全等三角形輔助線做法

1、全等三角形問題中常見的輔助線的作法巧添輔助線一倍長中線【夯實基礎(chǔ)】例：中，ad是的平分線，且bd=cd，求證ab=ac方法1：作deab于e，作dfac于f，證明二次全等方法2：輔助線同上，利用面積方法3：倍長中線ad【方法精講】常用輔助線添加方法倍長中線 abc中 方式1： 延長ad到e， ad是bc邊中線 使de=ad， 連接be 方式2：間接倍長 作cfad于f， 延長md到n， 作bead的延長線于e 使dn=md，連接be 連接cd【經(jīng)典例題】例1：abc中，ab=5，ac=3，求中線ad的取值范圍例2：已知在abc中，ab=ac，d在ab上，e在ac的延長線上，de交bc于f，且d

2、f=ef，求證：bd=ce例3：已知在abc中，ad是bc邊上的中線，e是ad上一點(diǎn)，且be=ac，延長be交ac于f，求證：af=ef提示：倍長ad至g，連接bg，證明bdgcda 三角形beg是等腰三角形例4：已知：如圖，在中，d、e在bc上，且de=ec，過d作交ae于點(diǎn)f，df=ac.求證：ae平分提示：方法1：倍長ae至g，連結(jié)dg方法2：倍長fe至h，連結(jié)ch例5：已知cd=ab，bda=bad，ae是abd的中線，求證：c=bae提示：倍長ae至f，連結(jié)df 證明abefde（sas）進(jìn)而證明adfadc（sas）【融會貫通】1、在四邊形abcd中，abdc，e為bc邊的中點(diǎn)，b

3、ae=eaf，af與dc的延長線相交于點(diǎn)f。試探究線段ab與af、cf之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論提示：延長ae、df交于g 證明ab=gc、af=gf 所以ab=af+fc2、如圖，ad為的中線，de平分交ab于e，df平分交ac于f. 求證：3、已知：如圖，dabc中，Ðc=90°，cmab于m，at平分Ðbac交cm于d，交bc于t，過d作de/ab交bc于e，求證：ct=be.提示：過t作tnab于n 證明btnecd截長補(bǔ)短法引輔助線思路：當(dāng)已知或求證中涉及到線段a、b、c有下列情況時：，如直接證不出來，可采用截長法：在較長的線段上截取一條線段等于較短

4、線段；補(bǔ)短法：延長較短線段和較長線段相等，這兩種方法放在一起叫截長補(bǔ)短法。 通過線段的截長補(bǔ)短，構(gòu)造全等把分散的條件集中起來。 例1. 如圖，abc中，acb2b，12。 求證：abaccd 證法一：（補(bǔ)短法） 延長ac至點(diǎn)f，使得afab 在abd和afd中 abdafd（sas） bf acb2b acb2f 而acbffdc ffdc cdcf 而afaccf afaccd abaccd 證法二：（截長法） 在ab上截取aeac，連結(jié)de 在aed和acd中 aedacd（sas） 例2. 如圖，在rtabc中，abac，bac90°，12，cebd交bd的延長線于e，證明：b

5、d2ce。 分析：這是一道證明一條線段等于另一條線段的2倍的問題，可構(gòu)造線段2ce，轉(zhuǎn)化為證兩線段相等的問題，分別延長ba，ce交于f，證befbec，得，再證abdacf，得bdcf。1、如圖，中，ab=2ac，ad平分，且ad=bd，求證：cdac2、如圖，acbd，ea,eb分別平分cab,dba，cd過點(diǎn)e，求證;abac+bd3、如圖，已知在內(nèi)，p，q分別在bc，ca上，并且ap，bq分別是，的角平分線。求證：bq+aq=ab+bp4、如圖，在四邊形abcd中，bcba,adcd，bd平分，求證： 5.已知：如圖，abc中，ad平分bac，若c=2b,證明：ab=ac+cd.6.已知

6、：如圖，abc中，a=60°，b與c的平分線be,cf交于點(diǎn)i，求證：bc=bf+ce.7.已知：如圖，在正方形abcd中，e為ad上一點(diǎn)，bf平分cbe交cd于f，求證：be=cf+ae. 與角平分線有關(guān)的輔助線角平分線具有兩條性質(zhì)：a、對稱性；b、角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等。對于有角平分線的輔助線的作法，一般有兩種。從角平分線上一點(diǎn)向兩邊作垂線；利用角平分線，構(gòu)造對稱圖形（如作法是在一側(cè)的長邊上截取短邊）。通常情況下，出現(xiàn)了直角或是垂直等條件時，一般考慮作垂線；其它情況下考慮構(gòu)造對稱圖形。至于選取哪種方法，要結(jié)合題目圖形和已知條件。（1）截取構(gòu)全等如圖1-1，aoc=boc

7、，如取oe=of，并連接de、df，則有oedofd，從而為我們證明線段、角相等創(chuàng)造了條件。例1 如圖1-2，ab/cd，be平分abc，ce平分bcd，點(diǎn)e在ad上，求證：bc=ab+cd。簡證：在此題中可在長線段bc上截取bf=ab，再證明cf=cd，從而達(dá)到證明的目的。這里面用到了角平分線來構(gòu)造全等三角形。另外一個全等自已證明。此題的證明也可以延長be與cd的延長線交于一點(diǎn)來證明。自已試一試。例2 已知：如圖1-3，ab=2ac，bad=cad，da=db，求證dcac分析：此題還是利用角平分線來構(gòu)造全等三角形。構(gòu)造的方法還是截取線段相等。其它問題自已證明。例3 已知：如圖1-4，在ab

8、c中，c=2b,ad平分bac，求證：ab-ac=cd分析：此題的條件中還有角的平分線，在證明中還要用到構(gòu)造全等三角形，此題還是證明線段的和差倍分問題。用到的是截取法來證明的，在長的線段上截取短的線段，來證明。練習(xí)1 已知在abc中，ad平分bac，b=2c，求證：ab+bd=ac2 已知：在abc中，cab=2b，ae平分cab交bc于e，ab=2ac，求證：ae=2ce3 已知：在abc中，ab>ac,ad為bac的平分線，m為ad上任一點(diǎn)。求證：bm-cm>ab-ac4 已知：d是abc的bac的外角的平分線ad上的任一點(diǎn)，連接db、dc。求證：bd+cd>ab+ac。

9、（2）、角分線上點(diǎn)向角兩邊作垂線構(gòu)全等過角平分線上一點(diǎn)向角兩邊作垂線，利用角平分線上的點(diǎn)到兩邊距離相等的性質(zhì)來證明問題。例1 如圖2-1，已知ab>ad, bac=fac,cd=bc。求證：adc+b=180 分析：可由c向bad的兩邊作垂線。近而證adc與b之和為平角。例2 如圖2-2，在abc中，a=90 ，ab=ac，abd=cbd。求證：bc=ab+ad分析：過d作debc于e，則ad=de=ce，則構(gòu)造出全等三角形，從而得證。此題是證明線段的和差倍分問題，從中利用了相當(dāng)于截取的方法。例3 已知如圖2-3，abc的角平分線bm、cn相交于點(diǎn)p。求證：bac的平

10、分線也經(jīng)過點(diǎn)p。分析：連接ap，證ap平分bac即可，也就是證p到ab、ac的距離相等練習(xí)：1如圖2-4aop=bop=15 ，pc/oa，pdoa，如果pc=4，則pd=（ ） a 4 b 3 c 2 d 12已知在abc中，c=90 ，ad平分cab，cd=1.5,db=2.5.求ac。3已知：如圖2-5, bac=cad,ab>ad，ceab，ae=（ab+ad）.求證：d+b=180 。4.已知：如圖2-6,在正方形abcd中，e為cd 的中點(diǎn)，f為bc 上的點(diǎn)，fae=dae。求證：af=ad+cf。5 已知：如圖2-7，在rtabc中，acb=9

11、0 ,cdab，垂足為d，ae平分cab交cd于f，過f作fh/ab交bc于h。求證cf=bh。（3）、作角平分線的垂線構(gòu)造等腰三角形從角的一邊上的一點(diǎn)作角平分線的垂線，使之與角的兩邊相交，則截得一個等腰三角形，垂足為底邊上的中點(diǎn)，該角平分線又成為底邊上的中線和高，以利用中位線的性質(zhì)與等腰三角形的三線合一的性質(zhì)。（如果題目中有垂直于角平分線的線段，則延長該線段與角的另一邊相交）。例1 已知：如圖3-1，bad=dac，ab>ac,cdad于d，h是bc中點(diǎn)。求證：dh=（ab-ac）分析：延長cd交ab于點(diǎn)e，則可得全等三角形。問題可證。例2 已知：如圖3-2，ab=ac，ba

12、c=90 ，ad為abc的平分線，cebe.求證：bd=2ce。分析：給出了角平分線給出了邊上的一點(diǎn)作角平分線的垂線，可延長此垂線與另外一邊相交，近而構(gòu)造出等腰三角形。例3已知：如圖3-3在abc中，ad、ae分別bac的內(nèi)、外角平分線，過頂點(diǎn)b作bn垂直ad,交ad的延長線于f，連結(jié)fc并延長交ae于m。求證：am=me。分析：由ad、ae是bac內(nèi)外角平分線，可得eaaf，從而有bf/ae，所以想到利用比例線段證相等。例4 已知：如圖3-4，在abc中，ad平分bac，ad=ab，cmad交ad延長線于m。求證：am=（ab+ac）分析：題設(shè)中給出了角平分線ad，自然想到以ad為

13、軸作對稱變換，作abd關(guān)于ad的對稱aed，然后只需證dm=ec，另外由求證的結(jié)果am=（ab+ac），即2am=ab+ac，也可嘗試作acm關(guān)于cm的對稱fcm，然后只需證df=cf即可。練習(xí)：1 已知：在abc中，ab=5，ac=3，d是bc中點(diǎn)，ae是bac的平分線，且ceae于e，連接de，求de。2 已知be、bf分別是abc的abc的內(nèi)角與外角的平分線，afbf于f，aebe于e，連接ef分別交ab、ac于m、n，求證mn=bc（4）、以角分線上一點(diǎn)做角的另一邊的平行線12acdb有角平分線時，常過角平分線上的一點(diǎn)作角的一邊的平行線，從而構(gòu)造等腰三角形?；蛲ㄟ^一邊上的點(diǎn)作角平分線的

14、平行線與另外一邊的反向延長線相交，從而也構(gòu)造等腰三角形。如圖4-1和圖4-2所示。例4 如圖，ab>ac, 1=2，求證：abac>bdcd。bdca例5 如圖，bc>ba，bd平分abc，且ad=cd，求證：a+c=180。abecd例6 如圖，abcd，ae、de分別平分bad各ade，求證：ad=ab+cd。cab練習(xí)：1. 已知，如圖，c=2a，ac=2bc。求證：abc是直角三角形。abdc122已知：如圖，ab=2ac，1=2，da=db，求證：dcac aebdc3已知ce、ad是abc的角平分線，b=60°，求證：ac=ae+cdabcd4 已知：如

15、圖在abc中，a=90°，ab=ac，bd是abc的平分線，求證：bc=ab+ad(5)、且垂直一線段，應(yīng)想到、角平分線等腰三角形的中線例6如圖7，abc是等腰直角三角形，bac=90°，bd平分abc交ac于點(diǎn)d，ce垂直于bd，交bd的延長線于點(diǎn)e。求證：bd=2ce。證明：延長ba，ce交于點(diǎn)f，在bef和bec中，1=2，be=be，bef=bec=90°，befbec，ef=ec，從而cf=2ce。又1+f=3+f=90°，故1=3。在abd和acf中，1=3，ab=ac，bad=caf=90°，abdacf，bd=cf，bd=2ce

16、。注：此例中be是等腰bcf的底邊cf的中線。1：如圖，已知在abc中，b=60°，abc的角平分線ad,ce相交于點(diǎn)o，求證：oe=od2：（06鄭州市中考題）如圖，abc中，ad平分bac，dgbc且平分bc，deab于e，dfac于f. （1）說明be=cf的理由；（2）如果ab=，ac=，求ae、be的長.平移變換例1 ad為abc的角平分線，直線mnad于a.e為mn上一點(diǎn)，abc周長記為，ebc周長記為.求證.例2 如圖，在abc的邊上取兩點(diǎn)d、e，且bd=ce，求證：ab+ac>ad+ae.旋轉(zhuǎn)例1 正方形abcd中，e為bc上的一點(diǎn)，f為cd上的一點(diǎn)，be+df

17、=ef，求eaf的度數(shù). 將三角形adf繞點(diǎn)a順時針旋轉(zhuǎn)90度，至三角形abg則ge=gb+be=df+be=ef又ae=ae，af=ag，所以三角形aef全等于aeg所以eaf=gae=bae+gab=bae+daf又eaf+bae+daf=90所以eaf=45度 例2 d為等腰斜邊ab的中點(diǎn)，dmdn,dm,dn分別交bc,ca于點(diǎn)e,f。（1） 當(dāng)繞點(diǎn)d轉(zhuǎn)動時，求證de=df。（2） 若ab=2，求四邊形decf的面積。做dpbc，垂足為p，做dqac，垂足為qd為中點(diǎn)，且abc為等腰rtabcdp=dq=½bc=½ac又fdq=pde(旋轉(zhuǎn)）dqf=dpe=90°dqfdpesdqf=sdpe又s四邊形decf=s四邊形dfcp+sdpes四邊形decf=s四邊形dfcp+sdqf=½bc*½ac=¼ac²（a