創(chuàng)意平板折疊桌最優(yōu)設計模型Word版

1、傳播優(yōu)秀word版文檔 ，希望對您有幫助，可雙擊去除！創(chuàng)意平板折疊桌最優(yōu)設計模型摘要本文通過對平板折疊桌折疊變化的探究，得出折疊桌的重要參數，折疊桌模型的建立與求解，以及對不同形狀的折疊桌的設計參數。針對問題一：由于對折疊桌整體不容易描述，所以將整體的變化過程轉化成容易描述的鋼筋上，對鋼筋的動態(tài)進行描述鋼筋是以31.2cm為半徑，鋼筋坐標從位置至位置，對于桌腳邊緣線的描述因為空間的曲線不好描述，所以將此曲線分別投影到坐標面與坐標面上進行描述，最后得到參數方程為： ，其中針對問題二：建立坐標系，根據幾何關系列出方程組，然后根據模型的穩(wěn)固性好，用材最少，加工方便列出約束條件及目標函數，最后用lin

2、go10優(yōu)化出最優(yōu)結果，當桌面圓的直徑為，高為時，代入上面的模型用lingo10優(yōu)化得平板的尺寸為 鋼筋位置為距離圓心處。針對問題三：折疊桌設計軟件其計算方法與問題二大致相同，本模型以桌面形狀是橢圓為例，給出其八張折疊過程中的動態(tài)過程圖，給出橢圓的長軸長為，短軸長為，條寬固定為，高固定為，可求出重要參數矩形平板的尺寸為 ，鋼筋的位置在距離橢圓中心44.7cm的位置。關鍵詞：折疊桌 投影 擬合 lingo10 優(yōu)化 1.問題重述傳播優(yōu)秀word版文檔 ，希望對您有幫助，可雙擊去除！隨著社會的發(fā)展，房價的升高，造型美觀、節(jié)約空間、形狀各異的折疊桌隨處可見?，F已知一折疊桌桌面呈圓形，桌腿木條分成兩組

3、分別用2根鋼筋將木條連接，鋼筋兩端分別固定在桌腿最外側的兩根木條上，沿木條有空槽保證可以滑動，桌腿隨著鉸鏈的活動可以平攤為一張長方形平板?，F已知一長方形平板的尺寸為120 cm × 50 cm × 3 cm，每根木條寬為2.5 cm，連接桌腿木條的鋼筋固定在桌腿最外側木條的中心位置，折疊后桌子的高度為53 cm。要求建立數學模型描述此折疊桌的動態(tài)變化過程，并給出此折疊桌的設計加工參數和對桌腳邊緣線進行數學描述。另外，對于任意給定折疊桌的高度和圓形桌面的直徑，討論長方形平板材料和折疊桌的最優(yōu)設計加工參數（平板尺寸、鋼筋位置、開槽長度）。要求做到產品穩(wěn)固性好、加工方便、用材最少

4、。并對于桌高70 cm，桌面直徑80 cm的具體情形，確定最優(yōu)設計加工參數。最后，為了滿足更多類型人群的需要，要求通過建立數學模型，設計出一款軟件，使得可以按客戶需求任意設定折疊桌的高度、桌面邊緣線的形狀大小和桌腳邊緣線的大致形狀，給出所需平板材料的形狀尺寸和切實可行的最優(yōu)設計加工參數。在此基礎上給出幾個自己設計的創(chuàng)意平板折疊桌。要求給出相應的設計加工參數，畫出至少8張動態(tài)變化過程的示意圖。 2.問題分析2.1問題一的分析由于連接桌腿木條的鋼筋固定在桌腿最外側木條的中心位置，并且在折疊過程中，鋼筋在空間中只做平行移動，不會發(fā)生旋轉，所以，我們可以在建立適當空間直角坐標系的基礎上，用鋼筋所在直線

5、的運動軌跡來描述折疊桌的動態(tài)變化過程。圖1：桌子鋸齒形邊界尖點的連線另外，通過對所給示例圖的觀察，我們可以假設桌子鋸齒形邊界尖點的連線為圓形，如圖1中紅線所示。進一步根據平板的寬度合理假設出中間長條形桌腿對應圓桌部分的長度，然后利用平面幾何知識，可以求出對應每一條桌腿的圓桌部分的長度，由此確定折疊桌邊緣一系列折點的坐標。對于每根桌腿木條開槽長度的確定，首先，在平板形狀時，連接桌腿木條的鋼筋固定在桌腿最外側木條的中心位置，鋼筋與內側每根桌腿木條的交點即為靠近圓桌方向的一個開槽端點，它們與相應折點的距離很容易得到；當折疊桌形成以后，鋼筋與內側桌腿的交點即為遠離圓桌方向的一個開槽端點，并且由于它們都

6、位于鋼筋所在的直線上，容易求取每個點的坐標，然后，由兩點間的距離公式求出它們與相應折點的距離；以上兩個距離相減可得每根木條的開槽長度。傳播優(yōu)秀word版文檔 ，希望對您有幫助，可雙擊去除！折疊桌成形以后，在已知每根桌腿的折點和開槽遠端點的基礎上，可以求出每根桌腿所在直線的方程，然后結合桌腿的長度可以求出桌腳點的坐標，將這些點分別投影到兩個坐標面上，利用matlab擬合出投影點在相應平面上的曲線方程，最后，合成桌腳邊緣線的空間直線方程。2.2問題二的分析題中要求我們對于任意給定的折疊桌高度和圓形桌面直徑得出長方形平板材料和折疊桌的最優(yōu)設計加工參數。對于平板材料可以用第一問中的材料和木條寬度。而最

7、優(yōu)加工參數的求解我們需要建立模型找出體現穩(wěn)固性好、加工方便、用材最少的目標函數和約束條件然后用lingo10求其最優(yōu)解。然后再對題中具體的數據：桌高.桌面直徑的情形代入模型求其對應的最優(yōu)加工參數。2.3問題三的分析對于問題三：我們根據客戶折疊桌高度、桌面邊緣線的形狀大小和桌腳邊緣線的大致形狀我們就可以求出所任意設定的折疊桌高度、桌面邊緣線的形狀大小和桌腳邊緣線的大致形狀，給出所需平板材料的形狀尺寸和切實可行的最優(yōu)設計加工參數,使得生產的折疊盡可能滿足客戶需求。即我們要建立模型：客戶給出需平板材料的形狀尺寸和切實可行的最優(yōu)設計加工參數。3.問題假設(1)鋼筋不會變形；(2)長方形的寬度是圓的直徑

8、;(3)平鋪時木條之間沒有間隙;(4)題中將木條寬度默認為(5)桌面的厚度默認為3。4.符號說明(cm)：第根桌腿的長度； :第根桌腿折疊點坐標；(cm)：第根桌腿開槽內端點與對應折疊點間的距離;(cm): 第根桌腿開槽外端點與對應折疊點間的距離;5.模型的建立與求解5.1 空間直角坐標的建立 為了方便描述，我們忽略長方形平板的厚度，把它看成一個平面，以平板的中心為原點，長邊方向為軸，短邊方向為軸，垂直平板向上方向為軸正方向，其中坐標面具體情況如圖2所示。并且假設桌子鋸齒形邊界尖點的連線為圓形。1傳播優(yōu)秀word版文檔 ，希望對您有幫助，可雙擊去除！鋼筋 圖2：坐標面5.2 問題一5.2.1折

9、疊桌的設計加工參數給定長方形平板的尺寸為120cm×50cm×3cm，每根木條寬為2.5cm，則一共有20根桌腿木條，根據圓桌的對稱性，以下建模過程中我們可以只討論部分10根桌腿木條的數據，則其他三個部分的數據對應可得。 12345678910圖3：桌腿從里向外依次編號首先，如圖3所示，我們將這10條桌腿從里向外依次編號為第根，且以每根桌腿外側邊緣線上的數據來計算這根木條的設計加工參數。由于桌面呈圓形，且平板寬度為50cm，所以我們不妨設第根桌腿對應鋸齒形邊界尖點（桌腿折疊點）的坐標為，由此可得圓桌半徑cm，設第根桌腿對應鋸齒形邊界尖點的坐標為，則，第根桌腿的長度可由公式求

10、出。由于連接桌腿木條的鋼筋固定在桌腿最外側(第10根)木條的中心位置，平板形狀時鋼筋與每根桌腿的交點即為開槽的內端點，它們與對應折疊點間的距離可以由公式得出。此時，鋼筋所在空間直線的一般式方程為。傳播優(yōu)秀word版文檔 ，希望對您有幫助，可雙擊去除！圖4：折疊桌成形后桌腿的平面折疊桌成形以后，每一對桌腿所在的平面應該都垂直于軸（如圖4所示），并依次相差一個木條的寬度2.5cm。其中藍色梯形上的點是此時鋼筋與最外側第10條桌腿的交點，它位于桌腿的中心位置。由于我們把平板的3cm厚度忽略不計，所以此時折疊桌的高度應該由53cm變?yōu)?0cm，由幾何知識易得點坐標為。此時，鋼筋所在的直線仍然平行于軸，

11、一般式方程為，它與第根桌腿的交點即為開槽的外端點。結合兩點間的距離公式可以求出第根桌腿開槽外端點與對應折疊點間的距離(cm)，則()(cm)即為第根桌腿的開槽長度。2以上數據見表1所示（保留小數點后一位）。表1 折疊桌的設計加工參數(cm)：第根桌腿的長度； :第根桌腿折疊點坐標；(cm)：第根桌腿開槽內端點與對應折疊點間的距離;(cm): 第根桌腿開槽外端點與對應折疊點間的距離;()(cm)：第根桌腿開槽長度第根桌腿12345(cm)3535.4363738.2開槽外端點坐標(cm)26.326.226.225.825.5(cm)6.36.77.38.39.52019.518.917.516

12、第根桌腿678910(cm)39.94244.848.857.5開槽外端點坐標(cm)25.225.025.025.628.8(cm)11.213.316.120.128.81411.78.95.50傳播優(yōu)秀word版文檔 ，希望對您有幫助，可雙擊去除！5.2.2 折疊桌動態(tài)變化過程描述在折疊過程中，鋼筋在空間中只做平行移動，不會發(fā)生旋轉，所以，我們用鋼筋所在直線的運動軌跡來描述折疊桌的動態(tài)變化過程。由5.2.1中的數據可知，當鋼筋沿以軸為旋轉軸，半徑為31.2cm的圓柱面，從直線平行移動到直線時，折疊桌完成從平板到桌子的變形。5.2.3 桌腳邊緣線的參數方程要想描述桌腳邊緣線的形狀，首先我們

13、來求每個桌腳點的坐標，以最里側第1根桌腳木條為例。當折疊桌成形以后，第1根桌腿折疊點和第1根桌腿開槽外端點的連線，即為第1根桌腿所在的直線，方程為；此時，要求第1根桌腿桌角點的坐標，就轉化為了如下數學問題：當時，在直線上找一點，使得它到（第1根桌腿折疊點的坐標）的距離為35（第1根桌腿的長度）。利用高等數學知識求解可得此點坐標為，同理可得其它每個桌腳點的坐標見表2所示。表2：桌腳點的坐標第根桌腳點1234坐標第根桌腳點5678坐標第根桌腳點910坐標我們把每根桌腳點分別投影到坐標面和坐標面，得其投影點坐標見表3。表3：投影點坐標第根桌腳點12345面投影坐標面投影坐標第根桌腳點678910面投

14、影坐標傳播優(yōu)秀word版文檔 ，希望對您有幫助，可雙擊去除！面投影坐標 利用投影點坐標對坐標以及坐標進行二次擬合，得桌腳邊緣線的參數方程：，其中（擬合程序及圖見附錄1）。5.3 問題二本問要求在考慮折疊桌穩(wěn)固性、加工方便、用材最少等因素的前提下，對于任意給定的折疊桌高度和圓形桌面直徑的設計要求，給出長方形平板材料和折疊桌的最優(yōu)設計加工參數。設長方形平板的長、寬、高分別為cm、cm、cm，折疊桌高度為cm，圓形桌面直徑為cm，每根木條的寬仍取cm。記表示桌腿木條的根數，則考慮用材最少時，則。5.3.1折疊桌的設計加工參數表達式當為偶數時，根據對稱性，只考慮的情況，則設計加工參數的計算方法與5.2

15、.1中基本相同。（1）從里向外第根桌腿對應鋸齒形邊界尖點（桌腿折疊點）的坐標為，第根桌腿的長度可由公式求出。（2）設折疊桌平鋪時鋼筋所在直線方程為，由于平板形狀時鋼筋與每根桌腿的交點即為開槽的內端點，它們與對應折疊點間的距離 得。（3）折疊桌成形以后，每一對桌腿所在的平面應該都垂直于軸（如圖4所示），并依次相差一個木條的寬度2.5cm。此時，鋼筋所在的直線仍然平行于軸，一般式方程為，它與第根桌腿的交點即為開槽的外端點。結合兩點間的距離公式可以求出第根桌腿開槽外端點與對應折疊點間的距離(cm)，則()(cm)即為第根桌腿的開槽長度。（4）由常識可知折疊桌的穩(wěn)固性與桌腿最外側的一根木條的傾斜角密切

16、相關，傾斜角較小時折疊桌能承受的壓力小容易復原，傾斜角大于時容易推倒。因此我們認為傾斜角在范圍內穩(wěn)固性比較好。加工方便要求木條開槽長度在滿足要求的情況下最短。（5）我們以開槽長度之和最短為目標函數建立優(yōu)化模型：傳播優(yōu)秀word版文檔 ，希望對您有幫助，可雙擊去除！min： 當桌面圓的直徑為，高為時，代入上面的優(yōu)化模型，使用lingo10程序（見附錄2）優(yōu)化得平板的尺寸為 鋼筋位置為距離圓心，開槽長為見下表4： 表4：每根木條開槽長度（cm）條數12345678槽長20.820.720.520.320.019.619.118.5條數910111213141516槽長17.716.615.313.

17、711.68.74.50桌腿的長度見下表5：表5：桌腿的長度（cm）條數1234567832.632.833.233.834.535.436.537.9條數91011121314151639.441.343.54649.253.158.672.5傳播優(yōu)秀word版文檔 ，希望對您有幫助，可雙擊去除！由表5可以看出桌子最外側的桌腿的長度是72.5即這根木條是一分兩半的我們可以不要以便達到用料最少，此時的平板的尺寸為。（6）當為奇數時，思路及方法相同，只不過需要將桌面圓上每根木條的外尖點的坐標改為。其他都不變。5.4 折疊桌模型的開發(fā)與應用5.4.1 模型的建立（1）客戶的需求。因為現實生活中客戶

18、要求的圖形多種多樣形狀不一，有的是規(guī)則的形狀可以用一個方程式表示有的是不規(guī)則的可以用多個方程式表示，但總體思路和求解過程和上兩問一樣只不過改一下圖形方程表達式即桌面上木條的截點的變化。（2）設圖形的方程。因不同客戶要求的桌面形狀可能不同，我們要建立模型就得求出通用的式子，因此我們要先設出顧客要求桌面圖形的坐標方程：（3）圖形的設計及建立坐標系。以平板材料的下平面所在的平面為xoy面、以平板的長為x軸、以平板的寬為y軸、以平板材料的中心為原點o、以原點o向下引一條垂線為z軸建立空間坐標系。由于圖形有可能不是關于x軸和y軸對稱的我們就得考慮怎樣設計圖形，例如橢圓：我們是將平板材料的寬設計成橢圓的短

19、軸還是設計成橢圓的長軸，這個就得通過比較做到用材最省。我們要用極限法分別比較兩種方法的面積大小然后選擇用材最少的方法，具體比較方法如下： 設橢圓的方程為：（其中、分別為橢圓的長軸、短軸）.要求桌面的高度為. 求當我們將平板材料的寬設計成橢圓的短軸時所用面積.我們需要取平板材料的極限長，當平板材料的長至少得大于等于桌面的高度的二倍即.我們就取這個極限然后算出所需平板材料的最小面積. 求當我們將平板材料的寬設計成橢圓的長軸時所用面積.同理可求出所需平板材料的最小面積 比較選擇用材最省的方法。通過上面的計算數據比較后知將平板材料的寬設計成橢圓短軸時用料最省。（4）確定所需木條的根數及圖形過截邊的那一

20、部分的連線而成的。每根木條寬度 2.5cm。（5）確定圖形截邊的坐標。當為偶數時，桌面圓上每根木條的外尖點的y軸坐標就知道即每根木條的縱坐標由圖形的坐標方程：點（，）為圖形上的任意一點，又由圖形是由桌面上外尖點的連線相似而成的，現在知道了每根木條外尖點的縱坐標可以求出它們的橫坐標：下面的步驟與模型二5.3.1中（2）以后的步驟相同。5.4.2模型的創(chuàng)意（1）我們可以將桌面的圖形定為橢圓，給出橢圓的加工參數為：橢圓的長軸短軸桌面的高。計算得折疊橢圓桌的參數為：矩形平板的尺寸為，鋼筋的位置在距離橢圓中心44.7cm的位置，開槽長度為下表6（從內到外） 傳播優(yōu)秀word版文檔 ，希望對您有幫助，可雙

21、擊去除！表6：開槽長度木條數1234567891011開槽長29.829.629.128.327.125.523.621.218.214.60（2）當桌面是橢圓時的動態(tài)圖3及其重要參數下圖 傳播優(yōu)秀word版文檔 ，希望對您有幫助，可雙擊去除！ 6.模型的評價與推廣6.1模型的優(yōu)點：1.計算簡便，結果合理；2.具有適用性，可以推廣至不同形狀的計算；3.通過matlab求解精確性高；4.模型通過lingo10求最優(yōu)解減少了人為干預；5.考慮了各種因素對模型的要求，當有因素因進一步的研究導致特性改變時，能夠及時的做出變化，體現前沿性。6.2模型的缺點： 1.在第一問中對折疊桌的動態(tài)變化過程的描述中

22、，沒有對所有對象進行描述，僅對其中的鋼筋為研究對象；2. 在第二問與第三問中將槽寬默認為與第一問的相同。6.3模型的推廣：1.可以將該模型推廣到圖形是任意形狀及其他情況；2.可以將此模型用于折疊玩具的設計與加工。 7.參考文獻1 王慧 孫建香，autocad 2012機械制圖實例教程，人民郵電出版社；2 史潔玉 孔玲軍，matlab r2012a 超級學習手冊，人民郵電出版社；3 潘祖聰，proe應用教程，上海科學技術出版社。傳播優(yōu)秀word版文檔 ，希望對您有幫助，可雙擊去除！8.附錄附錄1 三次擬合x=14.0 13.9 13.9 13.9 14.1 14.7 15.8 17.9 19.8

23、 30.9;>> y=2.5 5 7.5 10 12.5 15 17.5 20 22.5 25;>> z=-33.2 -33.8 -34.6 -35.4 -37.4 -39.4 -41.9 -44.7 -48 -50;>> plot(x,y,'*')>> a=polyfit(x,y,4)a = 1.0e+003 * -0.0000 0.0015 -0.0452 0.5968 -2.8887 x1=0:0.1:35;y1=polyval(a,x1);plot(x,y,'o',x1,y1)傳播優(yōu)秀word版文檔 ，希望對您有幫助，可雙擊去除！y-z 擬合：plot(y,z)>> d=polyfit(y,z,2)d = -0.0269 -0.0421 -32.7867>> y1=0:0.1:30;>> z1=polyval(d,y1);>> plot(y,z,'o',y1,z1) 傳播優(yōu)秀word版文檔 ，希望對您有幫助，可雙擊去除！附錄2：最優(yōu)化求解sets: g/1.