概率論與數(shù)理統(tǒng)計5.2(中心極限定理)

1、5.2 5.2 中心極限定理中心極限定理 大數(shù)定律討論的是多個隨機變量的算術(shù)平均的漸大數(shù)定律討論的是多個隨機變量的算術(shù)平均的漸近性質(zhì)現(xiàn)在我們來討論獨立隨機變量和的極限分近性質(zhì)現(xiàn)在我們來討論獨立隨機變量和的極限分布先給出一個例子布先給出一個例子第第5章章 大數(shù)定律和中心極限定理大數(shù)定律和中心極限定理【例【例5-4】誤差分析是人們經(jīng)常遇到且感興趣的隨誤差分析是人們經(jīng)常遇到且感興趣的隨機變量，大量的研究表明，誤差是由大量微小的相機變量，大量的研究表明，誤差是由大量微小的相互獨立的隨機因素疊加而成的現(xiàn)在考慮一位操作互獨立的隨機因素疊加而成的現(xiàn)在考慮一位操作工在機床上加工機械軸，要求其直徑應(yīng)符合規(guī)定要工

2、在機床上加工機械軸，要求其直徑應(yīng)符合規(guī)定要求，但加工后的機械軸與規(guī)定要求總會有一定誤差，求，但加工后的機械軸與規(guī)定要求總會有一定誤差，這是因為在加工時受到一些隨機因素的影響，它們這是因為在加工時受到一些隨機因素的影響，它們是：是：(1) 在機床方面有機床振動與轉(zhuǎn)速的影響；在機床方面有機床振動與轉(zhuǎn)速的影響； (2) 在刀具方面有裝配與磨損的影響；在刀具方面有裝配與磨損的影響； 5.2 中心極限定理中心極限定理 (3) 在材料方面有鋼材的成分、產(chǎn)地的影響；在材料方面有鋼材的成分、產(chǎn)地的影響； (4) 在操作者方面有注意力集中程度、當(dāng)天的情緒在操作者方面有注意力集中程度、當(dāng)天的情緒的影響；的影響；

3、(5) 在測量方面有度量工具誤差、測量技術(shù)的影響；在測量方面有度量工具誤差、測量技術(shù)的影響； (6) 在環(huán)境方面有車間溫度、濕度、照明、工作電在環(huán)境方面有車間溫度、濕度、照明、工作電壓的影響；壓的影響； (7) 在具體場合還可列出許多其他影響因素在具體場合還可列出許多其他影響因素5.2 中心極限定理中心極限定理 由于這些因素很多，每個因素對加工精度的影響由于這些因素很多，每個因素對加工精度的影響都是很微小的，而且每個因素的出現(xiàn)又都是人們無都是很微小的，而且每個因素的出現(xiàn)又都是人們無法控制的、隨機的、時有時無、時正時負(fù)的這些法控制的、隨機的、時有時無、時正時負(fù)的這些因素的綜合影響最終使每個機械軸

4、的直徑產(chǎn)生誤差，因素的綜合影響最終使每個機械軸的直徑產(chǎn)生誤差，若將這個誤差記為若將這個誤差記為Yn，那么，那么Yn是隨機變量，且可以是隨機變量，且可以將將Yn看作很多微小的隨機波動看作很多微小的隨機波動X1，X2，Xn之和，之和，即即Yn = X1 + X2 + Xn，這里，這里n是很大的，那么我們是很大的，那么我們關(guān)心的是，當(dāng)時，關(guān)心的是，當(dāng)時，Yn的分布是什么？的分布是什么？5.2 中心極限定理中心極限定理 當(dāng)然，我們可以考慮用卷積公式去計算當(dāng)然，我們可以考慮用卷積公式去計算Yn的分布，的分布，但這樣的計算是相當(dāng)復(fù)雜的、不現(xiàn)實的，而且也是但這樣的計算是相當(dāng)復(fù)雜的、不現(xiàn)實的，而且也是不易實現(xiàn)

5、的有時即使能寫出不易實現(xiàn)的有時即使能寫出Yn的分布，但由于其的分布，但由于其形式過于復(fù)雜而無法使用形式過于復(fù)雜而無法使用 本節(jié)研究在相當(dāng)一般的條件下獨立隨機變量的和本節(jié)研究在相當(dāng)一般的條件下獨立隨機變量的和的分布收斂于正態(tài)分布的問題的分布收斂于正態(tài)分布的問題5.2 中心極限定理中心極限定理 5.2.1 5.2.1 獨立同分布的中心極限定理獨立同分布的中心極限定理定理定理5.5（獨立同分布的中心極限定理）設(shè)（獨立同分布的中心極限定理）設(shè)X1，X2,Xn,為相互獨立、服從同一分布的隨機變?yōu)橄嗷オ毩?、服從同一分布的隨機變量序列量序列,且且 D(Xi) = 2 0（i = 1,2,）,則則對于任意對于

6、任意x，有，有 (5.6) 該 定 理 我 們 通 常 稱 之 為 林 德 伯 格該 定 理 我 們 通 常 稱 之 為 林 德 伯 格 - 萊 維萊 維(Lindeberg-Levy)定理，該定理是這兩位學(xué)者在上世定理，該定理是這兩位學(xué)者在上世紀(jì)紀(jì)20年代證明的，這里證明從略年代證明的，這里證明從略,)( iXE)(21lim212xdtexnnXPxtniin 5.2 中心極限定理中心極限定理我們來看一下我們來看一下(5.6)式含義：若記式含義：若記 記記 為為Yn的分布函數(shù)，則的分布函數(shù)，則(5.6)式可以寫成式可以寫成這表明，當(dāng)充分大時，這表明，當(dāng)充分大時，Yn近似服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布近似

7、服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N(0，1)，即，即從而當(dāng)從而當(dāng)n充分大時，充分大時， (5.7),1 nnXYniin )(xFnY)()(limxxFnYn )1 , 0(1NnnXnki近近似似 ),(21 nnNXnii近似近似 5.2.1 獨立同分布的中心極限定理獨立同分布的中心極限定理 (5.7)(5.7)式說明，不論式說明，不論X1，X2，Xn服從什么分布，服從什么分布，只要滿足定理的條件只要滿足定理的條件,當(dāng)當(dāng)n充分大時充分大時,就可以把就可以把 作作為正態(tài)隨機變量處理，這在理論研究和實際計算上為正態(tài)隨機變量處理，這在理論研究和實際計算上都非常重要都非常重要 我們將上述結(jié)論稍作變形，還可以得到

8、定理結(jié)論我們將上述結(jié)論稍作變形，還可以得到定理結(jié)論的另外表現(xiàn)形式的另外表現(xiàn)形式),(21 nnNXnii近似近似 niiX15.2.1 獨立同分布的中心極限定理獨立同分布的中心極限定理推論推論5.1 設(shè)相互獨立的隨機變量設(shè)相互獨立的隨機變量X1，X2，Xn服服從同一分布，其均值為從同一分布，其均值為 ，方差為，方差為 2 0，則當(dāng)，則當(dāng)n充充分大時分大時 即即 (5.8)其中其中 由推論可知，無論由推論可知，無論X1，X2，Xn是服從什么分是服從什么分布，其算術(shù)平均值當(dāng)布，其算術(shù)平均值當(dāng)n充分大時總是近似地服從正態(tài)充分大時總是近似地服從正態(tài)分布這一結(jié)果是數(shù)理統(tǒng)計中大樣本理論的基礎(chǔ)分布這一結(jié)果是

9、數(shù)理統(tǒng)計中大樣本理論的基礎(chǔ))1 , 0( NnX近近似似 ),(2nNX 近似近似.11 niiXnX5.2.1 獨立同分布的中心極限定理獨立同分布的中心極限定理【例【例5.5】用機器包裝味精，每袋凈重為隨機變量，用機器包裝味精，每袋凈重為隨機變量，期望值為期望值為100克，標(biāo)準(zhǔn)差為克，標(biāo)準(zhǔn)差為10克，一箱內(nèi)裝克，一箱內(nèi)裝200袋味袋味精精,求一箱味精凈重大于求一箱味精凈重大于20400克的概率克的概率 解：解：設(shè)箱中第設(shè)箱中第i袋味精的凈重為袋味精的凈重為Xi克，克， 是是200個相互獨立同分布的隨機變量個相互獨立同分布的隨機變量.且且 由定理由定理5.5 即即,100)(,100)( ii

10、XDXE200, 2 , 1 i)100200,100200(2001 NXii近近似似)20000,20000(2001NXii近近似似 20021,XXX5.2.1 獨立同分布的中心極限定理獨立同分布的中心極限定理 所以所以 )20000,20000(2001NXii近近似似 2040012040020012001 iiiiXPXP)83. 2(1200002000020400200002000012001XPii 0023. 09977. 01 5.2.1 獨立同分布的中心極限定理獨立同分布的中心極限定理 5.2.2 二項分布的正態(tài)近似二項分布的正態(tài)近似 現(xiàn)在將定理現(xiàn)在將定理5.5應(yīng)用于

11、服從應(yīng)用于服從0-1分布的隨機變量，即分布的隨機變量，即設(shè)設(shè)X1，X2，Xn，相互獨立，且都服從參數(shù)為相互獨立，且都服從參數(shù)為的的0-1分布：分布：PXi = k = pk(1 p)1- k，k = 0，1；i = 1，2，此時，此時， 又記又記 ，則，則 nB(n，p)此時定理此時定理5.5的結(jié)的結(jié)論可寫成論可寫成), 2 , 1(),1()(,)( ippXDpXEii niinX1 )(21)1(lim22xdtexppnnpPxtnn 于是，有下述定理：于是，有下述定理：定理定理5.6（棣莫弗（棣莫弗拉普拉斯定理）設(shè)拉普拉斯定理）設(shè) n（n = 1，2，）服從參數(shù)為）服從參數(shù)為n，p(

12、0p1)的二項分布，則的二項分布，則對于任意實數(shù)對于任意實數(shù)x，有，有這個定理表明，當(dāng)這個定理表明，當(dāng)n充分大時，服從二項分布的隨機充分大時，服從二項分布的隨機變量變量 n的標(biāo)準(zhǔn)化變量近似服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的標(biāo)準(zhǔn)化變量近似服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布即有即有)(21)1(lim22xdtexpnpnpPxtnn )1 , 0()1(Npnpnpn近近似似 5.2.2 二項分布的正態(tài)近似二項分布的正態(tài)近似從而從而即當(dāng)即當(dāng)n充分大時，服從二項分布的隨機變量充分大時，服從二項分布的隨機變量 n近似服近似服從正態(tài)分布從正態(tài)分布)1(,(pnpnpNn 近近似似 5.2.2 二項分布的正態(tài)近似二項分布的正態(tài)近似 一般

13、來說，當(dāng)一般來說，當(dāng)n較大時，二項分布的概率計算起來較大時，二項分布的概率計算起來非常復(fù)雜，這時我們就可以用正態(tài)分布來近似二項非常復(fù)雜，這時我們就可以用正態(tài)分布來近似二項分布，使概率計算得到簡化即對于任意正數(shù)分布，使概率計算得到簡化即對于任意正數(shù)n1和和n2，有，有 (5.10)1(2121 nnknknkknnnPppC )1()1(12pnpnpnpnpnpn )1()1()1(21pnpnpnpnpnppnpnpnPn 5.2.2 二項分布的正態(tài)近似二項分布的正態(tài)近似【例【例5.6】設(shè)電路供電網(wǎng)內(nèi)有設(shè)電路供電網(wǎng)內(nèi)有10000盞相同的燈盞相同的燈,夜間夜間每一盞燈開著的概率為每一盞燈開著的

14、概率為0.8,假設(shè)各燈的開關(guān)彼此獨假設(shè)各燈的開關(guān)彼此獨立立,計算同時開著的燈數(shù)在計算同時開著的燈數(shù)在7800與與8200之間的概率之間的概率 解：解：記同時開著的燈數(shù)為記同時開著的燈數(shù)為X，它服從二項分布，它服從二項分布B(10000，0.8)，于是由定理，于是由定理5.6，有，有 )1(260260()1(260260)1(260260pppxpppxpppPxP %95)1(260260( pppx令令95. 09505. 0)65. 1( 查查表表得得65. 1)1(260260 pppx故故取取5.2.2 二項分布的正態(tài)近似二項分布的正態(tài)近似【例【例5.6】設(shè)電路供電網(wǎng)內(nèi)有設(shè)電路供電網(wǎng)

15、內(nèi)有10000盞相同的燈，夜盞相同的燈，夜間每一盞燈開著的概率為間每一盞燈開著的概率為0.8，假設(shè)各燈的開關(guān)彼，假設(shè)各燈的開關(guān)彼此獨立，計算同時開著的燈數(shù)在此獨立，計算同時開著的燈數(shù)在7800與與8200之間之間的概率的概率 解：解：記同時開著的燈數(shù)為記同時開著的燈數(shù)為X，它服從二項分布，它服從二項分布B(10000，0.8)，于是由定理，于是由定理5.6，有，有 82007800 XP11)5(21)4 . 02(2 )2 . 08 . 01000080007800()2 . 08 . 01000080008200( 5.2.2 二項分布的正態(tài)近似二項分布的正態(tài)近似【例【例5.7】某單位內(nèi)部

16、有某單位內(nèi)部有260部電話分機，每個分機部電話分機，每個分機有有4%的時間要與外線通話，可以認(rèn)為每個電話分的時間要與外線通話，可以認(rèn)為每個電話分機用不同的外線是相互獨立的，問總機需備多少條機用不同的外線是相互獨立的，問總機需備多少條外線才能以外線才能以95%的概率滿足每個分機在用外線時不的概率滿足每個分機在用外線時不用等候用等候? 解：解：設(shè)設(shè) 表示同時使用外線的分機數(shù)，則表示同時使用外線的分機數(shù)，則 B(260，p)，其中，其中p = 0.04根據(jù)題意應(yīng)確定最小的使根據(jù)題意應(yīng)確定最小的使 成立由定理成立由定理5.6，有，有%95 xP )1(260260()1(260260)1(260260

17、pppxpppxpppPxP 5.2.2 二項分布的正態(tài)近似二項分布的正態(tài)近似令令查得查得 故取故取 于是于是也就是說，至少需要也就是說，至少需要16條外線才能條外線才能95%滿足每個分滿足每個分機在用外線時不用等候機在用外線時不用等候%95)1(260260( pppx95. 09505. 0)65. 1( 65. 1)1(260260 pppxpppx260)1(26065. 1 61.1504. 026096. 004. 026065. 1 5.2.2 二項分布的正態(tài)近似二項分布的正態(tài)近似【實驗【實驗5.1】用用Excel驗證二項分布逼近正態(tài)分布驗證二項分布逼近正態(tài)分布 實驗準(zhǔn)備：實驗準(zhǔn)

18、備： (1) 函數(shù)函數(shù)SUMXMY2的使用格式：的使用格式：SUMXMY2(array_x,array_y) 功能：返回兩數(shù)組中對應(yīng)數(shù)值之差的平方和其功能：返回兩數(shù)組中對應(yīng)數(shù)值之差的平方和其中中Array_x為第一個數(shù)組或數(shù)值區(qū)域，為第一個數(shù)組或數(shù)值區(qū)域，Array_y為第為第二個數(shù)組或數(shù)值區(qū)域二個數(shù)組或數(shù)值區(qū)域 5.2.2 二項分布的正態(tài)近似二項分布的正態(tài)近似 (2) 函數(shù)函數(shù)BINOMDIST的使用格式：的使用格式：BINOMDIST(number_s,trials,probability_s,cumulative) 功能：返回二項分布的概率值其中，功能：返回二項分布的概率值其中，numb

19、er_s為試驗成功的次數(shù)，為試驗成功的次數(shù)，trials為獨立試驗的次數(shù)，為獨立試驗的次數(shù)，probability_s為每次試驗中成功的概率，為每次試驗中成功的概率，cumulative為一邏輯值，用于確定函數(shù)的形式如果為一邏輯值，用于確定函數(shù)的形式如果cumulative為為TRUE，返回累積分布函數(shù)值，即至多，返回累積分布函數(shù)值，即至多number_s次成功的概率；如果為次成功的概率；如果為FALSE，返回概率函數(shù)值，返回概率函數(shù)值，即即number_s次成功的概率次成功的概率5.2.2 二項分布的正態(tài)近似二項分布的正態(tài)近似 (3) 函數(shù)函數(shù)NORMDIST的使用格式：的使用格式：NORM

20、DIST(x, mean, standard_dev, cumulative) 功能：返回給定均值和標(biāo)準(zhǔn)偏差的正態(tài)分布函數(shù)功能：返回給定均值和標(biāo)準(zhǔn)偏差的正態(tài)分布函數(shù)值其中，值其中，x為一實數(shù)值，為一實數(shù)值，mean為正態(tài)分布的均值，為正態(tài)分布的均值，standard_dev正態(tài)分布的標(biāo)準(zhǔn)偏差，正態(tài)分布的標(biāo)準(zhǔn)偏差，cumulative為一為一邏輯值，指明函數(shù)的形式如果邏輯值，指明函數(shù)的形式如果cumulative為為TRUE，函數(shù)函數(shù)NORMDIST返回累積分布函數(shù)值；如果為返回累積分布函數(shù)值；如果為FALSE，返回概率密度函數(shù)值，返回概率密度函數(shù)值5.2.2 二項分布的正態(tài)近似二項分布的正態(tài)近

21、似 實驗步驟實驗步驟： (1) 按圖按圖5-1左所示，在左所示，在Excel中做實驗準(zhǔn)備中做實驗準(zhǔn)備 (2) 在單元格在單元格C3中輸入公式：中輸入公式：= C1*C2 (3) 在單元格在單元格C4中輸入公式：中輸入公式：= C3*(1-C2) (4) 在單元格在單元格B6中輸入二項分布概率函數(shù)：中輸入二項分布概率函數(shù)：= BINOMDIST(A6,$C$1,$C$2,FALSE)并將其復(fù)制到單元格區(qū)域并將其復(fù)制到單元格區(qū)域B7:B15中中 5.2.2 二項分布的正態(tài)近似二項分布的正態(tài)近似 (5) 在單元格在單元格C6中輸入正態(tài)分布概率密度函數(shù)：中輸入正態(tài)分布概率密度函數(shù)：= NORMDIST

22、(A6,C$3,SQRT(C$4),FALSE)并將其復(fù)制到單元格區(qū)域并將其復(fù)制到單元格區(qū)域C7:C15中中 (6) 在單元格在單元格D6中輸入計算兩列數(shù)據(jù)的誤差平方和中輸入計算兩列數(shù)據(jù)的誤差平方和公式：公式：= SUMXMY2(B6:B15,C6:C15)即得計算結(jié)果如圖即得計算結(jié)果如圖5-1右所示右所示 圖圖5-1 實驗準(zhǔn)備與計算結(jié)果實驗準(zhǔn)備與計算結(jié)果 5.2.2 二項分布的正態(tài)近似二項分布的正態(tài)近似注意到其中的誤差平方和為：注意到其中的誤差平方和為：0.000204023 (7) 用鼠標(biāo)選中單元格區(qū)域用鼠標(biāo)選中單元格區(qū)域B5:C15，做折線圖如圖，做折線圖如圖5-2左所示左所示 圖圖5-

23、2 n = 7、10、100時二項分布的概率函數(shù)圖和正態(tài)分布的概率時二項分布的概率函數(shù)圖和正態(tài)分布的概率密度圖密度圖 5.2.2 二項分布的正態(tài)近似二項分布的正態(tài)近似 (8) 修改單元格修改單元格C1中數(shù)據(jù)為中數(shù)據(jù)為10，并將單元格區(qū)域，并將單元格區(qū)域B6:C6中公式復(fù)制到區(qū)域中公式復(fù)制到區(qū)域B7:C15中中 (9) 修改單元格修改單元格D6中公式為：中公式為：= SUMXMY2(B6:B15,C6:C15)得到誤差平方和為：得到誤差平方和為：0.000007757做出的折線圖如做出的折線圖如圖圖5-2中所示中所示 5.2.2 二項分布的正態(tài)近似二項分布的正態(tài)近似 (10) 再次修改單元格再次修改單元格C1中數(shù)據(jù)為中數(shù)據(jù)為100，與，與8)、9)相仿，可以依次得到誤差平方和相仿，可以依次得到誤差平方和2.57984 10-07，折線，折線圖如圖圖如圖5-2右所示右所示說明：隨著說明：隨著n的增大，二項分布逐漸