化歸與轉(zhuǎn)化思想解決立體幾何問(wèn)題

1、化歸與轉(zhuǎn)化思想解決立體幾何問(wèn)題略談立體幾何中的空間角的向量求法鐘祥市舊口高中王輝問(wèn)題的理論背景 ：空間向量的具體應(yīng)用主要體現(xiàn)為兩種方法向量法和坐標(biāo)法，這兩種方法的思想都是利用空間向量表示立體圖形的點(diǎn)、線、面等元素，建立立體圖形和空間向量之間的聯(lián)系，然后進(jìn)行空間向量的運(yùn)算，最后把運(yùn)算結(jié)果回歸到幾何結(jié)論，這樣就把立體幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為空間向量來(lái)研究，即為我們書中提出的用空間向量解決立體幾何問(wèn)題的“三步曲”。很好地體現(xiàn)了化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想。解有關(guān)空間角的困惑： 空間中線線所成的角、線面所成的角、面與面所成的二面角，往往都需要作出其平面角，這是采用傳統(tǒng)方法的一大難點(diǎn)，尤其是二面角的平面角的尋找，有時(shí)相當(dāng)

2、困難，采用向量方法求解時(shí)，無(wú)需作出二面角的平面角只需求出平面的法向量，轉(zhuǎn)化為兩向量所成的角通過(guò)向量的數(shù)量積運(yùn)算即可獲解，體現(xiàn)了空間向量的巨大優(yōu)越性。解題時(shí)用到的有關(guān)求角公式：設(shè)直線 l ，m 的方向向量分別為 a ， b ，平面， 的法向量分別 u ， v線線夾角l ·m 的夾角為（0 ）2cos =|a ? b | a |b |線面夾角l · 的夾角為（0 ）2sin= |a?u | a | u |面面夾角·的夾角為 （ 0 ）2cos|u ? v |=| u | v |具體案例：一、求線線角的問(wèn)題例 1：在正三棱柱 ABC A 1 B 1 C 1 中，若 AB

3、=2 BB 1，求異面直線 A B 1 與 C1B 所成角的大小分析：依題可作圖，直線A B 1 與 C 1 B 所成的角，其取值范圍（ 0， ，與 AB1 , C1 B 2相等或互補(bǔ)?？梢酝扑鉇B1 · C1 B 入手。解法一（向量直接運(yùn)算法）AB AB1=AB+BB1CC1B = C1B1 + BB1AB BB1C1B BB1A1B1AB ，C B 600| AB|=| B1C 1 |C111 AB1 · C1B= AB ·C1B1 + AB · BB1 +C1B1 · BB1 + BB1 B1B=|AB |2 |BB1| 2=0，即AB

4、與C所成的角為0（，備注：化簡(jiǎn)的方向要先選定AB，AB1 C1B11 B90BB1C1B1 作為一個(gè)基底，其他向量向他們轉(zhuǎn)化）解法二（向量坐標(biāo)運(yùn)算法）取 A 1 B 1 的中點(diǎn) O 為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系， 取 B B 1 =1AB=2A(0 ，2， 1)B 1(0，2，0)22C 1( 6 ，0，0)B(0，2 ，1)22AB1 =（ 0，2， ）C1B =（6， 2， 1）122AB1 · C1 B =0×（6）+2×2+（ ）×1=0221 AB1 C1B即 A B 1 與 C 1 B 所成的角為 900。 （備注：建立空間直角坐

5、標(biāo)系的方法多樣的）二、求線面所成的角例 2：在矩形 ABCD 中，AB=1 ，BC=2 ，PA平在 ABCD ，PA=1，P求 PC 與平面 ABCD 所成的角。解：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)則P（0，0，1），C（1，2 ，0） PC =(1，2 ， 1），平面 ABCD 的一個(gè)法向量為n =（ 0， 0， 1）AD即為向量 APBCcos PC ， n = PC?n =1| PC| n |2 PC ， n =12000斜線 PC 與平面 ABCD 的法向量所在直線所成的角為60 。（備注： 1、先求平面法向量與斜線夾角，再進(jìn)行換算；2、觀察圖形有時(shí)可直接選取某一向量作為平面的法向量，避免再

6、求法向量）三、求面與面的夾角（二面角）例 3：如圖，四棱錐F ABCD 的底面 ABCD 是菱形，其對(duì)角線AC=2 ，BD=2 ，CF 與平面 ABCD 垂直， CF=2，求二面角 BAF D 的大小。解：以 C 為坐標(biāo)原點(diǎn)， BD ， AC ， CF 方向分別為x軸， y 軸， z 軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系。FA(0 ， 2，0)B（2 ，1，0）2CDF（，）D（2 ， 1，0）0 022BAAB =（2 ，1， 0）AF =（0，2，2）AD =2（ 2 ，1，0）2設(shè)平面 ABF 的法向量 n（， ，）則由 n ? AB0= xyzn ? AF0得2 xy 0令 z=1， n =（2 ，1，1）22 y2 z0同理，可求得平面ADF 的法向量 m =（2 ， 1，1）m · n =(2 ) ×2 +( 1) &#