2020年全國統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷(文科)(新課標(biāo)Ⅲ)-解析版

1、1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.12.2020年全國統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（文科）（新課標(biāo)川）選擇題（本大題共 12小題，共60.0分）已知集合？?= 1,2,3,5,7,11 , ?= ?|3< ?< 15，則?n?中元素的個(gè)數(shù)為（）A. 2B. 3C. 4D. 5若?（1+ ?= 1 - ?則？?=（）A. 1 - ?B. 1 + ?C. -?D. i設(shè)一組樣本數(shù)據(jù)？?,？,.，？?的方差為0.01，則數(shù)據(jù)10?,10?,. ,10?的方差為（ ）A. 0.01B. 0.1C. 1D. 10Logistic模型是常用數(shù)學(xué)模型之一，可應(yīng)用于流行病學(xué)領(lǐng)域，有學(xué)者根據(jù)公布數(shù)

2、據(jù) 建立了某地區(qū)新冠肺炎累計(jì)確診病例數(shù)？仇）（?的單位：天）的Logistic模型：?=?1+?0.23 （?-53）, 其中K為最大確診病例數(shù).當(dāng)？?）= 0.95?時(shí)，標(biāo)志著已初步遏制疫情，則？勺為()(?？14 3)D. 69A. 60B. 63C. 66? ?已知 sin?+ sin?(?+ -) = 1，則 sin?(?+ -)=()1A. 2在平面內(nèi)，？?是兩個(gè)定點(diǎn)，c是動(dòng)點(diǎn)，若？?=? 1，則點(diǎn)C的軌跡為（）A.圓B.橢圓C.拋物線D.直線設(shè)0為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線?= 2與拋物線？ = 2?（?0）交于？兩點(diǎn)，若？?£ ?則C的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（）n1A. (4,0)B. (2,

3、0)C.(1,0)點(diǎn)（0, -1）到直線?= ?（? 1）距離的最大值為A. 1B. v2C.右圖為某幾何體的三視圖，則該幾何體的表面積是D. (2,0)D. 2B. 4 + 4v2C.2 V3D. 4 + 2 v3設(shè)?= log32 , ?=2小,log5 3, ?=-，則(A ?< g ? B. ?< ?< ?C.?<?< ?D. ?< ?< ?第13頁，共16頁3，則 tan?=(2在?中? cos?= -, ?= 4,?=3B. 2V51r,已知函數(shù)?（?= sin?+而？則（A. ?（?的最小值為2B. ?（?的圖像關(guān)于y軸對稱C. ?（?的

4、圖像關(guān)于直線?= ?寸稱D. ?（?的圖像關(guān)于直線？?= ?對稱二、填空題（本大題共 4小題，共20.0分）x + ?> 013. 若x, y滿足約束條件2x- ?> 0，則？?= 3?+ 2?勺最大值為.?< 1? ? _14. 設(shè)雙曲線？:?2-誦=1（?> 0, ?> 0）的一條漸近線為？?= V2?則C的離心率為?15. 設(shè)函數(shù)？?？=?匸？若？竹）=?；則?=.16. 已知圓錐的底面半徑為 1，母線長為3，則該圓錐內(nèi)半徑最大的切球表面積為三、解答題（本大題共7小題，共80.0分）17. （12 分）設(shè)等比數(shù)列 an滿足a1 + a2 = 4, a3 -

5、a1 = 8（1）求a n的通項(xiàng)公式； 記Sn為數(shù)列l(wèi)og 3an的前n項(xiàng)和若Sm + Sm+1 = Sm+3，求m -18. （12 分）某學(xué)生興趣小組隨機(jī)調(diào)查了某市100天中每天的空氣質(zhì)量等級和當(dāng)天到某公園鍛煉的人次，整理數(shù)據(jù)得到下表 （單位：天）：鍛煉人次空氣質(zhì)量等級0,200（200,400（400,6001（優(yōu)）216252（良）510123（輕度污染）6784（中度污染）720（1）分別估計(jì)該市一天的空氣質(zhì)量等級為1, 2, 3, 4的概率；（2）求一天中到該公園鍛煉的平均人次的估計(jì)值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表）；（3）若某天的空氣質(zhì)量等級為1或2，則稱這天“空氣質(zhì)量

6、好”；若某天的空氣質(zhì)量等級為3或4,則稱這天“空氣質(zhì)量不好”。根據(jù)所給數(shù)據(jù)，完成下面的2 X2列聯(lián)表，并根據(jù)列聯(lián)表，判斷是否有95%的把握認(rèn)為一天中到該公園鍛煉的人次與該 市當(dāng)天的空氣質(zhì)量有關(guān)？人次 400人次 400空氣質(zhì)量好空氣質(zhì)量不好P(K2 k) 0.C5O 0.01D O.UOJk 3S4J 6.6?5JO82S附：，n(ad (a + d) (c + d)(a +(?)(6 + d)19. （12 分）如圖，在長方體？?？?？中，在E, F分別在棱？?, ？?上 且2? ? 2?證明：（1） 當(dāng)? ?時(shí),?L ?；點(diǎn)?在平面AEF內(nèi).20. （12 分）已知函數(shù)？ = ? - ?

7、?.（1）討論?的單調(diào)性；（2）若?有三個(gè)零點(diǎn)，求k的取值范圍.21. （12 分）?/彳仁已知橢圓？務(wù)+ 步 1(0 < ?< 5)的離心率為45，?分別為C的左、右頂點(diǎn)求C的方程：(2) 若點(diǎn) P 在 C 上，點(diǎn) Q 在直線?= 6 上，且 |?= |? ?L ?求? 面積.22. 選修4 - 4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程(10分)在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為?= 2- 3?/?(?為參數(shù)且？字1), ?與坐標(biāo)軸交于？?兩點(diǎn).(1) 求 |?(2) 以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，求直線 AB的極坐標(biāo)方 程.23. 選修4 - 5:不等式選講(10分)?=

8、0, ?1設(shè)？?+ ?+* 尸 J(1) 證明：？?？?？?？ 0 ；(2) 用max?表示?中的最大值，證明：max? > v4.答案和解析1. 【答案】B【解析】【分析】本題主要考查了交集的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.【解答】解：?= 1,2,3,5,7,11 , ?= ?|3< ?< 15,? ?= 5,7,11,? ?中元素個(gè)數(shù)為3.故選B.2. 【答案】D【解析】【分析】本題考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，共軛復(fù)數(shù)的概念，屬于基礎(chǔ)題.先由復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算法則求出 ?再利用共軛復(fù)數(shù)的概念得到答案.【解答】1 ?解：由?(1+ ?= 1 - ?得?=二=(1-?)2=-i ,1+? 2 

9、9;所以？?= ?故選D 3. 【答案】C【解析】【分析】本題主要考查方差的運(yùn)算，是基礎(chǔ)題.【解答】解：設(shè)?,?,? ,?的平均數(shù)為？方差？?2 = 0.01,所以 10?,10?,? ,10?的平均數(shù)為 10?，方差 S2 = 100S12 = 1 ,故選c.4. 【答案】C【解析】【分析】本題主要考查指數(shù)式與對數(shù)式的互化，屬于基礎(chǔ)題.根據(jù)題意可得?1+?0.23(?-53)0.95?,解出t的值.【解答】解：由題可知?1+?0.23(?-53) = 0.95?,所以 1 + ?-0.23(?-53)= 20?-0.23(?-53)=丄19 '190.23(?- 53) = ln19

10、 3，解得 2? 66故選C.5. 【答案】B【解析】【分析】本題考查兩角和的正弦公式和輔助角公式，屬于基礎(chǔ)題.?根據(jù)兩角和的正弦公式展開sin?(?+ 3)，再整理利用輔助角公式即可得答案.【解答】? 1解：vs in ?(?+ 3)= 2 si n?+ 才 cos?3-?sin?+ sin?(?+ 3) = 2 sin?+ $ cos? v3sin?(?+ -) = 1得 sin ?(?+ ? = #故選：B.6. 【答案】A【解析】【分析】本題考查了動(dòng)點(diǎn)的軌跡問題及向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，屬一般題.根據(jù)題意建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)出點(diǎn) A、B、C的坐標(biāo)，得到？和？?？的坐標(biāo)，由向量 數(shù)量積的

11、坐標(biāo)運(yùn)算公式即得動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)所滿足的方程，從而得到動(dòng)點(diǎn)C的軌跡.【解答】解：以AB所在直線為x軸，線段AB的中垂線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)?(-?,0),?(?) , ?(?,?)則?(?+ ?) ?=?(?_ ?)由題意?=? 1 , 得? - ?+?= 1即?+?= 1 + ?，因此，動(dòng)點(diǎn) C的軌跡是圓, 故選A.7. 【答案】B【解析】【分析】本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系及拋物線的性質(zhì)，基礎(chǔ)題.根據(jù)直線？?= 2與拋物線交于 D、E兩點(diǎn)，確定D、E兩點(diǎn)坐標(biāo)，由？?！ ?可得?0,可確定p的值，從而得到拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo).【解答】解：根據(jù)題意得?(2,2?) ?(2,-2?),因?yàn)椋?&

12、#163; ?,?可得?.?=? 0，所以 4 - 4?= 0,故？?= 1 ,1所以拋物線C: ?= 2?所以拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為q,0).故選B.8. 【答案】B【解析】【分析】本題考查定點(diǎn)到過定點(diǎn)的直線的最大距離問題，屬于基礎(chǔ)題.根據(jù)點(diǎn)到直線的距離和兩點(diǎn)間的距離公式，即可求解.【解答】解：因?yàn)橹本€?= ?(? 1)恒過點(diǎn)(-1,0),要使得點(diǎn)(0,1)到直線的距離最大，此時(shí)點(diǎn)到直線的距離即為(0,1)與(-1,0)兩點(diǎn)的距離，此時(shí)最大距離為 v(0 + 1)2 + (1 - 0)2 = v2.故選B.9.【答案】C【解析】【分析】本題考查由三視圖求幾何體的表面積，考查空間想象能力，難度一般

13、.先由三視圖還原幾何體，即可求出表面積.【解答】2且垂直底解：由三視圖可知該幾何體是底面為腰長2的等腰直角三角形，一側(cè)棱長為面的三棱錐，如下圖1 1 _ _ ° 故其表面積為 3 X X2 X2 + 2 X 2 v2 X 2 v2 x si n60=6+2 v3.故選C.10.【答案】A【解析】【分析】本題考查了對數(shù)比較大小，屬于中檔題.分別將c轉(zhuǎn)化為以3, 5為底數(shù)，與a, c比較大小，即可得到結(jié)果.【解答】2 3 3 解：？?= 3 log 33 = log3 v9 , ?= log32 = log3 v8,?< ?233 ?= 3log55 = log 5V25, ?=

14、log53 = Iog5v27,二？* ?故選A.11.【答案】C【解析】【分析】本題考查解三角形，余弦定理的應(yīng)用，注意三角形的形狀即可.【解答】解：根據(jù)題意：cos?= ?駕?驚=16；9-4?2 = 3，解得：？?學(xué) 3 2?2X 4X33則 cos?= 9+= 1; sin?=冷?(負(fù)值舍去)45故 ta n?=車=4 v5.9故選C12.【答案】D【解析】【分析】本題主要考查三角函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題.【解答】?解：？?由于？?(-?) = -2，故A錯(cuò)誤;B.?(-?) = -sin?-1工sin?(?,)故B錯(cuò)誤;1 1C. ?(? ?)= sin?+ 而，?(?+ ?)= -si

15、n?-喬,?(?+ ?)工?(? ?),故 C 錯(cuò)誤;?D.?(2-1?)= cos?+ 跖,?2 + ?)= cos?+cos? ?如?)= ?- ?，則？?(?的圖象關(guān)于直線？?= ?寸稱，故D正確,故選D.13.【答案】7【解析】【分析】本題考查了根據(jù)線性規(guī)劃求最值，屬較易題.本題先根據(jù)線性約束條件畫出平面區(qū)域，再利用圖解法即可求出目標(biāo)函數(shù)的最大值. 【解答】?+ ?> 0解：畫出不等式組2?- ?> 0所表示的平面區(qū)域，如圖所示?< 1即不等式所表示的平面區(qū)域?yàn)椋?包括舌邊界），3 3再將？?= 3?+ 2?化為？?= - 2?+ ?可看作斜率為-，截距為z的一族平行

16、直線,3由圖可知，當(dāng)直線？?= - 2?+ ?經(jīng)過點(diǎn)A時(shí)，截距z最大，?= 1因此，當(dāng)?= 2時(shí)，？2ax = 3 X1 + 2 X 2=7,故選答案為7.14.【答案】v3【解析】【分析】 本題主要考查雙曲線的簡單幾何性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題。? 根據(jù)漸近線方程，可得?= v2，再利用離心率公式即可求得結(jié)果?！窘獯稹?解：雙曲線的漸近線為？?=辺?？ ?=辺離心率？宙？?= v1 + ?2= V1 +（ v2）2= V3故答案為：V315.【答案】1【解析】【分析】本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算，考查運(yùn)算求解能力，屬于較易題.【解答】解: ?（?）= ?w，?（i）=? ?（i+?）2 = 4，解得？?= 1.

17、16.【答案】丁？【解析】【分析】本題考查圓錐的內(nèi)切球問題以及球的體積公式，通過列方程進(jìn)行求解即可.【解答】解:如圖，由題意可知，？?= "3 - 12 = 2v2 ,圓錐內(nèi)半徑最大的球 ？?滿足與底面相切于 0,與側(cè)面相切于點(diǎn) B,設(shè)球？的半徑為r，則?= 2 V2 - ?且=；,解得?=兀,故？?=機(jī)？?飛 T -100 '第14頁，共16頁故答案為#?17.【答案】 解：設(shè)等比數(shù)列的公比為 q，因?yàn)椋? ?2_ 4,?3 - ?_ 8 , ? + ?_ 4 ? ? _ 17?- ? _ 8 ' ?_ 3 ,?_ 3?-1 由(1)可知Iog3?_ ?- 1，可判

18、斷出數(shù)列l(wèi)og3?是以0為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，(?- 1) ?_.?+ ?+1 _ ?+3，?(?-1 ) (?+1)?2 2(?+3)(?+2)解得：?_ 6或?_ -1(舍去)所以?_ 6.【解析】本題主要考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，等差數(shù)列的判斷及其前n項(xiàng)和公式，屬基礎(chǔ)題. 根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式列出關(guān)于首項(xiàng)與公比的方程組，解得首項(xiàng)與公比，得到通 項(xiàng)公式； 由(1)可得數(shù)列Iog3?d的通項(xiàng)公式，從而判斷出該數(shù)列為等差數(shù)列，利用等差數(shù)列 的求和公式列出關(guān)于 m的方程，求得 m的值即可.18.【答案】解：(1)空氣質(zhì)量等級為1的概率為？?_2+16+2510043, , 空氣質(zhì)量等級為2

19、的概率為空氣質(zhì)量等級為3的概率為空氣質(zhì)量等級為4的概率為5+10+1227100_ 1006+7+821100_ 100 ;7+29100 _100 ;?_?_?_第17頁，共16頁(2) 天中該公園鍛煉的平均人次的估計(jì)值為100 X2+5+6+7100+ 300 X16+10+7+2100+ 500 X25+12+8100=350 ；人次 400人次>400空氣質(zhì)量好3337空氣質(zhì)量不好228亠100(33 X 8 - 22 X 37) 2?=5.82 > 3.841(33 + 22)(33 + 37)(22 + 8)(37 + 8)有95%的把握認(rèn)為一天中到該公園鍛煉的人次與該

20、市當(dāng)天的空氣質(zhì)量有關(guān).【解析】 本題考查了獨(dú)立性檢驗(yàn)和古典概率，屬于中檔題.19.【答案】 證明：(1)因?yàn)椋?是長方體，所以？?丄平面？? 而？?？平面？?所以？?丄？?.又？?= ?所以四邊形 ABCD為正方形，有？?丄？?？又? ? ?平面？所以？丄平面？?？又?平面？?？所以？?丄?.???？?儔近?的三等分點(diǎn) M ,連結(jié)？,？?？因?yàn)?E 在?上 ,且 2?= ?所以?/?,且?= ?所以四邊形？?為平行四邊形，所以？?/?又 F 在？上，且？= 2?,所以？?/?，且？?= ?,從而?/? , ?= ?，所以四邊形？?？?為平行四邊形，所以?/?,所以？?7/?,故?四點(diǎn)共面，點(diǎn)？?

21、在平面AEF內(nèi).【解析】本題考查了線面垂直的判定及性質(zhì)，四點(diǎn)共面判定等知識，屬中檔題.(1)通過？?？丄平面?可得 ?丄？?，四邊形ABCD為正方形，有？?丄?,?所以？?_平面？?？?，進(jìn)而可得？?L ? 通過畫輔助線，可證明四邊形？?和四邊形？?？?均為平行四邊形，由平行傳遞 性可得？?/?,故?四點(diǎn)共面，點(diǎn)？?在平面AEF內(nèi).20.【答案】 解： 求導(dǎo)得?（?= 3? - ?定義域?yàn)椋?a,+8）, 當(dāng)?< 0時(shí)，？?？= 3? - ?> 0 , ?在（- a,+a）上單調(diào)遞增；當(dāng)？?> 0時(shí)，令？?？ > 0得？?< -空或?> 空？令？'?

22、？< 0得-送?< ?< 週?3333故函數(shù)？?在（- a,唱，（弓?,+a）上單調(diào)遞增，在（- 字,爭上單調(diào)遞減.3333 由 當(dāng)？?w 0時(shí)，？?在（-a,+a ）上單調(diào)遞增，不符題意，故 ？?> 0 ,?的極大值為？爭，極小值為?爭,要使？?有三個(gè)零點(diǎn)，貝U v3?:- -3-)=3TVT+ -應(yīng)?273+ ?3? T)=竺竺？?+ ? < 03-27?> 0,即2-3?+ ?> 09 2 一，解得0<-9 v3?+ ?< 0?< 27【解析】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)問題，屬較難題.21.【答案】解:

23、(1)?_ 52? - 15?=4， ? = 16，? = ?-?= 116?= ，? ?的方程為25+哲=1 .16(2)由題：?(-5,0) , ?(5,0),設(shè)?(6,?)顯然 2 0,1 則? ?!_?則?= - ?1 ? ?則直線BP方程為：？?=-利?- 5），聯(lián)立25+= 1,16化簡得（?+佝疋-10?10? 0,解得？?= ?忌,?-= 5 - ?|?= |?+ ?= 1 + ?，即？?= 1,10?代入?=丹，解得?= ±2,±8,當(dāng)？?= 2 時(shí)，？?(6,2), ?(3,1), |?=,PQ方程為：?- 3?= 0,點(diǎn)A到直線PQ的距離為需=罟,則？?= 2 x v1o x = 2；當(dāng)？?= 8 時(shí)，?(6,8), ?(-3,1) ,|?= vl3Q ,PQ方程為：|-5 |57?2 9?+ 30 = 0，點(diǎn)A到直線PQ的距離為 V30 = v茹，1 55貝U ?= 2 x v130 x -=3= = 2,5根據(jù)對稱性，？?= -2, ? -8時(shí)面積均為2,5綜上：？ ?面