xiàn)并不意味著原來軌道(q)不存在，而只是說原來軌道(q)是以不穩(wěn)定的形式存在于新的穩(wěn)定狀態(tài)中。因此參量值越大，（式1中位置越靠前），狀態(tài)中包含的不穩(wěn)定軌道越多。這就是沙爾可夫斯基定理。u 序列（1）中最下一行的p2i就是

3、倍周期分岔的逆過程。u 序列（1）中p 2i的周期軌道就是混沌帶中的奇數(shù)周期窗口，這種周期軌道實際上包含有無窮多周期軌道(q)。當然，只有p軌道自身是穩(wěn)定的，其余都是不穩(wěn)定的。u 如果p=3，由于3處于序列(1)的第一行最左端，因此它包含全部其他的np(n=1,2,4,5,6,.)周期軌道。當然，這些被包含的np周期軌道全部都是不穩(wěn)定的。二周期3意味著混沌周期3意味著混沌李天巖，約克老子道德經(jīng)：“一生二，二生三，三生萬物”李天巖和約克進一步指出當然，除3p自身是穩(wěn)定的外，所有其余周期的和非周期軌道都是不穩(wěn)定的。也就是說，即使初始條件是非?？拷骋徊环€(wěn)定軌道，系統(tǒng)最終也要被吸引到穩(wěn)定的3p周期軌

4、道上來。對于其他的周期軌道，情況也完全類似，對于參量的取值是，而又不屬于周期軌道的情形，不同初始條件形成的不同非周期軌道便不可能趨于一個穩(wěn)定的周期軌道，于是其狀態(tài)變量的取值便在其定義域內(nèi)不斷交化，這就是混沌。li-yorke定理：令i為一個線段，是線段的連續(xù)自映射。設(shè)線段中存在一點，使得： 或 （不難看出，只要存在一條周期3軌道，這兩串不等式就必然有一個成立），則有：1. 對于任何k1, 2, 3, , 線段i中都存在一條周期k軌道；2. i中有一個不可數(shù)子集，它不包含周期點，而且滿足以下條件：a. 對于s中的任意兩點， b. 對于s中每個q點和線段i中周期點p，也有（21.2）式成立。三周期3意味著混沌其他的含義（1）這個定義是針對集合提出的，它表明了混沌存在可數(shù)無窮多個不穩(wěn)定的周期軌道、不可數(shù)無窮多個穩(wěn)定的非周期軌道、至少一個穩(wěn)定的周期軌道。由于序列中存在有無窮多的不穩(wěn)定軌道和至少一個穩(wěn)定的周期軌道，從頻域的觀點來看，序列的頻譜中應(yīng)包含有一定區(qū)域內(nèi)的所有頻率分量，既具有連續(xù)的頻譜。（2）充分而非必要條件混沌并不意味著周期3。因為周期3之前已經(jīng)存在混沌了。（3）從前面的分析也可看出，李約克猜想也完全適用于5p、7p、9p、周期軌道，即也完