中考數(shù)學(xué)壓軸題型研究——動(dòng)點(diǎn)幾何問(wèn)題解題方法

1、中考數(shù)學(xué)壓軸題型研究（一）動(dòng)點(diǎn)幾何問(wèn)題近幾年中考數(shù)學(xué)中運(yùn)動(dòng)幾何問(wèn)題倍受青睞，它不僅綜合考查初中數(shù)學(xué)骨干知識(shí)，如三角形全等與相似、圖形的平移與旋轉(zhuǎn)、函數(shù)（一次函數(shù)、二次函數(shù)與反比例函數(shù)）與方程等，更重要的是綜合考查初中基本數(shù)學(xué)思想與方法。 此類(lèi)題型也往往起到了考試的選拔作用，使學(xué)生之間的數(shù)學(xué)考試成績(jī)由此而產(chǎn)生距離，所以準(zhǔn)確快速解決此類(lèi)問(wèn)題是贏得中考數(shù)學(xué)勝利的關(guān)鍵。如何準(zhǔn)確、快速解決此類(lèi)問(wèn)題呢？關(guān)鍵是把握解決此類(lèi)題型的規(guī)律與方法以靜制動(dòng)。另外，需要強(qiáng)調(diào)的是此類(lèi)題型一般起點(diǎn)低，第一步往往是一個(gè)非常簡(jiǎn)單的問(wèn)題，考生一般都能拿分，但恰恰是這一步問(wèn)題的解題思想和方法是本題基本的做題思想和方法，是特殊到一般

2、數(shù)學(xué)思想和方法的具體應(yīng)用，所以考生在解決第一步時(shí)不僅要準(zhǔn)確計(jì)算出答案，更重要的是明確此題的方法和思路。下面以具體實(shí)例簡(jiǎn)單的說(shuō)一說(shuō)此類(lèi)題的解題方法。一、利用動(dòng)點(diǎn)（圖形）位置進(jìn)行分類(lèi)，把運(yùn)動(dòng)問(wèn)題分割成幾個(gè)靜態(tài)問(wèn)題，然后運(yùn)用轉(zhuǎn)化的思想和方法將幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)和方程問(wèn)題例 1：（北京市石景山區(qū) 2010 年數(shù)學(xué)期中練習(xí)）在 ABC中， B=60° ,BA=24CM,BC=16CM,(1) 求 ABC的面積；(2)現(xiàn)有動(dòng)點(diǎn) P 從 A 點(diǎn)出發(fā)，沿射線(xiàn) AB向點(diǎn) B 方向運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q從 C點(diǎn)出發(fā)，沿射線(xiàn)CB也向點(diǎn) B 方向運(yùn)動(dòng)。如果點(diǎn) P 的速度是 4CM/秒，點(diǎn) Q的速度是 2CM/秒，它們

3、同時(shí)出發(fā)，幾秒鐘后，PBQ的面積是 ABC的面積的一半？B(3)在第（ 2）問(wèn)題前提下， P,Q 兩點(diǎn)之間的距離是多少？點(diǎn)評(píng)：此題關(guān)鍵是明確點(diǎn)P、 Q 在 ABC邊上的位置，有三種情況。（ 1）當(dāng) 0 t 6 時(shí)， P、Q 分別在 AB、 BC邊上；（ 2）當(dāng) 6 t 8 時(shí)， P、Q 分別在 AB 延長(zhǎng)線(xiàn)上和 BC邊上；（ 3）當(dāng) t >8 時(shí) , P 、 Q 分別在 AB、 BC邊上延長(zhǎng)線(xiàn)上 .然后分別用第一步的方法列方程求解.CA例 2: ( 北京市順義 2010 年初三?？?) 已知正方形 ABCD的邊長(zhǎng)是 1， E 為 CD邊的中點(diǎn)， P 為正方形 ABCD邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)

4、 P 從 A 點(diǎn)出發(fā)，沿 A B C E 運(yùn)動(dòng)，到達(dá)點(diǎn) E.若點(diǎn) P 經(jīng)過(guò)的路程為自變量 x， APE 的面積為函數(shù) y，（ 1）寫(xiě)出 y 與 x 的關(guān)系式(2) 求當(dāng) y 1 時(shí)， x 的值等于多少？3點(diǎn)評(píng) : 這個(gè)問(wèn)題的關(guān)鍵是明確點(diǎn)P 在四邊形 ABCD邊上的位置 , 根據(jù)題意點(diǎn) P 的位置分三種情況 : 分別在 AB 上、 BC邊上、EC邊上 .例 3：( 北京市順義 2010 年初三?？?)如圖 1，在直角梯形 ABCD中， B=90°，DC AB，動(dòng)點(diǎn) P 從 B 點(diǎn)出發(fā)，沿梯形的邊由 BC D A 運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn) P運(yùn)動(dòng)的路程為 x , ABP的面積為 y , 如果關(guān)于 x

5、的函數(shù) y 的圖象如圖2 所示 ，那么 ABC 的面積為（）A 32B 18C 16D10y3 x 6 與坐標(biāo)軸分別交于例 4：（ 09齊齊哈爾）直線(xiàn) yBA、 B 兩點(diǎn)，動(dòng)4點(diǎn) P、 Q 同時(shí)從 O 點(diǎn)出發(fā)，同時(shí)到達(dá)A 點(diǎn)，運(yùn)動(dòng)停止點(diǎn)Q 沿線(xiàn)段 OA 運(yùn)動(dòng)， P速度為每秒 1 個(gè)單位長(zhǎng)度， 點(diǎn) P 沿路線(xiàn) O B A 運(yùn)動(dòng)（ 1）直接寫(xiě)出 A、 B 兩A xO Q點(diǎn)的坐標(biāo)；（ 2）設(shè)點(diǎn) Q 的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t 秒， OPQ 的面積為 S ，求出 S 與 t 之間的函數(shù)關(guān)系式；（3）當(dāng) S48O、 P、 Q 為頂點(diǎn)的平行四邊形的第四個(gè)頂點(diǎn)M 的時(shí)，求出點(diǎn) P 的坐標(biāo)，并直接寫(xiě)出以點(diǎn)5坐標(biāo)點(diǎn)評(píng)：本題

6、關(guān)鍵是區(qū)分點(diǎn)P 的位置：點(diǎn) P 在 OB上，點(diǎn) P 在 BA上。例 5：（2009 寧夏）已知：等邊三角形ABC 的邊長(zhǎng)為4 厘米，長(zhǎng)為 1厘米的線(xiàn)段 MN 在 ABC 的邊 AB 上沿 AB 方向以 1 厘米 / 秒的速度向 B 點(diǎn)運(yùn)動(dòng)（運(yùn)動(dòng)開(kāi)始時(shí)，點(diǎn)M 與點(diǎn) A 重合，點(diǎn) N 到達(dá)點(diǎn) B 時(shí)運(yùn)動(dòng)終止） ，過(guò)點(diǎn) M 、 N 分別作 AB 邊的垂線(xiàn)，與 ABC 的其它邊交于P、Q 兩點(diǎn)，線(xiàn)段 MN 運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為 t 秒（ 1）線(xiàn)段 MN 在運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中， t 為何值時(shí)，四邊形MNQP 恰為矩形？并求出該矩形的面積；（ 2）線(xiàn)段 MN 在運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，四邊形MNQP 的面積為 S ，運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為

7、 t 求四邊形 MNQP 的面積 S隨運(yùn)動(dòng)時(shí)間 t 變化的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出自變量t 的取值范圍C解：（ 1）過(guò)點(diǎn) C 作 CDAB ，垂足為 D 則 AD2 ，Q當(dāng) MN 運(yùn)動(dòng)到被 CD 垂直平分時(shí)，四邊形MNQP 是矩形，即 AM3時(shí)，P2AMNB四邊形 MNQP 是矩形，t3MNQP 是矩形C秒時(shí)，四邊形Q2P3， S四邊形 MNQP3PM AM tan60°=33221AMNB（ 2）1°當(dāng) 0t 1 時(shí)，S四邊形 MNQP·3t3(PM QN) MN22C2°當(dāng) 1 t 2 時(shí)， S四邊形 MNQP1·32(PM QN) MN32PQ

8、3°當(dāng) 2 t3 時(shí)， S四邊形 MNQP1·3t7( PMQN) MN322AMNB點(diǎn)評(píng)：此題關(guān)鍵也是對(duì)P、 Q兩點(diǎn)的不同位置進(jìn)行分類(lèi)。例 6：（ 2009 四川樂(lè)山）如圖（ 15），在梯形 ABCD 中， DC AB， A90°， AD6 厘米， DC4厘米，BC的坡度i34，2/秒的速度沿AB 方向向點(diǎn)B 運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B 出發(fā)以3動(dòng)點(diǎn) P從 A出發(fā)以厘米厘米 / 秒的速度沿 BCD 方向向點(diǎn) D 運(yùn)動(dòng)， 兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)同時(shí)出發(fā)， 當(dāng)其中一個(gè)DC動(dòng)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)也隨之停止設(shè)動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t 秒（ 1）求邊 BC 的長(zhǎng)；Q（ 2）當(dāng) t 為何值時(shí)， P

9、C 與 BQ 相互平分；BAPE（ 3）連結(jié) PQ，設(shè) PBQ 的面積為 y，探求 y 與 t 的函數(shù)關(guān)系式， 求 t 為何值時(shí)，圖（ 3）y 有最大值？最大值是多少？6.1）作CEAB于點(diǎn)3AECD為矩形解：（E ，如圖（ ）所示，則四邊形AE CD 4， CEDA 6又 i34， CE3 EB 8，AB12 2分EB4在 Rt CEB 中，由勾股定理得：BCCE 2EB210（ 2）假設(shè) PC 與 BQ 相互平分由DC AB，則 PBCQ 是平行四邊形（此時(shí)Q在 CD 上）即CQBP， 3t 1012解得t2222PC 與 BQ 相互平分2t，即 t5秒時(shí)，5（ 3）當(dāng) Q 在 BC 上，

10、即 0 t 10時(shí)，作 QFAB于 F ，則 CE QF3QFBQQF3t9t S PBQ1·1·9t =9281CE，即 QF52PB QF(122t)(t 3)BC6102555當(dāng) t 3 秒時(shí)，S PBQ 有最大值為81 厘米 25當(dāng) Q在CD 上，即10141·1=366t t 時(shí)，SPBQ(122t)63PB CE322易知 S 隨 t 的增大而減小故當(dāng)t10秒時(shí)，SPBQ有最大值為 3610616厘米 2339254 ，0t1081tt3，y5551610 146tt3633綜上，當(dāng) t3時(shí)， SPBQ 有最大值為81 厘米 25二、利用函數(shù)與方程的思

11、想和方法將所解決圖形的性質(zhì)（或所求圖形面積） 直接轉(zhuǎn)化為函數(shù)或方程。例 7：（包頭）如圖，已知 ABC 中， ABAC10 厘米， BC8 厘米，點(diǎn) DA為 AB 的中點(diǎn)（ 1）如果點(diǎn) P 在線(xiàn)段 BC上以 3 厘米 / 秒的速度由B 點(diǎn)向 C 點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)Q在線(xiàn)段 CA上由 C 點(diǎn)向 A 點(diǎn)運(yùn)動(dòng)DQ若點(diǎn) Q 的運(yùn)動(dòng)速度與點(diǎn)P 的運(yùn)動(dòng)速度相等， 經(jīng)過(guò) 1 秒后， BPD 與 CQP 是否全等，請(qǐng)說(shuō)明理由；BCP若點(diǎn) Q 的運(yùn)動(dòng)速度與點(diǎn)P 的運(yùn)動(dòng)速度不相等，當(dāng)點(diǎn) Q 的運(yùn)動(dòng)速度為多少時(shí)，能夠使 BPD 與 CQP 全等？（ 2）若點(diǎn) Q 以中的運(yùn)動(dòng)速度從點(diǎn)C 出發(fā)，點(diǎn) P 以原來(lái)的運(yùn)動(dòng)速度從

12、點(diǎn)B 同時(shí)出發(fā)， 都逆時(shí)針沿 ABC 三邊運(yùn)動(dòng)，求經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間點(diǎn)P 與點(diǎn) Q 第一次在 ABC 的哪條邊上相遇？解：（1） t 1 秒， BPCQ 313 厘米， AB 10 厘米，點(diǎn) D 為 AB 的中點(diǎn)， BD5 厘米又 PCBC BP，BC8 厘米， PC 83 5 厘米， PCBD 又 ABAC， BC ， BPD CQP vPvQ ， BPCQ ，又 BPD CQP ，BC，則BPPC 4，CQBD5 ，點(diǎn) P ，點(diǎn) Q 運(yùn)動(dòng)的時(shí)間 tBP4CQ5153秒， vQt4厘米/秒343（ 2）設(shè)經(jīng)過(guò) x 秒后點(diǎn) P 與點(diǎn) Q 第一次相遇，由題意，得15x3x2 10 ，解得 x804秒3

13、點(diǎn) P 共運(yùn)動(dòng)了 80 380 厘米380 228 24 ，點(diǎn) P 、點(diǎn) Q 在 AB 邊上相遇，經(jīng)過(guò)80 秒點(diǎn) P 與點(diǎn) Q 第一次在邊 AB 上相遇3例 8：（ 09 濟(jì)南）如圖，在梯形 ABCD 中，AD BC，AD 3，DC 5，AB 42，B 45 動(dòng)點(diǎn) M從 B 點(diǎn)出發(fā)沿線(xiàn)段 BC 以每秒 2 個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向終點(diǎn)C 運(yùn)動(dòng)；動(dòng)點(diǎn) N 同時(shí)從 C 點(diǎn)出發(fā)沿線(xiàn)段 CD 以每秒 1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向終點(diǎn)D 運(yùn)動(dòng)設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為 t 秒（ 1）求 BC 的長(zhǎng)（ 2）當(dāng) MN AB 時(shí)，求 t 的值（ 3）試探究： t 為何值時(shí)， MNC 為等腰三角形解：（1）如圖，過(guò) A 、 D 分別作

14、AKBC于K，DHBC 于 H ，則四邊形 ADHK 是矩形 KHAD3在 Rt ABK 中， AKAB sin 4542 242BKAB cos454 224在， Rt CDH 中，由勾股定理得， HC524232 BCBKKHHC43310ADADNBKHCBMCG（圖）（圖）（ 2）如圖，過(guò) D 作 DG AB 交 BC 于 G 點(diǎn)，則四邊形ADGB 是平行四邊形MN ABMN DGBGAD3 GC103 7由題意知，當(dāng)M 、 N 運(yùn)動(dòng)到 t 秒時(shí)， CNt， CM102t DG MN NMCDGC 又C CMNC GDC CNCMt10 2t50CD即5解得， tCG717（ 3）分三

15、種情況討論：當(dāng)NCMC 時(shí)，如圖，即 t 102t t103ADADNNBMCBM H EC（圖）（圖）當(dāng) MNNC 時(shí)，如圖，過(guò)N作NEMC于E解法一：由等腰三角形三線(xiàn)合一性質(zhì)得EC1 MC1 10 2t5t22在 Rt CEN 中， coscEC5t中， coscCH35 t325NC又在 Rt DHCCDt解得 t8t55 C C，DHCNEC90NEC DHC NCEC 即t5 t t25DCHC538當(dāng) MNMC 時(shí)，如圖，過(guò)M 作MFCN 于F 點(diǎn). FC1 NC1 t22解法一：（方法同中解法一）ADcosCFC1 t3 解得 t60N22t17BF解法二：MC 105H MC（

16、圖） C C，MFCDHC90 MFC DHC FC1 tMC即2102t t60HCDC3517綜上所述，當(dāng) t10、 t25603或 t時(shí)， MNC 為等腰三角形817例 9：（呼和浩特）如圖，在直角梯形ABCD中， AD BC， ABC 90o， AB12cm，AD 8cm， BC 22cm，AB 為 O 的直徑， 動(dòng)點(diǎn) P 從點(diǎn) A 開(kāi)始沿 AD 邊向點(diǎn) D 以 1cm/s 的速度運(yùn)動(dòng)， 動(dòng)點(diǎn) Q 從點(diǎn) C 開(kāi)始沿 CB邊向點(diǎn) B 以2cm/s 的速度運(yùn)動(dòng)， P、 Q 分別從點(diǎn) A、 C同時(shí)出發(fā)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)端APD點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t( s) ( 1)當(dāng) t

17、 為何值時(shí)，四邊形 PQCD為平行四邊形？( 2)當(dāng) t 為何值時(shí)， PQ 與 O 相切？O解： (1) 直角梯形 ABCD，AD BC PD QCCBQ當(dāng) PDQC 時(shí)，四邊形 PQCD 為平行四邊形APD由題意可知：APt， CQ2t8 t2t ， 3t8 ， t8O3BC當(dāng) t8 s 時(shí)，四邊形 PQCD 為平行四邊形QAPD3H（ 2）解：設(shè)PQ與O相切于點(diǎn)H ，作PEBC，過(guò)點(diǎn) P垂足為 E直角梯形 ABCD ， AD BCOPEAB 由題意可知：APBE t，CQ 2tBQBCCQ 222tBECQEQBQBE222tt 223tAB為 O 的直徑，ABCDAB90° A

18、D、BC 為 O 的切線(xiàn)APPH，HQBQPQPHHQ APBQt222t22t在 Rt PEQ 中， PE2EQ2PQ2122(223t)2(22t )2 即： 8t288t144 0t 2 11t 180 ， (t2)(t9)0t12，t297 分因?yàn)?PAD88 秒，而t98 t9 （舍去）在 AD 邊運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為1 1當(dāng) t 2 秒時(shí)， PQ 與 O 相切例 10. (2009 山東淄博 ) 如圖，在矩形 ABCD中， BC=20cm，P， Q，APNDM ，N 分別從 A，B，C，D 出發(fā)沿 AD，BC，CB，DA 方向在矩形的邊上同時(shí)運(yùn)動(dòng)，當(dāng)有一個(gè)點(diǎn)先到達(dá)所在運(yùn)動(dòng)邊的另一個(gè)端點(diǎn)時(shí)，運(yùn)動(dòng)即停止已知2在相同時(shí)間內(nèi)，若 BQ=xcm( x 0 )，則 AP=2xcm， CM=3xcm， DN=x cm（ 1）當(dāng) x 為何值時(shí)，以PQ， MN 為兩邊 ,以矩形的邊（ AD 或 BC）的一部BQMC分為第三邊構(gòu)成一個(gè)三角形；（第 25 題）（ 2）當(dāng) x 為何值時(shí)，以P， Q， M， N 為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形；（ 3）以 P， Q， M， N 為頂點(diǎn)的四邊形能否為等腰梯形?如果能，求 x 的值；如果不能，請(qǐng)說(shuō)明理由解：（ 1）當(dāng)點(diǎn) P 與點(diǎn) N 重合或點(diǎn) Q 與點(diǎn) M