電磁場基礎：第一章靜電場3

1、電氣學院靜電場1.7 1.7 鏡像法與電軸法鏡像法與電軸法下 頁上 頁鏡像法與電軸法的基本思想鏡像法與電軸法的基本思想 根據(jù)唯一性定理，用虛設的簡單分布電荷替根據(jù)唯一性定理，用虛設的簡單分布電荷替代未知的復雜分布電荷，把求解偏微分方程的問代未知的復雜分布電荷，把求解偏微分方程的問題轉化為求解簡單分布電荷電場的問題。是一種題轉化為求解簡單分布電荷電場的問題。是一種間接計算方法。間接計算方法。1. 1. 點電荷對平面導體的鏡像點電荷對平面導體的鏡像場分布特點：場分布特點： 平面導體上產(chǎn)生負感應電荷平面導體上產(chǎn)生負感應電荷 電場為兩維子午平面場電場為兩維子午平面場電氣學院靜電場下 頁上 頁邊值問題邊

2、值問題0導板導板 SqSD d02 r04qr04 q上半空間的電位上半空間的電位導體平面上導體平面上040 rq方程相同，邊界條件相同，解唯一。方程相同，邊界條件相同，解唯一。感應電感應電荷產(chǎn)生荷產(chǎn)生的電位的電位電氣學院靜電場上半場域的電位和電場上半場域的電位和電場201044rqrqp 下 頁上 頁 - -q q 是虛設的電荷，稱為鏡像電荷，用來替代導板是虛設的電荷，稱為鏡像電荷，用來替代導板上復雜分布的感應電荷的作用；上復雜分布的感應電荷的作用；注意注意 鏡像電荷應放置在所求區(qū)域（有效區(qū)）以外；鏡像電荷應放置在所求區(qū)域（有效區(qū)）以外； 根據(jù)疊加原理，導板上方有任意分布的電荷時也可根據(jù)疊加

3、原理，導板上方有任意分布的電荷時也可作相應的鏡像。作相應的鏡像。pr1r22220121044rrperqerqE電氣學院靜電場下 頁上 頁q2q1q3q2q1q3-q2-q1-q3 - - 電氣學院靜電場地面上感應電荷的總量為地面上感應電荷的總量為垂直地面的電場分量垂直地面的電場分量EEE204cos2rqE2/3220)(2xhqh2/3220)(2xhqhEDnpxxxhqhSSpd2)(2d02/322q試求空氣中點電荷試求空氣中點電荷q q 在地面引起的感應電荷分布。在地面引起的感應電荷分布。解解下 頁上 頁例例應用鏡像法，地面任意點應用鏡像法，地面任意點 地面電荷分布地面電荷分布電

4、氣學院靜電場鏡像法小結鏡像法小結 鏡像法的理論依據(jù)是：鏡像法的理論依據(jù)是： 鏡像法的實質是：鏡像法的實質是： 鏡像法的關鍵是：鏡像法的關鍵是：鏡像電荷只能放在待求場域以外的區(qū)域。鏡像電荷只能放在待求場域以外的區(qū)域。 用虛設的簡單分布的鏡像電荷替代未知的復雜分布電用虛設的簡單分布的鏡像電荷替代未知的復雜分布電荷，使計算場域為無限大均勻媒質；荷，使計算場域為無限大均勻媒質；靜電場唯一性定理；靜電場唯一性定理； 確定鏡像電荷的個數(shù)，大小及位置以保證原場的邊值確定鏡像電荷的個數(shù)，大小及位置以保證原場的邊值問題不變；問題不變； 應用鏡像法解題時注意：應用鏡像法解題時注意：下 頁上 頁電氣學院靜電場電軸法

5、電軸法問題問題下 頁上 頁 長直平行雙傳輸線長直平行雙傳輸線 在傳輸線系統(tǒng)中，導線之間的在傳輸線系統(tǒng)中，導線之間的靜電感應作用使導線表面的電荷分靜電感應作用使導線表面的電荷分布不均勻，直接求解電場分布很困布不均勻，直接求解電場分布很困難。難。邊值問題邊值問題導線以外的空間導線以外的空間02 BSASSdDSdD constconst導體導體BA 電氣學院靜電場下 頁上 頁應用鏡像法求解應用鏡像法求解鏡像電荷鏡像電荷長直帶電細導線替代感應電荷的作用長直帶電細導線替代感應電荷的作用鏡像電荷的位置鏡像電荷的位置電軸法電軸法電氣學院靜電場 兩根細導線產(chǎn)生的電位兩根細導線產(chǎn)生的電位11001221CdQ

6、 lnCP120212 ln22022C ln下 頁上 頁 eE02細導線產(chǎn)生的電場細導線產(chǎn)生的電場電氣學院靜電場)(21 eeEP210112( ( 以以 y 軸為參考電位軸為參考電位) )例例b) 圓柱導線間的電場與電位圓柱導線間的電場與電位 解解a) 計算計算電軸位置電軸位置1202 lnp22ahb下 頁上 頁試求兩帶電長直平行傳輸線的電場及電位分布。試求兩帶電長直平行傳輸線的電場及電位分布。電氣學院靜電場xyEExydd42212212KbKyx)(E 線方程線方程下 頁上 頁22221202yxbyxbplnln 根據(jù)根據(jù)E得到得到 Ex 和和 Ey 分量分量電氣學院靜電場1.1.

7、兩導體的電容兩導體的電容1.8 1.8 電容和部分電容電容和部分電容 UQC 定義：定義：F , F，F(xiàn)p單位：單位：下 頁上 頁 線性系統(tǒng)中，帶有等量異號電荷的兩導體，其線性系統(tǒng)中，帶有等量異號電荷的兩導體，其電位差與電荷成正比，這個比值系數(shù)定義為兩導體電位差與電荷成正比，這個比值系數(shù)定義為兩導體的電容。的電容。-QQU+ +- -電氣學院靜電場電氣學院靜電場2.2.兩導體電容的計算兩導體電容的計算dlEdSEdlEdSDUQC 電容的計算是電場的計算電容的計算是電場的計算 給出了計算電容的方式：給出了計算電容的方式：UQCUQl d lEE設設下 頁上 頁表明表明UQC dSDQD E U

8、s或設或設電氣學院靜電場忽略邊緣效應忽略邊緣效應ablqdUbabaln22dEdSEdESEdSUqC0 試求平板電容器的電容。試求平板電容器的電容。下 頁上 頁例例解解ablUqC0ln2 試求長圓柱形電容器的電容。試求長圓柱形電容器的電容。例例解解b ba a設內(nèi)導體的電荷密度為設內(nèi)導體的電荷密度為 ，則，則電氣學院靜電場設內(nèi)導體的電荷為設內(nèi)導體的電荷為 q q ，則，則qSdSDrrrqrqeEeD2024,4)(baqrdEUba1140 同心球殼間的電壓同心球殼間的電壓ababUqC04 球形電容器的電容球形電容器的電容 試求同心球殼電容器的電容。試求同心球殼電容器的電容。下 頁上

9、 頁同心球殼電容器同心球殼電容器例例解解電氣學院靜電場ababUqC041 1）當）當 時時b孤立導體球的電容孤立導體球的電容下 頁上 頁討論討論aqUqC04 2 2）當）當 時時0dabdSdaababUqC020044 平板電容器的電容平板電容器的電容電氣學院靜電場設設da，電軸與幾何軸線重合，電軸與幾何軸線重合aadUln021 aadUCln00 試求兩線傳輸線之間的電容。試求兩線傳輸線之間的電容。下 頁上 頁例例解解aadln012 adaln022 注意注意 電容只與兩導體的幾何尺寸、相互電容只與兩導體的幾何尺寸、相互位置及周圍的介質有關。位置及周圍的介質有關。電氣學院靜電場3.

10、 3. 部分（分布）電容部分（分布）電容 三導體靜電獨立系統(tǒng)三導體靜電獨立系統(tǒng)下 頁上 頁 對于多導體系統(tǒng)，每兩個導體上的電壓受到所有導體對于多導體系統(tǒng)，每兩個導體上的電壓受到所有導體上電荷的影響，這時系統(tǒng)中導體電荷與導體電壓的關系不上電荷的影響，這時系統(tǒng)中導體電荷與導體電壓的關系不能僅用一個電容來表示而需引入部分電容的概念。能僅用一個電容來表示而需引入部分電容的概念。電氣學院靜電場 部分電容是否為零，取決于兩導體之間有否電力部分電容是否為零，取決于兩導體之間有否電力線相連；線相連； 部分電容可將場的概念與電路結合起來。部分電容可將場的概念與電路結合起來。下 頁上 頁 部分電容與電容網(wǎng)絡部分電

11、容與電容網(wǎng)絡結論結論電氣學院靜電場 PT的電干擾的電干擾 PTPT與與MOAMOA不同距離對不同距離對MOA電阻片電位分布的影響電阻片電位分布的影響電氣學院靜電場 PT與與MOA的耦合電路模型的耦合電路模型電氣學院靜電場下 頁上 頁MOA各測試點泄漏電流受各測試點泄漏電流受PT干擾變化的百分比干擾變化的百分比項目1m2m3m4m測試點13.544%2.632%2.351%1.930%測試點22.931%1.466%1.066%0.466%測試點31.113%0.705%0.519%0.223%測試點40.356%0.213%0.142%0.071%電氣學院靜電場CVT的電干擾分析的電干擾分析

12、CVT距距MOA不同距離對不同距離對MOA電阻片電位分布的影響電阻片電位分布的影響電氣學院靜電場下 頁上 頁CVT與避雷器的耦合電路模型與避雷器的耦合電路模型電氣學院靜電場下 頁上 頁MOA各測試點泄漏電流受各測試點泄漏電流受CVT干擾變化的百分比干擾變化的百分比項目1m2m3m4m測試點16.842%5.789%3.965%2.842%測試點22.198%1.799%1.332%0.933%測試點32.004%1.484%1.076%0.705%測試點41.351%1.067%0.782%0.533%電氣學院靜電場墻體的電干擾分析墻體的電干擾分析 墻體墻體距距MOA不同距離對不同距離對MOA

13、電阻片電位分布的影響電阻片電位分布的影響下 頁上 頁電氣學院靜電場下 頁上 頁 MOA與墻體的耦合電路模型與墻體的耦合電路模型電氣學院靜電場下 頁上 頁MOA各測試點泄漏電流受墻體干擾變化的百分比各測試點泄漏電流受墻體干擾變化的百分比 項目1m2m3m4m測試點1-12.67%-6.842%-4.07%-2.737%測試點2-8.861%-5.463%-3.065%-2.598%測試點38.423%6.160%4.193%3.006%測試點49.886%6.330%4.410%3.058%電氣學院靜電場用軟件建立用軟件建立GIS穿心式電流互感器模型結構穿心式電流互感器模型結構下 頁上 頁電氣學

14、院靜電場電流互感器工頻等效仿真電路模型電流互感器工頻等效仿真電路模型 下 頁上 頁電氣學院靜電場穿心式電磁式電流互感器高頻電路模型穿心式電磁式電流互感器高頻電路模型 下 頁上 頁電氣學院靜電場1.9 1.9 靜電能量與力靜電能量與力1. 靜電能量靜電能量 用場源表示靜電能量用場源表示靜電能量下 頁上 頁 電磁場是一種特殊形式的物質，能量是物質的電磁場是一種特殊形式的物質，能量是物質的屬性之一。電場能量是在建立電場過程中從與各導屬性之一。電場能量是在建立電場過程中從與各導體相連接的電源中取得的，因此電場儲能是外力做體相連接的電源中取得的，因此電場儲能是外力做功形成的。功形成的。討論前提討論前提a

15、)a) 線性系統(tǒng)；線性系統(tǒng)；b)b) 電場建立無限緩慢，忽略能量的輻射；電場建立無限緩慢，忽略能量的輻射；c)c) 沒有動能，只考慮位能。沒有動能，只考慮位能。電氣學院靜電場VmmqWdddVVVVmmWd21dd10下 頁上 頁 tt 000) 10( m m) 10( m mmdd電荷增量電荷增量Vmqdd設設將將dq電荷電荷移至電場中外源做功移至電場中外源做功電氣學院靜電場推廣推廣2 2： 若是帶電若是帶電導體導體系統(tǒng)，靜電能量為系統(tǒng)，靜電能量為iniiniSiiSqSSW 1121d21d21推廣推廣1 1 ：若是連續(xù)分布的電荷，：若是連續(xù)分布的電荷， lSVqd ,d ,ddVVW

16、dl21dS21d21lS下 頁上 頁VdVW 21注意注意上式建立在靜電場是位場的基礎上，只適用上式建立在靜電場是位場的基礎上，只適用于靜電場。于靜電場。電氣學院靜電場推廣推廣3 3： 若是若是 n 個點電荷的系統(tǒng)，靜電能量為個點電荷的系統(tǒng)，靜電能量為iniiqW121下 頁上 頁只含互有能只含互有能固有能和相互作用能固有能和相互作用能固有能固有能把某一區(qū)域的電荷從無窮遠聚攏到把某一區(qū)域的電荷從無窮遠聚攏到給定分布所需的功。給定分布所需的功?；ビ心芑ビ心馨迅鲄^(qū)域的電荷放置到各自給定位把各區(qū)域的電荷放置到各自給定位置所需的功。置所需的功。電氣學院靜電場設空間有兩個電荷分布區(qū)設空間有兩個電荷分布

17、區(qū)下 頁上 頁 說明要把一定量的電荷壓縮到幾何上的一個說明要把一定量的電荷壓縮到幾何上的一個點需要克服無窮大的斥力，需要作無窮大的功。點需要克服無窮大的斥力，需要作無窮大的功。同理，線電荷的固有能也為無窮大。對點、線電同理，線電荷的固有能也為無窮大。對點、線電荷只研究互有能。荷只研究互有能。點電荷點電荷q qV1 1V2 2 210d21d21iViiiiViV)(VW210d21dV21iVViiiiiiiV0iiiWW 當當0iViiiiW 電氣學院靜電場 半徑為半徑為a的球面帶電荷的球面帶電荷Q，球心放一點電荷球心放一點電荷q，求靜電能量。求靜電能量。互固WWW總aQar04)(aQq0

18、4 aQ0124球面電荷的固有能球面電荷的固有能21122121QqW互下 頁上 頁例例解解 qa822102QdSdSWSS固Q在在球面產(chǎn)生的電位球面產(chǎn)生的電位Q在在球心建立的電位球心建立的電位aq0214 q在在球面產(chǎn)生的電位球面產(chǎn)生的電位把點電荷從把點電荷從 移至球面移至球面中心所需作中心所需作的功的功電氣學院靜電場下 頁上 頁 用場量表示靜電能量用場量表示靜電能量VVWSdS21d21若用公式計算若用公式計算J d21 VWVED定義能量密度定義能量密度3J/m 21EDw各向同性均勻媒質各向同性均勻媒質DE222121w適用適用于靜于靜電場電場和時和時變場變場電氣學院靜電場 半徑為半

19、徑為a a的球面帶面電荷的球面帶面電荷Q，球心放一點電荷球心放一點電荷q，求靜求靜電能量。電能量。aQ)(qaq02024421下 頁上 頁例例解解 qarrrq022200d442VVVEVd2d21W20EDa22200d44Q2rrrqaQa0024q8Q點電荷的固有能點電荷的固有能電氣學院靜電場)qq(qWKKKe2211212121221CU下 頁上 頁 試求平板電容器的靜電能量。試求平板電容器的靜電能量。例例 平行板電容器平行板電容器解解帶電帶電導體導體系統(tǒng)系統(tǒng)qUqq21)(2121電容能量電容能量的計算式的計算式EDESdqUVWe212121w電氣學院靜電場2.2.靜電力靜電

20、力 (Electrostatic Force)下 頁上 頁1 1） 根據(jù)電場定義計算靜電力根據(jù)電場定義計算靜電力dqdEf dqEf注意上式使用的條件注意上式使用的條件 只適用于均勻介質只適用于均勻介質 式中的電場式中的電場E不包括不包括dq本身的貢獻本身的貢獻矢量積分矢量積分電氣學院靜電場3 3） 根據(jù)法拉第觀點計算靜電力根據(jù)法拉第觀點計算靜電力 法拉第認為，在場中沿通量線作一通量管，沿其軸向受法拉第認為，在場中沿通量線作一通量管，沿其軸向受到電場的縱張力，垂直于軸線方向受到側壓力，到電場的縱張力，垂直于軸線方向受到側壓力，縱張力和側縱張力和側壓力大小相等，為：壓力大小相等，為：EDf21)(2mN下 頁上 頁 電位移管受力情況電位移管受力情況 物體受力情況物體受力情況電氣學院靜電場下 頁上 頁2202dUSf 如平板電容器極板受力大小：如平板電容器極板受力大?。簶O板單位面積受力大?。簶O板單位面積受力大?。篋EdU/SdUSf2122220220 應用法拉第對電場應