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1、淮陰師范學(xué)院畢業(yè)論文(設(shè)計(jì))摘要:本文給出了近世代數(shù)中與素?cái)?shù)有關(guān)的概念,結(jié)論及若干應(yīng)用.關(guān)鍵詞:素?cái)?shù),群,環(huán),域abstract: in this article,we give some definitions, conclusions and applications about prime numbers in abstract algebra .keywords: prime number ,group,loop,domain目錄1 引言 42 在群中有關(guān)素?cái)?shù)的結(jié)論 43 在環(huán)中有關(guān)素?cái)?shù)的結(jié)論 64 在域中有關(guān)素?cái)?shù)的結(jié)論 9結(jié)論 12參考文獻(xiàn) 13致謝 141 引言素?cái)?shù)在研究近世代數(shù)的
2、過程中占有一個(gè)很重要的地位,本文介紹了近世代數(shù)中有關(guān)素?cái)?shù)的一些基本性質(zhì),并探討了一些常見結(jié)論.本文主要是從近世代數(shù)中群,環(huán),域三個(gè)方面而談.2 群下面給出群中的一些重要定理及推論:定理1設(shè)是有限群,為素?cái)?shù), ,則(i)(存在定理)中有子群,且(這里的閉區(qū)間記號表示整數(shù)范圍)有階子群,(ii)(包含定理)每一個(gè)子群被包含在一個(gè)子群之中,(iii)(共軛定理)中任何兩個(gè)子群互相共軛,(iv)(計(jì)數(shù)定理)中子群的個(gè)數(shù)記作,且有和,其中為任一子群,為的正規(guī)化子.推論1素?cái)?shù)階的群都是循環(huán)群.下面的例子是以上定理推論的應(yīng)用或推廣:例1 設(shè)和是兩個(gè)素?cái)?shù),證明:任一階群都不是單群.(如果只有平凡的正規(guī)子群,且
3、),則稱為單群.)證明 若階群是阿貝爾群,從而它有階子群.因?yàn)榘⒇悹柸旱淖尤憾际钦?guī)的,所以不是單群.若,不妨設(shè),而,只能.故只有一個(gè)子群,它是正規(guī)子群.所以不是單群.綜上所述,命題得證.例2 設(shè)是一個(gè)階大于1的群,證明:只有平凡子群為素?cái)?shù)階循環(huán)群.證明 (必要性)設(shè)(是素?cái)?shù)),.由拉格朗日定理得.所以,即,故群只有平凡子群.(充分性)因?yàn)?,所以存?設(shè),但是由于假設(shè)可得.(1)當(dāng)時(shí),是的平凡子群,與假設(shè)矛盾.(2)當(dāng)是合數(shù)時(shí),即,則.從而是的平凡子群,與假設(shè)矛盾.故是素?cái)?shù),即是素?cái)?shù)階循環(huán)群.例3 設(shè)是兩個(gè)不同的素?cái)?shù),是交換群,且.證明:是循環(huán)群.證明 設(shè),則,且.若,則.若,因?yàn)槭撬財(cái)?shù),所以
4、可設(shè),于是.令,則且.于是.當(dāng)時(shí),可得.當(dāng)時(shí),因?yàn)槭墙粨Q群,是兩個(gè)不同的素?cái)?shù),所以,因此.綜上所述,是循環(huán)群.例4 設(shè)是素?cái)?shù),階為的群稱為-群.證明:-群一定有一個(gè)階子群.證明 設(shè)群, .(1)當(dāng)時(shí),可得.(2)當(dāng)時(shí),可令從而,所以.故-群一定含有階子群.2 環(huán)環(huán)是具有兩種代數(shù)運(yùn)算的代數(shù)系,它也是近世代數(shù)中一個(gè)重要的分支,這里給出有關(guān)環(huán)的一些基本概念.定義1一個(gè)有單位元,無零因子的交換環(huán)稱為整環(huán).定義2設(shè)是交換環(huán),是的一個(gè)理想.若對或則稱是的素理想.定義3設(shè)是環(huán)的一個(gè)真理想,若對于的理想, ,則稱是的極大理想.下面給出環(huán)中有關(guān)素?cái)?shù)的一些結(jié)論及例題:結(jié)論1設(shè)是素?cái)?shù),則是整數(shù)環(huán)的素理想.結(jié)論2 設(shè)
5、是素?cái)?shù),則是整數(shù)環(huán)的極大理想.例5 設(shè)是偶數(shù)環(huán),是素?cái)?shù),問是不是極大理想,是不是素理想?解 設(shè)是的理想,且,由于沒有單位元,所以.因?yàn)?于是存在,且是偶數(shù),從而與的最大公約元為,則存在,使得.由于,所以,因此,故是極大理想.(1)當(dāng)時(shí),取,于是,但由于|,即.又因?yàn)?所以當(dāng)時(shí),不是素理想.(2)當(dāng)時(shí),若,從而.因?yàn)槎际桥紨?shù),于是設(shè).故.又因?yàn)榕c的最大公約元為.所以由,即.因此.所以當(dāng)時(shí),是素理想.例6 設(shè)是素?cái)?shù),則是整數(shù)環(huán)的極大理想.證明 首先,從而.又設(shè)有的理想,使,則存在.因?yàn)?所以.又由于是素?cái)?shù),從而,即.因?yàn)樗?從而.因此是整數(shù)環(huán)的極大理想.例7 是大于的素?cái)?shù),則在中有解的充要條件是
6、,并由此證明當(dāng)是形如的素?cái)?shù)時(shí),不是中的元素.證明 (充分性)因?yàn)橛薪?,所以存在使?從而.(必要性)當(dāng)時(shí),下面分兩種情況討論:(1) 當(dāng)時(shí),有.故是的一個(gè)解.(2)當(dāng)時(shí),是循環(huán)群,任取一生成元,有.可設(shè),由得.因?yàn)?,所?故.令,得.所以有解.取,當(dāng)時(shí),成立.所以方程有解.即有使又因?yàn)?所以.又因?yàn)楹?故不是素元.3 域域是一種特殊的環(huán),所有有關(guān)環(huán)的性質(zhì)都適合域,而且有些性質(zhì)更為簡單.下面給出域中有關(guān)素?cái)?shù)的定理,并圍繞定理展開對域中素?cái)?shù)的討論.定理2整環(huán)的特征是或者是一素?cái)?shù).定理3設(shè)是域,是的素域,則.定理4是域的充要條件是為素?cái)?shù).定理5艾森斯坦因判別法 設(shè),如果有一個(gè)素?cái)?shù),使(1);(2);
7、(3);則在有理數(shù)域上是既約的.定理6設(shè)是特征為素?cái)?shù)的域,對于任何,則.推論 1 設(shè)是特征為素?cái)?shù)的域,對于任何,則. 下面的兩個(gè)例題是以上域中結(jié)論定理的應(yīng)用與推廣:例8 設(shè)是素?cái)?shù),判斷在上是否可約.解 可表示為 ,因?yàn)?所以由定理知在中不可約.例9 證明:當(dāng)是素?cái)?shù)時(shí),則是域.證明 是加群;要證明對規(guī)定的乘法是二元運(yùn)算,需要證明這個(gè)結(jié)果與代表的取法無關(guān),即假如,有.由于,從而.對于某個(gè),有.因此,即.對于任何,有.即是半群.因?yàn)榍?所以是交換環(huán).下面證明沒有零因子.假定是的一個(gè)零因子,于是存在,使.由于,于是,又由,從而.因此,,即,這與是零因子矛盾,所以沒有零因子.因?yàn)榈脑氐膫€(gè)數(shù)為,所以是域.結(jié)論素?cái)?shù)在近似代數(shù)中具有重要的地位.本文從群,環(huán),域三個(gè)方面論述了與素?cái)?shù)有關(guān)的結(jié)論及其應(yīng)用.參考文獻(xiàn):1朱平天,李伯洪,鄒園.近世代數(shù)m.北京:科學(xué)出版社,2001:64-65,100-101.2birkhoff g, maclane s. a survey of modern algebram. beijing:posts&telecompress,2007:88-89.3阮傳概,孫偉.近世代數(shù)及應(yīng)用m.北京:北京郵電大學(xué)出版社,2001:285-
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