最新高中數(shù)學(xué)高中數(shù)學(xué)3.1.1不等關(guān)系與不等式一示范教案新人教A版必修5

1、3.1不等關(guān)系與不等式3.1.1不等關(guān)系與不等式（一）從容說課通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)讓學(xué)生從一系列的具體問題情境中感受到在現(xiàn)實世界和日常生活中存在著大量的不等關(guān)系，并充分認識不等關(guān)系的存在與應(yīng)用，這是學(xué)習(xí)本章的基礎(chǔ)，也是不等關(guān)系在本章內(nèi)容的地位與作用.對不等關(guān)系的相關(guān)素材，用數(shù)學(xué)觀點進行觀察、歸納、抽象，完成量與量的比較的過程，即能用不等式及不等式組把這些不等關(guān)系表示出來，也就是建立不等式數(shù)學(xué)模型的過程，這是學(xué)習(xí)本章第三節(jié)的基礎(chǔ).在本節(jié)課的學(xué)習(xí)過程中還安排了一些簡單的學(xué)生易于處理的問題，用意在于讓學(xué)生注意對數(shù)學(xué)知識和方法的應(yīng)用，同時也能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，并由衷地產(chǎn)生用數(shù)學(xué)工具研究不等關(guān)系的愿望，這

2、也是學(xué)生學(xué)習(xí)本章的情感基礎(chǔ).根據(jù)本節(jié)課教學(xué)內(nèi)容，應(yīng)用觀察、抽象歸納、思考、交流、探究，得出數(shù)學(xué)模型，進行啟發(fā)式教學(xué)并使用投影儀輔助.教學(xué)重點 1.通過具體的問題情景，讓學(xué)生體會不等量關(guān)系存在的普遍性及研究的必要性；2.用不等式或不等式組表示實際問題中的不等關(guān)系，并用不等式或不等式組研究含有簡單的不等關(guān)系的問題；3.理解不等式或不等式組對于刻畫不等關(guān)系的意義和價值.教學(xué)難點 1.用不等式或不等式組準確地表示不等關(guān)系；2.用不等式或不等式組解決簡單的含有不等關(guān)系的實際問題.教具準備 投影儀、膠片、三角板、刻度尺三維目標一、知識與技能1.通過具體情境建立不等觀念，并能用不等式或不等式組表示不等關(guān)系；

3、2.了解不等式或不等式組的實際背景；3.能用不等式或不等式組解決簡單的實際問題.二、過程與方法1.采用探究法，按照閱讀、思考、交流、分析，抽象歸納出數(shù)學(xué)模型，從具體到抽象再從抽象到具體的方法進行啟發(fā)式教學(xué)；2.教師提供問題、素材，并及時點撥，發(fā)揮老師的主導(dǎo)作用和學(xué)生的主體作用；3.設(shè)計較典型的現(xiàn)實問題，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和積極性.三、情感態(tài)度與價值觀1.通過具體情境，讓學(xué)生去感受、體驗現(xiàn)實世界和日常生活中存在著大量的不等量關(guān)系，鼓勵學(xué)生用數(shù)學(xué)觀點進行觀察、歸納、抽象，使學(xué)生感受數(shù)學(xué)、走進數(shù)學(xué)、改變學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)態(tài)度；2.學(xué)習(xí)過程中，通過對問題的探究思考、廣泛參與，培養(yǎng)學(xué)生嚴謹?shù)乃季S習(xí)慣，主動、

4、積極的學(xué)習(xí)品質(zhì)，從而提高學(xué)習(xí)質(zhì)量；3.通過對富有實際意義問題的解決，激發(fā)學(xué)生頑強的探究精神和嚴肅認真的科學(xué)態(tài)度，同時去感受數(shù)學(xué)的應(yīng)用性，體會數(shù)學(xué)的奧秘與數(shù)學(xué)的簡潔美，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.教學(xué)過程導(dǎo)入新課師 日常生活中,同學(xué)們發(fā)現(xiàn)了哪些數(shù)量關(guān)系.你能舉出一些例子嗎？生 實例1：某天的天氣預(yù)報報道，最高氣溫32，最低氣溫26.生 實例2：對于數(shù)軸上任意不同的兩點a、b，若點a在點b的左邊，則xaxb.(老師協(xié)助畫出數(shù)軸草圖) 生 實例3:若一個數(shù)是非負數(shù)，則這個數(shù)大于或等于零.實例4:兩點之間線段最短.實例5:三角形兩邊之和大于第三邊,兩邊之差小于第三邊.(學(xué)生迫不及待地說出這么多,說明課前的預(yù)習(xí)

5、量很充分,學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣濃,此時老師應(yīng)給以充分的肯定和表揚)推進新課師 同學(xué)們所舉的這些例子聯(lián)系了現(xiàn)實生活，又考慮到數(shù)學(xué)上常見的數(shù)量關(guān)系,非常好.而且大家已經(jīng)考慮到本節(jié)課的標題不等關(guān)系與不等式,所舉的實例都是反映不等量關(guān)系,這將暗示我們這節(jié)課的效果將非常好.(此時，老師用投影儀給出課本上的兩個實例)實例6:限時40 km/h的路標，指示司機在前方路段行駛時，應(yīng)使汽車的速度v不超過40 km/h.實例7:某品牌酸奶的質(zhì)量檢查規(guī)定,酸奶中脂肪的含量f應(yīng)不少于2.5%,蛋白質(zhì)的含量p應(yīng)不少于2.3%.過程引導(dǎo)師 能夠發(fā)現(xiàn)身邊的數(shù)學(xué)當然很好,這說明同學(xué)們已經(jīng)走進了數(shù)學(xué)這門學(xué)科，但作為我們研究數(shù)學(xué)的人來

6、說,能用數(shù)學(xué)的眼光、數(shù)學(xué)的觀點、進行觀察、歸納、抽象，完成這些量與量的比較過程,這是我們每個研究數(shù)學(xué)的人來說必須要做的,那么,我們可以用我們所研究過的什么知識來表示這些不等關(guān)系呢?生 可以用不等式或不等式組來表示.師 什么是不等式呢?生 用不等號將兩個解析式連結(jié)起來所成的式子叫不等式.（老師給出一組不等式-7-5；3+41+4；2x6；a+20;34.目的是讓同學(xué)們回憶不等式的一些基本形式，并說明不等號“，”的含義，是或的關(guān)系.回憶了不等式的概念，不等式組學(xué)生自然而然就清楚了）師 能用不等式及不等式組把這些不等關(guān)系表示出來，也就是建立不等式數(shù)學(xué)模型的過程，通過對不等式數(shù)學(xué)模型的研究，反過來作用

7、于我們的現(xiàn)實生活，這才是我們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的最終目的.（此時，同學(xué)們已經(jīng)迫不及待地想說出自己的觀點.）合作探究生 我們應(yīng)該先像實例2那樣用不等式或不等式組把上述實例中的不等量關(guān)系表示出來.師 說得非常好，下面我們就把上述實例中的不等量關(guān)系用不等式或不等式組一一表示出來.那應(yīng)該怎么樣來表示呢?（學(xué)生輪流回答，老師將答案相應(yīng)地寫在實例后面）生 上述實例中的不等量關(guān)系用不等式表示應(yīng)該為32t26.生 可以表示為x0.（此時，學(xué)生有疑問，老師及時點撥，可以畫出圖形.讓學(xué)生板演）（老師順便畫出三角形草畫）生 |ac|+|bc|ab|(只需結(jié)合上述三角形草圖).生 |ab|+|bc|ac|、|ac|+|bc|a

8、b|、|ab|+|ac|bc|.生 |ab|-|bc|ac|、|ac|-|bc|ab|、|ab|-|ac|bc|.交換被減數(shù)與減數(shù)的位置也可以.生 如果用v表示速度，則v40 km/h.生 f2.5%或p2.3%.(此時,一片安靜,同學(xué)們在積極思考)生 這樣表達是錯誤的,因為兩個不等量關(guān)系要同時滿足，所以應(yīng)該用不等式組來表示此實際問題中的不等量關(guān)系，即可以表示為生 也可表示為f2.5%且p2.3%.師 同學(xué)們看這兩位同學(xué)的觀點是否正確?生 (齊答)大家齊聲說，都可以.師 同學(xué)們的思考很嚴密,很好!應(yīng)該用不等式組來表示此實際問題中的不等量關(guān)系，也可以用“且”的形式來表達.課堂練習(xí)教科書第83頁練

9、習(xí)1、2.(老師讓學(xué)生輪流回答，學(xué)生回答很好.此時，同學(xué)們已真正進入了本節(jié)課的學(xué)習(xí)狀態(tài),老師再用投影儀給出課本上的三個問題.問題是數(shù)學(xué)研究的核心，以問題展示的形式來培養(yǎng)學(xué)生的問題意識與探究意識）【問題1】 設(shè)點a與平面的距離為d,b為平面上的任意一點.活動與探究師 請同學(xué)們用不等式或不等式組來表示出此問題中的不等量關(guān)系.(此時,教室一片安靜,同學(xué)們在積極思考,時間較長,老師應(yīng)該及時點撥)方法引導(dǎo)師 前面我們借助圖形來表示不等量關(guān)系,這個問題是否可以?(可以讓學(xué)生板演，結(jié)合三角形草圖來表達)過點a作ac平面于點c，則d=|ac|ab|.師 這位同學(xué)做得很好,我們在解決問題時應(yīng)該貫穿數(shù)形結(jié)合的思想

10、,以形助數(shù),以數(shù)解形.師 請同學(xué)們繼續(xù)來處理問題2.合作探究【問題2】 某種雜志原以每本2.5元的價格銷售,可以售出8萬本.據(jù)市場調(diào)查,若單價每提高0.1元,銷售量就可能相應(yīng)減少2 000本.若把提價后雜志的定價設(shè)為x元,怎樣用不等式表示銷售的總收入仍不低于20萬元呢?生 可設(shè)雜志的定價為x元，則銷售量就減少萬本.師 那么銷售量變?yōu)槎嗌倌?？如何表示？?可以表示為萬本，則總收入為萬元.老師板書，即銷售的總收入為不低于20萬元的不等式表示為x20師 是否有同學(xué)還有其他的解題思路？生 可設(shè)雜志的單價提高了0.1n元，(nn *)，（下面有討論的聲音，有的同學(xué)存在疑問，此時老師應(yīng)密切關(guān)注學(xué)生的思維狀

11、況）師 為什么可以這樣設(shè)？生 我只考慮單價的增量.師 很好，請繼續(xù)講.生 那么銷售量減少了0.2n萬本，單價為(2.5+0.1n)元，則也可得銷售的總收入為不低于20萬元的不等式，表示為(2.5+0.1n)(8-0.2n)20.師 這位同學(xué)回答得很好，表述得很準確.請同學(xué)們對兩種解法作比較.（留下讓學(xué)生思考的時間）師 請同學(xué)們繼續(xù)思考第三個問題.合作探究【問題3】 某鋼鐵廠要把長度為4 000 mm的鋼管截成500 mm和600 mm兩種,按照生產(chǎn)的要求,600 mm鋼管的數(shù)量不能超過500 mm鋼管的3倍.怎樣寫出滿足上述所有不等關(guān)系的不等式?師 假設(shè)截得500 mm的鋼管x根，截得600

12、mm的鋼管y根.根據(jù)題意，應(yīng)當有什么樣的不等量關(guān)系呢？生 截得兩種鋼管的總長度不能超過4 000 mm.生 截得600 mm鋼管的數(shù)量不能超過500 mm鋼管的3倍.生 截得兩種鋼管的數(shù)量都不能為負.師 上述的三個不等關(guān)系是“或”還是“且”的關(guān)系呢？生 它們要同時滿足條件，應(yīng)該是且的關(guān)系.生 由實際問題的意義，還應(yīng)有x,yn.師 這位同學(xué)回答得很好，思維很嚴密.那么我們該用怎樣的不等式組來表示此問題中的不等關(guān)系呢？生 要同時滿足上述三個不等關(guān)系，可以用下面的不等式組來表示：師 這位同學(xué)回答很準確.通過上述三個問題的探究，同學(xué)們對如何用不等式或不等組把實際問題中所隱含的不等量關(guān)系表示出來，這一點

13、掌握得很好.請同學(xué)們再完成下面這個練習(xí).課堂練習(xí)練習(xí)：若需在長為4 000 mm的圓鋼上，截出長為698 mm和518 mm兩種毛坯，問怎樣寫出滿足上述所有不等關(guān)系的不等式組?分析：設(shè)截出長為698 mm的毛坯x個和截出長為518 mm的毛坯y個，把截取條件數(shù)學(xué)化地表示出來就是：（練習(xí)可讓學(xué)生板演，老師結(jié)合學(xué)生具體完成情況作評析，特別應(yīng)注意x0,y0,x,yn）課堂小結(jié)師 通過今天的學(xué)習(xí)，你學(xué)到了什么知識，有何體會？生 我感到學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)可以幫助我們解決生活中的實際問題.生 數(shù)學(xué)就在我們的身邊，與我們的生活聯(lián)系非常緊密，我更加喜愛數(shù)學(xué)了.生 本節(jié)課我們還進一步鞏固了初中所學(xué)的二元一次不等式及二元一

14、次不等式組，并且用它來解決現(xiàn)實生活中存在的大量不等量關(guān)系的實際問題.師 我來補充一下，在用二元一次不等式及二元一次不等式組表示實際問題中的不等關(guān)系時，思維要嚴密、規(guī)范，并且要注意數(shù)形結(jié)合等思想方法的綜合應(yīng)用.（慢慢培養(yǎng)學(xué)生學(xué)會自己來歸納總結(jié)，將所學(xué)的知識，結(jié)合獲取知識的過程與方法，進行回顧與反思，從而達到三維目標的整合.進而培養(yǎng)學(xué)生的概括能力和語言表達能力）布置作業(yè)第84頁習(xí)題3.1a組4、5.板書設(shè)計不等關(guān)系與不等式（一）實例 方法引導(dǎo) 方法歸納如何用不等式或不等式組表示 實例剖析（知識方法應(yīng)用） 小結(jié)實際問題中不等量關(guān)系？ 示范解題備課資料一、備用習(xí)題1.一個化肥廠生產(chǎn)甲、乙兩種混合肥料，

15、生產(chǎn)1車皮甲種肥料需要的主要原料是磷酸鹽4噸、硝酸鹽18噸；生產(chǎn)1車皮乙種肥料需要的主要原料是磷酸鹽1噸、硝酸鹽15噸.現(xiàn)有庫存磷酸鹽10噸、硝酸鹽66噸，在此基礎(chǔ)上進行生產(chǎn).請用不等式或不等式組把此實例中的不等量關(guān)系表示出來.分析：設(shè)x,y分別為計劃生產(chǎn)甲、乙兩種混合肥料的車皮數(shù)，則2.某年夏天，我國遭受特大洪災(zāi)，災(zāi)區(qū)學(xué)生小李家中經(jīng)濟發(fā)生困難.為幫助小李解決開學(xué)費用問題，小李所在班級學(xué)生（小李除外）決定承擔這筆費用.若每人承擔12元人民幣，則多余84元；若每人承擔10元，則不夠；若每人承擔11元，又多出40元以上.問該班共有多少人？這筆開學(xué)費用共多少元？請用不等式或不等式組把此實例中的不等量

16、關(guān)系表示出來，不必解答.分析：設(shè)該班共有x人，這筆開學(xué)費用共y元，則.3.制定投資計劃時，不僅要考慮可能獲得的盈利，而且要考慮可能出現(xiàn)的虧損.某投資人打算投資甲、乙兩個項目.根據(jù)預(yù)測，甲、乙項目可能的最大虧損分別為30%和10%.投資人計劃投資金額不超過10萬元，要求確保可能的資金虧損不超過1.8萬元.請用不等式或不等式組把此實例中的不等量關(guān)系表示出來.分析：設(shè)投資人分別用x萬元、y萬元投資甲、乙兩個項目，由題意，知4.某企業(yè)生產(chǎn)a、b兩種產(chǎn)品，a產(chǎn)品的單位利潤為60元，b產(chǎn)品的單位利潤為80元，兩種產(chǎn)品都需要在加工車間和裝配車間進行生產(chǎn)，每件a產(chǎn)品在加工車間和裝配車間各需經(jīng)過0.8 h和2.

17、4 h，每件b產(chǎn)品在兩個車間都需經(jīng)過1.6 h，在一定時期中，加工車間最大加工時間為240 h，裝配車間最大生產(chǎn)時間為288 h.請用不等式或不等式組把此實例中的不等量關(guān)系表示出來.分析：設(shè)該企業(yè)分別生產(chǎn)a產(chǎn)品x件、b產(chǎn)品y件，則二、課外探究開放性問題已知：不等式組你能舉出符合此不等式組的實際問題嗎？3.1.2不等關(guān)系與不等式（二）從容說課本節(jié)課的研究是對初中不等式學(xué)習(xí)的延續(xù)和拓展，也是實數(shù)理論的進一步發(fā)展.為了利用不等式更好地研究不等關(guān)系，也能夠讓學(xué)生在以后的解不等式以及對不等式的證明奠定一定的理論基礎(chǔ).在本節(jié)課的學(xué)習(xí)過程中將讓學(xué)生回憶實數(shù)的基本理論，并能用實數(shù)的基本理論來比較兩個代數(shù)式的大

18、小.了解不等式的一些基本性質(zhì)并能給出嚴格的理論證明，能用不等式的基本性質(zhì)進行一些簡單的不等式證明，進而更深一層次地從理性角度建立不等觀念.這是學(xué)習(xí)本節(jié)課的目的也是本節(jié)課的內(nèi)容安排在本章的地位與作用.對實數(shù)基本理論的復(fù)習(xí)，教師應(yīng)作好點撥，利用數(shù)軸數(shù)形結(jié)合，做好歸納總結(jié).對不等式的基本性質(zhì)，教師應(yīng)指導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)觀點與等式的基本性質(zhì)作類比、歸納、邏輯分析，并鼓勵學(xué)生從理性角度去分析量與量的比較的過程，進而能利用不等式的基本性質(zhì)來證明一些簡單的不等式.在本節(jié)課的學(xué)習(xí)過程中，課外作業(yè)仍安排了一些簡單的學(xué)生易于處理的實際問題，用意在于讓學(xué)生注意對數(shù)學(xué)知識和方法的應(yīng)用，同時也能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，并進一步讓

19、學(xué)生體會研究不等式基本性質(zhì)的必要性，這也是學(xué)生學(xué)習(xí)本學(xué)時的情感基礎(chǔ).根據(jù)本節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容，應(yīng)用再現(xiàn)、回憶得出實數(shù)的基本理論，并能用實數(shù)的基本理論來比較兩個代數(shù)式的大小和證明不等式的一些性質(zhì).應(yīng)用觀察、類比、歸納、邏輯分析、思考、交流、探究，得出不等式的基本性質(zhì)，并能利用不等式的基本性質(zhì)進行一些簡單的不等式證明.進行啟發(fā)、探究式教學(xué)并使用投影儀輔助.教學(xué)重點 1.利用數(shù)軸，數(shù)形結(jié)合回憶實數(shù)的基本理論，并能用實數(shù)的基本理論來比較兩個代數(shù)式的大小；2.了解不等式性質(zhì)研究的必要性及不等式的一些基本性質(zhì)；3.能用不等式的基本性質(zhì)來證明一些簡單的不等式.教學(xué)難點 1.用實數(shù)的基本理論來比較兩個代數(shù)式的大小

20、時對差的合理變形；2.利用不等式的基本性質(zhì)來證明一些簡單的不等式.教具準備 投影儀、膠片、三角板、刻度尺三維目標一、知識與技能1.利用數(shù)軸，數(shù)形結(jié)合回憶實數(shù)的基本理論，并能用實數(shù)的基本理論來比較兩個代數(shù)式的大小與用實數(shù)的基本理論來證明不等式的一些性質(zhì);2.通過回憶與復(fù)習(xí)學(xué)生所熟悉的等式性質(zhì)類比得出不等的一些基本性質(zhì);3.在了解不等式一些基本性質(zhì)的基礎(chǔ)之上能利用它們來證明一些簡單的不等式.二、過程與方法1.采用探究法，按照聯(lián)想、類比、思考、交流、邏輯分析、抽象應(yīng)用的方法進行啟發(fā)式教學(xué);2.教師提供問題、素材，并及時點撥，發(fā)揮老師的主導(dǎo)作用和學(xué)生的主體作用;3.設(shè)計較典型的具有挑戰(zhàn)性的問題，激發(fā)學(xué)

21、生去積極思考，從而培養(yǎng)他們的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣.三、情感態(tài)度與價值觀1.通過具體問題的解決，讓學(xué)生去感受、體驗現(xiàn)實世界和日常生活中存在著大量的不等量關(guān)系并需要從理性的角度去思考，鼓勵學(xué)生用數(shù)學(xué)觀點進行類比、歸納、抽象，使學(xué)生感受數(shù)學(xué)、走進數(shù)學(xué)、培養(yǎng)學(xué)生嚴謹?shù)臄?shù)學(xué)學(xué)習(xí)習(xí)慣和良好的思維習(xí)慣;2.學(xué)習(xí)過程中，通過對問題的探究思考，廣泛參與，培養(yǎng)學(xué)生嚴謹?shù)乃季S習(xí)慣，主動、積極的學(xué)習(xí)品質(zhì)，從而提高學(xué)習(xí)質(zhì)量;3.通過對富有挑戰(zhàn)性問題的解決，激發(fā)學(xué)生頑強的探究精神和嚴肅認真的科學(xué)態(tài)度，同時去感受數(shù)學(xué)的應(yīng)用性，體會數(shù)學(xué)的奧秘、數(shù)學(xué)的簡潔美、數(shù)學(xué)推理的嚴謹美，從而激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.教學(xué)過程導(dǎo)入新課師 上一節(jié)課我們通

22、過具體的問題情景，體會到現(xiàn)實世界存在大量的不等量關(guān)系，并且研究了用不等式或不等式組來表示實際問題中的不等關(guān)系.為了利用不等式更好地研究不等量關(guān)系及用不等式或不等式組研究含有不等關(guān)系的問題.我們需要對不等式的性質(zhì)有必要的了解.推進新課師 我們已學(xué)習(xí)過等式、不等式，同學(xué)們還記得等式的性質(zhì)嗎？生 等式有這樣的性質(zhì)：等式兩邊都加上，或都減去，或都乘以，或都除以（除數(shù)不為零）同一個數(shù)，所得到的仍是等式.師 很好！當我們開始研究不等式的時候，自然會聯(lián)想到，是否有與等式相類似的性質(zhì)，也就是說，如果在不等式的兩邊都加上，或都減去，或都乘以，或都除以（除數(shù)不為零）同一個數(shù)，結(jié)果將會如何呢？（此時很快能讓學(xué)生進入

23、對初中所學(xué)過的不等式三條基本性質(zhì)的回憶與復(fù)習(xí)）師 一般地說，不等式的基本性質(zhì)有三條：性質(zhì)1：不等式的兩邊都加上（或都減去）同一個數(shù)，不等號的方向_.（讓同學(xué)回答）性質(zhì)2：不等式的兩邊都乘以（或都除以）同一個正數(shù)，不等號的方向_.（讓同學(xué)回答）性質(zhì)3：不等式的兩邊都乘以（或都除以）同一個負數(shù)，不等號的方向_.（讓同學(xué)回答）過程引導(dǎo)師 不等式的這三條基本性質(zhì)，都可以用數(shù)學(xué)的符號語言表達出來.（讓三位同學(xué)板演）性質(zhì)1：aba+cb+c（或a-cb-c）；aba+cb+c（或a-cb-c）.性質(zhì)2：ab且c0acbc(或)；ab且c0acbc(或).性質(zhì)3：ab且c0acbc(或)；ab且c0acbc

24、(或).（用數(shù)學(xué)符號表達不等式的性質(zhì)，目的是為下面用符號進行不等式性質(zhì)與證明打基礎(chǔ)，給學(xué)生也有一適應(yīng)過程.老師對學(xué)生的板演作點評）師 性質(zhì)2、性質(zhì)3兩條性質(zhì)中，對a、b、c有什么要求？生 對a、b沒什么要求，特別要注意c是正數(shù)還是負數(shù).師 很好，c可以為零嗎？生 c不能為零.因為c為零時，任何不等式兩邊都乘以零就變成等式了.若是“”或“”則可以.師 這位同學(xué)回答的非常好，思維既嚴謹又周到.師 對于不等式的這三條基本性質(zhì)，我們不僅要理解這三條性質(zhì)，還要能靈活運用.在初中，我們對這三條性質(zhì)只是作了感性的歸納，現(xiàn)在我們應(yīng)對它給出嚴格的證明，只有這樣應(yīng)用這些性質(zhì)才能有理有據(jù).（學(xué)生已迫不及待）生（齊聲

25、）那我們來給出嚴格的證明吧.（此處，說明老師點撥很到位.真正體現(xiàn)了課堂上教師的主導(dǎo)地位與學(xué)生的主體地位）師 為了對不等式的基本性質(zhì)給出嚴格證明，我們還有必要回憶實數(shù)的基本性質(zhì).（此時學(xué)生對這一名詞肯定感到生疏，老師在黑板上應(yīng)很快給出數(shù)軸）教師精講師 若點對應(yīng)的實數(shù)為a，點對應(yīng)的實數(shù)為b，因為點在點的左邊，所以可得ab.ab表示a減去b所得的差是一個大于的數(shù)即正數(shù)，即aba-b0.它的逆命題是否正確？生 顯然正確.師 類似地，如果ab，則a減去b是負數(shù)，如果a=b，則a減去b等于，它們的逆命題也正確.一般地,aba-b0;a=ba-b=0;aba-b0.師 這就是實數(shù)的基本性質(zhì)的一部分，還有任意

26、兩個正數(shù)的和與積都是正數(shù)等.等價符號左邊不等式反映的是實數(shù)的大小順序，右邊不等式反映的則是實數(shù)的運算性質(zhì)，合起來就成為實數(shù)的運算性質(zhì)與大小順序之間的關(guān)系，它是不等式這一章的理論基礎(chǔ)，是證明不等式以及解不等式的主要依據(jù).師 由實數(shù)的基本性質(zhì)可知，我們?nèi)绾伪容^兩個實數(shù)的大小呢？生 只要考察它們的差就可以了.師 很好.請同學(xué)們思考下面這個問題.(此時，老師用投影儀給出問題)合作探究【問題1】 已知x0，比較(x2+1)2與x4+x2+1的大小.（問題是數(shù)學(xué)研究的核心，此處以問題展示的形式來培養(yǎng)學(xué)生的問題意識與探究意識)（讓學(xué)生板演，老師根據(jù)學(xué)生的完成情況作點評）解：(x2+1)2x4-x2-1=x4

27、+2x2+1-x4-x2-1=x2，由x0，得x20，從而(x2+1)2x4+x2+1.（學(xué)生對x0，得x20在說理過程中往往會忽略）師 下面我們來看一組比較復(fù)雜的問題，請大家都來開動腦筋，認真審題，仔細分析.（讓學(xué)生板演，老師根據(jù)學(xué)生的完成情況作點評）【例1】 比較下列各組數(shù)的大?。╝b）.(1)與 (a0,b0);（2）a4b4與4a3（ab）.師 比較兩個實數(shù)的大小，常根據(jù)實數(shù)的運算性質(zhì)與大小順序的關(guān)系，歸結(jié)為判斷它們的差的符號來確定.解：（1），a0,b0且ab,a+b0,(a-b)20.（2）a4-b4-4a3(a-b)=(a-b)(a+b)(a2+b2)-4a3(a-b)=(a-b

28、)(a3+a2b+ab2+b3-4a3)=(a-b)(a2b-a3)+(ab2-a3)+(b3-a3)=-(a-b)2(3a2+2ab+b2)=-(a-b)22a2+(a+b)2,2a2+(a+b)20(當且僅當a=b=0時取等號),又ab,(a-b)20,2a2+(a+b)20.-(a-b)22a2+(a+b)20.a4-b44a3(a-b).師 同學(xué)們完成得很好，證明不等式時，應(yīng)注意有理有據(jù)、嚴謹細致，還應(yīng)條理清晰.比較大小常用作差法，一般步驟是作差變形判斷符號.變形常用的手段是分解因式和配方，前者將“差”變?yōu)椤胺e”，后者將“差”化為一個或幾個完全平方式的“和”，也可兩者并用.(此時，老師用投影儀給出下列問題)合作探究【問題2】 求證：（1）ab且c0acbc；（2）aba+cb+c.師 請同學(xué)們思考第一小問該如何證明？生 可用實數(shù)的基本性質(zhì)，ab,a-b0.又c0，由任意兩個正數(shù)的積都是正數(shù)可得(a-b)c0，即acbc.師 這位同學(xué)證明的思路很好，很嚴密.同學(xué)們還有其他的證明思路嗎？生 ac-bc=(a-b)c，ab，a-b0.又c0，由任意兩個正數(shù)的積都是正數(shù)可得(a-b)c0，所以得證.師 這位同學(xué)證