材料力學梁彎曲時的位移

1、材材 料料 力力 學學 電電 子子 教教 案案1第五章第五章 梁彎曲時的位移梁彎曲時的位移5- -1 梁的位移梁的位移撓度和轉角撓度和轉角5- -2 梁的撓曲線近似微分方程及其積分梁的撓曲線近似微分方程及其積分5- -3 按疊加原理計算梁的撓度和轉角按疊加原理計算梁的撓度和轉角5- -6 梁內的彎曲應變能梁內的彎曲應變能5- -5 梁的剛度校核梁的剛度校核提高梁的剛度的措施提高梁的剛度的措施*5- -4 梁撓曲線的初參數(shù)方程梁撓曲線的初參數(shù)方程材材 料料 力力 學學 電電 子子 教教 案案25- -1 梁的位移梁的位移撓度和轉角撓度和轉角 直梁在對稱平面xy內彎曲時其原來的軸線AB將彎曲成平面

2、曲線AC1B。梁的橫截面形心(即軸線AB上的點)在垂直于x軸方向的線位移w稱為撓度(deflection)，橫截面對其原來位置的角位移q 稱為橫截面的轉角(angle of rotation)。第五章第五章 梁彎曲時的位移梁彎曲時的位移材材 料料 力力 學學 電電 子子 教教 案案3 彎曲后梁的軸線撓曲線(deflection curve)為一平坦而光滑的曲線，它可以表達為w=f(x)，此式稱為撓曲線方程。由于梁變形后的橫截面仍與撓曲線保持垂直，故橫截面的轉角q 也就是撓曲線在該相應點的切線與x軸之間的夾角，從而有轉角方程： xfwqqtan第五章第五章 梁彎曲時的位移梁彎曲時的位移材材 料料

3、 力力 學學 電電 子子 教教 案案4 直梁彎曲時的撓度和轉角這兩個位移不但與梁的彎曲變形程度(撓曲線曲率的大小)有關，也與支座約束的條件有關。圖a和圖b所示兩根梁，如果它們的材料和尺寸相同，所受的外力偶之矩Me也相等，顯然它們的變形程度(也就是撓曲線的曲率大小)相同，但兩根梁相應截面的撓度和轉角則明顯不同。第五章第五章 梁彎曲時的位移梁彎曲時的位移(a)(b)材材 料料 力力 學學 電電 子子 教教 案案5 在圖示坐標系中，撓度w向下為正，向上為負； 順時針轉向的轉角q為正，逆時針轉向的轉角q為負。第五章第五章 梁彎曲時的位移梁彎曲時的位移材材 料料 力力 學學 電電 子子 教教 案案65-

4、 -2 梁的撓曲線近似微分方程及其積分梁的撓曲線近似微分方程及其積分. 撓曲線近似微分方程的導出 在4-4中曾得到等直梁在線彈性范圍內純彎曲情況下中性層的曲率為這也就是位于中性層內的撓曲線的曲率的表達式。EIM1第五章第五章 梁彎曲時的位移梁彎曲時的位移材材 料料 力力 學學 電電 子子 教教 案案7 在橫力彎曲下，梁的橫截面上除彎矩M=M(x)外，還有剪力FS=FS(x)，剪力產生的剪切變形對梁的變形也會產生影響。但工程上常用的梁其跨長l 往往大于橫截面高度h的10倍，此時剪力FS對梁的變形的影響可略去不計，而有注意：對于有些l/h10的梁，例如工字形截面等直梁，如同在核電站中會遇到的那樣，

5、梁的翼緣由不銹鋼制作，而主要承受剪力的腹板則由價廉但切變模量較小的復合材料制作，此時剪切變形對梁的變形的影響是不可忽略的。 EIxMxx1第五章第五章 梁彎曲時的位移梁彎曲時的位移材材 料料 力力 學學 電電 子子 教教 案案8從幾何方面來看，平面曲線的曲率可寫作 2/3211wwx 式中，等號右邊有正負號是因為曲率1/為度量平面曲線(撓曲線)彎曲變形程度的非負值的量，而w是q = w 沿x方向的變化率，是有正負的。第五章第五章 梁彎曲時的位移梁彎曲時的位移材材 料料 力力 學學 電電 子子 教教 案案9第五章第五章 梁彎曲時的位移梁彎曲時的位移再注意到在圖示坐標系中，負彎矩對應于正值w ，正

6、彎矩對應于負值的w ，故從上列兩式應有由于梁的撓曲線為一平坦的曲線，上式中的w2與1相比可略去，于是得撓曲線近似微分方程 EIxMww 2/321 EIxMw 材材 料料 力力 學學 電電 子子 教教 案案10. 撓曲線近似微分方程的積分及邊界條件求等直梁的撓曲線方程時可將上式改寫為后進行積分，再利用邊界條件(boundary condition)確定積分常數(shù)。 xMwEI 第五章第五章 梁彎曲時的位移梁彎曲時的位移 EIxMw 材材 料料 力力 學學 電電 子子 教教 案案11 當全梁各橫截面上的彎矩可用一個彎矩方程表示時(例如圖中所示情況)有 1dCxxMwEI第五章第五章 梁彎曲時的位移

7、梁彎曲時的位移 21ddCxCxxxMEIw 以上兩式中的積分常數(shù)C1，C2由邊界條件確定后即可得出梁的轉角方程和撓曲線方程。材材 料料 力力 學學 電電 子子 教教 案案12 邊界條件(這里也就是支座處的約束條件)的示例如下圖所示。第五章第五章 梁彎曲時的位移梁彎曲時的位移材材 料料 力力 學學 電電 子子 教教 案案13 若由于梁上的荷載不連續(xù)等原因使得梁的彎矩方程需分段寫出時，各段梁的撓曲線近似微分方程也就不同。而對各段梁的近似微分方程積分時，都將出現(xiàn)兩個積分常數(shù)。要確定這些積分常數(shù)，除利用支座處的約束條件(constraint condition)外，還需利用相鄰兩段梁在交界處的連續(xù)條

8、件(continuity condition)。這兩類條件統(tǒng)稱為邊界條件。第五章第五章 梁彎曲時的位移梁彎曲時的位移材材 料料 力力 學學 電電 子子 教教 案案14 例題例題5-1 試求圖示等直梁的撓曲線方程和轉角方程，并確定其最大撓度wmax和最大轉角qmax。第五章第五章 梁彎曲時的位移梁彎曲時的位移材材 料料 力力 學學 電電 子子 教教 案案15解：解：該梁的彎矩方程為撓曲線近似微分方程為以x為自變量進行積分得 xlFxM xlFxMwEI 122CxlxFwEI于是得0021CC，該梁的邊界條件為：在 x=0 處 ，w =00w第五章第五章 梁彎曲時的位移梁彎曲時的位移213262

9、CxCxlxFEIw材材 料料 力力 學學 電電 子子 教教 案案16從而有轉角方程EIFxEIFxlw22q撓曲線方程EIFxEIlFxw6232 根據(jù)該梁邊界條件和全梁橫截面上彎矩均為負值，以及撓曲線應光滑連續(xù)描出了撓曲線的示意圖。第五章第五章 梁彎曲時的位移梁彎曲時的位移材材 料料 力力 學學 電電 子子 教教 案案17可見該梁的qmax和wmax均在x=l的自由端處。于是有 EIFlEIFlEIFlwwlx362|333max 22|222maxEIFlEIFlEIFllxqq第五章第五章 梁彎曲時的位移梁彎曲時的位移材材 料料 力力 學學 電電 子子 教教 案案18 由此題可見，當以

10、x為自變量對撓曲線近似微分方程進行積分時，所得轉角方程和撓曲線方程中的積分常數(shù)是有其幾何意義的：001|qEIwEICx002|EIwEIwCx此例題所示的懸臂梁，q0=0，w0=0， 因而也有C1=0 ，C2=0。第五章第五章 梁彎曲時的位移梁彎曲時的位移材材 料料 力力 學學 電電 子子 教教 案案19兩式中的積分在坐標原點處(即x=0處)總是等于零，從而有001|qEIwEICx002|EIwEIwCx事實上，當以x為自變量時 1dCxxMwEI 21ddCxCxxxMEIw第五章第五章 梁彎曲時的位移梁彎曲時的位移材材 料料 力力 學學 電電 子子 教教 案案20思考思考: : 試求圖

11、示等截面懸臂梁在所示坐標系中的撓曲線方程和轉角方程。積分常數(shù)C1和C2等于零嗎？第五章第五章 梁彎曲時的位移梁彎曲時的位移材材 料料 力力 學學 電電 子子 教教 案案21 例題例題5-2 試求圖示等直梁的撓曲線方程和轉角方程，并確定其最大撓度wmax和最大轉角qmax。第五章第五章 梁彎曲時的位移梁彎曲時的位移材材 料料 力力 學學 電電 子子 教教 案案22解：解：該梁的彎矩方程為撓曲線近似微分方程為以x為自變量進行積分得： 222212xlxqqxxqlxM 22xlxqxMwEI 132322CxlxqwEI21431262CxCxlxqEIw第五章第五章 梁彎曲時的位移梁彎曲時的位移

12、材材 料料 力力 學學 電電 子子 教教 案案23該梁的邊界條件為在 x=0 處 w=0，在 x=l 處 w=0于是有01262| 01442lCllqEIwClx及即024231CqlC，從而有轉角方程3234624xlxlEIqwq撓曲線方程323224xlxlEIqxw第五章第五章 梁彎曲時的位移梁彎曲時的位移材材 料料 力力 學學 電電 子子 教教 案案24 根據(jù)對稱性可知，兩支座處的轉角qA及qB的絕對值相等，且均為最大值，故最大撓度在跨中，其值為EIqlBA243maxqqq EIqlllllEIlqwwlx3845222242|43232max第五章第五章 梁彎曲時的位移梁彎曲時

13、的位移材材 料料 力力 學學 電電 子子 教教 案案25 例題例題5-3 試求圖示等直梁的撓曲線方程和轉角方程，并確定其最大撓度wmax和最大轉角qmax。第五章第五章 梁彎曲時的位移梁彎曲時的位移材材 料料 力力 學學 電電 子子 教教 案案26解：解：約束力為兩段梁的彎矩方程分別為 為了后面確定積分常數(shù)的方便，右邊那段梁的彎矩方程M2(x)仍取x截面左邊的梁為分離體，使方程M2(x)中的第一項與方程M1(x)中的項相同。laFFlbFFBA ， axxlbFxFxMA0 1 lxaaxFxlbFaxFxFxMA 2第五章第五章 梁彎曲時的位移梁彎曲時的位移材材 料料 力力 學學 電電 子子

14、 教教 案案27兩段梁的撓曲線近似微分方程亦需分段列出，并分別進行積分：撓曲線近似微分方程 xlbFxMwEI 11積分得1212CxlbFwEI11316DxCxlbFEIw axFxlbFxMwEI 22222222CaxFxlbFwEI2233266DxCaxFxlbFEIw左段梁右段梁ax 0lxa第五章第五章 梁彎曲時的位移梁彎曲時的位移材材 料料 力力 學學 電電 子子 教教 案案28 值得注意的是，在對右段梁進行積分運算時，對于含有(x-a)的項沒有以x 為自變量而是以(x-a)作為自變量進行積分的，因為這樣可在運用連續(xù)條件 w1 |x=a=w2|x=a 及w1|x=a=w2|x

15、=a 確定積分常數(shù)時含有(x-a)2和(x-a)3的項為零而使工作量減少。又，在對左段梁進行積分運算時仍以x 為自變量進行，故仍有C1=EIq0，D1=EIw0。第五章第五章 梁彎曲時的位移梁彎曲時的位移材材 料料 力力 學學 電電 子子 教教 案案29該梁的兩類邊界條件為支座約束條件：在x=0處 w1=0，在 x=l 處 w2=0連續(xù)條件： 在x=a處 ，w1=w221ww第五章第五章 梁彎曲時的位移梁彎曲時的位移由兩個連續(xù)條件得：由支座約束條件 w1|x=0=0 得2121 DDCC，01D02D從而也有材材 料料 力力 學學 電電 子子 教教 案案30由另一支座約束條件 w2|x=l=0

16、 有06|2332lCalFbllbFEIwlx即2226bllFbC從而也有2216bllFbC第五章第五章 梁彎曲時的位移梁彎曲時的位移材材 料料 力力 學學 電電 子子 教教 案案31從而得兩段梁的轉角方程和撓曲線方程如下：左段梁右段梁)0(ax )(lxa22211312xbllEIFbwq22216xbllEIFbxw222222312blxaxbllEIFbwqxblxaxbllEIFbw223326第五章第五章 梁彎曲時的位移梁彎曲時的位移材材 料料 力力 學學 電電 子子 教教 案案32左、右兩支座處截面的轉角分別為lEIblFablEIblFbxA66|2201qqlEIal

17、FablxB6|2qq當ab時有 6maxlEIalFabBqq第五章第五章 梁彎曲時的位移梁彎曲時的位移材材 料料 力力 學學 電電 子子 教教 案案33323221baablx顯然，由于現(xiàn)在ab，故上式表明x1a，從而證實wmax確實在左段梁內。將上列x1的表達式代入左段梁的撓曲線方程得3221max39|1bllEIFbwwxx 根據(jù)圖中所示撓曲線的大致形狀可知，最大撓度wmax所在 處在現(xiàn)在的情況下應在左段梁內。令左段梁的轉角方程 等于零，得0w1w第五章第五章 梁彎曲時的位移梁彎曲時的位移材材 料料 力力 學學 電電 子子 教教 案案34 由上式還可知，當集中荷載F作用在右支座附近因

18、而b值甚小，以致 b2 和 l2 相比可略去不計時有EIFblEIFblw22max0642. 039它發(fā)生在 處。而此時 處(跨中點C)的撓度wC為llx577. 031llx500. 02EIFblEIFblblEIFbwwlxC2222210625. 0164348|3221max39|1bllEIFbwwxx第五章第五章 梁彎曲時的位移梁彎曲時的位移材材 料料 力力 學學 電電 子子 教教 案案35 當集中荷載F作用于簡支梁的跨中時(b=l/2)，最大轉角qmax和最大撓度wmax為EIFlBA162maxqqqEIFlwwC483max 可見在集中荷載作用于右支座附近這種極端情況下，

19、跨中撓度與最大撓度也只相差不到3%。因此在工程計算中，只要簡支梁的撓曲線上沒有拐點都可以跨中撓度代替最大撓度。第五章第五章 梁彎曲時的位移梁彎曲時的位移材材 料料 力力 學學 電電 子子 教教 案案36思考思考: : 試繪出圖示兩根簡支梁的彎矩圖，并描出它們的撓曲線。并指出：(1) 跨中撓度是否最大？(2)跨中撓度的值是否接近最大撓度值？第五章第五章 梁彎曲時的位移梁彎曲時的位移l/4l/2材材 料料 力力 學學 電電 子子 教教 案案375-3 按疊加原理計算梁的撓度和轉角按疊加原理計算梁的撓度和轉角 當梁的變形微小，且梁的材料在線彈性范圍內工作時，梁的撓度和轉角均與梁上的荷載成線性關系。在

20、此情況下，當梁上有若干荷載或若干種荷載作用時，梁的某個截面處的撓度和轉角就等于每個荷載或每種荷載單獨作用下該截面的撓度和轉角的代數(shù)和。這就是計算梁的位移時的疊加原理(principle of superposition)。第五章第五章 梁彎曲時的位移梁彎曲時的位移材材 料料 力力 學學 電電 子子 教教 案案38 懸臂梁和簡支梁在簡單荷載(集中荷載，集中力偶，分布荷載)作用下，懸臂梁自由端的撓度和轉角表達式，以及簡支梁跨中撓度和支座截面轉角的表達式已在本教材的附錄中以及一些手冊中給出。根據(jù)這些資料靈活運用疊加原理，往往可較方便地計算復雜荷載情況下梁的指定截面的撓度和轉角。第五章第五章 梁彎曲時

21、的位移梁彎曲時的位移材材 料料 力力 學學 電電 子子 教教 案案39 例題例題5-5 試按疊加原理求圖a所示等直梁的跨中截面撓度 wC 和兩支座截面的轉角qA 及 qB。第五章第五章 梁彎曲時的位移梁彎曲時的位移(a) 解：解：此梁 wC 及qA，qB 實際上可不按疊加原理而直接利用本教材附錄表中序號13情況下的公式得出。這里是作為靈活運用疊加原理的例子，假設沒有可直接利用的現(xiàn)成公式來講述的。材材 料料 力力 學學 電電 子子 教教 案案40 作用在該簡支梁左半跨上的均布荷載可視為與跨中截面C正對稱和反對稱荷載的疊加(圖b)。第五章第五章 梁彎曲時的位移梁彎曲時的位移(b)(a)材材 料料

22、力力 學學 電電 子子 教教 案案41 在集度為q/2的正對稱均布荷載作用下，利用本教材附錄表中序號8的公式有 EIqlEIlqwC76853842/5441 48242/331EIqlEIlqBq 48242/331EIqlEIlqAq第五章第五章 梁彎曲時的位移梁彎曲時的位移C材材 料料 力力 學學 電電 子子 教教 案案42注意到反對稱荷載作用下跨中截面不僅撓度為零，而且該截面上的彎矩亦為零，但轉角不等于零，因此可將左半跨梁 AC 和右半跨梁 CB分別視為受集度為 q/2 的均布荷載作用而跨長為 l/2 的簡支梁。于是利用附錄表中序號8情況下的公式有 384242/2/3322EIqlE

23、IlqBAqq第五章第五章 梁彎曲時的位移梁彎曲時的位移 在集度為q/2的反對稱均布荷載作用下，由于撓曲線也是與跨中截面反對稱的，故有02CwC材材 料料 力力 學學 電電 子子 教教 案案43按疊加原理得 EIqlEIqlwwwCCC7685076854421 38473844833321EIqlEIqlEIqlBBBqqq 12833844833321EIqlEIqlEIqlAAAqqq第五章第五章 梁彎曲時的位移梁彎曲時的位移材材 料料 力力 學學 電電 子子 教教 案案44 例題例題5-6 試按疊加原理求圖a所示等直外伸梁其截面B的轉角qB，以及A端和BC段中點D的撓度wA和wD。第五

24、章第五章 梁彎曲時的位移梁彎曲時的位移材材 料料 力力 學學 電電 子子 教教 案案45第五章第五章 梁彎曲時的位移梁彎曲時的位移 解：解：為利用本教材附錄中簡支梁和懸臂梁的撓度和轉角資料，將圖a所示外伸梁看作由懸臂梁(圖b)和簡支梁(圖c)連接而成。原來的外伸梁在支座B左側截面上的剪力 和彎矩 應當作為外力和外力偶矩施加在懸臂梁和簡支梁上，它們的指向和轉向也應與 的正負相對應，如圖b及圖c中所示。22221qaaqMBBBMF和SqaFB2S材材 料料 力力 學學 電電 子子 教教 案案46 圖c中所示簡支梁BC的受力情況以及支座約束情況與原外伸梁BC段完全相同，因此再注意到簡支梁B支座左側

25、的外力2qa將直接傳遞給支座B而不會引起彎曲后，便可知道按圖d和圖e所示情況由本教材附錄中的資料求qBq， q BM 和 wDq，wDM 并疊加后得到的就是原外伸梁的q B和wD。第五章第五章 梁彎曲時的位移梁彎曲時的位移材材 料料 力力 學學 電電 子子 教教 案案47)(241162238454224EIqaEIaqaEIaqwwwDMDqD 3132242323EIqaEIaqaEIaqBMBqBqqq第五章第五章 梁彎曲時的位移梁彎曲時的位移材材 料料 力力 學學 電電 子子 教教 案案48 圖b所示懸臂梁AB的受力情況與原外伸梁AB段相同，但要注意原外伸梁的B支座截面是可以轉動的，其

26、轉角就是上面求得的qB，由此引起的A端撓度w1=|qB|a應疊加到圖b所示懸臂梁的A端撓度w2上去才是原外伸梁的A端撓度wA：第五章第五章 梁彎曲時的位移梁彎曲時的位移 EIqaEIaqaEIqawwwA44321127 8231材材 料料 力力 學學 電電 子子 教教 案案495-6 梁內的彎曲應變能梁內的彎曲應變能 在本教材的3-6中曾講述了等直圓桿扭轉時的應變能，并利用功能原理導出了密圈圓柱螺旋彈簧受壓(拉)時彈簧高度變化量的計算公式。 本節(jié)研究等直梁在線彈性范圍內工作時，由于作用在梁上的外力作功而在梁內蓄積的彎曲應變能Ve，并利用功能原理來求梁在簡單荷載情況下的位移。第五章第五章 梁彎曲時的位移梁彎曲時的位移材材 料料 力力 學學 電電 子子 教教 案案50 等直梁在線彈性范圍內純彎曲時(圖a)，其曲率 為常量，撓曲線為一圓弧，梁的兩個端面在梁彎曲后對應的圓心角為EIM1EIlMEIMlleq第五章第五章