Dup常系數(shù)線性齊次微分方程PPT學(xué)習(xí)教案

1、會計學(xué)1Dup常系數(shù)線性齊次微分方程常系數(shù)線性齊次微分方程2042 qp時, 特征方程有兩個相等實根21rr 則微分方程有一個特解)(12xuyy 設(shè)另一特解( u (x) 待定)代入方程得:1xre)(1urup 0 uq)2(211ururu 1r注意注意是特征方程的重根0 u取 u = x , 則得,12xrexy 因此原方程的通解為112()r xyCC xe,2p 11.r xye )(1xuexr 0)()2(1211 uqrprupru第1頁/共20頁3042 qp時, 特征方程有一對共軛復(fù)根 irir 21,這時原方程有兩個復(fù)數(shù)解:xiey)(1 )sin(cosxixex x

2、iey)(2 )sin(cosxixex 利用解的疊加原理 , 得原方程的線性無關(guān)特解:)(21211yyy )(21212yyiy xex cos xex sin 因此原方程的通解為)sincos(21xCxCxey 第2頁/共20頁4),(0為常數(shù)為常數(shù)qpyqypy ,02 qrpr特征方程:xrxreCeCy2121 21,:rr特征根特征根21rr 實根 221prr xrexCCy1)(21 ir, 21)sincos(21xCxCeyx 特 征 根通 解以上結(jié)論可推廣到高階常系數(shù)線性微分方程 .第3頁/共20頁5若特征方程含 k 重復(fù)根, ir 若特征方程含 k 重實根 r ,

3、則其通解中必含對應(yīng)項xrkkexCxCC)(121 112()cosxkkeCC xC xx sin)(121xxDxDDkk 則其通解中必含對應(yīng)項)(01)1(1)(均為常數(shù)均為常數(shù)knnnnayayayay 特征方程: 0111 nnnnararar),(均為任意常數(shù)均為任意常數(shù)以上以上iiDC第4頁/共20頁6032 yyy求方程求方程的通解.解: 特征方程, 0322 rr特征根:,3,121 rr因此原方程的通解為xxeCeCy321 例2. 求解初值問題0dd2dd22 ststs,40 ts20dd tts解: 特征方程0122 rr有重根,121 rr因此原方程的通解為tetC

4、Cs )(21利用初始條件得, 41 C于是所求初值問題的解為tets )24(22 C第5頁/共20頁7xxo解: 由第七節(jié)例1 (P293) 知, 位移滿足質(zhì)量為m的物體自由懸掛在一端固定的彈簧上,在無外力作用下做自由運動,初始求物體的運動規(guī)律 ,0v速度為速度為. )(txx 立坐標(biāo)系如圖, ,0 xx 設(shè) t = 0 時物體的位置為取其平衡位置為原點建 00ddvtxt ,00 xxt 22ddtx02 xk txndd2因此定解問題為自由振動方程 , 第6頁/共20頁8方程: 22ddtx02 xk特征方程:, 022 krkir 2,1特征根:tkCtkCxsincos21 利用初

5、始條件得:,01xC 故所求特解:tkkvtkxxsincos00 A)sin( tkA0 x0vk 方程通解:kvC02 0022020tan,vxkkvxA 第7頁/共20頁9)sin( tkAx0 xAA xto簡諧振動 A: 振幅, : 初相,周期: kT 2 :mck 固有頻率 T 0dd00 vtxt , 000 xxt下圖中假設(shè)下圖中假設(shè)(僅由系統(tǒng)特性確定)第8頁/共20頁10方程:特征方程:0222 krnr222,1knnr 特征根:小阻尼: n k臨界阻尼: n = k 22ddtx02 xk txndd2)sincos(21tCtCextn )(22nk 1212r tr

6、 txC eC etnetCCx )(21解的特征解的特征解的特征第9頁/共20頁11( n k )1) 無振蕩現(xiàn)象; trtreCeCx2121 222,1knnr 其中其中 22knn 0 .0)(lim txttxo0 x此圖參數(shù): 1, 5 . 1 kn5 . 10 x073. 50 v2) 對任何初始條件即隨時間 t 的增大物體總趨于平衡位置.第11頁/共20頁13( n = k )任意常數(shù)由初始條件定, tnetCCx )(21)()1tx最多只與 t 軸交于一點; 取何值都有取何值都有無論無論21,CC )(lim)3txt即隨時間 t 的增大物體總趨于平衡位置.0)(lim21

7、 tntetCC2) 無振蕩現(xiàn)象 ;第12頁/共20頁14052)4( yyy求方程求方程的通解. 解: 特征方程, 052234 rrr特征根:irrr21, 04,321 因此原方程通解為 xCCy21)2sin2cos(43xCxCex 例5.0)4()5( yy解方程解方程解: 特征方程:, 045 rr特征根 :1, 054321 rrrrr原方程通解: 1Cy xC2 23xC 34xCxeC5(不難看出, 原方程有特解),132xexxx第13頁/共20頁1502)(22222 rr . )0(0dd444 wxw解方程解方程解: 特征方程: 44 r即0)2)(2(2222 r

8、rrr其根為),1(22,1ir )1(24,3ir 方程通解 :xew2 )2sin2cos(21xCxC xe2 )2sin2cos(43xCxC 第14頁/共20頁16.02)4( yyy解方程解方程解: 特征方程:01224 rr0)1(22 r即即特征根為,2,1ir ir 4,3則方程通解 :xxCCycos)(31 xxCCsin)(42 第15頁/共20頁17),(0為常數(shù)為常數(shù)qpyqypy 特征根:21, rr(1) 當(dāng)時, 通解為xrxreCeCy2121 21rr (2) 當(dāng)時, 通解為xrexCCy1)(21 21rr (3) 當(dāng)時, 通解為)sincos(21xCx

9、Ceyx ir 2, 1可推廣到高階常系數(shù)線性齊次方程求通解 .第16頁/共20頁18 求方程0 yay的通解 .答案:0 a通解為xCCy21 :0 a通解為xaCxaCysincos21 :0 a通解為xaxaeCeCy 21第17頁/共20頁19,2cos,2,321xyexyeyxx 求一個以求一個以xy2sin34 為特解的 4 階常系數(shù)線性齊次微分方程,并求其通解 .解: 根據(jù)給定的特解知特征方程有根 :,121 rrir24,3 因此特征方程為2)1( r0)4(2 r即04852234 rrrr04852)4( yyyyy故所求方程為其通解為xCxCexCCyx2sin2cos)(4321 第18頁/共20頁20,2cos,2,332221xeyexyeyxxx 求一個以求一個以xxeyx2sin334 為特解的 6 階常系數(shù)線性齊次微分方程,并求其通解 .解: 根據(jù)給定的特解知特征方程有根 :,221 rrir234,3 其通解