主成份分析因子分析

1、zfzf2因子分析的重點因子分析的重點v1 1、什么是因子分析？、什么是因子分析？v2 2、理解因子分析的基本思想、理解因子分析的基本思想v3 3、因子分析的數(shù)學(xué)模型以及模型中公共因子、因子分析的數(shù)學(xué)模型以及模型中公共因子、因子載荷變量共同度的統(tǒng)計意義因子載荷變量共同度的統(tǒng)計意義v4 4、因子旋轉(zhuǎn)的意義、因子旋轉(zhuǎn)的意義 v5 5、結(jié)合、結(jié)合SPSSSPSS軟件進(jìn)行案例分析軟件進(jìn)行案例分析zf36.1 6.1 因子分析的基本理論因子分析的基本理論v1 1、什么是因子分析？、什么是因子分析？ 因子分析是主成分分析的推廣，也是利用因子分析是主成分分析的推廣，也是利用降維降維的的思想，由研究原始變量相

2、關(guān)矩陣或協(xié)方差矩陣的內(nèi)部思想，由研究原始變量相關(guān)矩陣或協(xié)方差矩陣的內(nèi)部依賴關(guān)系出發(fā)，把一些具有錯綜復(fù)雜關(guān)系的多個變量依賴關(guān)系出發(fā)，把一些具有錯綜復(fù)雜關(guān)系的多個變量歸結(jié)為少數(shù)幾個綜合因子的一種多元統(tǒng)計分析方法。歸結(jié)為少數(shù)幾個綜合因子的一種多元統(tǒng)計分析方法。v2 2、因子分析的基本思想：、因子分析的基本思想： 把每個研究變量分解為幾個影響因素變量，將每把每個研究變量分解為幾個影響因素變量，將每個原始變量分解成兩部分因素，一部分是由所有變量個原始變量分解成兩部分因素，一部分是由所有變量共同具有的少數(shù)幾個共同具有的少數(shù)幾個公共因子公共因子組成的，另一部分是每組成的，另一部分是每個變量獨自具有的因素，即

3、個變量獨自具有的因素，即特殊因子特殊因子。zf4v3 3、因子分析的目的：、因子分析的目的：l因子分析的目的之一，因子分析的目的之一，簡化變量維數(shù)。簡化變量維數(shù)。即要使因素結(jié)即要使因素結(jié)構(gòu)簡單化，希望以最少的共同因素（公共因子），能構(gòu)簡單化，希望以最少的共同因素（公共因子），能對總變異量作最大的解釋，因而抽取得因子愈少愈好，對總變異量作最大的解釋，因而抽取得因子愈少愈好，但抽取因子的累積解釋的變異量愈大愈好。但抽取因子的累積解釋的變異量愈大愈好。l在因子分析的公共因子抽取中，應(yīng)最先抽取特征值最在因子分析的公共因子抽取中，應(yīng)最先抽取特征值最大的公共因子，其次是次大者，最后抽取公共因子的大的公共因

4、子，其次是次大者，最后抽取公共因子的特征值最小特征值最小 通常會接近通常會接近0 0。zf5v例：在企業(yè)形象或品牌形象的研究中，消費者可以通過一個有例：在企業(yè)形象或品牌形象的研究中，消費者可以通過一個有2424個指標(biāo)構(gòu)成的評價體系，評價百貨商場的個指標(biāo)構(gòu)成的評價體系，評價百貨商場的2424個方面的優(yōu)劣。個方面的優(yōu)劣。v但消費者主要關(guān)心的是三個方面，即商店的環(huán)境、商店的服務(wù)但消費者主要關(guān)心的是三個方面，即商店的環(huán)境、商店的服務(wù)和商品的價格。因子分析方法可以通過和商品的價格。因子分析方法可以通過2424個變量，找出反映商個變量，找出反映商店環(huán)境、商店服務(wù)水平和商品價格的三個潛在的因子，對商店店環(huán)境

5、、商店服務(wù)水平和商品價格的三個潛在的因子，對商店進(jìn)行綜合評價。而這三個公共因子可以表示為：進(jìn)行綜合評價。而這三個公共因子可以表示為：v稱稱 是不可觀測的潛在因子是不可觀測的潛在因子, ,稱為公共因子。稱為公共因子。2424個變個變量共享這三個因子，但是每個變量又有自己的個性，不被包含量共享這三個因子，但是每個變量又有自己的個性，不被包含的部分的部分 ，稱為特殊因子。，稱為特殊因子。iiiiiiFFFx332211321FFF、izf6v4 4、主成分分析分析與因子分析的聯(lián)系和差異：、主成分分析分析與因子分析的聯(lián)系和差異： 聯(lián)系：聯(lián)系：（1 1）因子分析是主成分分析的推廣，是主成分分析的逆問）因

6、子分析是主成分分析的推廣，是主成分分析的逆問題。（題。（2 2）二者都是以）二者都是以降維降維為目的，都是從協(xié)方差矩陣或相關(guān)系數(shù)為目的，都是從協(xié)方差矩陣或相關(guān)系數(shù)矩陣出發(fā)。矩陣出發(fā)。 區(qū)別區(qū)別：（1 1）主成分分析模型是原始變量的線性組合，是將原始變主成分分析模型是原始變量的線性組合，是將原始變量加以綜合、歸納，僅僅是變量變換；而因子分析是將原始變量加以量加以綜合、歸納，僅僅是變量變換；而因子分析是將原始變量加以分解，描述原始變量協(xié)方差矩陣結(jié)構(gòu)的模型；只有當(dāng)提取的公因子個分解，描述原始變量協(xié)方差矩陣結(jié)構(gòu)的模型；只有當(dāng)提取的公因子個數(shù)等于原始變量個數(shù)時，因子分析才對應(yīng)變量變換。（數(shù)等于原始變量個

7、數(shù)時，因子分析才對應(yīng)變量變換。（2 2）主成分分析，）主成分分析，中每個主成分對應(yīng)的系數(shù)是唯一確定的；因子分析中每個因子的相應(yīng)中每個主成分對應(yīng)的系數(shù)是唯一確定的；因子分析中每個因子的相應(yīng)系數(shù)即因子載荷不是唯一的。（系數(shù)即因子載荷不是唯一的。（3 3）因子分析中因子載荷的不唯一性有）因子分析中因子載荷的不唯一性有利于對公因子進(jìn)行有效解釋；而主成分分析對提取的主成分的解釋能利于對公因子進(jìn)行有效解釋；而主成分分析對提取的主成分的解釋能力有限。力有限。 zf7v5 5、因子分析模型：、因子分析模型： 設(shè)設(shè) 個變量，如果表示為個變量，如果表示為iX), 2 , 1(pip11iiiimmiXa Fa F

8、)(pm 11111211122212222212mmpppppmpmXFXFXF或XAF或zf8（1 1）（2 2） 稱為稱為 公共因子，是不可觀測的變量，公共因子，是不可觀測的變量，他們的系數(shù)稱為因子載荷。他們的系數(shù)稱為因子載荷。 是特殊因子，是不能被是特殊因子，是不能被前前m m個公共因子包含的部分。其中：個公共因子包含的部分。其中：mFFF,21icov( , )0,F,F相互獨立即不相關(guān)；相互獨立即不相關(guān)；IFD111)(mFFF,21即即 互不相關(guān)，方差為互不相關(guān)，方差為1 1。zf9（3 3）22221)(pD即互不相關(guān)，方差不一定相等，即互不相關(guān)，方差不一定相等， 。滿足以上條

9、件的，稱為滿足以上條件的，稱為正交因子模型正交因子模型如果（）不成立，即如果（）不成立，即 各公共因子之間不獨立，各公共因子之間不獨立，則因子分析模型為則因子分析模型為斜交因子模型斜交因子模型), 0(2iiNIFD)(zf10公因子公因子F1公因子公因子F2共同度共同度hi特殊因子特殊因子ix1=代數(shù)代數(shù)10.8960.3410.9190.081x2=代數(shù)代數(shù)20.8020.4960.8890.111x3=幾何幾何0.5160.8550.9970.003x4=三角三角0.8410.4440.9040.096x5=解析幾何解析幾何0.8330.4340.8820.118特征值特征值 G3.11

10、31.4794.9590.409方差貢獻(xiàn)率方差貢獻(xiàn)率（變異量）（變異量）62.26%29.58%91.85%因子分析案例因子分析案例F F1 1 體現(xiàn)邏輯思維和運算能力，體現(xiàn)邏輯思維和運算能力，F(xiàn) F2 2 體現(xiàn)空間思維和推理能力體現(xiàn)空間思維和推理能力zf11v6 6、因子分析模型中的幾個重要統(tǒng)計量的意義：、因子分析模型中的幾個重要統(tǒng)計量的意義：（1 1）因子負(fù)荷量（或稱因子載荷）因子負(fù)荷量（或稱因子載荷）-是指因子結(jié)是指因子結(jié)構(gòu)中原始變量與因子分析時抽取出的公共因子的相構(gòu)中原始變量與因子分析時抽取出的公共因子的相關(guān)程度。關(guān)程度。imim2i21i1*iFFFxijijm1ijm1ij*i F

11、j),cov()F,cov( )F,cov()F,Cov(xkikikikFF)var(*)var()*,cov(rijjijiFxFxrzf12 在各公共因子不相關(guān)的前提下，在各公共因子不相關(guān)的前提下， （載荷矩陣（載荷矩陣中第中第i i行，第行，第j j列的元素）列的元素）是隨機(jī)變量是隨機(jī)變量xi*與公共因與公共因子子F Fj j的相關(guān)系數(shù)，的相關(guān)系數(shù)，表示表示x xi i* *依賴于依賴于F Fj j的程度。的程度。反映反映了第了第i i個原始變量在第個原始變量在第j j個公共因子上的相對重要性。個公共因子上的相對重要性。因此因此 絕對值越大，則公共因子絕對值越大，則公共因子F Fj j

12、與原有變量與原有變量x xi i的關(guān)系越強(qiáng)。的關(guān)系越強(qiáng)。ijijzf13（2 2）共同度共同度-又稱共性方差或公因子方差又稱共性方差或公因子方差（community或或common variance）就是變量與每個公共因子之負(fù)荷量就是變量與每個公共因子之負(fù)荷量的平方總和（一行中所有因素負(fù)荷量的平方和）。的平方總和（一行中所有因素負(fù)荷量的平方和）。變量變量 的共同度是因子載荷矩陣的第的共同度是因子載荷矩陣的第i i行的元素的平方和。記為行的元素的平方和。記為 從共同性的大小可以判斷這個原始實測變量與公共因從共同性的大小可以判斷這個原始實測變量與公共因子間之關(guān)系程度。如因子分析案例中子間之關(guān)系程度

13、。如因子分析案例中 共同度共同度h h1 12 2=(0.896)=(0.896)平方平方+(0.341)+(0.341)平方平方=0.919=0.919l特殊因子方差（剩余方差）特殊因子方差（剩余方差）-各變量的特殊因素影響大小就各變量的特殊因素影響大小就是是1 1減掉該變量共同度的值。如減掉該變量共同度的值。如 =1- 0.919 = 0.081=1- 0.919 = 0.081iX。mjijiah1222izf14統(tǒng)計意義統(tǒng)計意義：imimiiFaFaX11*兩邊求方差兩邊求方差 )()()()(2112imimiiVarFVaraFVaraXVar221221iimjiijha 所有的

14、公共因子和特殊因子對變量所有的公共因子和特殊因子對變量 的貢獻(xiàn)為的貢獻(xiàn)為1 1。 h hi i2 2反映了全反映了全部公共因子對變量部公共因子對變量X Xi i* *的影響，是全部公共因子對變量方差所做出的影響，是全部公共因子對變量方差所做出的貢獻(xiàn)，或者說的貢獻(xiàn)，或者說X Xi i* *對公共因子的共同依賴程度，稱為公共因子對對公共因子的共同依賴程度，稱為公共因子對變量變量X Xi i* *的方差貢獻(xiàn)。的方差貢獻(xiàn)。 H Hi i2 2接近于接近于1 1，表明該變量的原始信息幾乎都被選取的公共因子，表明該變量的原始信息幾乎都被選取的公共因子說明了。說明了。 特殊因子的方差，反映了原有變量方差中無

15、法被公共因子特殊因子的方差，反映了原有變量方差中無法被公共因子描述的比例。描述的比例。*iX2izf15（3 3）特征值特征值-是第是第j j個公共因子個公共因子F Fj j對于對于X X* *的每一分量的每一分量X Xi i* *所提所提供的方差的總和。又稱第供的方差的總和。又稱第j j個公共因子的方差貢獻(xiàn)。即個公共因子的方差貢獻(xiàn)。即每個每個變量與某一共同因素之因素負(fù)荷量的平方總和變量與某一共同因素之因素負(fù)荷量的平方總和（因子載荷矩（因子載荷矩陣中某一公共因子列所有因子負(fù)荷量的平方和）。陣中某一公共因子列所有因子負(fù)荷量的平方和）。 如因子分析案例中如因子分析案例中 F1F1的特征值的特征值

16、G=G=（0.8960.896）平方平方+ +（0.8020.802）平方）平方+ +（0.5160.516）平方）平方+ +（0.8410.841）平方）平方+ +（0.8330.833）平方平方=3.113=3.113（4 4）方差貢獻(xiàn)率）方差貢獻(xiàn)率-指公共因子對實測變量的貢獻(xiàn)，又稱變異指公共因子對實測變量的貢獻(xiàn)，又稱變異量量 方差貢獻(xiàn)率方差貢獻(xiàn)率= =特征值特征值G/G/實測變量數(shù)實測變量數(shù)p p， 是衡量公共因子相對重要性的指標(biāo)，是衡量公共因子相對重要性的指標(biāo)，G Gi i越大，表明公共越大，表明公共因子因子F Fj j對對X X* *的貢獻(xiàn)越大，該因子的重要程度越高的貢獻(xiàn)越大，該因子

17、的重要程度越高 如因子分析案例中如因子分析案例中 F1F1的貢獻(xiàn)率為的貢獻(xiàn)率為3.113/5=62.26%3.113/5=62.26%zf166.2 6.2 因子的基本內(nèi)容因子的基本內(nèi)容v1 1、因子分析的基本步驟：、因子分析的基本步驟：（1 1）因子分析的前提條件鑒定）因子分析的前提條件鑒定 考察原始變量之間是否存在較強(qiáng)的相關(guān)關(guān)系，是否適考察原始變量之間是否存在較強(qiáng)的相關(guān)關(guān)系，是否適合進(jìn)行因子分析。因為：合進(jìn)行因子分析。因為： 因子分析的主要任務(wù)之一就是對原有變量中信息重因子分析的主要任務(wù)之一就是對原有變量中信息重疊的部分提取和綜合成因子，最終實現(xiàn)減少變量個數(shù)的疊的部分提取和綜合成因子，最終

18、實現(xiàn)減少變量個數(shù)的目的。所以要求原有變量之間應(yīng)存在較強(qiáng)的相關(guān)關(guān)系。目的。所以要求原有變量之間應(yīng)存在較強(qiáng)的相關(guān)關(guān)系。否則，如果原有變量相互獨立，不存在信息重疊，也就否則，如果原有變量相互獨立，不存在信息重疊，也就無需進(jìn)行綜合和因子分析。無需進(jìn)行綜合和因子分析。（2 2）因子提?。┮蜃犹崛?研究如何在樣本數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)上提取綜合因子。研究如何在樣本數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)上提取綜合因子。zf17（3 3）因子旋轉(zhuǎn)）因子旋轉(zhuǎn) 通過正交旋轉(zhuǎn)或斜交旋轉(zhuǎn)使提取出的因子具有可通過正交旋轉(zhuǎn)或斜交旋轉(zhuǎn)使提取出的因子具有可解釋性。解釋性。（4 4）計算因子得分）計算因子得分 通過各種方法求解各樣本在各因子上的得分，為通過各種方法求

19、解各樣本在各因子上的得分，為進(jìn)一步分析奠定基礎(chǔ)。進(jìn)一步分析奠定基礎(chǔ)。zf18v2 2、因子分析前提條件、因子分析前提條件相關(guān)性分析：相關(guān)性分析：分析方法主要有：分析方法主要有：（1 1）計算相關(guān)系數(shù)矩陣）計算相關(guān)系數(shù)矩陣( (correlation correlation coefficients matrix)coefficients matrix) 如果相關(guān)系數(shù)矩陣中的大部分相關(guān)系數(shù)值如果相關(guān)系數(shù)矩陣中的大部分相關(guān)系數(shù)值均小于均小于0.30.3，即各變量間大多為弱相關(guān)，原，即各變量間大多為弱相關(guān)，原則上這些變量不適合進(jìn)行因子分析。則上這些變量不適合進(jìn)行因子分析。（2 2）計算反映象相關(guān)矩陣

20、（）計算反映象相關(guān)矩陣（Anti-image Anti-image correlation matrix)correlation matrix)zf19 反映象相關(guān)矩陣，如果其主對角線外的元素大多絕反映象相關(guān)矩陣，如果其主對角線外的元素大多絕對值較小，對角線上的元素值較接近對值較小，對角線上的元素值較接近1 1，則說明這些變，則說明這些變量的相關(guān)性較強(qiáng)，適合進(jìn)行因子分析。量的相關(guān)性較強(qiáng)，適合進(jìn)行因子分析。 其中主對角線上的元素為某變量的其中主對角線上的元素為某變量的MSA(Measure of MSA(Measure of Sample Adequacy)Sample Adequacy)： 是

21、變量是變量 和變量和變量 （ ）間的簡單相關(guān)系數(shù)，是間的簡單相關(guān)系數(shù)，是變量變量 和變量和變量 （ ）在控制了其他變量影響下的偏在控制了其他變量影響下的偏相關(guān)系數(shù)，即凈相關(guān)系數(shù)。相關(guān)系數(shù)，即凈相關(guān)系數(shù)。 取值在取值在0 0和和1 1之間，越之間，越接近接近1 1，意味著變量，意味著變量 與其他變量間的相關(guān)性越強(qiáng)，越與其他變量間的相關(guān)性越強(qiáng)，越接近接近0 0則相關(guān)性越弱。則相關(guān)性越弱。ijijijijijijiprrMSA222ijrixjxijijpixjxijiMSAixzf20（3 3）巴特利特球度檢驗（）巴特利特球度檢驗（Bartlett test of Bartlett test of

22、 sphericity)sphericity) 該檢驗以原有變量的相關(guān)系數(shù)矩陣為出發(fā)點，其零該檢驗以原有變量的相關(guān)系數(shù)矩陣為出發(fā)點，其零假設(shè)假設(shè)H0H0是：相關(guān)系數(shù)矩陣為單位矩陣，即相關(guān)系數(shù)矩陣是：相關(guān)系數(shù)矩陣為單位矩陣，即相關(guān)系數(shù)矩陣主對角元素均為主對角元素均為1 1，非主對角元素均為，非主對角元素均為0 0。（即原始變量。（即原始變量之間無相關(guān)關(guān)系）。之間無相關(guān)關(guān)系）。 依據(jù)相關(guān)系數(shù)矩陣的行列式計算可得其近似服從卡依據(jù)相關(guān)系數(shù)矩陣的行列式計算可得其近似服從卡方分布。如果統(tǒng)計量卡方值較大且對應(yīng)的方分布。如果統(tǒng)計量卡方值較大且對應(yīng)的sigsig值小于給值小于給定的顯著性水平定的顯著性水平a a

23、時，零假設(shè)不成立。即說明相關(guān)系數(shù)時，零假設(shè)不成立。即說明相關(guān)系數(shù)矩陣不太可能是單位矩陣，變量之間存在相關(guān)關(guān)系，適矩陣不太可能是單位矩陣，變量之間存在相關(guān)關(guān)系，適合做因子分析。合做因子分析。zf21（4 4）KMO(Kaiser-Meyer-Olkin)KMO(Kaiser-Meyer-Olkin)檢驗檢驗 KMOKMO檢驗的統(tǒng)計量是用于比較變量間簡單相關(guān)系數(shù)矩陣檢驗的統(tǒng)計量是用于比較變量間簡單相關(guān)系數(shù)矩陣和偏相關(guān)系數(shù)的指標(biāo)，數(shù)學(xué)定義為：和偏相關(guān)系數(shù)的指標(biāo)，數(shù)學(xué)定義為： KMO KMO與與MSAMSA區(qū)別是它將相關(guān)系數(shù)矩陣中的所有元素都加入?yún)^(qū)別是它將相關(guān)系數(shù)矩陣中的所有元素都加入到了平方和計算中

24、。到了平方和計算中。KMOKMO值越接近值越接近1 1，意味著變量間的相，意味著變量間的相關(guān)性越強(qiáng)，原有變量適合做因子分析；越接近關(guān)性越強(qiáng)，原有變量適合做因子分析；越接近0 0，意味，意味變量間的相關(guān)性越弱，越不適合作因子分析。變量間的相關(guān)性越弱，越不適合作因子分析。 KaiserKaiser給出的給出的KMOKMO度量標(biāo)準(zhǔn)：度量標(biāo)準(zhǔn)：0.90.9以上非常適合；以上非常適合；0.80.8表示適合；表示適合；0.70.7表示一般；表示一般；0.60.6表示不太適合；表示不太適合；0.50.5以下表示極不適以下表示極不適合。合。 ijijijijijijiprrKMO222zf22v3 3、因子提

25、取和因子載荷矩陣的求解：、因子提取和因子載荷矩陣的求解：因子載荷矩陣求解的方法：因子載荷矩陣求解的方法： （1 1）基于主成分模型的主成分分析法）基于主成分模型的主成分分析法 （2 2）基于因子分析模型的主軸因子法）基于因子分析模型的主軸因子法 （3 3）極大似然法極大似然法 （4 4）最小二乘法）最小二乘法 （5 5）a a因子提取法因子提取法 （6 6）映象分析法）映象分析法zf23（1 1）基于主成分模型的主成分分析法）基于主成分模型的主成分分析法Principal Principal componentscomponents 設(shè)隨機(jī)向量 的均值為 ，協(xié)方差為 , , 為的特征根， 為對

26、應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)化特征向量，則pxxx,21x021pp21u,u,u12p = UUAA +Dzf24o上式給出的上式給出的 表達(dá)式是精確的，然而，它實際上是毫無表達(dá)式是精確的，然而，它實際上是毫無價值的，因為我們的目的是尋求用少數(shù)幾個公共因子解價值的，因為我們的目的是尋求用少數(shù)幾個公共因子解釋，故略去后面的釋，故略去后面的p-mp-m項的貢獻(xiàn)，有：項的貢獻(xiàn)，有：p2uuuuuuppp21122111100p212ppuuuuuu21111mmmmmmp1122ppu uu uu uuuu uzf25o上式有一個假定，模型中的特殊因子是不重要的，因而上式有一個假定，模型中的特殊因子是不重要的，因而從

27、從 的分解中忽略了特殊因子的方差。的分解中忽略了特殊因子的方差。12 mmm1122AA + Du uu uu uD22212(,)pdiagD其中221miiiijjsa1121122 mmp mpmmp2uuuuuDAADuzf26 例例: : 假定某地固定資產(chǎn)投資率假定某地固定資產(chǎn)投資率 ，通貨膨脹率，通貨膨脹率 ，失業(yè)率失業(yè)率 ，相關(guān)系數(shù)矩陣為，相關(guān)系數(shù)矩陣為試用主成分分析法求因子分析模型。試用主成分分析法求因子分析模型。1x2x3x15/ 25/ 15/ 215/ 15/ 15/ 11zf27(1)(1)求解特征根求解特征根(2)(2)求解特征向量：求解特征向量：(3)(3)因子載荷

28、矩陣：因子載荷矩陣：55. 11 85. 02 6 . 03 6 . 0707. 085. 0331. 055. 1629. 06 . 0707. 085. 0331. 055. 1629. 0085. 0883. 055. 1475. 0A707. 0331. 0629. 0707. 0331. 0629. 00883. 0475. 0U548. 0305. 0783. 0548. 0305. 0783. 00814. 0569. 0zf28(4)(4)因子分析模型：因子分析模型： 可取前兩個因子可取前兩個因子F1F1和和F F2 2為公共因子，第一公因子為公共因子，第一公因子F F1 1物

29、價就業(yè)因子，對物價就業(yè)因子，對X X的貢獻(xiàn)為的貢獻(xiàn)為1.551.55。第一公因子。第一公因子F F2 2為投為投資因子，對資因子，對X X的貢獻(xiàn)為的貢獻(xiàn)為0.850.85。共同度分別為。共同度分別為1 1，0.7060.706，0.7060.706。211814. 0569. 0FFx3212548. 0305. 0783. 0FFFx3213548. 0305. 0783. 0FFFxzf29（2 2）基于因子分析模型的主軸因子法）基于因子分析模型的主軸因子法Principal Principal axis factoringaxis factoring 是對主成分方法的修正，假定我們首先對

30、變量進(jìn)是對主成分方法的修正，假定我們首先對變量進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化變換。則行標(biāo)準(zhǔn)化變換。則 R=AA+DR=AA+D R R* *=AA=R-D=AA=R-D稱稱R R* *為約相關(guān)矩陣，為約相關(guān)矩陣，R R* *對角線上的元素是對角線上的元素是 , ,而不是而不是1 1。2ihzf30 直接求直接求R R* *的前的前p p個特征根和對應(yīng)的正交特征向個特征根和對應(yīng)的正交特征向量。得如下的矩陣：量。得如下的矩陣：2112122122212ppppphrrrhrRrrhR-D*1122ppAuuu*10pR特征根：*12,pu uu正交特征向量：zf31當(dāng)特殊因子當(dāng)特殊因子 的方差的方差已知：已知：i21

31、222pRR*11*221122*ppppuuuuuu*1122mmAuuu2121100phhDzf32方差矩陣未知，估計的方法有如下幾種：方差矩陣未知，估計的方法有如下幾種： 1 1）?。┤?，在這個情況下主因子解與主成分解等價；，在這個情況下主因子解與主成分解等價； 2 2）?。┤?， 為為x xi i與其他所有的原始變量與其他所有的原始變量x xj j的復(fù)相關(guān)系的復(fù)相關(guān)系數(shù)的平方，即數(shù)的平方，即x xi i對其余的對其余的p-1p-1個個x xj j的回歸方程的判定系數(shù)，這是的回歸方程的判定系數(shù)，這是因為因為x xi i 與公共因子的關(guān)系是通過其余的與公共因子的關(guān)系是通過其余的p-1p

32、-1個個x xj j 的線性組合聯(lián)的線性組合聯(lián)系起來的；系起來的； 3 3）?。┤?，這意味著取，這意味著取x xi i與其余的與其余的x xj j的簡的簡單相關(guān)系數(shù)的絕對值最大者；單相關(guān)系數(shù)的絕對值最大者；12ih22iiRh 2iR)( |max2ijrhijizf33 4 4）?。┤?，其中要求該值為正數(shù)。，其中要求該值為正數(shù)。 5 5）取）取 ，其中，其中 是是 的對角元素。的對角元素。pjijijirph, 1211iiirh/12iir1Rzf34 例：例：假定某地固定資產(chǎn)投資率假定某地固定資產(chǎn)投資率 ，通貨膨脹率，通貨膨脹率 ，失業(yè)率，失業(yè)率 ，相關(guān)系數(shù)矩陣為相關(guān)系數(shù)矩陣為試用主

33、因子分析法求因子分析模型。假定用試用主因子分析法求因子分析模型。假定用代替初始的代替初始的 。 。1x2x3x15/25/15/215/15/15/11)( |max2ijrhiji2ih52, 1,51232221hhh221251111515/25/25/15/215/15/15/15/1*Rzf35（1 1）求解特征根：）求解特征根：（2 2）對應(yīng)的非）對應(yīng)的非0 0特征向量：特征向量：（3 3）因子載荷矩陣表：）因子載荷矩陣表：9123. 010877. 0203261. 0657. 0261. 0657. 0929. 0369. 00877. 0261. 09123. 0657. 0

34、0877. 0261. 09123. 0657. 00877. 0929. 09123. 0369. 0077. 0628. 0077. 0628. 0275. 0352. 0zf36（4 4）因子分析模型：）因子分析模型：（5 5）新的共同度：）新的共同度：1211275. 0352. 0FFx2212077. 0625. 0FFx3211077. 0682. 0FFx18129. 0275. 0352. 02221h3966. 0077. 0625. 02222h4710. 0077. 0682. 02223hzf37v4 4、因子旋轉(zhuǎn)：、因子旋轉(zhuǎn)：為什么要旋轉(zhuǎn)因子？為什么要旋轉(zhuǎn)因子？ 建

35、立了因子分析數(shù)學(xué)目的不僅僅要找出公共因子以及建立了因子分析數(shù)學(xué)目的不僅僅要找出公共因子以及對變量進(jìn)行分組，更重要的要知道每個公共因子的意義，對變量進(jìn)行分組，更重要的要知道每個公共因子的意義，以便進(jìn)行進(jìn)一步的分析，如果每個公共因子的含義不清，以便進(jìn)行進(jìn)一步的分析，如果每個公共因子的含義不清，則不便于進(jìn)行實際背景的解釋。則不便于進(jìn)行實際背景的解釋。由于因子載荷陣是不惟由于因子載荷陣是不惟一的，所以應(yīng)該對因子載荷陣進(jìn)行旋轉(zhuǎn)。一的，所以應(yīng)該對因子載荷陣進(jìn)行旋轉(zhuǎn)。目的是目的是使每個使每個變量在盡可能少的因子上有比較高的載荷，讓某個變量變量在盡可能少的因子上有比較高的載荷，讓某個變量在某個因子上的載荷趨于

36、在某個因子上的載荷趨于1 1，而在其他因子上的載荷趨，而在其他因子上的載荷趨于于0 0。即：。即：使載荷矩陣每列或行的元素平方值向使載荷矩陣每列或行的元素平方值向0 0和和1 1兩兩極分化。極分化。zf38奧運會十項全能運動項目奧運會十項全能運動項目得分?jǐn)?shù)據(jù)的因子分析得分?jǐn)?shù)據(jù)的因子分析 百米跑成績百米跑成績 跳遠(yuǎn)成績跳遠(yuǎn)成績 鉛球成績鉛球成績 跳高成績跳高成績 400 400米跑成績米跑成績 百米跨欄百米跨欄 鐵餅成績鐵餅成績 撐桿跳遠(yuǎn)成績撐桿跳遠(yuǎn)成績 標(biāo)槍成績標(biāo)槍成績 1500 1500米跑成績米跑成績 1X2X3X4X5X6X7X8X9X10Xzf39102. 017. 002. 001.

37、 039. 018. 008. 009. 007. 0124. 034. 018. 013. 017. 044. 021. 011. 0124. 033. 023. 039. 024. 036. 020. 0132. 017. 027. 073. 031. 028. 0134. 046. 036. 052. 040. 0129. 019. 049. 063. 0138. 051. 034. 0142. 035. 0159. 01zf40因因子子載載荷荷矩矩陣陣 因子載荷矩陣可以看出，除第一因子在所有的變量在公共因子上有因子載荷矩陣可以看出，除第一因子在所有的變量在公共因子上有較大的正載荷，可以

38、稱為一般運動因子。其他的較大的正載荷，可以稱為一般運動因子。其他的3 3個因子不太容易解釋。個因子不太容易解釋。似乎是跑和投擲的能力對比，似乎是長跑耐力和短跑速度的對比。于似乎是跑和投擲的能力對比，似乎是長跑耐力和短跑速度的對比。于是考慮旋轉(zhuǎn)因子，得下表是考慮旋轉(zhuǎn)因子，得下表變量共同度0.6910.217-0.58-0.2060.840.7890.184-0.1930.0920.70.7020.5350.047-0.1750.80.6740.1340.1390.3960.650.620.551-0.084-0.4190.870.6870.042-0.1610.3450.620.621-0.52

39、10.109-0.2340.720.5380.0870.4110.440.660.434-0.4390.372-0.2350.570.1470.5960.658-0.2790.891F2F3F4F1X2X3X4X5X6X7X8X9X10Xzf41變量共同度0.844*0.1360.156-0.1130.840.631*0.1940.515*-0.0060.70.2430.825*0.223-0.1480.810.2390.150.750*0.0760.650.797*0.0750.1020.4680.870.4040.1530.635*-0.170.620.1860.814*0.147-0.0

40、790.72-0.0360.1760.762*0.2170.66-0.0480.735*0.110.1410.570.045-0.0410.1120.934*0.891F2F3F4F1X2X3X4X5X6X7X8X9X10X旋轉(zhuǎn)變幻后因子載荷矩陣旋轉(zhuǎn)變幻后因子載荷矩陣zf42 通過旋轉(zhuǎn)，因子有了較為明確的含義。通過旋轉(zhuǎn)，因子有了較為明確的含義。 百米跑，百米跑， 跳遠(yuǎn)和跳遠(yuǎn)和 400 400米跑，需要爆發(fā)力的項目在米跑，需要爆發(fā)力的項目在 有較大的載有較大的載荷，荷， 可以稱為短跑速度因子；可以稱為短跑速度因子； 鉛球，鉛球， 鐵餅和鐵餅和 標(biāo)槍在標(biāo)槍在 上有較大的載荷，可上有較大的載荷，可以

41、稱為爆發(fā)性臂力因子；以稱為爆發(fā)性臂力因子； 百米跨欄，百米跨欄， 撐桿跳遠(yuǎn)，撐桿跳遠(yuǎn)， 跳遠(yuǎn)和為跳遠(yuǎn)和為 跳高在跳高在 上有較大的載荷，上有較大的載荷， 爆發(fā)腿力因子；爆發(fā)腿力因子； 長跑耐力因子。長跑耐力因子。2X5X1F1F3X7X9X2F6X8X2X4X3F3F4F1Xzf43 旋轉(zhuǎn)的方法旋轉(zhuǎn)的方法有：有：（1 1）正交旋轉(zhuǎn)；（）正交旋轉(zhuǎn)；（2 2）斜交旋轉(zhuǎn)）斜交旋轉(zhuǎn)（1 1）正交旋轉(zhuǎn)）正交旋轉(zhuǎn) 由初始載荷矩陣由初始載荷矩陣A A左乘一正交矩陣得到；左乘一正交矩陣得到；目的是新的目的是新的載荷系數(shù)盡可能的接近于載荷系數(shù)盡可能的接近于0 0或盡可能的遠(yuǎn)離或盡可能的遠(yuǎn)離0 0；只是在；只是在

42、旋旋轉(zhuǎn)后的新的公因子仍保持獨立性。主要有以下方法：轉(zhuǎn)后的新的公因子仍保持獨立性。主要有以下方法：varimax:varimax:方差最大旋轉(zhuǎn)。簡化對因子的解釋方差最大旋轉(zhuǎn)。簡化對因子的解釋quartmax:quartmax:四次最大正交旋轉(zhuǎn)。簡化對變量的解釋四次最大正交旋轉(zhuǎn)。簡化對變量的解釋equamax:equamax:等量正交旋轉(zhuǎn)等量正交旋轉(zhuǎn)zf44A A、方差最大法方差最大法 方差最大法從簡化因子載荷矩陣的每一方差最大法從簡化因子載荷矩陣的每一列列出發(fā)，使出發(fā)，使和每個因子有關(guān)的載荷的平方的方差最大。當(dāng)只有少數(shù)和每個因子有關(guān)的載荷的平方的方差最大。當(dāng)只有少數(shù)幾個變量在某個因子上有較高的載

43、荷時，對因子的解釋幾個變量在某個因子上有較高的載荷時，對因子的解釋最簡單。最簡單。方差最大的直觀意義是希望通過因子旋轉(zhuǎn)后，方差最大的直觀意義是希望通過因子旋轉(zhuǎn)后，使每個因子上的載荷盡量拉開距離，一部分的載荷趨于使每個因子上的載荷盡量拉開距離，一部分的載荷趨于 1 1，另一部分趨于，另一部分趨于0 0。zf45B B、四次方最大旋轉(zhuǎn)四次方最大旋轉(zhuǎn) 四次方最大旋轉(zhuǎn)是從簡化載荷矩陣的四次方最大旋轉(zhuǎn)是從簡化載荷矩陣的行行出發(fā)，通過旋出發(fā)，通過旋轉(zhuǎn)初始因子，使每個變量只在一個因子上有較高的載荷，轉(zhuǎn)初始因子，使每個變量只在一個因子上有較高的載荷，而在其它的因子上盡可能低的載荷。如果每個變量只在而在其它的因

44、子上盡可能低的載荷。如果每個變量只在一個因子上有非零的載荷，這時的因子解釋一個因子上有非零的載荷，這時的因子解釋是最簡單的。是最簡單的。 四次方最大法通過使因子載荷矩陣中每一行的因子四次方最大法通過使因子載荷矩陣中每一行的因子載荷平方的方差達(dá)到最大。載荷平方的方差達(dá)到最大。zf46C C、等量最大法等量最大法 等量最大法把四次方最大法和方差最大法結(jié)合起來等量最大法把四次方最大法和方差最大法結(jié)合起來求行和列因子載荷平方的方差的加權(quán)平均最大。求行和列因子載荷平方的方差的加權(quán)平均最大。zf47（2 2）斜交旋轉(zhuǎn)）斜交旋轉(zhuǎn) 目的是新的載荷系數(shù)盡可能的接近于目的是新的載荷系數(shù)盡可能的接近于0 0或盡可能

45、的或盡可能的遠(yuǎn)離遠(yuǎn)離0 0；只是在旋轉(zhuǎn)時，放棄了因子之間彼此獨立的限；只是在旋轉(zhuǎn)時，放棄了因子之間彼此獨立的限制，旋轉(zhuǎn)后的新公因子更容易解釋。主要有以下的方法：制，旋轉(zhuǎn)后的新公因子更容易解釋。主要有以下的方法：direct oblimin:direct oblimin:直接斜交旋轉(zhuǎn)。允許因子之間具有相關(guān)性；直接斜交旋轉(zhuǎn)。允許因子之間具有相關(guān)性；promax:promax:斜交旋轉(zhuǎn)方法。允許因子之間具有相關(guān)性；斜交旋轉(zhuǎn)方法。允許因子之間具有相關(guān)性；zf48v5 5、因子得分、因子得分因子得分的概念因子得分的概念 前面我們主要解決了用公共因子的線性組合來表示前面我們主要解決了用公共因子的線性組合來

46、表示一組觀測變量的有關(guān)問題。如果我們要使用這些因子做一組觀測變量的有關(guān)問題。如果我們要使用這些因子做其他的研究，比如把得到的因子作為自變量來做回歸分其他的研究，比如把得到的因子作為自變量來做回歸分析，對樣本進(jìn)行分類或評價，這就需要我們對公共因子析，對樣本進(jìn)行分類或評價，這就需要我們對公共因子進(jìn)行測度，即給出進(jìn)行測度，即給出公共因子的值公共因子的值。zf49例：例：人均要素變量因子分析人均要素變量因子分析。對我國。對我國3232個省市自治區(qū)的要素狀況作個省市自治區(qū)的要素狀況作因子分析。指標(biāo)體系中有如下指標(biāo)：因子分析。指標(biāo)體系中有如下指標(biāo)：X1 X1 ：人口（萬人）人口（萬人） X2 X2 ：面積

47、（萬平方公里）面積（萬平方公里）X3 X3 ：GDPGDP（億元）億元） X4 X4 ：人均水資源（立方米人均水資源（立方米/ /人）人）X5X5：人均生物量（噸人均生物量（噸/ /人）人） X6X6：萬人擁有的大學(xué)生數(shù)（人）萬人擁有的大學(xué)生數(shù)（人）X7X7：萬人擁有科學(xué)家、工程師數(shù)（人）萬人擁有科學(xué)家、工程師數(shù)（人） Rotated Factor PatternRotated Factor Pattern FACTOR1 FACTOR2 FACTOR3 FACTOR1 FACTOR2 FACTOR3 X1 -0.21522 -0.27397 0.89092 X1 -0.21522 -0.27

48、397 0.89092 X2 0.63973 -0.28739 -0.28755 X2 0.63973 -0.28739 -0.28755 X3 -0.15791 0.06334 0.94855 X3 -0.15791 0.06334 0.94855 X4 0.95898 -0.01501 -0.07556 X4 0.95898 -0.01501 -0.07556 X5 0.97224 -0.06778 -0.17535 X5 0.97224 -0.06778 -0.17535 X6 -0.11416 0.98328 -0.08300 X6 -0.11416 0.98328 -0.08300

49、X7 -0.11041 0.97851 -0.07246 X7 -0.11041 0.97851 -0.07246zf50 X1=-0.21522F1-0.27397F2+0.89092F3 X2=0.63973F1-0.28739F2-0.28755F3 X3=-0.15791F1+0.06334F2+0.94855F3 X4=0.95898F1-0.01501F2-0.07556F3 X5=0.97224F1-0.06778F2-0.17535F3 X6=-0.11416F1+0.98328F2-0.08300F3 X7=-0.11041F1+0.97851F2-0.07246F3zf51

50、 高載荷指標(biāo)高載荷指標(biāo) 因子命名因子命名 因子因子1 1X2X2；面積（萬平方公里）面積（萬平方公里）X4:X4:人均水資源（立方米人均水資源（立方米/ /人）人）X5:X5:人均生物量（噸人均生物量（噸/ /人）人）自然資源因子自然資源因子 因子因子2 2X6X6：萬人擁有的大學(xué)生數(shù)（人）萬人擁有的大學(xué)生數(shù)（人）X7X7：萬人擁有的科學(xué)家、工程師數(shù)（萬人擁有的科學(xué)家、工程師數(shù)（人）人） 人力資源因子人力資源因子 因子因子3 3 X1;X1;人口（萬人）人口（萬人）X3:GDP(X3:GDP(億元億元) )經(jīng)濟(jì)發(fā)展總量因子經(jīng)濟(jì)發(fā)展總量因子 zf52Standardized Scoring Co

51、efficients FACTOR1 FACTOR2 FACTOR3 X1 0.05764 -0.06098 0.50391 X2 0.22724 -0.09901 -0.07713 X3 0.14635 0.12957 0.59715 X4 0.47920 0.11228 0.17062 X5 0.45583 0.07419 0.10129 X6 0.05416 0.48629 0.04099 X7 0.05790 0.48562 0.04822F1=0.05764X1+0.22724X2+0.14635X3+0.47920X4+0.45583X5+0.05416X6+0.05790X7F1

52、=0.05764X1+0.22724X2+0.14635X3+0.47920X4+0.45583X5+0.05416X6+0.05790X7F2=-0.06098X1-0.09901X2+0.12957X3+0.11228X4+0.07419X5+0.48629X6+0.48562X7F2=-0.06098X1-0.09901X2+0.12957X3+0.11228X4+0.07419X5+0.48629X6+0.48562X7F3=0.50391X1-0.07713X2+0.59715X3+0.17062X4+0.10129X5+0.04099X6+0.04822X7F3=0.50391X1

53、-0.07713X2+0.59715X3+0.17062X4+0.10129X5+0.04099X6+0.04822X7zf53 前三個因子得分前三個因子得分REGION FACTOR1FACTOR2FACTOR3beijing-0.081694.23473-0.37983tianjin-0.474221.31789-0.87891hebei-0.22192-0.358020.86263shanxi1-0.48214-0.32643-0.54219neimeng0.54446-0.66668-0.92621liaoning-0.205110.463770.34087jilin-0.214990

54、.10608-0.57431heilongj 0.10839-0.11717-0.02219shanghai-0.200692.38962-0.04259zf54因子分析的數(shù)學(xué)模型為：因子分析的數(shù)學(xué)模型為： 原變量被表示為公共因子的線性組合，當(dāng)載荷矩陣旋原變量被表示為公共因子的線性組合，當(dāng)載荷矩陣旋轉(zhuǎn)之后，公共因子可以做出解釋，通常的情況下，我們轉(zhuǎn)之后，公共因子可以做出解釋，通常的情況下，我們還想反過來把公共因子表示為原變量的線性組合。還想反過來把公共因子表示為原變量的線性組合。因子得分函數(shù)：因子得分函數(shù)：mpmppmmnFFFXXX2121222211121121pjpjjXXF11mj,

55、1zf55o可見，要求得每個因子的得分，必須求得分函數(shù)的可見，要求得每個因子的得分，必須求得分函數(shù)的系數(shù)，而由于系數(shù)，而由于pmpm，所以不能得到精確的得分，只所以不能得到精確的得分，只能通過估計。能通過估計。o因子得分的計算方法：因子得分的計算方法：（1 1）運用回歸分析思想求解）運用回歸分析思想求解（2 2） BartlettBartlett（3 3）Anderson-rubinAnderson-rubinzf56（1 1）運用回歸分析思想求解）運用回歸分析思想求解nmnmnnmmnFFFXXX212121222211121121pjpjjXbXbF11mj, 1mmpmmppbbbbbb

56、bbbbbb21212222111211zf57)(jiFxijFXEji)(11pjpjiXbXbXEipjpijbb11jpjjipiibbbrrr2121則，我們有如下的方程組：則，我們有如下的方程組：zf58pjjjjpjjppppppaaabbb2121212222111211j=1,2,m矩陣為原始變量的相關(guān)系數(shù)pppppp212222111211zf59個因子得分函數(shù)的系數(shù)為第 jbbbjpjj21列為載荷矩陣的第 jaaapjjj21 注：共需要解注：共需要解m m次才能解出次才能解出 所有的得分函數(shù)的系數(shù)。所有的得分函數(shù)的系數(shù)。zf60（2 2） BartlettBartle

57、tt法法( (即：加權(quán)最小二乘法）即：加權(quán)最小二乘法）o把一個個體的p個變量的取值X*當(dāng)作因變量，把求因子解中得到的A作為自變量數(shù)據(jù)陣，對于這個個體在公因子上的取值f，當(dāng)作未知參數(shù)，而特殊因子的取值看作誤差e，于是得到如下的線性回歸模型： x*=Af+e，則稱未知參數(shù)f為取值為X*的因子得分。 *111XAAAfeeneAfXeAfX1*212121其中：最小二乘法zf61（3 3）Anderson-rubinAnderson-rubin（略）略）zf62案例分析：案例分析：國民生活質(zhì)量的因素分析國民生活質(zhì)量的因素分析 國家發(fā)展的最終目標(biāo)，是為了全面提高全體國民的生活質(zhì)量，國家發(fā)展的最終目標(biāo)，

58、是為了全面提高全體國民的生活質(zhì)量，滿足廣大國民日益增長的物質(zhì)和文化的合理需求。在可持續(xù)發(fā)展?jié)M足廣大國民日益增長的物質(zhì)和文化的合理需求。在可持續(xù)發(fā)展消費的統(tǒng)一理念下，增加社會財富，創(chuàng)造更多的物質(zhì)文明和精神消費的統(tǒng)一理念下，增加社會財富，創(chuàng)造更多的物質(zhì)文明和精神文明，保持人類的健康延續(xù)和生生不息，在人類與自然協(xié)同進(jìn)化文明，保持人類的健康延續(xù)和生生不息，在人類與自然協(xié)同進(jìn)化的基礎(chǔ)上，維系人類與自然的平衡，達(dá)到完整的代際公平和區(qū)際的基礎(chǔ)上，維系人類與自然的平衡，達(dá)到完整的代際公平和區(qū)際公平公平( (即時間過程的最大合理性與空間分布的最大合理化即時間過程的最大合理性與空間分布的最大合理化) )。 從從1

59、9901990年開始，聯(lián)合國開發(fā)計劃署年開始，聯(lián)合國開發(fā)計劃署( (UYNP)UYNP)首次采用首次采用“人文發(fā)展人文發(fā)展系數(shù)系數(shù)”指標(biāo)對于國民生活質(zhì)量進(jìn)行測度。人文發(fā)展系數(shù)利用三類指標(biāo)對于國民生活質(zhì)量進(jìn)行測度。人文發(fā)展系數(shù)利用三類內(nèi)涵豐富的指標(biāo)組合，即人的健康狀況內(nèi)涵豐富的指標(biāo)組合，即人的健康狀況( (使用出生時的人均預(yù)期壽使用出生時的人均預(yù)期壽命表達(dá)命表達(dá)) )、人的智力程度、人的智力程度( (使用組合的教育成就表達(dá)使用組合的教育成就表達(dá)) )、人的福利水、人的福利水平平( (使用人均國民收入或人均使用人均國民收入或人均GDPGDP表達(dá)表達(dá)) )，并且特別強(qiáng)調(diào)三類指標(biāo)組，并且特別強(qiáng)調(diào)三類指

60、標(biāo)組合的整體表達(dá)內(nèi)涵，去衡量一個國家或地區(qū)的社會發(fā)展總體狀況合的整體表達(dá)內(nèi)涵，去衡量一個國家或地區(qū)的社會發(fā)展總體狀況以及國民生活質(zhì)量的總水平。以及國民生活質(zhì)量的總水平。zf63在這個指標(biāo)體系中有如下的指標(biāo)：X1預(yù)期壽命X2成人識字率X3綜合入學(xué)率X4人均GDP（美圓）X5預(yù)期壽命指數(shù)X6教育成就指數(shù)X7人均GDP指數(shù)zf64旋轉(zhuǎn)后的因子結(jié)構(gòu)旋轉(zhuǎn)后的因子結(jié)構(gòu) Rotated Factor Pattern Rotated Factor Pattern FACTOR1 FACTOR2 FACTOR3 FACTOR1 FACTOR2 FACTOR3 X1 0.38129 0.41765 X1 0.38