時(shí)間序列分析03

1、第二章 Hilbert空間和L2,F,P空間中的預(yù)報(bào)§ 2.1內(nèi)積空間及其性質(zhì)一、內(nèi)積空間定義設(shè)C是復(fù)數(shù)域,H是C上的線性空 間，如果對于H中任意的x,y，都存在一個(gè)復(fù) 數(shù)x,y與其對應(yīng)，滿足條件(1)對任意 x,y H,(x, y)二(x, y)(2)對-x, y, z H 及-,1C(X y, zp (x,y)(y,z)(3)對一切 x H,(x,x) - 0 ,而且(x, x)二 0成立的充分必要條件是x=0那么稱x, y為H中的內(nèi)積，H為復(fù)內(nèi)積空間。 例1設(shè)E.'xxgx?,禺如果定k義x,y=/iW那么Ek是實(shí)內(nèi)積空間.例2.定義內(nèi)積空間H的任一元素x的模定 義為歐

2、氏空間Rn中，向量的模即長度x*(2.1.3)二、內(nèi)積空間的性質(zhì)1.Cauchy-Schwarz 不等式：設(shè)H是內(nèi)積空間，那么對一切x, y H 有(x, y)x y等式成立的充要條件是(2.1.4)(2.1.5)(2.1.6)(y, y)內(nèi)積空間內(nèi)兩元素x, y之間的夾角口(x, y)=心而x與y正交的充要條件為(x,yp 02.三角不等式x,y H,有設(shè)H是內(nèi)積空間，那么對一切(2.1.7)定理2.1.1 (模的性質(zhì))設(shè)H是復(fù)(實(shí))內(nèi)積空 間，IIX由(2.1.3)式定義，那么(1) 對人 y Hx+ y| « |x| +1|y|(2) 對 ¥ XW H,C,|ax|

3、= |a|X|(3) 對一切H,|x| = 0成立的充要條件為x = 03.平行四邊形公式：設(shè)H是內(nèi)積空間，那么對x,y H ,有|x+y|2 + |x-y|2 = 2|x|2 + 2|y|2定理2.1.2 (內(nèi)積的連續(xù)性)設(shè)H是內(nèi)積空間,'Xny"是H中的點(diǎn)列,x,y H ,當(dāng) n，時(shí),Xn-X > o, yn-y，0，那么當(dāng) n > 時(shí), 有(1) |xn卜 |x|;|yn卜 |y|(2) (Xn,yn) ' (x,y)§ 2.2 Hilbert空間、預(yù)報(bào)方程一 .H ilbert space定義設(shè)H是一線性空間，具有內(nèi)積定義, 并且是完備的

4、(Cauchy列皆屬于H的極限點(diǎn))，那么稱H為Hilbert空間.例.二、l2，f,p空間X的全體組成設(shè)C ,F,P是概率空間,C是定義在，上 的二階矩有限的實(shí)隨機(jī)變量 的集合，即C = <X EX = JX (w)P(dw)Q那么C是線性空間.(2.2.1)X 按模收對x,y C,定義 X,Y = EXYX,Y為一內(nèi)積L2C ,F,P中隨機(jī)變量的模X|2=EX2-lim E X nT旳稱，；Xn :均方收斂于X，記為m.sxXl2C' ,F,P空間中隨機(jī)變量序列 斂定義為lim Xn -X命題:L2L,F,P空間是完備的.復(fù)l2,F,P空間內(nèi)積:X,Y= EXY如果"

5、是測度空間C' ,F上任一非零有 限測度，D是定義在上的滿足如下條件的 復(fù)值函數(shù)集合2(2.2.3)D = t f J f dI Q定義內(nèi)積仁 g=,嚴(yán)那么D是Hilbert空間，稱其為復(fù)Hilbert空間, 記為 L2C' ,F= D引理2.2.1 按模收斂和柯西準(zhǔn)那么設(shè)Xn是Hilbert空間中的點(diǎn)列，那么xj按模收 斂于x H的充要條件是，當(dāng)lim XnXm =0例.三、投影定理和預(yù)報(bào)方程例1.例2.定義2.2.2 (閉線性子空間)設(shè)H是Hilbert 空間,M是H的線性子空間，如果冷M，且 當(dāng)n- s時(shí),Xn-XO，有V M，那么稱M 是H的線性閉子空間.設(shè)M是H的線性子空間,x H ,當(dāng)X 與M中的一切元素正交時(shí)，稱X與M正交， 記為x- M .定義2.2.3(正交補(bǔ)集)設(shè)H是Hilbert空 間，M是H的子集，H中所有與M正交的 元素的全體稱為 M的正交補(bǔ)，記為M1.即 M 丄=<x ： (x, y) = 0,對一切 y w M (2.2.10)定理2.2.1 (投影定理)設(shè)H是Hilbert 空間，M是H的閉線性子空間，那么-x H， 記d為x到M的距離d = d (x, y) = inf X