【精品】高三數(shù)學3.3函數(shù)的和、差、積、商的導數(shù)(第二課時)大綱人教版選修

1、§函數(shù)的和、差、積、商的導數(shù)( 二教學目標一、教學知識點商的導數(shù)法則二、能力訓練要求1.理解商的導數(shù)法則，并能運用2.能夠綜合運用各種法則求函導數(shù).三、德育滲透目標1.提高學生的運算速度，培養(yǎng)學生的運算能力2.培養(yǎng)學生思維的嚴密性、科學性教學重點商的導數(shù)法則教學難點商的導數(shù)法則的理解與記憶， 以及它的證明過程， 證明過程要講究嚴密性， 在用極限的四則運算法則時，要使每個函數(shù)都有極限教學方法講授法教學過程 .課題導入師 我們先來看一下下面幾個函數(shù)的導數(shù)板書 (x54 32) =5x) =3x,(x ( x5 )5x 45 x 2( x3 )3x 23x5( (2而x3 ) ) x=()

2、 x=2( (x5( x5 )x) 3( x5 )師所以，商的導數(shù)不等于導數(shù)的商， 那么商的導數(shù)有什么法則呢？可以直接根據(jù)法則進行求導， 而不需要用定義來求 .上節(jié)課我們學習了和(或差 )的導數(shù)法則， 以及積的導數(shù)法則，這節(jié)課再來學習商的導數(shù)法則 .講授新課師 先復習一下和、差、積的導數(shù)法則，以及n 個函數(shù)的和、積的導數(shù).(學生回答，老師板書1.和 (或差 ) 的導數(shù)法 則1 ：兩個函數(shù)的和 ( 或差 ) 的導數(shù)，等于這兩個函數(shù)的導數(shù)的和(或差 )，即(u±v) =u±v2.積的導數(shù)法則 2：兩個函數(shù)的積的導數(shù)，等于第一個函數(shù)的導數(shù)乘第二個函數(shù)，加上第一個函數(shù)乘第二個函數(shù)的

3、導數(shù)即 (uv) =uv+uv.1特例 (Cu) =Cu.3.(f1 +f2+f ) =f+f +f.n1 2n f) =ff fff+f ff fn-1 fn.4.(f1 f2 n1 2n+f1f2 3n1n -2f n-1 n+f 15.商的導數(shù)法則 3：兩個函數(shù)的商的導數(shù)，等于分子的導數(shù)與分母的積，減去分母的導數(shù)與分子的積，再除以分母的平方即 ( u )u vuv( vvv 2證明： yf ( x)u( x)v(x)u( xx)u( x)yx)v( x)v( xu( xx)v( x)u( x)v(xx)=v( xx)u( x)( u( xx)v( x)u( x) v( x) u( x)v

4、(xx)u(x)v( x)=v( xx)v( x)( u( xx)u( x)v( x) u( x) v(x)v(xx) v(x)=v(xx)v( x)u(xx)u(x) v( x)u( x) v(xx)v(x)yxxxv( xx)v( x) v(x)在點 x 處可導，所以 v(x)在點 x 處連續(xù)當 x0時， v(x+ x) v(xy u ( x) v( x) u(x)v ( x) limv( x) v( x)x 0 xuu v uv即 y ( )v2v師用商的導數(shù)法則時， 要注意分母 v 不能等于0.到現(xiàn)在我們已經(jīng)學習了和、 差、積、商的導數(shù)法則， 并會用幾種常見函數(shù)的導數(shù)公式，在求一些函數(shù)

5、的導數(shù)時，就可以很方便地運用這些公式、法則去求，而不必從導數(shù)的定義出發(fā)了6.課本例題例 5求 yx2的導數(shù)sin x分析 該題可以直接利用商的導數(shù)法則解： y ( x2)(x 2 ) sin x x2(sin x)2x sin x x 2 cos xsin x(sin x) 2sin 2 x2例 6求 yx3 在點 x=3 處的導數(shù)x23分析 該題既要用到商的導數(shù)法則，還要用到和的導數(shù)法則解： y(x23 )x3=(x 3) ( x23) ( x 3)( x 23)( x23)2=x232x( x3)x26x 3(x23) 2(x 23) 2 y|32633241x=3=(323)214467

6、.精選例題例 1求 y1·Cosx 的導數(shù)x師生共析 這道題可以看作兩個函數(shù)的乘積，也可以看作兩個函數(shù)的商，所以不同的看法有不同的做法.這道題可以用兩種方法來求解法一： y=(1·Cosxx=(1) Cosx+1(Cosxxx11=( x 2 ) Cosx-sinxx3=1 x 2 cosx1sin x2x=cos x1sin x2x 3x=cos x2x sin x2xx1cos x解法二： y=(x·Cosx) =(x=(cosx)xcosx(x )(x ) 2311sin xxcos xx 2=x2x sin x12cos x=xx2x sin xcosxc

7、os x2x sin x=2xx2xx例 2求 y=Cotx 的導數(shù)cosx解： y=(Cotx) =(sin x(cos x) sin xcos x(sin x)=(sin x) 2sin x sin xcosxcosx=sin2 x1=csc2 xsin 2 x 例3(2004 年南通市高考模擬題第16 題 ) 設 f(x)=( x-1)(x-2) (x-2004), 則f (2004)=_.師生共析 共有 2004 個一次因式相乘，若直接用積的求導法則運算量太大，要去括號又困難重重 .考慮到它只求 x=1 處的導數(shù)，不妨把這 2004 個因式劃分成兩部分求導學生板演f(x)=( x-1)

8、 (x-2)(x-3) (x-2004) =(x-1) (x-2) (x-2004) x-1) (x-2) (x-2004) =(x-2)( x-3) (x-2004)+( x-1) (x-2) (x-2004) =(x-2)( x-3)(x-2004)+( x-1)(x-3) (x-2004)+ +(x-1)( x-2) (x-令 x=2004,得 f(2004)=(2004-2)(2004- 3) (2004-2004)+(2004-1)(2004- 2) (2004-2004)+ +(2004-1)(2004- 2) (2004-生 也可以這樣 解： 把 (x-1)(x-2) (x-20

9、04) 寫成 (x-1)(x-2) (x-2003) 與 (x-2004) 的積 f(x)= (x-1)(x-2) (x-2003) (x-2004)+( x-1)(x-2) (x-2003) ·(x-= (x-1)( x-2) (x-2003) (x-2004)+( x-1)( x-2) (x- f(2004)=0+(2004-1)(2004- 2) (2004- .課堂練習1.(1) (x( )( x21) x( )2)(x21)2x14(2)(1x 2)()sinx(1x2 )()2sin x4sin 2 x解：(1)(x)x ( x21)x( x21) (1)( x 2 1)

10、x( 2x)2( x21)2(x 21) 2x1(2)( 1x 2)2sin x(1x 2 ) 2 sin x(1x 2 )(2 sin x)=(2 sin x) 22x 2sin x(1x2 )(2cos x)=4sin2 x(4x) sin x(1x2 )(2cosx)=4sin 2 x2.求過曲線 y1x 上的點P(4,7x)且與該曲線相切的直線方程4111解： yx yx 2xx y11111 x 21x 22x22 x過點 P 的切線斜率為k= y|=x=411115162216416切線方程為75y(x-4),即有 5x+16y416所求直線方程是5x+16y .課時小結這節(jié)課主要

11、學習了商的導數(shù)法則uu v uv(v 0)，如何綜合運用函數(shù)的和、差、( )v 2v積、商的導數(shù)法則，來求一些復雜函數(shù)的導數(shù).要將和、差、積、商的導數(shù)法則記住 .課后作業(yè)(一 )課本 P120習題 3.3(二 )1.預習內(nèi)容 :P121 123 復合函數(shù)的導數(shù)2.預習提綱求復合函數(shù)的導數(shù)法則， 預習例 1，如何運用法則來求導，要注意什么， 或步驟是什么 .板書設計§3.3.2 函數(shù)的和、差、積、商的導數(shù)(二舉例說明 ( u )uvv51.和 (或差 ) 的導數(shù) (u±v) =u±v2.積的導數(shù) (uv) =uv+uvCu),( =Cu3.(f1 +f2+ f ) =f+f+fn12n4.(f1 f2 fn) =f1f2 fn+f1f2f3fn+f1 f n-2 f n-1 fn+f1 f n-1 fn5.商的導數(shù) ( u )u v uv(vvv 2商的導數(shù)的證明課本