計算機(jī)數(shù)據(jù)表示與算法

1、計算機(jī)數(shù)據(jù)表示與算法計算機(jī)數(shù)據(jù)表示與算法二進(jìn)制乘法和加法都是通過對二進(jìn)制數(shù)的移位來實(shí)現(xiàn)的，移位相當(dāng)于×2，計算機(jī)算根據(jù)給出的加法式子與乘法式子算要移多少位。擴(kuò)展：一、二進(jìn)制數(shù)據(jù)的表示法二進(jìn)制數(shù)據(jù)也是采用位置計數(shù)法，其位權(quán)是以2為底的冪。例如二進(jìn)制數(shù)據(jù)110.11，其權(quán)的大小順序?yàn)?2、21、20、2-1、2-2。對于有n位整數(shù)，m位小數(shù)的二進(jìn)制數(shù)據(jù)用加權(quán)系數(shù)展開式表示，可寫為：（a(n-1)a(n-2)a(-m)）2a(n-1)×2(n-1)+a(n-2)×2(n-2)+a(1)×21+a(0)×20+a(-1)×2(-1)+a(-2

2、)×2(-2)+a(-m)×2(-m)二進(jìn)制數(shù)據(jù)一般可寫為：（a(n-1)a(n-2)a(1)a(0).a(-1)a(-2)a(-m)）2。注意：1.式中aj表示第j位的系數(shù)，它為0和1中的某一個數(shù)。2.a(n-1)中的(n-1)為下標(biāo)，輸入法無法打出所以用括號括住，避免混淆。3.22表示2的平方，以此類推。【例1102】將二進(jìn)制數(shù)據(jù)111.01寫成加權(quán)系數(shù)的形式。解：（111.01）2(1×22)+(1×21)+(1×20)+(0×2-1)+(1×2-2)二進(jìn)制和十六進(jìn)制，八進(jìn)制一樣，都以二的冪來進(jìn)位的。二二進(jìn)制數(shù)據(jù)的算術(shù)

3、運(yùn)算的基本規(guī)律和十進(jìn)制數(shù)的運(yùn)算十分相似。最常用的是加法運(yùn)算和乘法運(yùn)算。1. 二進(jìn)制加法 有四種情況： 0+000+111+01 1+110 進(jìn)位為1【例1103】求 (1101)2+(1011)2 的和解：1 1 0 1+ 1 0 1 1-1 1 0 0 02. 二進(jìn)制乘法有四種情況：0×001×000×101×11【例1104】求 (1110)2 乘(101)2 之積解： 1 1 1 0× 1 0 1- 1 1 1 0 0 0 0 01 1 1 0 -1 0 0 0 1 1 0 (這些計算就跟十進(jìn)制的加或者乘法相同，只是進(jìn)位的數(shù)不一樣而已,十

4、進(jìn)制的是到十才進(jìn)位這里是到2就進(jìn)了)3.二進(jìn)制減法000，101，110，1011。4.二進(jìn)制除法0÷10，1÷11。125.二進(jìn)制拈加法拈加法二進(jìn)制加減乘除外的一種特殊算法。拈加法運(yùn)算與進(jìn)行加法類似，但不需要做進(jìn)位。三.二進(jìn)制數(shù)的邏輯運(yùn)算 邏輯運(yùn)算結(jié)果是“1”或“0”，它代表了所要研究問題的兩種狀態(tài)或可能性，賦予邏輯含義，可以表示“真”與“假”、“是”與“否”、“有”與“無”。 計算機(jī)中，只有用“1”或“0”兩種取值表示的變量，即具有邏輯屬性的變量稱為邏輯變量。 邏輯運(yùn)算與算術(shù)運(yùn)算的主要區(qū)別是：邏輯運(yùn)算是按位進(jìn)行的，位與位之間不像加、減運(yùn)算那樣有進(jìn)位或借位的聯(lián)系。 邏輯運(yùn)

5、算包括三種基本運(yùn)算：邏輯加法、邏輯乘法和邏輯否定。此外，還可以導(dǎo)出異或運(yùn)算、同或運(yùn)算以及與或非運(yùn)算等。下面介紹4種運(yùn)算：（1）邏輯加法（又稱“或”運(yùn)算）A.運(yùn)算符邏輯加法通常用符號“+”或“”來表示。設(shè)邏輯變量A、B、C，它們的邏輯加運(yùn)算關(guān)系是：A+B=C 或者寫成 AB=C，讀作“A或B等于C”。B.邏輯加運(yùn)算規(guī)則 A + B = C A B = C0 + 0 = 0 0 0 = 00 + 1 = 1 0 1 = 11 + 0 = 1 1 0 = 11 + 1 = 1 1 1 = 1結(jié)論：在給定的邏輯變量中，只要有一個為1，“或”運(yùn)算的結(jié)果就

6、為1。（2）邏輯乘法（又稱“與”運(yùn)算）A.運(yùn)算符邏輯乘法通常用符號“×”或“”或“”表示。設(shè)邏輯變量A、B、C，它們的邏輯乘運(yùn)算關(guān)系是：AB = C ，A B = C ， AB = C。讀作“A與B等于C”。B.邏輯乘運(yùn)算規(guī)則A × B = C A B = C AB = C  0 × 0 = 0 0 0 = 0 00 = 00 × 1 = 0 0 1 = 0 01 = 01 × 0 = 0 1 0 = 0 10 = 01 × 1 = 1

7、 1 1 = 1 11 = 1結(jié)論：邏輯乘法是“與”的含義，它表示只有參加運(yùn)算的邏輯變量取值都為1時，邏輯乘積才等于1。（3）邏輯否定（非運(yùn)算）A.運(yùn)算符邏輯非運(yùn)算是在邏輯變量的上方加一橫線。B.運(yùn)算規(guī)則設(shè)邏輯變量A，其運(yùn)算規(guī)則為：A A 0 1 讀作0非等于11 0 讀作1非等于0（4）異或邏輯運(yùn)算A.運(yùn)算符“異或”運(yùn)算通常用符號“”表示。B.運(yùn)算規(guī)則按位加，即不帶進(jìn)位的加法。設(shè)邏輯變量A、B、C，它的運(yùn)算規(guī)則為：A B = C ，讀作：“A同B異或等于C”。AB = C 00 = 001 = 110

8、= 111 = 0結(jié)論：在A、B兩個邏輯變量中，只要兩個邏輯變量的值相同，“異或”運(yùn)算的結(jié)果就為0；當(dāng)兩個邏輯變量的值不同時，“異或”運(yùn)算的結(jié)果才為1。以上介紹的四種邏輯運(yùn)算在匯編和高級語言里，常用“OR”表示“或”，“AND”表示“與”，“NOT”表示“非”，“XOR”表示“異或”。需要指出的是，計算機(jī)可以一次對不同種類的多個邏輯變量進(jìn)行運(yùn)算，它們將按照邏輯運(yùn)算符的優(yōu)先順序進(jìn)行，最終出現(xiàn)一個結(jié)果“真”（用1表示）或“假”（用0表示）。四原碼 反碼 補(bǔ)碼 移碼4.移碼：移碼只用于表示浮點(diǎn)數(shù)的階碼，所以只用于整數(shù)。 移碼的定義：設(shè)由1位符號位和n位數(shù)值位組成的階碼，則 X移=2n + X

9、0;    -2nX 2n例如： X=1011     X移=11011     符號位“1”表示正號              X=1011     X移=00101     符號位“0”表示負(fù)號 移碼與補(bǔ)碼的關(guān)系： X移與X補(bǔ)的關(guān)系是符號位互為反碼，例如： X=1011

10、60;    X移=11011     X補(bǔ)=01011               X=1011     X移=00101     X補(bǔ)=10101  移碼運(yùn)算應(yīng)注意的問題：對移碼運(yùn)算的結(jié)果需要加以修正，修正量為2n ，即對結(jié)果的符號位取反后才是移碼形式的正確結(jié)果。移碼表示中，0有唯一的編碼100

11、000，當(dāng)出現(xiàn)00000時（表示2n），屬于浮點(diǎn)數(shù)下溢。二、補(bǔ)碼加、減運(yùn)算規(guī)則1、運(yùn)算規(guī)則XY補(bǔ)= X補(bǔ) Y補(bǔ)XY補(bǔ)= X補(bǔ) Y補(bǔ)若已知Y補(bǔ)，求Y補(bǔ)的方法是：將Y補(bǔ)的各位（包括符號位）逐位取反再在最低位加1即可。例如：Y補(bǔ)= 101101 Y補(bǔ)= 010011 2、溢出判斷，一般用雙符號位進(jìn)行判斷：符號位00 表示正數(shù) 11 表示負(fù)數(shù)結(jié)果的符號位為01時，稱為上溢；為10時，稱為下溢例題：設(shè)x=0.1101，y=0.0111，符號位為雙符號位用補(bǔ)碼求x+y，xy x補(bǔ)+y補(bǔ)=00 1101+11 1001=00 0110 xy補(bǔ)=x補(bǔ)+y補(bǔ)=00 1101+00

12、0111=01 0100結(jié)果錯誤，正溢出三、原碼一位乘的實(shí)現(xiàn)：設(shè)X=0.1101，Y=0. 1011，求X*Y解：符號位單獨(dú)處理， x符 y符數(shù)值部分用原碼進(jìn)行一位乘，如下圖所示： 高位部分積 低位部分積/乘數(shù)說明      0 0 0 0 0 0   1 0 1 1 起始情況） 0 0 1 1 0 1  乘數(shù)最低位為1，+X          0 0 1 1 0 1 

13、;        0 0 0 1 1 0  1 1 0 11(丟)右移部分積和乘數(shù) ） 0 0 1 1 0 1  乘數(shù)最低位為1，+X          0 1 0 0 1 1          0 0 1 0 0 1  1 1 1 0 1(丟)右移部分積和乘數(shù)

14、0;） 0 0 0 0 0 0  乘數(shù)最低位為0，+0          0 0 1 0 0 1          0 0 0 1 0 0  1 1 1 10(丟)右移部分積和乘數(shù) ） 0 0 1 1 0 1  乘數(shù)最低位為1，+X          0 1

15、0 0 0 1          0 0 1 0 0 0 1 1 1 11(丟)右移部分積和乘數(shù)     四、原碼一位除的實(shí)現(xiàn)：一般用不恢復(fù)余數(shù)法（加減交替法） 部分積低位部分積 附加位操作說明      0 0 0 0 0 0    1 0 1 1 起始情況） 0 0 0 0 0 0  乘數(shù)最低位為1，+X 

16、0;        0 0 0 0 0 0         0 0 0 0 0 0  1 1 0 11(丟)右移部分積和乘數(shù) ） 1 1 0 0 1 1  乘數(shù)最低位為1，+X          0 1 0 0 1 1       

17、0;  0 0 1 0 0 1  1 1 1 0 1(丟)右移部分積和乘數(shù) ） 0 0 0 0 0 0  乘數(shù)最低位為0，+0          0 0 1 0 0 1          0 0 0 1 0 0  1 1 1 10(丟)右移部分積和乘數(shù) ） 0 0 1 1 0 1  乘數(shù)最低位為1，

18、+X          0 1 0 0 0 1          0 0 1 0 0 0 1 1 1 11(丟)右移部分積和乘數(shù)§2.5 浮點(diǎn)運(yùn)算與浮點(diǎn)運(yùn)算器一、浮點(diǎn)數(shù)的運(yùn)算規(guī)則1、浮點(diǎn)加減法的運(yùn)算步驟設(shè)兩個浮點(diǎn)數(shù) X=Mx2Ex Y=My2Ey實(shí)現(xiàn)X±Y要用如下5步完成：對階操作：小階向大階看齊進(jìn)行尾數(shù)加減運(yùn)算規(guī)格化處理：尾數(shù)進(jìn)行運(yùn)算的結(jié)果必須變成規(guī)格化的浮點(diǎn)數(shù)，對于雙符號位的補(bǔ)碼尾數(shù)

19、來說，就必須是001××××× 或110×××××的形式若不符合上述形式要進(jìn)行左規(guī)或右規(guī)處理。舍入操作：在執(zhí)行對階或右規(guī)操作時常用“0”舍“1”入法將右移出去的尾數(shù)數(shù)值進(jìn)行舍入，以確保精度。判結(jié)果的正確性：即檢查階碼是否溢出若階碼下溢（移碼表示是000），要置結(jié)果為機(jī)器0；若階碼上溢（超過了階碼表示的最大值）置溢出標(biāo)志。例題：假定X=0 .0110011*211，Y=0.1101101*2-10（此處的數(shù)均為二進(jìn)制） ? 計算X+Y；解：X浮： 0 1 010 1100110 

20、0;  Y?。?0 0 110 1101101            符號位 階碼 尾數(shù)第一步：求階差： E=|1010-0110|=0100第二步：對階：Y的階碼小， Y的尾數(shù)右移4位        Y浮變?yōu)?0 1 010 0000110 1101暫時保存 第三步：尾數(shù)相加，采用雙符號位的補(bǔ)碼運(yùn)算     00 1100110  &#

21、160; +00 0000110     00 1101100第四步規(guī)格化：滿足規(guī)格化要求 第五步：舍入處理，采用0舍1入法處理故最終運(yùn)算結(jié)果的浮點(diǎn)數(shù)格式為： 0 1 010 1101101，即X+Y=+0. 1101101*210 2、浮點(diǎn)乘除法的運(yùn)算步驟階碼運(yùn)算：階碼求和（乘法）或階碼求差（除法）    即  Ex+Ey移= Ex移+ Ey補(bǔ)         ExEy移= Ex移+ Ey補(bǔ)浮點(diǎn)數(shù)的尾數(shù)處理：浮點(diǎn)數(shù)

22、中尾數(shù)乘除法運(yùn)算結(jié)果要進(jìn)行舍入處理例題：X=0 .0110011*211，Y=0.1101101*2-10求XY解：X?。?0 1 010 1100110    Y?。?0 0 110 1101101第一步：階碼相加 Ex+Ey移=Ex移+Ey補(bǔ)=1 010+1 110=1 000 1 000為移碼表示的0第二步：原碼尾數(shù)相乘的結(jié)果為：0 10101101101110第三步：規(guī)格化處理：已滿足規(guī)格化要求，不需左規(guī)，尾數(shù)不變，階碼不變。第四步：舍入處理：按舍入規(guī)則，加1進(jìn)行修正所以 XY= 0.10101112+000 4.移碼：移碼只用于表示浮

23、點(diǎn)數(shù)的階碼，所以只用于整數(shù)。 移碼的定義：設(shè)由1位符號位和n位數(shù)值位組成的階碼，則 X移=2n + X     -2nX 2n例如： X=1011     X移=11011     符號位“1”表示正號              X=1011     X移=00101   

24、60; 符號位“0”表示負(fù)號 移碼與補(bǔ)碼的關(guān)系： X移與X補(bǔ)的關(guān)系是符號位互為反碼，例如： X=1011     X移=11011     X補(bǔ)=01011               X=1011     X移=00101     X補(bǔ)=10101  移碼運(yùn)算應(yīng)注意的問題：對移碼運(yùn)算的結(jié)

25、果需要加以修正，修正量為2n ，即對結(jié)果的符號位取反后才是移碼形式的正確結(jié)果。移碼表示中，0有唯一的編碼100000，當(dāng)出現(xiàn)00000時（表示2n），屬于浮點(diǎn)數(shù)下溢。二、補(bǔ)碼加、減運(yùn)算規(guī)則1、運(yùn)算規(guī)則XY補(bǔ)= X補(bǔ) Y補(bǔ)XY補(bǔ)= X補(bǔ) Y補(bǔ)若已知Y補(bǔ)，求Y補(bǔ)的方法是：將Y補(bǔ)的各位（包括符號位）逐位取反再在最低位加1即可。例如：Y補(bǔ)= 101101 Y補(bǔ)= 010011 2、溢出判斷，一般用雙符號位進(jìn)行判斷：符號位00 表示正數(shù) 11 表示負(fù)數(shù)結(jié)果的符號位為01時，稱為上溢；為10時，稱為下溢例題：設(shè)x=0.1101，y=0.0111，符號位為雙符號位用補(bǔ)碼求x+y，xy x

26、補(bǔ)+y補(bǔ)=00 1101+11 1001=00 0110 xy補(bǔ)=x補(bǔ)+y補(bǔ)=00 1101+00 0111=01 0100結(jié)果錯誤，正溢出三、原碼一位乘的實(shí)現(xiàn)：設(shè)X=0.1101，Y=0. 1011，求X*Y解：符號位單獨(dú)處理， x符 y符數(shù)值部分用原碼進(jìn)行一位乘，如下圖所示： 高位部分積 低位部分積/乘數(shù)說明      0 0 0 0 0 0   1 0 1 1 起始情況） 0 0 1 1 0 1  乘數(shù)最低位為1，+X  

27、0;       0 0 1 1 0 1         0 0 0 1 1 0  1 1 0 11(丟)右移部分積和乘數(shù) ） 0 0 1 1 0 1  乘數(shù)最低位為1，+X          0 1 0 0 1 1        

28、0; 0 0 1 0 0 1  1 1 1 0 1(丟)右移部分積和乘數(shù) ） 0 0 0 0 0 0  乘數(shù)最低位為0，+0          0 0 1 0 0 1          0 0 0 1 0 0  1 1 1 10(丟)右移部分積和乘數(shù) ） 0 0 1 1 0 1  乘數(shù)最低位為1，+X

29、0;         0 1 0 0 0 1          0 0 1 0 0 0 1 1 1 11(丟)右移部分積和乘數(shù)     四、原碼一位除的實(shí)現(xiàn)：一般用不恢復(fù)余數(shù)法（加減交替法） 部分積低位部分積 附加位操作說明      0 0 0 0 0 0    1 0 1 1

30、 起始情況） 0 0 0 0 0 0  乘數(shù)最低位為1，+X          0 0 0 0 0 0         0 0 0 0 0 0  1 1 0 11(丟)右移部分積和乘數(shù) ） 1 1 0 0 1 1  乘數(shù)最低位為1，+X          0

31、1 0 0 1 1          0 0 1 0 0 1  1 1 1 0 1(丟)右移部分積和乘數(shù) ） 0 0 0 0 0 0  乘數(shù)最低位為0，+0          0 0 1 0 0 1          0 0 0 1 0 0  1 1

32、 1 10(丟)右移部分積和乘數(shù) ） 0 0 1 1 0 1  乘數(shù)最低位為1，+X          0 1 0 0 0 1          0 0 1 0 0 0 1 1 1 11(丟)右移部分積和乘數(shù)§2.5 浮點(diǎn)運(yùn)算與浮點(diǎn)運(yùn)算器一、浮點(diǎn)數(shù)的運(yùn)算規(guī)則1、浮點(diǎn)加減法的運(yùn)算步驟設(shè)兩個浮點(diǎn)數(shù) X=Mx2Ex Y=My2Ey實(shí)現(xiàn)X±Y要用如下5步完成：對階操作：小階向大階看齊進(jìn)行尾數(shù)加減運(yùn)算規(guī)格化處理：尾數(shù)進(jìn)行運(yùn)算的結(jié)果必須變成規(guī)格化的浮點(diǎn)數(shù)，對于雙符號位的補(bǔ)碼尾數(shù)來說，就必須是001××××× 或110×××××的形式若不符合上述形式要進(jìn)行左規(guī)或右規(guī)處理。舍入操作：在執(zhí)行