二分法求方程的近似解

1、13.1.2 用二分法用二分法 求方程的近似解求方程的近似解復(fù)習(xí)思考復(fù)習(xí)思考：1.函數(shù)的零點函數(shù)的零點2.零點存在的判定零點存在的判定3.零點個數(shù)的求法零點個數(shù)的求法 使使f(x)=0的實數(shù)的實數(shù)x叫做函數(shù)叫做函數(shù)y=f(x)的零點的零點()0()()fxyfxxyfx方 程有 實 數(shù) 根函 數(shù)的 圖 象 與軸 有 交 點函 數(shù)有 零 點( ) , f xa b 如果函數(shù)y=在區(qū)間上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有f(a)f(b)0,那么，函數(shù)y=f(x)在區(qū)間（a,b）內(nèi)有零點，即存在c(a,b),使得f(c)=0,這個c也就是方程f(x)=0的根. 代數(shù)法代數(shù)法 圖像法圖像法有有12個球

2、個球,其中有一個比別的球重其中有一個比別的球重,你用天平你用天平稱幾次可以找出這個球稱幾次可以找出這個球?次數(shù)越少越好次數(shù)越少越好 ? 第一次第一次,兩端各放兩端各放6個個,低的那端有重球低的那端有重球. 第二次第二次,兩端各放兩端各放3個個,低的那端有重球低的那端有重球. 第三次第三次,兩端各放兩端各放1個個,如果平了如果平了,剩下的剩下的那個就是那個就是,否則低的那端那個就是否則低的那端那個就是!問題問題1： CCTV2“CCTV2“幸運幸運52”52”片段片段 ： 主持人李詠說道主持人李詠說道: :猜一猜這架家用型數(shù)猜一猜這架家用型數(shù)碼相機(jī)的價格碼相機(jī)的價格. .觀眾甲觀眾甲:2000!

3、:2000!李詠李詠: :高了高了! ! 觀眾乙觀眾乙:1000! :1000! 李詠李詠: :低了低了! ! 觀眾丙觀眾丙:1500! :1500! 李詠李詠: :還是低了還是低了! 問題問題: :你知道這件商品的價格在什么你知道這件商品的價格在什么范圍內(nèi)嗎范圍內(nèi)嗎? ? 問題問題: :若接下來讓你猜的話若接下來讓你猜的話, ,你會猜你會猜多少價格比較合理呢多少價格比較合理呢? ?答案答案: :15001500至至20002000之間之間問題問題2：5問題問題3：從某水庫閘房到防洪指揮部的從某水庫閘房到防洪指揮部的某一處電話線路發(fā)生了故障。這是一某一處電話線路發(fā)生了故障。這是一條條10km1

4、0km長的線路，如何迅速查出故障長的線路，如何迅速查出故障所在？所在？6如圖如圖, ,設(shè)閘門和指揮部的所在處為點設(shè)閘門和指揮部的所在處為點A,B, A,B, BAC6.6.這樣每查一次這樣每查一次, ,就可以把待查的線路長度縮減一半就可以把待查的線路長度縮減一半 1.1.首先從中點首先從中點C C查查2.2.用隨身帶的話機(jī)向兩端測試時用隨身帶的話機(jī)向兩端測試時, ,發(fā)現(xiàn)發(fā)現(xiàn)ACAC段正常段正常, ,斷定斷定 故障在故障在BCBC段段3.3.再到再到BCBC段中點段中點D D4.4.這次發(fā)現(xiàn)這次發(fā)現(xiàn)BDBD段正常段正常, ,可見故障在可見故障在CDCD段段5.5.再到再到CDCD中點中點E E來

5、看來看DE 1.如何求方程的解：如何求方程的解： x2-2x-1=0 問題問題4：2.若不用求根公式能否求出近似解？若不用求根公式能否求出近似解？12 X= （x=2.4142或-0.4142）3.借助圖像借助圖像4.能否使解更精確？能否使解更精確？xyy=x2-2x-11203-123xy0y=x2-2x-12.52.3752.252.4375 “取區(qū)間中點”區(qū)間a，b中點c=2ba分析：如何求方程分析：如何求方程 x2-2x-1=0 的一個正的近似解的一個正的近似解 . （精確度（精確度0.05）方法探究方法探究- +2 3f(2)0 2x13- +2 2.5 3f(2)0 2x12.5-

6、 +2 2.25 2.5 3f(2.25)0 2.25x12.5- +2 2.375 2.5 3f(2.375)0 2.375x12.5- +2 2.375 2.4375 3f(2.375)0 2.375x12.4375- +2 2.40625 2.4375 3f(2.40625)0 2.40625x12.437540625. 21xX=|2.4375-2.40625|=0.031250.05精確度精確度:|a-b| x1 函數(shù)函數(shù)f(x)=lnx+2x-6在區(qū)間（在區(qū)間（2，3）內(nèi)有零點）內(nèi)有零點如何求出這個零點？如何求出這個零點？有點困難有點困難??？x0246105y24108612148

7、764321962ln)(xxxff(2)f(3)0062ln xx區(qū) 間(a,b)中點的值cf(c)近似值|a-b|2.52.752.6252.56252.531252.5468752.53906252.53515625-0.0840.5120.2150.066-0.0090.0290.0100.001(精確度精確度0.01)（2，3）求方程求方程的近似解的近似解（2.5，3）（2.5，2.75）（2.5，2.625）（2.5，2.5625）（2.53125，2.5625） （2.53125，2.546875） （2.53125，2.5390625）1 10.50.50.250.250.12

8、50.1250.06250.06250.031250.031250.0156250.0156250.0078130.007813二分法：對于在區(qū)間對于在區(qū)間a，b上連續(xù)不斷上連續(xù)不斷且且f(a) f(b)0的函數(shù)的函數(shù)y=f(x)，通過不斷地，通過不斷地把函數(shù)把函數(shù)f(x)的零點所在的區(qū)間一分為二，的零點所在的區(qū)間一分為二，使區(qū)間的兩個端點逐步逼近零點，進(jìn)而得使區(qū)間的兩個端點逐步逼近零點，進(jìn)而得到零點近似值的方法叫做二分法到零點近似值的方法叫做二分法。一、定義一、定義思考思考1:1:求函數(shù)求函數(shù)f(x)f(x)的零點近似值第一步的零點近似值第一步應(yīng)做什么？應(yīng)做什么？ 思考思考2:2:為了縮小零

9、點所在區(qū)間的范圍，為了縮小零點所在區(qū)間的范圍，接下來應(yīng)做什么？接下來應(yīng)做什么？ 確定區(qū)間確定區(qū)間a,ba,b，使，使 f(a)f(b)f(a)f(b)0 0 求區(qū)間的中點求區(qū)間的中點c，并計算，并計算f(c)f(c)的值的值 思考思考3:3:若若f(c)=0f(c)=0說明什么？說明什么？ 若若f(a)f(c)f(a)f(c)0 0或或f(c)f(b)f(c)f(b)0 0 ，則，則分別說明什么？分別說明什么？ 若若f(c)=0f(c)=0 ，則，則c c就是函數(shù)的零點；就是函數(shù)的零點； 若若f(a)f(c)f(a)f(c)0 0 ，則零點，則零點x x0 0(a,c)(a,c)；若若f(c)

10、f(b)f(c)f(b)0 0 ，則零點，則零點x x0 0(c,b).(c,b).思考思考4:4:若給定精確度若給定精確度，如何選取近似，如何選取近似值？值？ 當(dāng)當(dāng)| |ab| |時，區(qū)間時，區(qū)間 a，b 內(nèi)的任意內(nèi)的任意一個值都是函數(shù)零點的近似值一個值都是函數(shù)零點的近似值. . 二、給定精確度二、給定精確度 ，用二分法求函數(shù)，用二分法求函數(shù)f(x)零零點近似值的步驟如下：點近似值的步驟如下：1、確定區(qū)間、確定區(qū)間a，b，驗證，驗證f(a) f(b)0，給定精確度，給定精確度 ；2、求區(qū)間（、求區(qū)間（a，b）的中點）的中點c；3、計算、計算 f(c)；（1）若）若f(c)=0，則，則c就是函

11、數(shù)的零點；就是函數(shù)的零點；（2）若）若f(a) f(c)0，則令，則令b=c(此時零點此時零點 )；（3）若）若f(c) f(b)0，則令，則令a=c(此時零點此時零點 )。4、判斷是否達(dá)到精確度、判斷是否達(dá)到精確度 ：即若：即若 ， 則得到零點近似值則得到零點近似值a(或或b)；否則重復(fù)；否則重復(fù)24。),(0cax ),(0bcx ba思考思考5 5：對下列圖象中的函數(shù)，能否用對下列圖象中的函數(shù)，能否用二分法求函數(shù)零點的近似值？為什么？二分法求函數(shù)零點的近似值？為什么？xyoxyooxy( )f x給定精度 ，用二分法求函數(shù)零點近似值的步驟如下：歸納總結(jié)歸納總結(jié)給定精確度0,f(b)驗證f

12、(a)b,a, 確定區(qū)間1.2.求區(qū)間（求區(qū)間（a，b）的中點）的中點c。3.計算計算f（c）；4.判斷是否達(dá)到精確度判斷是否達(dá)到精確度 :即若即若a-b , 則得到零點近似值則得到零點近似值a(或或b);否則重復(fù)否則重復(fù)24.(2)若f（a）f（c）0,則零點b)(a,x cb),(00令cax(3)若f（c）f（b）0,則零點b)(a,x ca)b,c(00令x（1）若f（c）=0，則c就是函數(shù)的零點；其中c=2ba abc21用二分法求函數(shù)用二分法求函數(shù)f(x)零點近似值的步驟如下：零點近似值的步驟如下：1、 確定區(qū)間確定區(qū)間a,b，驗證，驗證f(a).f(b)0,給定精確度給定精確度

13、；2、求區(qū)間（、求區(qū)間（a,b）的中點）的中點x1，3、計算、計算f(x1) 若若f(x1)=0，則，則x1就是函數(shù)的零點；就是函數(shù)的零點；若若f(a).f(x1)0，則此時零點，則此時零點x0(a, x1) 若若f(x1).f(b)0，則此時零點，則此時零點x0( x1,b)4、判斷是否達(dá)到精確度、判斷是否達(dá)到精確度 ，即若，即若|a-b| |a-b| 則得到零點近似值則得到零點近似值a(或或b),否則重復(fù)否則重復(fù)24借助計算器或計算機(jī)用二分法求方程借助計算器或計算機(jī)用二分法求方程 的近似解（精確度為的近似解（精確度為0.1）732 xx x012345678732)(xxfx-6-2310

14、2140 75142273 因為 f(1)f(2)0 所以 f(x)= 2x+3x-7在（1，2）內(nèi)有零點x0,?。?，2）的中點 x1=1.5， f(1.5)= 0.33， 因為f(1)f(1.5)0所以x0 （1，1.5）?。?，1.5）的中點x2=1.25 ,f(1.25)= -0.87，因為f(1.25)f(1.5)0，所以x0（1.25，1.5）同理可得， x0（1.375，1.5），x0（1.375，1.4375），由于 |1.375-1.4375|=0.06250.1所以，原方程的近似解可取為1.437524思考：思考：對下列圖象中的函數(shù)，能否用二對下列圖象中的函數(shù)，能否用二分法求函數(shù)零點的近似值？為什么？分法求函數(shù)零點的近似值？為什么？xyoxyo不行不行,因為不滿足因為不滿足 f(a)*f(b)025練習(xí)練習(xí)： 1.下列函數(shù)圖像與下列函數(shù)圖像與x軸均有交點，但不宜用二分法求交點橫坐標(biāo)軸均有交點，但不宜用二分法求交點橫坐標(biāo)的是的是( )ABCDB26練習(xí)練習(xí) 2.函數(shù)函數(shù)f(x)=x3-2x2+3x-6在區(qū)間在區(qū)間-2,4上的零點必上的零點必定在定在( )內(nèi)內(nèi) 其中其中f(1.75)0 (A) -2,1 (B) 2.5,4