淺談近世代數(shù)中與素?cái)?shù)有關(guān)的結(jié)論

1、淮陰師范學(xué)院畢業(yè)論文(設(shè)計(jì))摘要：本文給出了近世代數(shù)中與素?cái)?shù)有關(guān)的概念,結(jié)論及若干應(yīng)用.關(guān)鍵詞：素?cái)?shù)，群，環(huán)，域abstract: in this article,we give some definitions, conclusions and applications about prime numbers in abstract algebra .keywords: prime number ，group，loop，domain目錄1 引言 42 在群中有關(guān)素?cái)?shù)的結(jié)論 43 在環(huán)中有關(guān)素?cái)?shù)的結(jié)論 64 在域中有關(guān)素?cái)?shù)的結(jié)論 9結(jié)論 12參考文獻(xiàn) 13致謝 141 引言素?cái)?shù)在研究近世代數(shù)的

2、過程中占有一個(gè)很重要的地位，本文介紹了近世代數(shù)中有關(guān)素?cái)?shù)的一些基本性質(zhì)，并探討了一些常見結(jié)論.本文主要是從近世代數(shù)中群，環(huán)，域三個(gè)方面而談.2 群下面給出群中的一些重要定理及推論：定理1設(shè)是有限群，為素?cái)?shù)， ，則(i)(存在定理)中有子群，且（這里的閉區(qū)間記號表示整數(shù)范圍）有階子群,(ii)(包含定理)每一個(gè)子群被包含在一個(gè)子群之中,(iii)(共軛定理)中任何兩個(gè)子群互相共軛,(iv)(計(jì)數(shù)定理)中子群的個(gè)數(shù)記作，且有和，其中為任一子群，為的正規(guī)化子.推論1素?cái)?shù)階的群都是循環(huán)群.下面的例子是以上定理推論的應(yīng)用或推廣：例1 設(shè)和是兩個(gè)素?cái)?shù)，證明:任一階群都不是單群.(如果只有平凡的正規(guī)子群，且

3、)，則稱為單群.)證明 若階群是阿貝爾群，從而它有階子群.因?yàn)榘⒇悹柸旱淖尤憾际钦?guī)的,所以不是單群.若，不妨設(shè)，而，只能.故只有一個(gè)子群，它是正規(guī)子群.所以不是單群.綜上所述，命題得證.例2 設(shè)是一個(gè)階大于1的群，證明：只有平凡子群為素?cái)?shù)階循環(huán)群.證明 (必要性)設(shè)（是素?cái)?shù)），.由拉格朗日定理得.所以,即,故群只有平凡子群.（充分性）因?yàn)?，所以存?設(shè),但是由于假設(shè)可得.(1)當(dāng)時(shí)，是的平凡子群，與假設(shè)矛盾.(2)當(dāng)是合數(shù)時(shí)，即,則.從而是的平凡子群，與假設(shè)矛盾.故是素?cái)?shù)，即是素?cái)?shù)階循環(huán)群.例3 設(shè)是兩個(gè)不同的素?cái)?shù)，是交換群，且.證明:是循環(huán)群.證明 設(shè)，則，且.若，則.若，因?yàn)槭撬財(cái)?shù)，所以

4、可設(shè)，于是.令，則且.于是.當(dāng)時(shí)，可得.當(dāng)時(shí)，因?yàn)槭墙粨Q群，是兩個(gè)不同的素?cái)?shù)，所以,因此.綜上所述，是循環(huán)群.例4 設(shè)是素?cái)?shù)，階為的群稱為-群.證明:-群一定有一個(gè)階子群.證明 設(shè)群, .(1)當(dāng)時(shí)，可得.(2)當(dāng)時(shí)，可令從而，所以.故-群一定含有階子群.2 環(huán)環(huán)是具有兩種代數(shù)運(yùn)算的代數(shù)系，它也是近世代數(shù)中一個(gè)重要的分支，這里給出有關(guān)環(huán)的一些基本概念.定義1一個(gè)有單位元，無零因子的交換環(huán)稱為整環(huán).定義2設(shè)是交換環(huán)，是的一個(gè)理想.若對或則稱是的素理想.定義3設(shè)是環(huán)的一個(gè)真理想，若對于的理想， ,則稱是的極大理想.下面給出環(huán)中有關(guān)素?cái)?shù)的一些結(jié)論及例題：結(jié)論1設(shè)是素?cái)?shù)，則是整數(shù)環(huán)的素理想.結(jié)論2 設(shè)

5、是素?cái)?shù)，則是整數(shù)環(huán)的極大理想.例5 設(shè)是偶數(shù)環(huán)，是素?cái)?shù)，問是不是極大理想，是不是素理想?解 設(shè)是的理想，且,由于沒有單位元,所以.因?yàn)?于是存在，且是偶數(shù)，從而與的最大公約元為，則存在,使得.由于,所以，因此，故是極大理想.(1)當(dāng)時(shí)，取,于是，但由于|，即.又因?yàn)?所以當(dāng)時(shí)，不是素理想.(2)當(dāng)時(shí)，若，從而.因?yàn)槎际桥紨?shù)，于是設(shè).故.又因?yàn)榕c的最大公約元為.所以由，即.因此.所以當(dāng)時(shí)，是素理想.例6 設(shè)是素?cái)?shù),則是整數(shù)環(huán)的極大理想.證明 首先,從而.又設(shè)有的理想，使,則存在.因?yàn)?所以.又由于是素?cái)?shù)，從而，即.因?yàn)樗?從而.因此是整數(shù)環(huán)的極大理想.例7 是大于的素?cái)?shù)，則在中有解的充要條件是

6、，并由此證明當(dāng)是形如的素?cái)?shù)時(shí)，不是中的元素.證明 （充分性）因?yàn)橛薪?，所以存在使?從而.（必要性）當(dāng)時(shí)，下面分兩種情況討論：(1) 當(dāng)時(shí)，有.故是的一個(gè)解.(2)當(dāng)時(shí)，是循環(huán)群，任取一生成元，有.可設(shè)，由得.因?yàn)?，所?故.令，得.所以有解.取，當(dāng)時(shí)，成立.所以方程有解.即有使又因?yàn)?所以.又因?yàn)楹?故不是素元.3 域域是一種特殊的環(huán)，所有有關(guān)環(huán)的性質(zhì)都適合域，而且有些性質(zhì)更為簡單.下面給出域中有關(guān)素?cái)?shù)的定理，并圍繞定理展開對域中素?cái)?shù)的討論.定理2整環(huán)的特征是或者是一素?cái)?shù).定理3設(shè)是域，是的素域，則.定理4是域的充要條件是為素?cái)?shù).定理5艾森斯坦因判別法 設(shè)，如果有一個(gè)素?cái)?shù)，使（1）；（2）；

7、（3）；則在有理數(shù)域上是既約的.定理6設(shè)是特征為素?cái)?shù)的域，對于任何,則.推論 1 設(shè)是特征為素?cái)?shù)的域，對于任何,則. 下面的兩個(gè)例題是以上域中結(jié)論定理的應(yīng)用與推廣：例8 設(shè)是素?cái)?shù),判斷在上是否可約.解 可表示為 ,因?yàn)?所以由定理知在中不可約.例9 證明：當(dāng)是素?cái)?shù)時(shí)，則是域.證明 是加群；要證明對規(guī)定的乘法是二元運(yùn)算，需要證明這個(gè)結(jié)果與代表的取法無關(guān)，即假如，有.由于，從而.對于某個(gè),有.因此，即.對于任何，有.即是半群.因?yàn)榍?所以是交換環(huán).下面證明沒有零因子.假定是的一個(gè)零因子，于是存在,使.由于，于是，又由，從而.因此,，即,這與是零因子矛盾，所以沒有零因子.因?yàn)榈脑氐膫€(gè)數(shù)為,所以是域.結(jié)論素?cái)?shù)在近似代數(shù)中具有重要的地位.本文從群,環(huán),域三個(gè)方面論述了與素?cái)?shù)有關(guān)的結(jié)論及其應(yīng)用.參考文獻(xiàn)：1朱平天，李伯洪，鄒園.近世代數(shù)m.北京:科學(xué)出版社,2001:64-65,100-101.2birkhoff g, maclane s. a survey of modern algebram. beijing:posts&telecompress,2007:88-89.3阮傳概,孫偉.近世代數(shù)及應(yīng)用m.北京:北京郵電大學(xué)出版社,2001:285-