【全國省級聯(lián)考word】湖南省2017屆高三摸底聯(lián)考（全國卷）理數(shù)試題

1、 數(shù)學（理）試題第卷（共60分）一、選擇題：本大題共12個小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，則（ ）A B C D2.已知為虛數(shù)單位，設復數(shù)，則的虛部為（ ）A B C2 D-23.已知雙曲線的實軸長為4，則雙曲線的漸近線方程為（ ）A B C D 4.在等比數(shù)列中，是方程的兩根，則（ ）A6 B2 C.2或6 D-25.設實數(shù)，則（ ）A B C. D6.執(zhí)行如下程序，輸出的值為（ ）A B C. D7.函數(shù)的大致圖象是（ ）A B C. D8.如圖，邊長為1的網(wǎng)格上為某幾何體的三視圖，則該幾何體的體積為（ ）A B C. D9.2

2、016年11月16日18日，備受世界矚目的第三屆世界互聯(lián)網(wǎng)大會在浙江烏鎮(zhèn)召開，會議期間，組委會將這六名工作人員分配到兩個不同的地點參與接待工作，若要求必須相同，且每組至少2人，則不同的分配方法有（ ）A18種 B20種 C. 22種 D以上都不對10.設拋物線的焦點為，準線為，為拋物線上的一點，且，為垂足，若直線的傾斜角為，則（ ）A1 B C.2 D11.已知是正三棱椎，其外接球的表面積為，且，則三棱錐的體積為（ ）A B C. D12.若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則實數(shù)的取值范圍是（ ）A B C. D第卷（共90分）二、填空題（每題5分，滿分20分，將答案填在答題紙上）13.已知二項式的展開

3、式中第3項與第4項的二項式系數(shù)最大，則展開式中含項的系數(shù)為 14.已知菱形的中心為，則等于 15.意大利數(shù)學家列昂納多·斐波那契以兔子繁殖為例，引入“兔子數(shù)列”：1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,114,233，即，此數(shù)列在現(xiàn)代物理、準晶體結構、化學等領域都有著廣泛的應用，若此數(shù)列被3整除后的余數(shù)構成一個新數(shù)列，則 16.已知滿足約束條件，若不等式恒成立，則實數(shù)的最大值是 三、解答題 （本大題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.） 17. （本小題滿分12分）設銳角中，角的對邊分別為，且是與的等差中項.（）求角的大??；（）若，求面積的最大值

4、.18.（本小題滿分12分）如圖，在四棱錐中，平面，于點，為線段上一點，且.（）求證：平面；（）若，且，求二面角的余弦值.19.（本小題滿分12分）某市需對某環(huán)城快速車道進行限速，為了調(diào)研該道路車速情況，于某個時段隨機對100輛車的速度進行取樣，測量的車速制成如下條形圖：經(jīng)計算：樣本的平均值，標準差，以頻率值作為概率的估計值.已知車速過慢與過快都被認為是需矯正速度，現(xiàn)規(guī)定車速小于或車速大于是需矯正速度.（）從該快速車道上所有車輛中任取1個，求該車輛是需矯正速度的概率；（）從樣本中任取2個車輛，求這2個車輛均是需矯正速度的概率；（）從該快速車道上所有車輛中任取2個，記其中是需矯正速度的個數(shù)為，求

5、的分布列和數(shù)學期望.20.（本小題滿分12分）已知橢圓的一個頂點坐標為，離心率為.（）求橢圓的標準方程；（）若點是橢圓上的動點（不在軸上），過右焦點作直線的垂線交直線于點.判斷點運動時，直線與橢圓的位置關系，并證明你的結論.21.（本小題滿分12分）已知函數(shù)的圖象在點處的切線方程為.（）求實數(shù)的值及函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（）當時，比較與（為自然對數(shù)的底數(shù)）的大小.請考生在22、23兩題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分.22. （本小題滿分10分）選修4-4：坐標系與參數(shù)方程已知直線，以原點為極點，軸非負半軸為極軸，取相同長度單位建立極坐標系，曲線的極坐標方程為.（）將直線寫成參數(shù)方程（

6、為參數(shù)，）的形式，并求曲線的直角坐標方程；（）設直線與曲線交于點（點在第一象限）兩點，若點的直角坐標為，求的面積.23. （本小題滿分10分）選修4-5：不等式選講已知函數(shù).（）若，求函數(shù)的值域；（）若，解不等式.試卷答案一、選擇題1. 【解析】集合，因此.故選.2. 【解析】，故，其虛部為2.故選.3. 【解析】實軸長，故，因此漸近線方程為，故選.4. 【解析】因為是方程的兩根，所以，所以，又數(shù)列為等比數(shù)列，所以，所以，所以，故選.5. 【解析】，且，易求得，故，故選.6. 【解析】依題意可得，故選.7. 【解析】由題得，所以不選項.當時，故排除項.故選.8. 【解析】依據(jù)三視圖，知所求幾何

7、體是底面為等腰直角三角形的三棱錐和一個半圓錐的組合體，故其體積為，故選.9. 【解析】分組的方案有2、4和3、3兩類.第一類有種不同的分配方法；第二類有種不同的分配方法，故共有種不同的分配方法，故選.10. 【解析】中，拋物線焦點到準線的距離，故.所以，又，所以，故選.11. 【解析】如圖，設的中心為，易知球的半徑，設的邊長為，中，解得，三棱錐的體積.故選. 12. 【解析】.，依題意，函數(shù)在區(qū)間上為減函數(shù)，故恒成立，因此在區(qū)間上恒成立，令，因此，若對恒成立，即，因為，故恒成立，即，設，則，故在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，所以.故選.二、填空題13.90 【解析】依題意知，的通項公式為，令，得，故含

8、項的系數(shù)為. 14. 【解析】. 15.1 【解析】斐波那契數(shù)列的前幾項為1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377,610,987，則數(shù)列的前幾項為1,1,2,0,2,2,1,0,1,1,2,0,2,2,1,0，因此數(shù)列是周期數(shù)列，其周期為8，因此. 16. 【解析】作出不等式組表示的可行域，如圖.令，可知為點與可行域內(nèi)點的連線的斜率，由圖知的取值范圍是，即.恒成立，又，而當時，故，因此.所以實數(shù)的最大值是.三、解答題，.又為銳角，.（），當且僅當時，取等號.的面積.即面積的最大值為（當且僅當時，等號成立）.18.解：（），平面，平面，.又平面，平面，.又都

9、是平面中的直線，.又平面，平面.（），且，又，在中，同理，.由（），知平面，以為坐標原點，分別以所在直線為軸，軸，軸建立空間直角坐標系，則，.則，.設平面的一個法向量為，則，即，取，則，即.取棱的中點，連接.易證得平面.平面的一個法向量為.易知二面角所成的平面角為銳角，二面角的余弦值為.19.解：（）記事件為“從該快速車道上所有車輛中任取1個，該車輛是需矯正速度”.因為，由樣本條形圖可知，所求的概率為.（）記事件為“從樣本中任取2個車輛，這2個車輛均是需矯正速度”.由題設可知樣本容量為100，又需矯正速度個數(shù)為5個，故所求概率為.（）需矯正速度的個數(shù)服從二項分布，即，因此的分布列為由，知數(shù)學期

10、望.20.解：（）由題意得，所以，因此，所以橢圓的標準方程為.（）易知.設點，則，由，得，所以，所以直線的方程為，即，將代入化簡，得，即，代入橢圓方程，得，即，即，其判別式，所以直線與橢圓相切.21.解：（）函數(shù)的定義域為，因為的圖象在點處的切線方程為，所以，解得，.所以.所以.令，得，當時，單調(diào)遞增；當時，單調(diào)遞減.所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.（）當時，.證明如下：因為時單調(diào)遞減，且，又，當時，單調(diào)遞增，且.若，則必都大于1，且必有一個小于，一個大于.不防設，當時，必有.當時，設，則.因為，所以.故.又，所以.所以在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增.所以.所以.因為，所以，又因為在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，所以，即.綜上，當時，.22.解：（）直線的傾斜角為，因此寫成參數(shù)方程的形式